CC BY
9
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
5. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М. ; Л., 1948.
N. Eliseeva
Hypersurface of projective space equipped with distributions
A hypersurface Qn_ с Pn with three strongest mutual subbundles is studied. The giving the hypersurface Qn_ in the 1st order frame is adduced and the existence theorem is proved. The geometrical interpretation of a holonomicity of the main structural distributions of hypersurface Q n_ is given.
УДК 514.75
В. П. Козяйкин
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Полные условия неподвижности точки и гиперплоскости в проективном пространстве
В проективном пространстве аналитическим аппаратом с условием проективности найдены полные уравнения стационарности точки и гиперплоскости. Показано, что при переходе к неоднородным координатам точки и неоднородному уравнению гиперплоскости появляются формы, характерные для другого аналитического аппарата проективного пространства.
Ключевые слова: проективное пространство, условия неподвижности точки, условия неподвижности гиперплоскости.
Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {4/} (I,...= 0,...,n), инфинитезимальные перемещения которого определяются деривационными формулами
йА/ = ю/А/. (1)
Формы Пфаффа ю/ удовлетворяют уравнениям структуры пространства Рп
Бю/ = ю/люХ (2)
и условию проективности
ю/=0. (3)
Формулы (1)—(3) образуют первый аналитический аппарат [1 - 3] в проективном пространстве Рп.
1. Точка
Точка М е Рп определяется любой из соответствующих аналитических точек М е Ьп+1, каждая из которых задается однородными координатами Х, то есть
М = хгА1. (4)
Точка М останется фиксированной в пространстве Рп при перемещении репера {А/}, если аналитическая точка М изменит лишь свою нормировку, то есть преобразуется в точку ХМ. Следовательно, должно иметь место равенство
(р + в + в)М = (Х + йХ/)(А1 + йА), (5)
где р, в и в — множители 0-го, 1-го и 2-го порядков, то есть скаляр, линейная и квадратичная формы. Используя выражения (4), раскроем скобки и вынесем базисные точки:
(р + в + в)х1А1 = (X + Хю/ + йХ + йХю/А
В силу линейной независимости вершин репера
(р + в + в)Х = X + (Хю/ + йХ) + йХю/.
Сопоставление членов 0-го порядка определяет множитель р: р = 1. Сравнение членов 1-го порядка малости дает вХ = X ю/ + аХ, откуда получаются условия неподвижности точки М
аХ = Хв - Хю/. (6)
Наконец, сопоставим члены 2-го порядка:
вх1 = ёх'ю} = (Xв - хКюк})ю'Г = хк(ёкв - (Ок)ю}. Преобразуем левую часть:
¿кГхКв = хк(3к'в - юк')ю'1,
откуда
¿кв = (¿к'в - юк')ю}.
Свернем по индексам I, К:
(п + 1)в = вю! - ю}ю}. Используя условие проективности (3), найдем
в = 1/(п + 1)ю}ю(7) Утверждение 1. В равенстве (5) определены множители 0-го и 2-го порядка р, в, а множитель 1-го порядка в не определен.
Форма Пфаффа в входит в уравнения стационарности (6) точки М с однородными координатами xI, отражая неопределенность нормировки соответствующей аналитической точки. Неопределенность формы в можно уменьшить.
Утверждение 2. Линейная форма в является полным дифференциалом, то есть
Dв = 0.
Доказательство. Дифференцируем обе части уравнений стационарности (6) с помощью структурных уравнений (2):
0 = -dx лоз} - х'ю}КлюК + лв + хDв. Подставим выражения дифференциалов координат из уравнений (6):
-(х-в -хкюк')л ю} -х}ю}кл юК + (хгв -х,ю}1) л в + xrDв = 0. После приведения подобных членов останется xrDв = 0, откуда следует утверждение. _
Выделим нулевое значение индекса I = (0, г'), г,...=1,п. Разложение (4) запишем подробнее:
М = х0А0 + х'А,. (8)
Предполагая, что точка М не лежит в координатной гиперплоскости Pn-1 = [A], которая в общем случае не инвариантна, имеем x0 Ф 0. Разделим равенство (8) на x0:
1/x0M = A0 + x'/x%. Так вводятся неоднородные координаты X = x'/x0 точки М. Запишем дифференциал этой дроби:
dX =(x0dx' - x'dx0)/(x0)2. (9)
Уравнения стационарности (6) дают
dx0 = x06 - x0m00 - x^j0, dx1 = x'6 - x0m0' - ^ю]. Подставим их в формулу (9) и после преобразований получим dX + XOj - 3;ю00) - XX ю° + ю0 = 0. (10)
Получили [2] уравнения неподвижности точки М в неоднородных координатах, когда она представлена аналитической точкой A0 + XA'.
Выводы. Дифференциальные уравнения (6) для однородных координат xi точки проективного пространства Pn показывают, что они образуют тензор или псевдотензор [3], то есть их обращение в нуль инвариантно. Напротив, из дифференциальных уравнений (10) неоднородных координат X видно, что они не образуют ни тензор, ни квазитензор. Объект X можно назвать квадратично-квазитензорным объектом. В уравнения (10) входят формы oj—Sjrn00, oj0, ю0', фигурирующие во втором аналитическом аппарате [3].
