CC BY
58
УДК 519.710.3
ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг
Статья посвящена исследованию полной наблюдаемости нестационарной дифференциальноалгебраической системы с матричными коэффициентами произвольной размерности. Применяется метод каскадного расщепления исходных пространств на подпространства. Выводится формула для нахождения вектора состояний системы. Устанавливается связь между входной и выходной функциями
Ключевые слова: нестационарная система наблюдения, полная наблюдаемость, каскадное расщепление
Введение.
Рассматривается дифференциально-
алгебраическая нестационарная система наблюдения:
dx(t )
—^ = A(t ) x (t ) + f (t ) (1)
dt
B (t ) x (t ) = F (t ) , (2)
где B(t) : Rn ^ Rm , A(t) : Rn ^ Rn , x(t) e Rn, f (t ) e Rn , F (t ) e Rm .
Вектор-функция x(t ) называется вектором состояний системы, f (t ) и F (t ) входной и выходной функциями, соответственно.
Известно, что в результате реализованного начального состояния x(0) происходит переходный процесс, описываемый системой (1), (2). Состояние системы x(t ) недоступно непосредственному измерению и в распоряжении наблюдателя имеется лишь функция F (t ).
Система (1), (2) называется полностью
наблюдаемой, если по реализуемым входной и выходной функциям состояние системы в любой момент времени определяется однозначно.
Постановка задачи полной наблюдаемости динамической системы связана с именем Р. Калмана и относится к 1971 году [1]. Тогда и был сформулирован, ставший уже классическими, критерий полной наблюдаемости: стационарная
система является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда
n—1
Rank (BA * B...( A*) B) = к .
В дальнейшем было сформулировано ещё несколько критериев полной наблюдаемости данной системы. Для линейных стационарных систем наблюдения как правило рассматривался случай регулярного пучка (B — XI).
Зубова Светлана Петровна - ВГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. 8-951-851-36-30, (4732) 66-60-76 Раецкая Елена Владимировна - ВГЛТА, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. 8-910-340-68-61, (4732) 25-16-92 Фам Туан Кыонг - ВГУ, аспирант, тел. 8-951-563-00-82
Вопросы полной наблюдаемости линейных стационарных систем в дальнейшем изучались в многографиях Красовского Н.Н., Попова В.М., Ли Э.Б. и Маркуса Л.М., Б’Лнжело, Андреева Ю.Н., Гурмана В.И., Кванернаака Х. и Сивана Р., Бояринцева Ю.Е., Красновой С.А. и Уткина В.А., Щегловой А.Ф. и др., а также в работах Асмыковича И.К. и Марченко В.М., Копейкиной Т.Б. и Цехан О.Б., Campbell S.L., Cobb J.D., Koumboulis F.N. и Meitzes B.G., Yip E.L. и Sincovec R.F., Pataskevopoulos P.N., и др.
В работе [2] рассматривалась линейная стационарная система наблюдения с дополнительной наблюдаемой входной функцией. Для исследования полной наблюдаемости такой системы применялся метод каскадного расщепления
ип
исходного пространства R на пространства. Подобные методы применялись ранее, например, М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником для возмущённой матрицы (1960 г.); Зубовой С.П. и Чернышовым К.И., при решении задачи Коши для дескрипторной системы в банаховом пространстве (1976 г). Позднее сходная схема была применена Красновой С.А. и Уткиными В.А. [5] при
исследовании полной наблюдаемости и нахождения функции состояния стационарной системы. Так один шаг каскадного расщепления производился или с помощью нескольких преобразований матриц-коэффициентов, или нескольких замен для исходных функций. В работах же [2], [3], [4] производится более простая и эффективная редукция системы, а именно: функция состояния, найденная (неоднозначно) из алгебраического уравнения, подставляется в дифференциальное уравнение, которое расщепляется на два уравнения в подпространствах. С вновь полученной системой проделывается та же процедура, что и с исходной системой и так далее, пока не станет очевидной наблюдаемость, то есть единственность x(0), или ненаблюдаемость системы. Несомненным
достоинством применения данного метода к рассматриваемому классу систем с матричными коэффициентами произвольной размерности явилось то, что в случае полной наблюдаемости
исходной системы предъявляется формула для построения функции состояния x(t) в произвольной момент времени t е [0, T] и устанавливается связь между f (t) и F (t) необходимая для реализации процесса.
