Полиномиальные решения дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами i Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.956

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ I

В.В. Карачик

Исследуется существование полиномиальных решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами общего вида.

Ключевые слова: полиномиальные решения, гармонические полиномы, линейные уравнения в частных производных.

1. Введение

Предлагаемая вашему вниманию статья посвящена построению и исследованию полиномиальных решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами общего вида. Изучению полиномиальных решений конкретных уравнений в частных производных посвящено много работ. В основном это исследования поли-гармонических [1, 2], поливолновых [3], тепловых [4] и других полиномов [5]. В [6] исследуются базисные системы полиномиальных решений множества различных уравнений, однако при построении решений существенно используется структура дифференциального оператора уравнения. Следует отметить, что работа [7] посвящена такой же проблеме, но только для системы специального вида (несколько уравнений и только одна неизвестная функция). В работе [8] строятся полиномиальные решения полигармонического уравнения с помощью формулы Альманси, в [9] исследуется зависимость полиномиальных решений от коэффициента при старшей производной, а в [10] сделаны первые попытки общего подхода нахождения полиномиальных решений. Существование полиномиальных решений краевых задач для уравнений эллиптического типа исследовал С.М. Никольский [11]. В [15] построены полиномиальные решения неоднородного полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца. В настоящей работе не имеет значения ни структура оператора уравнения, ни тип дифференциального уравнения. В разделе 2 исследуется размерность пространства полиномиальных решений систем дифференциальных уравнений и в теореме 4 предложен метод, сводящий отыскание решений системы уравнений к решению только одного уравнения, но более высокого порядка. В качестве примера применения полученных результатов доказана разрешимость в гармонических полиномах общего уравнения вида B(D)u(x) - и0(х), где и0(х) - гармонический полином.

2. Пространство полиномиальных решений

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор порядка q с постоянными коэффициентами вида

L(D>XLAD^ LAD) = Z AaD°> 0)

j=k \a\=j

где Lk(D)^ 0, öteNq (здесь N0=Nu{0}), Da = D“] ■ ■ ■ D®n и матрицы A„ принадлежат

X\ xn

L(CS,C‘) - пространству линейных отображений С5 в С1 (s,t е N). Определим множества:

п = №) = I V ■ Ра 6С*}, Щ = {Ps(x) = tр] (*): дае РЛ

\a\=k /=0

и обозначим Р5 = lim . Очевидно, что все эти множества могут быть наделены естественной

А:-» оо

структурой линейного пространства над С .

Карачик В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений

_________________________________в частных производных с постоянными коэффициентами I

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида

Ь{В)и{х) = /(*), (2)

где будем считать, что / е Р1, и е Р5 и х е М”. Множество функций — классических решений системы (2) (меС<7(Ж”)) при / = 0 обозначим кег£(£>). Основным средством исследования этого параграфа является следующая полуторалинейная форма на линейном пространстве Р ':

(П*),№)) = (ПЯ),еЧ*)Ц,

где - скалярное произведение в С5. Аналогичная форма была рассмотрена в [12], но на пространстве Рк.

Покажем, что форма {.,.) является скалярным произведением в Р'. Нетрудно проверить справедливость формулы

па Р' а<Р

Вахр’ =\ И, (3)

[ 0, иначе

где обозначено ха - ■ • ■*“" (¿",! = /”/«!), а порядок на М" определяется так: а < р <=> V/ е 1П,

а, < Д , где 1П = {1,2,..., и}. Далее, в соответствии с (3) будем иметь

а

Полученное равенство позволяет нам утверждать, что форма удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в Р*. Форма ) полуторалинейная

[яр5 (х)+/¿ад.еч*))=1>!№+м^Оа) =

РЧх),О*(х)) = 1,сй(Ра,0а) = Т,<*0а,Ра) = {Р*(х),О1(х)

а а

и положительная

РЧхХРЧх)) = 2сс\(Ра,Ра) = Xаі\\Ра\\2 >о,

а а

если Р8 (х) ^ 0 .

Введем оператор Тт(Ь): М‘т_к , который определяется по оператору 1(0) и при т > к

имеет вид

тт{т$)

Ттщ= £ 1,<хЩ._к),

і-к

. Т Г< , V I т< -----------

(О

где Тщ : \][ ь-> \УГ_[ - проектор

г(/)1е?(*)=£е?(*),

¿=0 (=0

причем д‘ (х) Є Р/ , 1,0) = ха и как обычно А* = (а .,.).

а

Лемма 1. Для любого оператора вида (1) имеет место равенство

1ф)и^=ии©кегГи(1).

