CC BY
22
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2005. № 1. С. 17-19. © Т.В. Павлова, 2005
УДК 512.552
ПОЛНЫЕ АССОЦИАТИВНЫЕ АРТИНОВЫ КОЛЬЦА
Т.В. Павлова
Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры 64-4-099, Омск, наб. Тухачевского, 141
Получена 25 ноября 2004 г-
We characterize a complete (in sense of L.M. Martynov) associative artinian rings.
В теории абелевых групп важную роль играют понятия полной (делимой) и редуцированной абелевой группы. Л.М. Мартыновым определены аналоги этих понятий для произвольных алгебр
[I]. В дальнейшем понятия полноты и редуцированности изучались для произвольных алгебр в [10], для модулей в [2-4], для моноассоциативных алгебр в [5], для полугрупп в [6] и [7], для колец в [8] и [9]. Следуя [10], определение полного ассоциативного кольца можно сформулировать следующим образом: ассоциативное кольцо называется полным, если оно не имеет гомоморфизмов на ненулевые кольца из атомов решетки многообразий ассоциативных колец. Напомним, что последние исчерпываются следующими сериями многообразий: Zг,, задаваемыми тождествами ху = 0, рх = 0, и с тождествами рх = 0, хр —х = 0 по всем простым р. Кольцо, не имеющее ненулевых полных подколец, называется редуцированным. Интерес к полным ассоциативным кольцам объясняется вследствие чего в произвольном ассоциативном кольце существует наибольшее полное подкольцо, которое является идеалом, а фактор-кольцо по нему редуцировано
[II]; вследствие чего в классе всех ассоциативных колец определен строгий радикал в смысле Куро-ша.
В данной работе характеризуются полные ассоциативные артиновы слева кольца. Условимся в дальнейшем под кольцом понимать ассоциативное кольцо. Напомним некоторые определения. Кольцо называется артиновым слева, если оно удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. Для краткости артиново слева кольцо будем называть артиновым. Пересечение всех примитивных слева идеалов кольца Д называется радикалом Джекобсона этого кольца и обозначается ./(Д). Через СГ(р) обозначается конечное поле порядка р, через Ср°о — квазициклическая группа типа р°° . Аддитивную груп-
пу кольца Д будем обозначать через Д+. Если Д2 = Я, то Д будем называть идемпотентным кольцом. Условимся для многообразия X колец через Х(Д) обозначать Х-вербал кольца, т. е. наименьший идеал в множестве всех идеалов из Я, факторкольца по которым принадлежат X. Очевидно, что Ър(Я) = рЯ + Я2 и Fp(R) = рЯ + Яр , где Яр — идеал, порожденный элементами вида хр — х для всех х из Я. Кольцо Я называется Х-полным, если Х(Д) = Д. Ясно, что Д есть полное кольцо тогда и только тогда, когда Д является Zp-полным и -полным по всем простым р.
Аналогичная терминология сохраняется для абелевых групп. Напомним, что атомы решетки многообразий абелевых групп исчерпываются многообразиями Ар абелевых групп экспоненты р по всем простым р. Понятно, что в аддитивной записи Ар-вербал группы А есть Р(А) = рА. Группа называется полной, если Р(А) = рА = А по всем простым р. Заметим, что это понятие совпадает с обычным понятием полной абелевой группы (см., напр., [12, с. 79]).
Лемма 1. Если Я — полное кольцо, то Я2 -полное кольцо.
Доказательство. Ър-полнота кольца Я2 следует из доказательства леммы 5 [9].
Так как Д есть -полное кольцо для любого простого р, то для каждого х из Д найдут-
ся элементы г, сц, 6j (г что X = рг
г) из Д такие, простое число,
г 'Р -
рг
рг
J2 «А
¿=1
для некоторого z
1 e-mail: [email protected]
афг. Так как р
¿=1
п \ Р
Е а А ~
¿=1 / п \Р / п
Р* + ( I] агЪг ~ ПС агЪг
¿=1 / \г=1 из Д. Следовательно, Яр С рЯ + (Я2)р. Так как Д есть Ър-полное и -полное кольцо, то Я2 =
Я(рЯ + Яр) С Я(рЯ + (рЯ + (Я2)р)) С Я(рЯ + (Я2)р) С РЯ2 + Я(Я2)р = РЯ2 + (РЯ + Яр)(Я2)р С РЯ2 +РЯ(Я2)р + (Я2)р С РЯ2 + (Я2)р = ¥р(Я),
18
Т.В. Павлова
т. е. Д2 будет -полным кольцом.
