Полный класс Ф-функций для кругов и прямоугольников с поворотами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.859

ПОЛНЫЙ КЛАСС Ф-ФУНКЦИЙ ДЛЯ КРУГОВ И ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ С ПОВОРОТАМИ

ЗЛОТНИК М.В.

Строятся Ф-функции для следующих пар неориентированных объектов: замыкание дополнения прямоугольника до всего пространства R2 и прямоугольник, круг и прямоугольник, замыкание дополнения прямоугольника до всего пространства R2 и круг, замыкание дополнения круга до всего пространства R2 и прямоугольник.

Введение

В классе задач упаковки, раскроя и покрытия (Packing&Cutting&Covering) [1-3] наименее изученными являются задачи, в которых допускаются аффинные преобразования не только трансляции, но и поворота объектов [4].

Актуальность данной работы связана с тем, что для построения математических моделей таких оптимизационных задач требуется аналитическое описание взаимодействия объектов.

В [5,6] представлено аналитическое описание взаимодействия различных ориентированных геометрических объектов (допускающих аффинные преобразования только трансляции) - построены Ф-функции. Поэтому возникает необходимость в построении Ф-фун-кций неориентированных объектов (допускающих аффинные преобразования трансляции и поворота). Предметом данного исследования является построение Ф-функций неориентированных ф - объектов [7].

Рассмотрим полный класс ф - объектов, граница которых окружность C = {(x,у) є R2, x2 + y2 - г2 < 0}, г*

C или прямоугольник

R = {(x,y) є R2, - a < x < a, - b < у < b},

R* при этом множество T* = cl(R2 \T). Здесь clT -замыкание множества T [8], T є {C, R}.

Обозначим параметры размещения через Ui = (Vi,фі) = (xbybфі), где xi,yi — координаты центра собственной системы координат множества, а Фі — угол поворота собственной системы координат ф - объекта относительно неподвижной системы координат (рис.1).

Рис. 1. Представление прямоугольника

Множество Ti, для которого задан вектор движения Ui = (Vi,Фі) , обозначим через Ti(ui), Tє{C,R}.

Следует отметить, что множества C(u) и C*(U) не зависят от величины ф, поэтому для них u = v .

На данный момент построены Ф-функции для следующих пар множеств: R^u^ и R2(u2)[9], C1(u1)и C2(U2), C*(u1) и C2(u2) [5].

Целью данной работы является построение Ф-функ-ций для следующих пар объектов: R* и R2, R1 и C2, R*и C2, R1 и C*2.

Постановка задачи

Даны два объекта T1 и T2 , Ti e{C,C*,R,R*}, i = 1,2 . Необходимо построить функцию 0(u1, u 2), зависящую от взаимного расположения объектов T1 и T2 , в пространстве, которая позволяет моделировать взаимодействие объектов T1 и T2 . При этом 0(u1, u2 ) > 0, если T1 и T2 не имеют общих точек (рис. 2,а), 0(ubu2) = 0, если T1 и T2касаются (рис. 2,б) и 0(u1, u2) < 0, если T1 и T2 пересекаются (рис. 2,в).

в

Рис. 2. Взаимное расположение объектов 1. Ф-функция для R* и R2

1) Пусть Ф1 = 0 и ф 2 = 0(R* и R2 могут быть только

транслированы на векторы v1 и v2 соответственно).

Тогда Ф-функция для R*(v1)и R2CV2) [5] может

быть представлена в следующем виде:

®(V1,V2) = min хi(v1,V2), (1)

i=1,...,4 v '

где X1CV1PV2) = A - (x2 - x1) , (2)

X2(v1,v2) = B - (У 2 -У1) ,

X3(V1,V2) = A + (x2 - x1), X4 (V1, V2 ) = B + (y 2 - У1), A = a1 -a2 , B = b1 -b2 ,

y= {(u1,u2) є R6 | ®(u1,u2) = 0} — проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции [5] (рис.3).

Рис.3. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R*(0,0,0)и R2(v2,0)

РИ, 2006, № 1

36

2) Полагаем = 0 . Построим Ф-функцию для множеств R*(vj)и R2(v2,Ф2)(т.е.R* может быть только транслирован на вектор vj, а R 2 транслирован на вектор v2 и повернут на угол ф2) (рис. 4). В этом случае A и B зависят от ф 2 .

в) Пусть л< ф2 <3л/2 (рис. 7), а=ф2-л ,

sin а = - sin ф 2 , sin а > 0, sin ф 2 < 0 , sin а =| sin ф 2 |.

Рис. 4. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции для R *(0,0,0) и R2(v2, ф 2)( ф2 - const)

Определим значения этих величин при разных ф 2 .