Доказательство. Нетрудно убедиться, что для Р'Чх) є 1!*, справедливы равенства

Я т тт(т,<7) т-і

¿(Я)П*) = ЕЁА(Я)^/(*)= Е (4)

/=& у=; ;=£ у=0

а следовательно, ЦБ) \]$т аи‘т_к . Теперь покажем, что для ^(¡с)еи* и О1 (л) е И1т..к имеет место равенство

[ ЦВ)Р* (х), е' (х)\ - ( />* (х), Тт (Ь)д1 (х)\. (5)

Lk (D)Pk+l (х), Ql (х)\ - (Q[(x),Lk(D)P£+l(x)

Ik(x)Qj(x),P^(x)) = {P^(x),Lk(x)Qll(x)).

т

Действительно, из равенства (4), заменяя / -» т - г, а затем, меняя порядок суммирования и обозначая при этом а = тах(от - д, 0), Ь = т-к, получаем

тт(ш,д) т-1 6 )

ця)П*)= X ^ь№КМ) = 111,1тЧ{0)р;1+м{х) =

1=к _/'=0 г=а 0

ъ ь ь ^

=1 Е Цп-тк^-А*)=15$ (х> ^ т

;=0 г=тахО>) >=0

Используя очевидное утверждение

тт(р,9)

Р*(л)еи*,е*(х)еи* ^{Р*{х\&{х)) = £ (РПх),&(х)}, (7)

1=0

находим

(цО)Р*{х),& (х)) = X (5/(х),е; (х)) = X X (хот_у.(1))Р^;._у (х),е;(х)

г=0 1=0 j=гnmt(i,a)

Теперь покажем, что имеет место равенство

{ьк(0)р^1(х),д;(х))={рих),1к(х)д11(х)). (8)

В самом деле, так как Ьк (0)Рк+] (х) с Р/, то

Используя полученное равенство, находим

(ця)Пх),бЧ*)) = 1 I (р*т«-№1т-МШх))

¡=0 у=тах(/,а)

и значит, возвращаясь по цепочке (6) назад, получаем

min(m,g) m-j

{L(D)Ps(x),Ql(x)}= £ Е(#,(*)»Г/*)#(*)) =

j=k (=0

min(m,<j) m min(m,ij) m+fc

= E It{l?(x)>Lj(x)Qj4(x))= E E (P°(x\Lj(x)Q‘4(x)}.

j=k i=j j-k i=j

Теперь следует заметить, что в соответствии с определением оператора 7’,„(£)

Tm(L)Qt{x)= £ Lj(x)T{j_k)Q,(x) = j=k

mm(m,q) m-j+k min(m,q) m+k

= 11 г;мйи= X ZijWei-jM-

j~k i=0 /=Л |=У

Поэтому, если воспользуемся (7), то будем иметь

min (m,q)m+k

{Ps(x),Tm(L)Qf(x)}= £ ^(p’ixlLjWQtjix^faDW^xlQ^x)),

j=k i=j

что совпадает с (5).

Если теперь предположить, что 3/у (х) е и P/(x)_LZ(D)U^, а затем обозначить

Я5 (х) = Гт (Х)/5* (х), то согласно (5) получим

Hs(x\Hs(x)) = (L(D)Hs(x),P‘(x)) = 0,

откуда сразу следует, что Тт(Ъ)Р‘(х) = 0, а, значит, верно включение

U^QK^cker^il).

Если в (5) выбрать Q‘(х) eker Tm(L), то Ps (x\{b(D)Ps (х),^ {х)^ = 0 и мы получаем обратное включение kerTm{L) с Ulm_k 0 L(D)\]sm . Лемма доказана. □

Следствие 1. Из леммы 1, при f(x) е \J‘m_k , следует простое необходимое условие существования решения уравнения (2), принадлежащего . Оно имеет вид

L(x)f(x) = YJRi(,x)=>3i<m, Rj(x)* 0. i

Доказательство. В самом деле, пусть условие следствия не выполнено, т.е. пусть L(x)f(x)-'^i.Rj(x) и Vг < т, Rj(x) = 0. Поскольку имеет место равенство

min (m,q) m-i mi n(m,q)

Tm(L)f(x) = £ L,(x)Yfj(x)= Z X Ux)fj{x), (9)

i=k j=0 i=k r+j<m

то значение Tm(L)f(x) отличается от L(x)f(x) тем, что в произведении L(x)f(x) обрезаны все однородные составляющие, степень которых больше чем т . Но по предположению в начале доказательства В произведении L(x)f(x) нет ненулевых однородных составляющих Rj(x) при

i < т . Поэтому Tm(L)f(x) - 0, а значит, согласно лемме 1 / <£ L(D){Jsm , т.е. решений уравнения (2) из Usm нет. П

Будем говорить, что квадратная матрица М(х), элементы которой т^(х) принадлежат

Р = Р1, невырожденная, если полином detМ(х), как элемент Р отличен от нуля, т.е. detМ(х) ^ 0 в Р.

