Положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 12-13

УДК 517.98

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ЛИФТИНГ В ИЗМЕРИМОМ РАССЛОЕНИИ БАНАХОВЫХ РЕШЕТОК

А. Е. Гутман

Показано, что всякий положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток является решеточным гомоморфизмом.

Ключевые слова: банахова решетка, решеточный гомоморфизм, банахово расслоение, лифтинг.

Определение лифтинга : X) ^ £X) классов измеримых сечений

измеримого расслоения X банаховых решеток на пространстве с мерой ^ сопровождается требованием решеточности лифтинга: (и V = и^ V ^ на ^ для всех и, V £ X) (см. [1, определение 2.2]). Мы покажем, что это требование являет-

ся избыточным и может быть заменено условием положительности: и^ ^ 0 на ^ для положительных и £ X).

Теорема 1. Пусть X — векторная решетка, У — нормированная решетка и пусть Т: X ^ У — такой сюръективный положительный линейный оператор, что для любых Ж1,Ж2 £ X из |жх | ^ |ж2| следует ЦТЖ1Ц ^ ||Тж2||. Тогда Т является решеточным гомоморфизмом.

< Поскольку кег Т — порядковый идеал X, согласно [2, 18.9] фактор-пространство XX := X/ кег Т представляет собой векторную решетку относительно естественного порядка, а каноническое отображение р: X ^ X является решеточным гомоморфизмом. Кроме того, ||'||у о Т — решеточная полунорма на X, а значит, в силу [2, 62.3] пространство XX является нормированной решеткой относительно фактор-нормы ||-||^, причем Н'Нх = ||"||у 0Т, где Т := Тор-1: XX ^ У — линейная биекция. Таким образом, оператор Т служит положительной изометрией между нормированными решетками XX и У и поэтому является порядковым изоморфизмом (см. [3, теорема 1]) и, в частности, решеточным гомоморфизмом. Следовательно, оператор Т = То р также является решеточным гомоморфизмом. >

Теорема 2. Пусть X — измеримое расслоение банаховых решеток над пространством с мерой ^ и : X) ^ £X) — такой лифтинг в измеримом банаховом расслоении X, что и^ ^ 0 на ^ для положительных и £ X). Тогда (и V v)^ = и^ V ^ и (и Л v)^ = и^ Л ^ на ^ для всех и, V £ X).

< Достаточно фиксировать произвольную точку ш £ ^ и применить доказанную выше теорему 1 к векторной решетке X := X), нормированной решетке У := X(ш) и оператору Т: и £ X ^ и^(ш) £ У, сюръективность которого следует из [4, 4.4.1]. >

© 2013 Гутман А. Е.

Положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток

13

Литература

1. Ганиев И. Г. Измеримые расслоения решеток и их приложения // Исследования по функциональному анализу и его приложениям.—М.: Наука, 2005.—С. 9-49.

2. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz Spaces. Vol. I.—Amsterdam-London: North-Holland Publ. Co., 1971.

3. Абрамович Ю. А. Об изометриях нормированных решеток // Оптимизация.—1988.—Вып. 43 (60).— С. 74-80.

4. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.—С. 63-211.

Статья поступила 13 октября 2013 г.

Гутман Александр Ефимович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, заведующий лабораторией функционального анализа РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4;

Новосибирский государственный университет, профессор кафедры математического анализа РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2 E-mail: [email protected]

POSITIVE LIFTING IN A MEASURABLE BUNDLE OF BANACH LATTICES

Gutman A. E.

We show that every positive lifting in a measurable bundle of Banach lattices is a lattice homomorphism. Key words: Banach lattice, lattice homomorphism, Banach bundle, lifting.