Лемма 2. Для кольца Я следующие условия эквивалентны:
п
1) д+ = е срг ;
¿=1
2) Я — полное артиново кольцо с нулевым умножением;
3) Я — полное артиново нилъпотентное кольцо.
п
Доказательство. 1) 2) Если Д+ = ф Ср?° ,
г=1
то для любого х из Д найдется натуральное т такое, что тх = 0. В то же время так как Д+ — полная группа, то для всякого у из Д найдется элемент у\ из Д такой, что у = ту\. Тогда ху = х{ту\) = (тх)у1 = 0. Ясно, что Д — полное кольцо.
2) =>• 1) Известно (см. [9, лемма 5]), что нилъпотентное кольцо Д будет полным тогда и только тогда, когда его аддитивная группа Д+ будет полной. Напомним, что ненулевая полная абеле-ва группа разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе поля С} рациональных чисел или квазициклическим группам Сроо, быть может, по различным простым числам р (см., напр., [12, с. 81, теорема 3]). Так как любая подгруппа Д+ является идеалом в кольце Д, то Д+ удовлетворяет условию минимальности
п
для подгрупп, и поэтому Д+ = ф для неко-
¿=1
торых (необязательно различных) простых чисел
/'•/':>••••/'••• •
2) =>• 3) очевидно.
3) =Ф 2). Введем обозначения: Я\ = Д, Дг = .....и. = /■'; Так как Д нильпотент-
но, то Д = Я\ Э Д2 I) • • • I) К]. I) =
0 для некоторого номера к. Из леммы 1 следует, что Я\, И-2,..., Як — полные кольца. Имеем Ик-\/Ни и Як — полные артиновы кольца с нулевым умножением. Следовательно, ввиду 2) 1), их аддитивные группы изоморфны конечной прямой сумме квазициклических групп. Далее, Д^ — полная подгруппа в . Известно, что
полная подгруппа абелевой группы выделяется в группе прямым слагаемым (см., напр., [12, с. 80, теорема 2]). Следовательно, Д^ выделяется прямым слагаемым в , а второе слагаемое изоморфно (Як-1/Як)+ ■ Из сказанного выше легко следует, что также будет конечной прямой суммой квазициклических групп. Отсюда, ввиду 1) =>• 2), Як~1 — кольцо с нулевым умножением. Рассуждая аналогично для Дй-г/Д^-! и Д^-1; получим, что Як-2 — кольцо с нулевым умножением. Продолжая рассуждения, на (к — 1)-м шаге получим, что Д — полное кольцо с нулевым умножением.
Лемма 2 доказана.
Теорема 1. Артиново кольцо Я является
полным тогда и только тогда, когда Я есть расширение полного артинового идемпотентно-го кольца с помощью кольца с нулевым умножением, аддитивная группа которого есть конечная прямая сумма квазициклических групп.
Доказательство. Пусть Д — полное артиново кольцо. Рассмотрим убывающую цепь идеалов в Д: Д I) Д2 I) Д3 I) ... . Так как Д артиново, то Д" = Д"+1 для некоторого натурального п. Тогда Д = Я/Я" — полное артиново нильпотент-ное кольцо, и по лемме 2 Д — кольцо с нулевым умножением. Отсюда ху € Д" для всех х, у из Д и, следовательно, Д2 = Д" , т. е. Д2 будет идемпо-тентным кольцом. Ясно, что кольцо Д2 артиново как идеал артинового кольца и по лемме 1 полное.
Известно, что расширение артинового кольца с помощью артинового кольца также артиново. Из утверждения 2 работы [10] следует, что расширение полного кольца с помощью полного есть полное кольцо.
Проясним строение полных артиновых идем-потентных колец.
Лемма 3. Если идеал I кольца Я лежит в ядре любого гомоморфизма на кольца из многообразия X колец, то Я будет X -полным тогда и только тогда, когда X-полное кольцо Я/1. Доказательство. Хорошо известно, что гомоморфный образ X-полного кольца есть X-полное кольцо.
