CC BY
5(3) fw(e(A,T),e(B,T))=e(AvB,T);
(4) fA(e(A, Г), е(В, Г)) = е(А Л Б, Г).
Доказательство. Доказательства пп. 1-3 лемм 1 и 4 совпадают. Рассмотрим правила и условия, использующиеся при доказательстве п. 4.
Случай е(ДГ) = 1, е(В,Т) = 1: (Л/), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 1, е(В,Т) = 1/2: (AI'), (ГЗ), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 1, е(Б,Г) = 0: (V/2), (->Л J4), (EFQ) и (Г1). Случай е(А,Т) = 1/2, е(В,Т) = 1: (AI"), (ГЗ), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 1/2, е(В,Т) = 1/2: (АЕ3), (-> А Ег) и (ГЗ). Случай е(ДГ) = 1/2, е(В,Т) =0: (V/2), (->Л J4), (EFQ) и (Г1). Случай е(ДГ) = 0, е(В,Т) = х € Г: (V/i), (->Л J4), (EFQ) и (Г1). Лемма 4 доказана.
Оставшаяся часть доказательства теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1. Теорема 2 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Матем. сб. 1938. 4, № 2. 287-308.
2. Hallden S. The Logic of Nonsense. Uppsala: Lundequista Bokhandeln, 1949.
3. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода / Под. ред. А. В. Идельсона и Г. Е. Минца. М.: Наука, 1967. 9-74.
4. Halkowska К. A note on matrices for systems of nonsence-logic // Stud. Log. 1989. 48, N 4. 461-464.
5. Finn V.K., Grigolia R.S. Nonsense logics and their algebraic properties // Theoria. 1993. 59. 207-273.
6. Ebbinghaus H.D. Über eine Prädikatenlogik mit partiell definierten Prädikaten und Funktionen // Arch. math. Logik. 1969. 12. 39-53.
7. Henkin L. The completeness of the first-order functional calculus //J. Symb. Log. 1949. 14, N 3. 159-166.
8. Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Логические исследования. 2014. 20. 255-268.
9. Kooi В., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Rev. Symb. Log. 2012. 5, N 4. 720-730.
Поступила в редакцию 01.03.2017
УДК 517.93
ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ МАЖОРАНТ И МИНОРАНТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА КАК ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПАРАМЕТРА
А. Н. Ветохин1
Рассматриваются параметрические семейства линейных дифференциальных систем с ограниченными и непрерывными на полуоси коэффициентами, аналитически зависящими от комплексного параметра. Установлено, что мажоранта (миноранта) показателя Ляпунова, рассматриваемая как функция параметра, является всюду полунепрерывной сверху (снизу).
Ключевые слова: показатели Ляпунова.
A parametric family of linear differential systems with continuous coefficients bounded on the semi-axis and analytically dependent on a complex parameter is considered. It is established
1BerrwxuH Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anveto27®yandex.ru.
that the majorant (minorant) of the Lyapunov exponent considered as a function of the parameter is upper (lower) semi-continuous.
Key words: Lyapunov exponents.
В. M. Миллионщиков в работе fl] для любого п € N и q € {1,..., п} установил, что q-й показатель Ляпунова системы
х = A(t)x, хеСп, t € М+ = [0, +оо), (1)
с непрерывной ограниченной оператор-функцией А : R+ —>■ End Сп определяется формулой
Лq{Ä)= inf m ^ln||XA(i,0)|L||,
LeGq(С") oo t
где Gq(Cn) — множество g-мерных векторных подпространств пространства Сп, X^(t,0)\L — сужение оператора Коши системы (1) на подпространство L С Сп.
Обозначим через Лq{A) минимальную полунепрерывную сверху мажоранту q-го показателя Ляпунова системы (1), определяемую формулой
~\q(A) = lim sup \q(A + В),
sup ||B(t)||<e}
teE+
а через Aq(A) максимальную полунепрерывную снизу миноранту q-ro показателя Ляпунова системы (1), определяемую формулой
A)(A) = lim inf XJA + B).
£->0{В: sup ||S(i)||<£}
teE+
Для произвольного метрического пространства A4 по отображению
A: M х [0;+оо) ^EndC\ (2)
непрерывному по совокупности переменных и такому, что функция ц > sup локально огра-
teR+
ничена, образуем функции
ti^Xg(A(ß,-)), (3)
ß^xд(А(ц,-)). (4)
Напомним, что свойство точки топологического пространства называется типичным, по Бэру, если множество точек, обладающих этим свойством, содержит всюду плотное множество типа G$, т.е. множество, представимое в виде счетного пересечения открытых множеств.