а) Пусть 0 <ф 2 <л / 2 (рис. 5), тогда

A^) = a1 - (a2 cosФ2 + b2 sinф2),

Bfo2) = b1 - (a2 sinф2 + b2 cosф2).

y *

Рис. 5. Объект R2 (0,0,ф2) при 0 < ф2 < л /2

б) Пусть л/2 < ф2 <л (рис. 6), а=л-ф2,

cos а = - cos Ф2, cos а > 0 , cos Ф2 < 0 ,cos а =| cos ф 2 |. Таким образом,

Afa2) = a1 - (a2 | cos ф2 | +b2 sin ф2),

B^2) = b1 - (a 2 sin ф 2 + b2 |cos ф 2 |).

Рис. 6. Объект R2(0,0, ф2) при л /2 <ф2 <л

Рис. 7. Объект R2(0,0, ф 2) при л<ф 2 < 3л / 2 Следовательно,

Afa2) = a1 - (a2 | cos ф2 | +b2 | sin ф2 |) ,

B(ф2) = b1 - (a2 | sinф2 | +b2 | cos ф2 |).

Пусть 3л /2 < ф2 < 2л (рис. 8), а = 2л - ф2 . Соответственно

Afa2) = a1 - (a2 cos ф2 + b2 | sin ф2 |), B(Ф2) = b1 - (a2 | sin ф2 | +b2 cosф2).

Рис. 8. Объект R2(0,0, ф2) при 3л /2 <ф2 < 2л

Учитывая (1), (2) и то, что коэффициенты A^2) и B^ 2) инвариантны относительно Ф2, Ф-функция может быть представлена следующим образом:

®(vbu2) = min хi(v1,u2) i=1,...,4 ’

где X1 (v1, u2) = A(ф2) - (x2 - x1) , (3)

x2(v1,u2) = B(ф2) -(y2 -y1) , x3(v1,u2) = A(ф2) + (x2 -x1) , x4 (v1,u2) = B(92) + (y2 -y1) ,

A(ф2) = a1 - (a2 |cos ф2 | +b2 | sin ф2 |) ,

B(ф2) = b1 - (a2 | sin ф2 | +b2 | cos ф2 |).

3) Построим Ф-функцию для множеств R*(v1, Ф1) и R 2 (v2, Ф 2) (те. R* и R2 могут быть и транслированы на векторы v1 и v2, и повернуты на углы ф| и ф2 соответственно) (рис. 9).

РИ, 2006, № 1

37

Рис. 9. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R*(u!) и R2(u2) (xj, yb ф1,ф2 - const)

Воспользовавшись формулами трансляции и поворота координатных осей, получим:

(4)

(5)

Х2 = (Х2 - Xj)cOSФ1 - (y2 -Уі) sinфі,

У2 = (x2 - x1)sinФ1 + (y2 -y1)cosФ1 ,

Л(ф2) = a1 - (a2 |cos Ф12 | +b2 | sin Ф12 |)

Б(ф2) = b1 - (a2 | sin Ф12 | +b2 |cosФ12 |) где Ф12 =ф 2 -ф1-

Таким образом, используя формулы (3), (4), (5), получим

5С1 (U1,U2) = Л(ф1, ф 2) - Х2,

~2(U1,U2) = Б(ф1, ф2) -y2 ,

~~3(u1,u2) = Л(ФЪ Ф 2 ) + Х2 ,

X4 (U1, U2) = Б(ф1, ф2) + y 2 •

Тогда Ф-функция для множеств R*(u1) и R2(U2)

примет вид 0(U1, U2 ) = min Xi(U1,U2).

i=1,...,4

2. Ф-функция для R1 и C2

1) Пусть ф1 = 0 (рис.10).

-Б

Рис. 10. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1 (0,0,0) и C 2 (v 2)

Тогда Ф-функция для R1H1) и C2H2) [5] может быть представлена в следующем виде:

®(V1,V2) = max (хi(vbV2),

l-1,•••,4 ~~ (6)

min(roi(v1,V2), X i(v1,V2)}), где X1(V1,V2) = (x2 -x1)-Л,

X 2(v1,v2) = (y 2 - y1) - Б,

X 3(v1,v2) = -(x2 - x1) - Л,

X4(v1,v2) = —(y 2 -y1) -Б ,

®1(V1,V2) = Д /(x2 -x1 -a1)2 + (y2 -y1 -b1)2 -Г2

® 2 (V1, V2 ) = Д /(x2 _ x1 + a1)2 + (y 2 _y1 _b1)2 _ r2

® 3 (V1, V 2 ) =Д /(x2 _ x1 + a1)2 + (y 2 _ y1 + b1)2 _ r2

® 4 (V1, V 2 ) = д /(x2 _x1 _a1)2 + (y2 _y1 + b1)2 _r2

X1(V1,V2) = (x2 - x1) + (y 2 -y1) - s, X2(V1,V2) = -(x2 - x1) + (y 2 - y1) - s, X3(v1,v2) = -(x2 - x1) - (y 2 - y1) - s,

X4 (V1, V2 ) = (x2 - x1) - (y 2 - y1) - s ,

s = a1 + b1 + Г2 .