Настоящая работа посвящается исследованию полной наблюдаемости линейной системы в случае нестационарных матриц А и В с применением методов, разработанных ранее в работах [2], [3], [4], для случая стационарных систем.
Основные предпосылки.
В данной работе будем использовать следующие свойства матриц. Переменной матрице B(t) при каждом фиксированном t е [0, T]
соответствуют разложения:
Кп = СотВ(Г) © КегВ((),
(3)
п
К = 1тВ(г) © CokerB(t),
где 1т В^) - множество значений В^) в К КегВ^) - множество решений уравнения
п
В^)х^) = 0 в К , CoimB(t) - прямое дополнение к подпространству КегВ^), СокегВ^) - прямое
дополнение к подпространству 1т В ^). Через Р(В^)) и Q(В^)) обозначим проекторы на подпространства КегВ^) и СокегВ^),
соответственно, а (I - Р(В^))) и (I - Q(В^))) -проекторы на подпространства СотВ^) и 1т В ^), соответственно, I - единичная матрица в соответствующем пространстве. Разложение (3) таково, что сужение В ^) отображения В ^) на подпространство СотВ^) осуществляет взаимнооднозначное соответствие между подпространствами СотВ^) и 1т В^), соответственно.
Введем В (/) - полуобратную матрицу:
В~ (I) = В_ а)(I - Q(В(Г))).
Лемма 1. Уравнение В ^ )у^) = ) (4)
с V(/) е Кп и ио^) е Кт при каждом фиксированном t е [0, Т ] эквивалентно системе
(5)
I Q(t)В«)а>«) = 0 [у(() = В (/)а^) + а(?) где а^) = Р(В^))v(t) - произвольный элемент из подпространства КегВ^).
Пусть гапкВ^^) < п, ^) < т , для
каждого t е [0, Т]. Переобозначная компоненты
V ^) и ) и переставляя уравнения в системе (4),
матрицу В^) можно представить в виде:
Г %(*) б12« ^
12'
V Б21(ґ) Б22(ґ\
(6)
где Бп(Г): Кп ^.К5 обратимая матрица. Для
уравнения (4) с матрицей вида (6) матрицы:
Г 0 0 ^
б( Б(/)) = [- %(ґ) / (!) ] (7)
' Бп(Ґ) Б12(ґ ) ^
V Б21(! ) Б22(ґ ) у
при каждом фиксированном ґ є [0, Т] являются проекторами на подпространства Со кегБ(ґ) и К ег Б(ґ), соответственно. Эти проекторы отвечают разложению вида (3). Матрица
и Р( Б(ґ)) =
(8)
Б (Ґ) =
Г Б11(ґ)
V
0
л
имеет вид:
(9)
У
Первый шаг итерации исходной системы.
Уравнение (2) исходной системы (1), (2) при каждом t е [0, Т] эквивалентно системе
І0 (Б (ґ)) і (ґ) = 0, х (ґ) = Б (ґ) і (ґ) + Х1 (ґ),
(10) (11)
с произвольной вектор-функцией
х^) = Р(В(^)х^) е КегВ^). Случай, когда матрица В^) - инъективна при всех t е [0, Т], то есть когда Р(В^)) = 0, Vt е [0, Т] является достаточно тривиальным, так как ) определяется единственным образом по формуле (11) с х^) = 0 .
Заметим, что исходная система корректна лишь при условии дифференцируемости функции
В (^F(0 е СотВ(р). Подставив найденную из
уравнения (11) функцию состояния вида
хЦ) = В _ ^) F ^), (12)
в уравнение (1), получим уравнение связи:
йВ~ (г)F (t)
/ (t) =----) в - (г) F (t), (13)
й
которому должны удовлетворять выходная функция /^) и входная функция. Система (1), (2) в
этом случае является полностью наблюдаемой. Подчеркнем, что кроме утвердительного ответа на вопрос о полной наблюдаемости системы (1), (2) в случае инъективной матрицы В ^), предъявляется и формула (12) для построения функции состояния в явном виде.