2. Гиперплоскость
Гиперплоскость Пп1 е Pn относительно подвижного репера {A/} можно определить линейным однородным уравнением
bx = 0, (11)
связывающим однородные координаты x1 ее текущей точки М. При инфинитезимальном смещении репера уравнение (11) примет вид
(b] + db])(x] + dxl) = 0.
Используем уравнения стационарности точки (6), хотя нам не требуется, чтобы каждая точка гиперплоскости была инвариантна:
(Ьг + Ьгв - Ь}ю/ + ёЪг + ёЪгв - ёЪ/юг')хг = 0.
Потребуем, чтобы это уравнение определяло исходную гиперплоскость, то есть
Ьг + (Ьгв - Ь}ю/ + ёЪг) + (ёЪгв - ёЪ}ю}) = = (ю0 + ю1 + ю2)Ъг, где ю0 — функция; и ю2 — линейная и обычная квадратичная формы. Как и в случае точкиМ е Рп имеем
Ъг = ю0Ъг, Ъгв - Ъ}юг' + ёЪг = ю1Ъг,
ёЪгв - ёЪ}юг' =ю2Ъг. (12)
Из условий (1212) имеем
ю0 = 1, ёЪг = Ъ}юг' + Ъгю, (13)
где ю = ю1 - в. Получили (132) — систему дифференциальных уравнений неподвижности гиперплоскости Пп_1, двойственную системе (6).
Подставим уравнения (132) в условие (123) и вынесем Ъ}:
Ъ/ю/в + ¿}юв - юк'югк - юю}) = ю2дг/Ъ/,
откуда
¿I ю2 = ю'в + ¿Iюв - юк'югк - юю}.
Свернем
(п+1)ю2 = юг1в + (п+1)юв - юк!югк - юю/. Используем условие проективности и найдем ю2:
ю2 = юв - 1/(п+1)ю/ юГ = юв + в.
Утверждение 3. Неопределенная форма Пфаффа ю в уравнениях стационарности (132) гиперплоскости Пп-1 с уравнением (11) является полным дифференциалом, то есть Dю= 0.
Доказательство. С помощью уравнений структуры пространства Рп продифференцируем уравнения (132), начиная справа:
йЪ1лсо + Ъ1Вю + ёЪ + Ъ с^лсоК = БёЪ1. Подставим уравнения (13):
(ЪС + Ъс) лсо + Ъ1Вю + + (Ъкю/■ + Ъс) лсоI + ЪлсоК = 0. Приведем подобные:
Ъ:Всо + Ъкю]клсз1 +Ъ1ю1К лсоК = 0. Заменим индексы I и К и воспользуемся антикоммутативностью внешнего умножения, тогда Ъ1От = 0, откуда следует утверждение.
Запишем уравнение (11) гиперплоскости Пп-1 подробнее:
Ъох0 + ЪХ = 0. (14)
Пусть гиперплоскость Пп_1 не проходит через точку А0, то есть Ь0 ф 0, тогда уравнение (14) представим в виде
х0 + Ъ/ЪХ = 0.
Введем неоднородные координаты гиперплоскости Пп-1: В,=Ъ/Ъ0.
Запишем уравнения неподвижности (132) подробнее:
ёЪ0 = Ъ0ю00 + Ъс0 + Ъ0со, ёЪг = Ъ0юг0 + Ъс' + Ъгю. С их помощью найдем дифференциалы неоднородных координат:
йВ{ = 1/(Ъ0)2[Ъ0(Ъ0Ю10 + ЪС + Ъс) - Ъ{(Ъ0Ю0 + Ъ]с0 + Ъс)].
Приведем подобные, раскроем скобки и используем неоднородные координаты:
ёВг - В/С - 6]с00) + ВВС - С = 0. (15) Получили [2] систему дифференциальных уравнений стационарности гиперплоскости Пп-1 в неоднородных координатах, двойственную системе (10).
Утверждение 4. Совокупность функций Вг, определяющая неподвижную гиперплоскость х0+Вгх'=0, образует квадратично-квазитензорный геометрический объект с дифференциальными уравнениями (15).
Список литературы
1. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
2. Столяров А. В. Системы уравнений Пфаффа в инволюции. Классические пространства. Чебоксары, 1998.
3. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
V. Kozyajkin
Complete conditions for stationarity of a point and a hyperplane in projective space
In projective space complete equations for stationarity of a point and a hyperplane are found by means of analytical apparatus with the condition of projectivity. It is shown, that forms characteristic for another analytical apparatus of projective space are appeared upon transition to nonhomogene-ous coordinates of a point and nonhomogeneous equation of a hyperplane.
УДК 514.75
А. В. Кулешов
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Об одном проективном инварианте семейства гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров
В многомерном проективном пространстве рассматривается семейство гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров. Ставится задача построения дифференциальных инвариантов данного семейства. Она решается в общем случае, характеризующемся невырожденностью некоторого тензора. Решение основано на методе подвижного репера и исчислении внешних дифференциальных форм Э. Картана.
Ключевые слова: проективное пространство, гиперплоский элемент, дифференциальный инвариант, подвижной репер, метод внешних форм.