Ранее в [2] было установлено, что в случае, когда A4 = (0; 1), для любых п € N и q € {1,..., п} существует отображение (2), такое, что множество точек непрерывности каждой из функций (3), (4) пусто. Таким образом, свойство непрерывности функций (3), (4), вообще говоря, не является типичным по Бэру.
В настоящей работе строится пример функции (2), аналитичной по вещественному параметру ¡1 при каждом фиксированном t € К+, такой, что функции (3), (4) всюду разрывны (см. теорему 1). Интересно, что в случае аналитичности функции (2) по комплексному параметру /л при каждом фиксированном t € К+, как показано в теореме 2, функции (3), (4) всюду полунепрерывны, а следовательно, непрерывны в типичной по Бэру точке.
Теорема 1. Пусть A4 = (0; 1). Тогда для любого п G N существует отображение (2), аполитичное по ц, при каждом, фиксированном, t € R+; такое, что для каждого q € {1,..., п} функции (3), (4) всюду разрывны.
Доказательство. Определим отображение (2) формулой A(/j,,t) = a(fj.,t)E, /л € (0; 1), t € [0; +оо), где Е — единичная матрица, а функция а : (0; 1) х [0; +оо) —>■ [—1; 1] определяется следующим образом: положим
a(fi, t) = 0, t € [0; 2]; a{ji,t) = cos(vr/i2fc), te [kl + 1; (fc + l)!], k ^ 2,
и потребуем, чтобы она была аффинно линейна по t при фиксированном ¡л на отрезках [kl] к\ + 1], к ^ 2. Аналитичность функции а по ¡л € (0; 1) при каждом t € К+ следует непосредственно из ее определения. Введем обозначение:
t
ä(ß) = lim - / а([л,т) dr, ¡л € A4.
t—tоо t /
Пусть ¡л — двоично-рациональное число, т.е. существует такое ко € М, что ¡л ■ 2к° целое. При к > ко и £ € [к\ + 1, (к + 1)!] получаем а(/х, = со8(7г2к/л) = 1. Следовательно,
/ (fc+l)!
a(ß) ^ lim
к-юо (к + 1)!
\
а(ц, т) dr — (kl + 1)
= 1.
(5)
\fc!+l
/
Для всякого I > ко определим двоично-иррациональное число
ß
(0 -
/л ■ 2ко +
1
+
1
21+2 2г+4
Тогда для любого натурального р > I получаем
cos (2ртг= cos ( 2ртг L • 2fco +
+ ... = /л ■ 2ко +
3 -2Г
3 • 21
cos
2р~1тт
^ --
Следовательно,
< 7 ((г +1)!" "{l +1)!)) =
(6)
Итак, для произвольного двоично-рационального числа ¡л € (0; 1) имеем последовательность
(ß{l)T=k0+v
lim - ^ | = lim —i-j = 0, lim ä(ß®) < (7)
i—Kx> (->00 о • z Z—кэо ^
Таким образом, из (5)—(7) для двоично-рационального числа ¡л справедлива оценка
lim а(/лт) < -i < 1 < ä(ju). Z-юо ^
(8)
В силу всюду плотности двоично-рациональных точек в (0; 1) и цепочки неравенств (8) для произвольной точки ¡л получаем
lim cl(v) ^ — < 1 ^ lim ä(v).
Следовательно, множество точек непрерывности функции ¡л н-> а(р, •) пусто. Аналитичность отображения А по ¡л € (0, 1) при фиксированном t вытекает из аналитичности функции а. Так как для системы х = A(ß,t)x справедливо равенство Xq(A(ß,-)) = \д(А(/л,-)) = а(/л,-), то функции ¡л н> Лq(A(ß, •)), ¡л н> Xq(A(ß, •)) всюду разрывны. Теорема 1 доказана.
Следующий результат был анонсирован в [3], но его доказательство не было опубликовано.
Теорема 2. Пусть A4 — произвольное открытое множество в пространстве Ст и п € N; а отображение (2) аполитично по /л при каждом фиксированном, t. Тогда для каждого q € {1,..., п} функция (3) полунепрерывна сверху, а функция (4) полунепрерывна снизу.
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма. Для каждой точки /л € A4 выполнено равенство
lim sup IIA(fi,t) - A(v,t)II = 0.