Перейдем к более общему случаю Р (В^)) Ф 0 . Подставив выражение для функции состояния (11) в уравнение (1), получим выражение
йВ _ ^) F ^) йх ^)
-----------+ —1— =
А
А
= А^)В а)Fа) + А^)х1 (t) + /а). (14)
Согласно (3), можно “ расщепить” слагаемые уравнения (14) на элементы из подпространств CoimB(t) и КегВ^):
x(t) = (I - P(B(t)))x(t) + P(B(t))x(t),
A(t)B- (t)F(t) = (I - P(B(t)))A(t)B- (t)F(t)
+P( B(t )) A(t ) B- (t ) F (t ),
A(t)Xj (t) = (I - P(B(t))) A(t)xl (t) + P(B(t)) A(t) x1 (t), f (t ) = (I - P (B (t ))) f (t ) + P (B (t )) f (t ),
Расщепим уравнение (14) на два уравнения: первое - относительно элементов из
подпространства KerB(t) :
dx1 (t )
dt
= P( B(t )) A(t ) x1(t )
+P( B(t ))( A(t ) B (t ) F (t ) + f (t )),
второе - относительно элементов из пространства
CoimB(t) :
(I — P(B (t))) A(t)x1(t) =
dB (t ) F (t ) dt
—(I — P( B(t )))( A(t ) B (t ) F (t ) + f (t )).
С учетом обозначений:
x(t) = y,(t) + x1(t), (15)
x1(t ) = P( B(t )), y,(t ) = B— (t) F (t),
4(t ) = P( B(t )) A(t ) P( B(t )),
B1 (t ) = (I — P( B(t ))) A(t ) P( B(t )), f (t ) = P ( B (t ))( A(t ) B - (t ) F (t ) + f (t )), dB— (t)F (t )
F1 (t ) =•
dt
(I — P (B (t )))( A(t ) B (t ) F (t ) + f (t )), эти уравнения примут вид:
dx1 (t)
dt
■ = A (t) x(t) + f (t) :
(16)
(17)
ВД0 Xl(t) = ^(1:). (18)
Таким образом, на первом шаге расщепления при каждом t е [0, Т] от исходной системы (1), (2) переходим к эквивалентной ей цепочке условий и уравнений: (10), (15), (17), (18).
Введем обозначения: п^) = гапкВ^),
п1 ^) = гапкВ1 (0 . В случае п ^) = 0, то есть В ^) = 0 система (1), (2) является ненаблюдаемой, поскольку функция состояния х^), найденная по формуле Коши как решение дифференциального уравнения (1), определяется неединственным образом. В более общем случае п^) > 0 и
п ^) > п1 ^). В силу нестационарности исходной
системы (1), (2) исследователь может столкнуться с ситуацией когда:
п^) > п1 ^) при t е J с [0, Т ], (19)
п^) = п1 ^) при t е [0, Т] / J , (20)
Чтобы избежать многозначности функции nl(t) и добиться единообразия знака “>” или “ = ” в формулах (19), (20), потребуем, чтобы матрица P (B (t)) была дифференцируема при всех t е [0, T]. Докажем соответствующую теорему.
Теорема 1. Если матрица P (B (t))
дифференцируема, то n1(t) = dim KerB(t) = const при всех t е [0, T].
Доказательство. Если dim KerB(t) Ф const, то существует точка t* е [0, T ] , в которой функция (p(t) = dim KerB(t) меняет своё значение.
Рассмотрим точку t' е [0, T] такую, что p(t') Фр((*), тогда матрицы P (B(t')) и
P(B(t*)) имеют различное количество единиц и нулей на главной диагонали. То есть хотя бы одна из компонент p (t) матрицы P (B (t)), определяемой по формуле (8), имеет вид:
10, t = t'
Ри (t) =f (21)
или
P*(t) =
1, t = t :
1, t = t '
(22)
Д t = t *
Компоненты p (t), задаваемые формулами (21), (22) не дифференцируемы в точке t *, следовательно, матрица P (B (t)) не
дифференцируема в точке t* е [0, T] .
При выполнении условий теоремы 1 получаем, что n(t) = const, n1 (t) = const для любого t е [0, T] и имеет место лишь один из случаев:
n > n1 Vt е [0, T], (23)
n = n1 Vt е [0, T]. (24)
В случае n = n1 (Rn = K er B(t) и B(t) = 0) исходная система является ненаблюдаемой. В случае n > n1 = 0 (матрица B(t) инъективна и
KerB(t) = {0}) система (1), (2) является полностью наблюдаемой.
Рассмотрим теперь случай n > n1 > 0 .
Итерирование главного шага.
Уравнение (18) эквивалентно системе:
(Q( Bl(t) xl(t) = 0, (25)
[x1(t) = B- (t)F(t) + x2(t), (26)
с произвольной вектор-функцией
x2 (t) = P(B1 (t))x1 (t) из подпространства KerB1 (t). Наложим условие дифференцируемости матрицы P (B1(t)) при всех t е [0, T]. В этом случае
n2 (t) = dim KerBi (t) = const.