2) Рассмотрим случай, когда R1 может быть не только транслирован на вектор v1 , но и повернут на угол ф1 (рис.11).

Рис. 11. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(U1) и C2(u2) (x1, y 1, ф1 - const)

Используя (6), можем построить Ф-функцию для R1(u1) и C2 (u2), она будет иметь вид:

®(u1,u2) = max (хi(u1,u2),

i=1,...,4

min{roi(u1,u2),xi (U1,u2)}),

где

X1(U1,U2) = x2 - Л , x 2 (u1, u 2) = y 2 - Б,

X3(u1,u2) = -x2 -Л, X4(u1,u2) = —y2 -^

® 1 (U1, U 2 ) = д 1 (x2 _a1)2 + (y2 _b1)2 _r2

®2(U1,U2) = 1 /(x2 + a1)2 + (y2 _b1)2 _r2

® 3 (U1, u 2 ) = 1 /(x2 + a1)2 + (y2 + b1)2 _r2

®4(U1,U2) = \ ^(x2 _a1)2 + (y2 + b1)2 _r2

X1(U1,U2) = x2 + y2 -s , X2(U1,U2) = -x2 + y2 -S, X3(u1,u2) = “x2 -y2 -^ X4(u1,u2) = x2 -y2 “s, s = a1 + b1 + Г2 .

38

РИ, 2006, № 1

3. ф-функция для R* и C2

1) Пусть фі = 0 (рис. 12).

Рис. 12. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R*(0,0,0) и C2CV2)

Тогда Ф-функция для R*(vi) и C2CV2) [5] может быть представлена в следующем виде:

0(vbv2) = min Xi(vi,V2) i=1,...,4 ’

где

X1 (v1, v2) = A - (X2 - X1) ,

X 2(v1,v2) = B - (У 2 - У1) ,

X3 (v1, v2 ) = A + (x2 - x1) ,

X 4(v1,v2) = B + (y 2 - У1),

A = a1 - r2, B = b1 - r2.

2) Рассмотрим случай, когда R* может быть не только транслирован на вектор v1, но и повернут на угол ф1 (рис.13).

Рис. 13. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(u1) и C2(u2) (x1, y 1,ф1 - const)

Используя (6), можем построить Ф-функцию для R*(u1) и C2(u2), она будет иметь вид:

Ф(и 1,u2) = min ~i(ubu2) i=1,...,4 ’

где

~1(u1,u2) = A - (X2 - X1)cos Ф1 + (y 2 - y1)sin Ф1 , ~2 (u1, u2 ) = B - (X2 - X1) COS Ф1 - (y 2 - y1) sin Ф1 , Xз(u1,u2) = A + (X2 -X1)cosФ1 -(y2 -y1)sinФ1, ~2 (u1,u2) = B - (X2 - X1) Sin Ф1 - (y 2 - y1)COS Ф1 ,

A = a1 - Г2, B = b1 - Г2.

4. Ф-функция для R1 и c2

1) Пусть ф1 = 0 (рис. 14).

Рис. 14. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(v1,0) и c2(0,0)

Тогда Ф-функция для R1(v1) и C2(v2) [5] может быть представлена в следующем виде:

®(vbv2) = min хi(vbv2) i=1,...,4 ’

где

X1(v1,v2) = r2 -((X1 -X2) + a)2 -((y1 -y2) + b)2 ,

X 2 (v1, v 2) = r2 - ((X1 - X2) - a)2 - ((y1 - y2) + b)2,

X 3 (v1, v 2) = r2 - ((X1 - X2) - a)2 - ((y1 - y 2) - b)2,

X4(v1,v2) = r2 -((X1 -X2) + a)2 -((y1 -y2)-b)2.

2) Построим Ф-функцию для множеств R1(v1, Ф1) и C2(v2) (т.е. R1 может быть как транслирован на вектор v1, так и повернут на угол ф1) (рис.15).

Рис. 15. Проекция поверхности нулевого уровня Ф-функции R1(X1,y1,Ф1) и C2(X2,y2) (Фь X2Jу2 -const )

Используя (6), можем построить Ф-функцию для R1(u1) и C2 (u2), она будет иметь вид:

®(ubu2) = min ~i(u1,u2) i=1,...,4 ’

где

X1(ubu2) = r2 - (a - X2)2 - (b - y'2)2, X2 (u1, u2) = r2 - (a + X2)2 - (b - У2)2,

РИ, 2006, № 1

39

Х3 (uj, u 2) = r2 - (a + X2)2 - (b + У2)2, X4(U!,U2) = r2 - (a - x'2)2 - (b + У2)2 . Выводы

Новизна. Впервые построен полный класс Ф-функ-ций с поворотами для объектов, имеющих пространственную форму круга и прямоугольника.