Обратно, если (р — ненулевой гомоморфизм кольца Д на кольцо из многообразия X, то кольцо (Д//)/(кег 1р/1) = Д/кег (р принадлежит многообразию X, что невозможно по условию.
Теорема 2. Для артинового идемпотентно-го кольца Я следующие условия эквивалентны:
1) Я — полное кольцо;
2) Я/3(Я) — полное кольцо;
п
3) Д/7(Д) ^ П Мп.[Кг], где К1 - тело и МПг[А'»]
¿=1
СР(р) для всех г.
Доказательство. 1) =>• 2) очевидно.
2) =>• 1) Пусть Д/7(Д) — полное кольцо. Поскольку Д2 = Д, то Д есть Zp-полное кольцо. Известно, что в артиновом кольце Д идеал ./(Д) нильпотентен. Так как гомоморфный образ нилькольца является нилькольцом, а всякое кольцо из многообразия не содержит нильпотентных элементов, то ./(Д) лежит в ядре всякого гомоморфизма на кольца из многообразия . Отсюда из леммы 3 следует -полнота кольца Д.
2) -ФФ- 3) Известно (см., напр., [13]), что для артинового кольца Д факторкольцо Я/3(Я) есть прямая сумма конечного числа простых колец, каждое из которых изоморфно полному матричному кольцу над некоторым телом. Понятно, что кольцо Я/3(Я) полно тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых — полное кольцо.
Полные ассоциативные артиновы кольца
19
Так как всякое простое кольцо или полно, или принадлежит многообразию , то для полноты Д/./(Д) необходимо и достаточно, чтобы П/ 3(П) не содержало слагаемых, изоморфных СР(р).
Частным случаем теоремы 2 является результат о полных конечных кольцах в [8].
Следствие. Для конечного ненулевого идем-потентного кольца Д следующие условия эквивалентны:
1) Д — полное кольцо;
2) П/ 3(П) ф^ 0 и К/— полное кольцо;
п
3) Д/,/(Д) = П МПг [СГ(р^)}, si + щ > 2 для
¿=1
всех г .
Легко понять, что для ненулевого полного конечного кольца Д выполняется Д2 = Д (иначе существует гомоморфизм из Д на ненулевое кольцо многообразия Zг,). Из этого следует, что это следствие полностью характеризует полные конечные ассоциативные кольца.
В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору Л.М. Мартынову за постановку задачи и помощь в оформлении статьи.
тика: Наука и образование: Межвуз. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. Вып. 1. С. 43-45.
[10] Корнев А.И., Павлова Т.В. Характеризация одного радикала групповых колец над конечными простыми полями // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45. № 3. С. 613-623.
[11] Мартынов Л.М. Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям // Вестн. Ом. ун-та. 2004. № 2. С. 19-21.
[12] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972. 240 с.
[13] Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. 191 с.
[1] Martynov L.M. On notions of completeness, solvability, primarity, reducibility and purity for arbitrary algebras // International conference on Modern Algebra and Its Applications. Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, May 14-18, 1996. Schudule and Abstracts. Nashville, 1996. P. 79-80.
[2] Мартынов Л.М. О понятиях полноты, редуцированности, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 179-190.
[3] Мартынов Л.М. О примарных и редуцированных многообразиях модулей // Вестн. Ом. ун-та. 1999. № 4. С. 29-31.
[4] Корнев А.И. О полных модулях // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. Вып. 15. С. 30-37.
[5] Овчинников В. В. О кольцах, над которыми каждый модуль является редуцированным // Абеле-вы группы и модули. 2000. Вып. 15. С. 46-54.
[6] Мартынов Л.М. О примарных и редуцированных многообразиях моноассоциативных алгебр // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 1. С. 103-112.
[7] Финк Т.Ю. Вложимость и минимальная полнота конечных полугрупп // Математика и информатика: Наука и образование: Межвуз. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. Вып. 1. С. 20-25.
[8] Финк Т.Ю. Конечные полные полугруппы // Естественные науки и экология: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 4. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. С. 8-14.
[9] Корнев А.И., Павлова Т.В. Конечные полные ассоциативные кольца II Математика и информа-