В случае n > nt = n2 (Bt (t) = 0, Vt е [0, T])
система (25), (26) является ненаблюдаемой, так как
х1 ^) - решение дифференциального уравнения (17)
находится по формуле Коши и определяется неединственным образом.
В случае п > п1 = п2 = 0 ( матрица В1 (/) инъективна, т.е КетВг (Г) = {0}, Vt е [0, Т]) система
(25), (26) является наблюдаемой, при выполнении условия дифференцируемости функции
В1_ ^)F (t) е CoimBl ^). Подставив найденную из
уравнения (26) функцию:
х^) = В_ ^^), (27)
при х2 (t) = Р (В1 (t)) = 0, в уравнение (17), получим условие, которому должны удовлетворять функции /^) и ) редуцированной системы (17) ,(18):
dB,_ (t) F (t) f (t) = 1 w iW - a (t) b; (t) f (t). dt
(28)
С учетом формул (27), (15) и обозначений (16) функция состояния исходной системы (1), (2)
принимает вид:
Х(0 = В-(^ (t) + В_, (29)
и определяется в каждый момент времени t е [0, Т] единственным образом, при выполнении условий (28), (25), (10).
Подчеркнем вновь, что применение метода каскадного расщепления в данном случае (п > п > 0) позволяет не только выявить полную
наблюдаемость исходной системы (1), (2), но и предъявить формулу (29) для построения функции состояния в любой момент времени t е [0, Т].
Заметим ещё раз, что приведенные рассуждения справедливы при выполнении условия дифференцируемости матриц-проекторов Р (В ^)) и
Р (В1 ^)) при любом t е [0, Т ] .
В случае п > п1 > п2 > 0 вопрос о полной
наблюдаемости исходной системы остается открытым. Для его решения переходим к следующему этапу метода каскадного расщепления, т.е. переходу от системы (17), (18) к аналогичной ей системе, но относительно элементов из более узких подпространств. Продолжая рассуждать аналогичным образом и далее, на г -м шаге расщепления получаем цепочку условий и уравнений, эквивалентную исходной системе (1), (2):
Q (В а)) F а) = 0 , (10)
Q (В__^)) F _1^) = 0, (30)
Х-1^) = У, ^) + х, ^), (31)
йх ^)
dt
■ = A (t)x(t) + f (t),
B (t)x (t) = F (t),
(32)
(33)
где
У, (t) = B~_l F._l (t) є CoimB._, (t),
xt (t) = P(Bt_, (t))xt_, (t) є KerB,_ (t) , (34)
A (t) = P(B;-I (t)) A;-i (t)P(B;-I (t)) ДЄйСТВУЄТ И3
KerB._l (t) в KerB._,(t) ,
Bi (t) = (7 _ P(Bi_i (t))) Ai_i (t)P(Bi_!(t)) действует из KerBti(t) в CoimB._,(t)
F (t) = -(/ - p( b,_i (t))) a,_i (t) в,:, (t) f, (t) + dB,;I(t) F,_i(t)
dt
■ + fi_i (t) є CoimB _, (t),
(35)
/ (t) = P (B _! (t))(^(t)B;_! (t)F_! (t)
+/_t(t)) е KerB,_i(t), i = 1,2,...
Заметим, что система (32), (33) корректна лишь при условии дифференцируемости функции
B_1(t)F._l(t) при всех t е [0,T]. Как и раньше накладываем условие дифференцируемости матриц P(B. (t)) при всех t е [0, T].
В этом случае и = dim KerB_1 (t) = const и в
r->n
силу конечномерности исходного пространства R на p -м шаге (p < n) получаем два случая:
1) n > n > n2 >... > ni > np = np+1,
2) n > n, > и > ... > n > n = и ,= 0,
/ 1 2 i p p+1 5
и приходим к цепочке ограничений и уравнений, эквивалентных исходной системе (1), (2):
Q (B (t))F (t) = 0 , (10)
x(t) = Уі (t) + x,(t),
Q(в -і (t))F_i(t) = 0, і = Ї7,
x,_i(t) = y, (t) + xt (t), і = I, p,
dx (t)
= A (t)xp (t) + fp (t),
dt
(I5)
(30)
(31)
(36)
(37)
Бр (ґ) Хр (ґ) = і; (ґ),
Таким образом, справедлива
Теорема 2. При выполнении условий
1) Р(Б(ґ)) є С' [0, Т], Р(Б^ (ґ)) є С' [0, Т] , і = 1, р, (38)
2) Б- (ґ)і(ґ) є С'[0, Т], БГі (ґ) є С'[0, Т],
і = 1, р, (39)
система (1), (2) эквивалентна цепочке уравнений (10), (15), (30), (31), (36), (37).