Научные и практические результаты. Построенные Ф-функции позволяют строить математические модели оптимизационных задач геометрического проектирования, в которых объекты могут не только транслироваться, но и поворачиваться. Эти математические модели могут быть использованы при решении задач раскроя материалов и в задачах покрытий. Применение ф - функции для решения задач этого класса позволяет получать лучшие результаты в более короткий промежуток времени.

Литература: 1. Lody A., Martello S., Vigo D. Recent advances on two-dimensional bin packing problems // Discrete applied mathematics. 2002. № 123. Р. 379-396. 2. Dyckhoff H., Scheithower G., Terno J. Cutting and Packing // In Annotated Bibliographies in Combinational Optimization. Chichester. 1997. Р. 393-412. 3. Karen D., Rajasekhar I. An Incremental

Algorithm for Translational Polygon Covering // Computer Science Technical Report. University of Massachusetts at Lowell. 2001. № 2001-1. 31 р. 4. Milencovich V. Rotational polygon overlap minimization and compaction // Computational Geometry. 1998. № 10. Р. 305-318. 5. Stoyan Y., Terno J., Scheithaue G., Gil N., Romanova Т. Ф-functions for primary 2D-objects. //Preprint MATH-NM-15-2001, Technical University of Dresden, 2001. 6. Stoyan Y., Gil M., Terno J., Scheithauer G. Ф-function for complex 2D objects // 4OR Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. 2004. Т 2. № 1. Р. 69 - 84. 7. Стоян Ю. Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268 с. 8. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979. 336 с. 9. Стоян Ю. Г. Phi-function of non-convex polygons with rotations //Проблемы машиностроения, В. 6, No 1.2003. Р. 74-86.

Поступила в редколегию 17.03.2006

Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И.

Злотник Михаил Викторович, младший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. раб. (0572) 95-9536, дом. тел.: 711-98-76.

УДК 621.3

ОЦЕНКА ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАМЕНИ ПРИ ГОРЕНИИ НЕФТЕПРОДУКТОВ

АБРАМОВ Ю.А., БАСМАНОВ А.Е.______________

Предлагается стохастический подход к описанию факела пожара и расчету теплового излучения от него. Строится процедура экспериментального определения корреляционной функции пульсаций пламени.

1. Постановка проблемы

Планирование действий пожарных подразделений при ликвидации пожара в резервуарном парке существенно осложняется угрозой дальнейшего его распространения. Нагрев соседних резервуаров может привести к их воспламенению или взрыву. Существующие математические модели основываются на детерминированном подходе, в то время как пожар и пути его развития зависят от ряда случайных факторов.

В работе [1] построена математическая модель нагрева резервуара с нефтепродуктом от факела пожара. При этом предполагается, что форма и температура пламени не меняются во времени. Однако простейшие наблюдения указывают на турбулентный характер пламени. Оно постоянно меняется и не имеет какой-то определенной формы. Случайные порывы ветра также вносят дополнительные искажения. В [2] предполагается, что тепловой поток от факела описывается стационарным случайным процессом с заданной корреляционной функцией. При этом удается учесть некоторые случайности, но вопрос о виде и параметрах корреляционной функции остается открытым.

Цель исследования - разработать методику оценивания корреляционной функции, описывающей случайные пульсации пламени.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач: 1) построение выборочной корреляционной функции; 2) оценка вида и параметров корреляционной функции.

2. Математическая модель

Наличие пульсаций пламени приводит к случайному изменению площади взаимного облучения [1] между факелом и нагреваемым телом. Следовательно, случайным образом изменяется и тепловой поток от факела.

В силу турбулентного характера пламени, аналитическое описание его поверхности и вычисление площадей взаимного облучения являются практически невозможными. Вместо этого ограничимся рассмотрением площади поперечного сечения факела.

Пусть эта площадь описывается стационарным случайным процессом E,(t) с математическим ожиданием | и корреляционной функцией к ^ (т). По имеющейся реализации x(t) случайного процесса на отрезке времени [0,т] легко найти выборочное среднее X и построить оценку корреляционной функции [3]:

„ 1 Т-т

К(т) = —— J [x(t) - x][x(t +т) - x]dt. (1)

1т 0

Если наблюдения за процессом проводились в дискретные моменты времени 0 , At, ..., nAt, то соотношение (1) примет вид:

40

РИ, 2006, № 1