CC BY
61
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 2 (27). С. 188-191
УДК 517.958:539.3(4)
ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
В. А. Кудинов, А. В. Еремин, Е. В. Котова
Самарский государственный технический университет, 443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: [email protected]
Рассмотрен алгоритм получения точных аналитических решений задач термоупругости для. многослойных конструкций в случае, когда упругие характеристики материала в пределах каждого слоя постоянны. Приведены решения конкретных задач термоупругости для. двухслойного полого цилиндра со свободными от нагрузки поверхностями, и неравномерным в пределах слоев температурным полем, а также задачи термоупругости для. двухслойного полого цилиндра с нагрузкой на поверхности внутреннего слоя и закреплённой поверхностью наружного. Температурное состояние каждого из слоев задано в виде аналитической зависимости от пространственной переменной.
Ключевые слова: задача термоупругости, точное аналитическое решение, многослойный полый цилиндр, плоская деформация, термонапряжённое состояние.
При проектировании многослойных композиционных материалов необходимо обеспечивать прочность и работоспособность конструкции в заданных температурных интервалах. Для получения аналитического решения задачи термоупругости необходимо иметь соответствующее аналитическое решение задачи теплопроводности. В работах [1,2] на основе использования ортогональных методов взвешенных невязок рассмотрены методы, позволяющие получать достаточно простого вида приближенные аналитические решения краевых задачи для многослойных конструкций, удобные применительно к решению задач термоупругости. С использованием этих методов, в работе [1] дана последовательность получения приближенных аналитических решений задач термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды.
В случае, когда упругие характеристики материала в пределах каждого слоя являются постоянными величинами, можно получить не только приближенные, но и точные аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций. В качестве конкретного примера рассмотрим задачу термоупругости для двухслойного длинного полого цилиндра (рис. 1) в случае его плоской деформации, обусловленной плоским осесимметричным температурным полем. При этом будем считать, что на внутренней и наружных поверхностях цилиндра нагрузка отсутствует и, следовательно, напряжения возникают лишь от действия неравномерного по пространственной переменной температурного поля.
Василий Александрович Кудинов (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. теоретических основ теплотехники и гидромеханики. Антон Владимирович Еремин, аспирант, каф. теоретических основ теплотехники и гидромеханики. Евгения Валериевна Котова, аспирант, каф. теоретических основ теплотехники и гидромеханики.
Рис. 1. Схема двухслойного полого цилиндра
Получение точных аналитических решений задач термоупругости ...
Математическая постановка в данном случае имеет вид ЩХ + щсЩ
-ГТн---1---2~1-= 0 [П г = 1, 2); (1)
сж* г аг г* 1 — щ аг
аг1(п)= 0, аг2(г3)= 0; (2)
0>1(Г2) = о>2(г2), и1(г2) = и2(г2), (3)
где [/¿—перемещение г-того слоя; г —радиальная координата; щ — коэффициент Пуассона г-того слоя; 04 —коэффициент линейного расширения г-того слоя; ТЦг) — температура в г-том слое; сгГг (г = 1, 2) —радиальная компонента тензора напряжений в г-том слое.
Общий интеграл уравнения (1) записывается в виде [3,4]
1Л = Сиг + ^ + Г Ъ{г)гйг (г; < г < гт; г = 1, 2), (4)
г (1 - щ)г }г.
где С и, Сц —постоянные интегрирования.
Формулы для определения радиальных аГг(г) и окружных сгд^г) компонент тензора напряжений в г-том слое имеют вид
< \ СцЕг С2гЕг (У.гЕг Г
а" Г = 7Г~,——^ГТ ~ 7Г~1—~ 71-7^ / г г®г; 5
(1 + щ){1 - 2щ) (1 + щ)г2 {1-щ)г^г.
/ \ С-цЕ-1 С^Е^ (У-^Еъ , , (У-^Еъ Гг , , , ч
°въ\г) = —-—-—— + —-г-2 - --Щг) + --—2 / Щг)Ыг. 6
(1 + щ){1 - 2щ) (1 + щ)г2 1-щ
Для определения постоянных интегрирования Сц, Сц используются граничные условия (2), и условия сопряжения (3). В итоге получаем систему алгебраических линейных уравнений:
С11В1 + С12В2/г\ = 0; С11В1 + С12(В2/г22 + В2) + С22В3 + В1=0; Спг2 + С\2/г2 + В3 - С21г2 - С22/г2 = 0; С21-В3 + С22В4 — В 5=0,
(7)
где
В1
ОцЕъ Г / ^ Е2 Е2
В2 = (1 + ,2)(1-2ъ)> Вз=(ТТ
л Е1 л Е1 л + Г Т( 1)1 = 777-Т71-= 777-V Вз = 71-Г~ / тЛг)гг1г,
'Г1
_Е2 _Е2 а2
Д4 = п , , 2, д5 = ^ ; / т2(г)Ыг.
(1 + г/2)г|' (1 — г^2)т3
'Г2
После определения постоянных интегрирования из решения системы уравнений (7) перемещения и напряжения находятся по формулам (4)—(6).