В случае п > п > и2 > ... > и > пр = пр+1, т.е. Б(ґ) = 0 , система (36), (37) является ненаблюдаемой, так как найденная при решении дифференциального уравнения (37) по формуле Коши функция хр (ґ) определяется неединственным образом. Следовательно, неединственным
образом определяется и функция хр _1 (t) по формуле
(31) и, окончательно, неединственным образом по формуле (10), определяется функция состояния х^) исходной системы. В данном случае система (1),(2) является ненаблюдаемой.
В случае п > п1 > п2 >... > п > пр = пр+1 = 0,
(матрица Вр ^) инъективна, т.е. КегВр (t) = {0}) уравнение (37) эквивалентно системе:
Q (Вр (t))Ер а) = 0, (40)
хр 0) = В_ а) Ер а), (41)
с дифференцируемой при всех t е [0, Т] функцией В_ ^)Ер ^) е СогтВ^). То есть, при выполнении условия разрешимости (40) функция хр ^)
определяется единственным образом по формуле (41), а значит система (36), (37) является полностью наблюдаемой. После подстановки выражения для функции хр ^) вида (41) в уравнение (36) получаем условия, которым должны удовлетворять функции
йв~ а)е и)
/р (0 и Ер (0 : /р а) = -----р-А(г)В_ а)Ер а) .(42)
й
После подставки выражения для функции хр ^) в разложения (31), (15) получаем выражение для функции состояния исходной системы (1), (2):
х^) = В _ а) Е а) + £ В_ а) Е а), (43)
г=1
которая определяется единственным образом. То есть в случае инъективной матрицы Вр ^)
исходная система является полностью наблюдаемой и предъявляется формула (43) для нахождения функции состояния х^) в явном виде.
Заметим, что динамическая система,
описываемая уравнениями (1), (2), является работоспособной в том и только том случае, когда выходная функция Е^) обладает свойствами (10),
(30), а между входной /^) и выходной Е^) функциями имеет место связь вида (13) и
йВ~ {I )Е (I) —
/^) =-------:--Ат^)Е(t), , = 1,р. (44)
Л
Таким образом, справедлива
Теорема 3. При выполнении условий теоремы
2, система (1), (2) является полностью
наблюдаемой тогда и только тогда, когда матрица Вр ^) инъективна при всех t е [0, Т] ,а
входная / ^) и выходная Е ^) функции связаны условиями (43), (44). При этом функция состояния исходной системы находиться единственным образом по формуле (43).
Литература
1. Калман Р.Е., Фалб П., Арбиб М.; Очерки по математической теории систем.-М.: Мир, 1971. - 372 с.
2. Раецкая Е.В. Условная управляемость и наблюдаемость линейных систем. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2004. - 149 с.
3. Зубова С.П. О полиномиальных решениях линейной системы управления/ С.П. Зубова, Ле Хай Чунг, Е.В. Раецкая//, Автоматика и телемеханика, № 11, 2008. -С.41-47.
4. Зубова С.П., Раецкая Е.В. Построение управления для полной наблюдаемости одной динамической системы/ С.П. Зубова, Е.В. Раецкая// Математические методы и приложения. Труды ХУ! математических чтений МГСУ. Москва: Изд-во РГСУ, 2007. - С.49 -53.
5. Краснова С. А., Уткин В. А.. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем.-М.: Наука, 2006. -271 с.
Воронежский государственный университет Воронежская государственная лесотехническая академия
THE COMPLETE OBSERVABILITY OF TIME- DEPENDENT DIFFERENTIAL-ALGEBRAIC SYSTEM
S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, Pham Tuan Cuong
The article is devoted to the complete observability of time-dependent differential-algebraic system with matrix coefficients of arbitrary dimension. The method of cascade splitting the original space to the subspace are used. The formula for finding the state vector are derived. The relation between input and output functions are obtained
Keywords: time-dependent observ system, complete observability, cascading splitting