V^r» teR+
Доказательство. Так как функция ¡л > sup локально ограничена, то найдутся no-
te R+
ложительная константа К и лежащий в Л4 С Ст поликруг с центром в точке /л = ..., [лт) и радиусом г < 1
Drip) = {(zi, ...,zm)eCm: \zj - Hj\ ^ r, j = 1,... ,m},
такие, что
sup PGM)II < K-
/ue-Dr(Ju),teR+
Зафиксируем £ € М+. В силу аналитичности функции для любого V € имеем [4, с. 45]
{±\т Г (
A(u,t) =
\2mJ J "' J ({i - vi)... - vm)
\£,т~Цт\=Г |?l-/ttl|=i-
dii... d£r,
Так как
m m m / m m \
fc=l
fc=l
fc=2
\k=2
k=2
m— 1
• • • = (fl - Ail) JJ(£fc - /ifc) + (l/2 - /i2)(6 - fl) + + - Am) П ~ "*)>
k=2
получаем
1 27ri
<
fc = 3
m m
П (6 - fik) - П (6 - vk)
_k=1_fc=l_
m, m,
П (6 - jtifc) X П (6 - Vk) k=1 fc=l
fc=l
...
<
К
(2ТГ)
(V^l j - J
m
П 16 — fj'kl k=2
• • •
lU-Zimhr |fl-/il|=r П 16 "Ы X П 16 k=1 fc=l
+ 1^2 -Ai2| J ■■■ J
16 — ^ll П 16 -jtifc|
fc=3
• • • ¿Cm +
isi-/iii=r П 16-^fcl x П 16-^1 fc=l k=1
• • • ~b l^m, ¡¿r,
rri—1
П (6 - Vk) k=1
' • • • ¿Cm ^
lU-Zimhr |fl-/il|=r П 16 -Aifcl X П 16-^fcl k=1 fc=l
<
К(2ттг)г
(2ir)mrm lL
m
■2) k= 1
v—Л K2m V—л
fc=l
следовательно,
lim sup PGM) - A(i/,i)|| = 0.
te r+
Лемма доказана.
Доказательство теоремы проведем для функции (3). В силу определения минимальной полунепрерывной мажоранты д-го показателя Ляпунова для любой системы (1) и произвольного е > 0 найдется такое 5 = 5(е) > 0, что для любой непрерывной матричной функции В(-), удовлетворяющей условию ||13(£)|| ^ 5 при всех £ ^ 0, выполнено неравенство Ад(А + В) ^ Ад(А) + е.
Для произвольного ц € АЛ по лемме найдется такое ¿1 > 0, что для любого и: \и—¡л\ < ¿1 и любого £ ^ 0 выполнено неравенство \\А(и, ¿) — /л)\\ <5, а следовательно, /х)) ^ /х)) +е. Таким образом, функция /л —>■ Хд(А(-, /л)) является полунепрерывной сверху в каждой точке множества М. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы и теоремы Бэра о функциях первого класса получаем Следствие. Пусть А4 — произвольное открытое множество в простора,пет,ее Ст и п € М, а отображение (2) аполитично по /л при каждом, фиксированном, Тогда для каждого д € {1,...,п} функции (3) и (4) в типичной по Бэру точке пространства А4 непрерывны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16, № 8. 1408-1416.
2. Ветохин А.Н. К задаче о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2013. 49, № 7. 950-952.
3. Миллионщиков В.М. О мажорантах и минорантах экстраординарных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. 31,№ 9. 1601.
4. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.
Поступила в редакцию 20.05.2015
УДК 514.76
О ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ С МАЛЫМИ ТИПОВЫМИ ЧИСЛАМИ В ^-МНОГООБРАЗИЯХ
М. Б. Банару1
Дорогому
Вадиму Фёдоровичу Кириченко к его 70-летию
Доказано, что в И^-многообразии почти контактные метрические структуры на гиперповерхности с типовым числом 1 и на гиперповерхности с типовым числом 0 являются идентичными.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, типовое число, гиперповерхность, И^-многообразие.
It is proved that in a HVmanifold, the almost contact metric structures on a hypersurface with type number 1 and on a hypersurface with type number 0 are identical.
Key words: almost contact metric structure, type number, hypersurface, HVmanifold.
1. Один из самых важных классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий — класс W4 — часто называют классом локально конформных келеровых многообразий. Это не совсем корректно: на самом деле класс W4 содержит локально конформные келеровы (locally conformai Kâhlerian, LCK-) многообразия, а совпадает с классом LCK-многообразий лишь для размерности не ниже шести [1]. И^-многообразия глубоко изучались с разных точек зрения такими известными математиками, как И. Вайсман, А. Грей, С. Драгомир, Т. Кашивада, В.Ф. Кириченко, Л. Орнеа и Ф. Тричерри.
Известно [2], что на всякой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия индуцируется почти контактная метрическая структура. В работе автора [3] было доказано, что если
1 Банару Михаил Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики и информатики Смолен, гос. ун-та, e-maïl: mihaïl.banaru®yahoo.com.