В качестве конкретного примера рассмотрим решение задачи термоупругости при следующих исходных данных: а = 15 • 10~6 К-1; а2 = 11 • 10~6 К-1; Е\ = = 19,5- 109 кг/м2; Е2 = 13 • 109 кг/м2; щ = и2 = 0,2; п = 14 мм; г2 = 39 мм; гз = 55 мм.
Распределение температуры в двухслойном цилиндре дано на рис. 2. Температурные кривые для каждого слоя аппроксимировались функцией вида
Щг) = сц + ЪгГ (г = 1, 2), где аг = 63,69; Ъг = -812,5; а2 = 138,08; Ъ2 = -2720.
Кудпнов В. А., Еремин А. В., Котова Е. В.
Графики распределения радиальных оу и окружных ад компонент тензора напряжений приведены на рис. 3. Их анализ позволяет заключить, что на внутренней поверхности цилиндра радиальные напряжения отсутствуют. Окружные напряжения ад в точке контакта слоев (г = г2) имеют разрыв, причём в первом слое напряжения сжатия при г = ?'1 переходят в напряжения растяжения при г = г2. По всей толщине второго слоя имеют место напряжения растяжения. Рассмотрим решение уравнения (1) с граничными условиями
аг1(Г1) = -Р, и2(г3)=0 (8)
и условиями сопряжения (3). Система алгебраических уравнений (7) для определения констант интегрирования запишется так:
С11В1 + С12В2/г21+Р = 0; ^
Сц£>1 + С12(В2/4 + В2) + С22Вз + Вх = 0; I Сц''2 + С12/г2 + В3 - С2\г2 - С22/г2 = 0; С21Г3 + С22г3 + В6 = 0.
Здесь
в6 = -г.-г- / 12{г)гс1:г.
(1 - 1У2)г3 Л2
Результаты расчётов компонент <тг, ад в этом случае приведены на рис. 4. Анализ позволяет заключить, что при граничных условиях (8) компоненты <тг, ад имеют отрицательный знак, то есть являются сжимающими.
Рис. 2. Распределение тем- Рис. 3. Распределение радиальной и окружной компонент пературы в двухслойном по- тензора напряжений в двухслойном полом цилиндре при лом цилиндре (г = г — п) свободных от нагрузки поверхностях (г = г — п)
Рис. 4. Распределение радиальной и окружной компонент тензора напряжений в двухслойном полом цилиндре при нагрузке на внутренней поверхности цилиндра Р = —300 МПа (г = г — гч)
Получение точных аналитических решений задач термоупругости
Выводы. Разработана методика получения точных аналитических решений задач термоупругости для многослойных конструкций (плоское напряженное состояние, плоская деформация). Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы: 1) значительные температурные напряжения возникают в стационарном тепловом режиме за счет различия числовых значений модулей упругости и коэффициентов линейного температурного расширения материалов тел, находящихся в контакте; 2) на поверхности контакта слоев цилиндрической конструкции имеет место скачок окружных напряжений вследствие непрерывности перемещений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В. Аналитические решения задач теп-ломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. М.: Высш. шк., 2005. 430 с. [Kudinov V.A., Kartashov Е.М., Kalashnikov V. V. Analytical solutions of problem of heat and mass transfer and thermoelasticity for multilayered structures. Moscow: Vyssh. shk., 2005. 430 pp.]
2. Кудинов В. А., Карташов Э.М., Стефанюк E. В. Техническая термодинамика и теплопередача. М.: Юрайт, 2011. 550 с. [Kudinov V. A., Kartashov Е. М., Stefanyuk Е. V. Technical Thermodynamics and Heat Transfer. Moscow: Yurayt, 2011. 550 pp.]
3. Карташов Э. M., Кудинов В. А. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. М.: Либроком, 2012. 652 с. [Kartashov Е. М., Kudinov V. A. Analytical Theory of Heat Conduction and Applied Thermoelasticity. Moscow: Librokom, 2012. 652 pp.]
4. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of elasticity. New York: McGraw-Hill, 1969. 567 pp.; русск. пер.: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 569 с.
Поступила в редакцию 12/IV/2012; в окончательном варианте — 18/V/2012.
MSC: 74F05; 74C05, 80A20
OBTAINING EXACT ANALYTICAL SOLUTIONS OF THE THERMOELASTICITY PROBLEM FOR MULTILAYER CYLINDRICAL STRUCTURES
V. A. Kudinov, A. V. Eremin, E. V. Kotova
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mail: totig8yandex.ru
This article is told about obtaining exact analytical solutions of the thermoelasticity problem for multilayer construction and also contains its algorithm when elastic properties of each layers were constant. As an exam,pie was solver specific problem for double layer hollow cylinder with set load at the inner surface and rigidly fixed at the external surface. Thermal state of each layer was set as a function of spatial variable.
Key words: thermoelasticity problem, exact analytical solution, multilayer hollow cylinder, thermostressed state.
Original article submitted 12/IV/2012; revision submitted 18/V/2012.
Vasiliy A. Kudinov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics. Anton V. Eremin, Postgraduate Student, Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics. Evgeniya V. Kotova, Postgraduate Student, Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics.