Теорема 1. Если матрица L(x) - квадратная, а матрица Lk(x) - невырожденная, то для оператора L{D) вида (1) верно равенство ¿(Z))U^„ = ^‘т^.к (s = t).

Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы k&xTm(L) - {0}, а значит, в силу леммы 1 ©L(D)Usm = {0} и теорема будет верна. Пусть Р‘(х)& ker Tm(L). Напомним, что М‘т_к -область определения оператора Tm(L). Сначала докажем справедливость утверждения

т-к

Р‘(х)=^Р‘(х)=>Р‘(х) = 0. i=j

Действительно, из равенства (9) для оператора Tm(L) следует, что однородный полином наименьшей степени, входящий в Tm(L)Pt(x), будет иметь вид Lk(x)Pj(x). Следовательно, из верности утверждений

det Lk (х) = 0 о det L к(х) = 0, detLk(x) * 0 => [1к{х)Р\х) = 0 =>Р‘(х) = о], (10)

которые становятся очевидными, если их рассмотреть над полем частных

О - {P{x)!Q(x): Р(х), Q(x) е Р} кольца Р, сразу найдем Pj (х) = 0 .

Применяя доказанное утверждение т-к раз к произвольному полиному из kerTm(L), приходим к выводу, что он должен быть нулем. Теорема доказана. С Лемма 2. Имеет место следующее разложение пространства Usm:

U^=(kerX(D)nU;)®rm(Z)UU.

Доказательство. Рассмотрим подпространство иsm = Tm(L)U‘m_k пространства U*, и найдем элементы из Usm, которые ортогональны ему. Имеем

(Rs(x),mx)) = 0 =>(R4x),Tm(L)(U‘m_k 0ker^CZ))) = 0, и следовательно, в силу леммы 1 и (5) запишем (jL(D)Rs (x),L(D)Usm) = О . Полученное равенство

справедливо лишь при Д*(х)екег£(1))пи^. Поскольку приведенная выше цепочка утверждений обратима, т.е.

Л4(*) е кегЦЯ) пи* => (Г (х),иМ) = °»

то лемма доказана. Г.;

Следует отметить, что в силу (5) оператор Tm(L) является сопряженным к оператору L(D), действующему из в Ufm_k, а именно L* (D) = Тт{1).

Определение 1. Систему полиномов Р](х),...,Рк(х) с коэффициентами из некоторого линейного пространства над С, удовлетворяющую условию degPj(x) = m, назовем линейно

независимой по старшему члену, если для любых аи...,ак из С выполнено равенство

deg(a,ii (х) + • ■ • + акРк (х)) = т.

Из данного определения следует, что если полиномы Pi(x),...,Pk(x) однородные степени т, то линейная независимость по старшему члену совпадает с линейной независимостью.

Теорема 2. Максимальное число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2) - Nm(n,k) находится по формуле

(т + п-\\ (т-к + п-ХЛ , ,

Nm(n,k)~s -/ + dim Vm - dim Vm_{, (11)

I "'I J V n~l )

в которой обозначено

Vm i'WeU'^W'We U Р/ .

{ i>m j

Доказательство. Установим, что

, \ m dm(kerL(D)nUsm] = ZNl(n,k). (12)

/=0

Для этого докажем следующее утверждение. Если {Р*(х)\ае А} - базис в пространстве kerl(D)nU^,,a {Pff (х): [3е В,degР'р(х) = т} - максимальная система линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2) (к этой системе нельзя добавить полинома степени т из kerZ(Z>)nU^, чтобы она осталась линейно независимой), то система полиномов {Р^(х),Р^(х):аеА,/Зе В} является базисом в пространстве kerZ(D)nU^. Действительно, если некоторый полином Qs(x)ekerL(D)n\Jsm нельзя представить как линейную комбинацию полиномов этой системы, то система {Qs (х),Р^(х): J3e В} линейно независима по старшему члену, поскольку в противном случае 3с е С,3Ср е С,

cQs{x)+ Y, CpPp{x)ekQxL(D)n,\]sm^,

0еВ

а это означает, что Бса е С,

cQs(x)+YJcpPp(x)=YJCaP^x),

/ЗеВ аеЛ

что противоречит допущению о непредставимости полинома Qs (х). Однако линейно независимость по старшему члену системы {Qs (х),Рп(х) \ (ЗеВ) тоже невозможна в силу максимальности

Карачик В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений

___________________________________е частных производных с постоянными коэффициентами I

системы {Рр (У): ¡3 е В). Итак, система полиномов {Р* (х), Рр(х)\сс е А,/3 е В) - базис в пространстве kerL(D)nU^. Поэтому

dim(ker L(D) nUj,) = jVffl (n, k) + dim [ker L(D) n U^_,

Отсюда по индукции устанавливается справедливость (12).

Из общих свойств линейного оператора Tm(L) находим

А\т[гтЩ\]‘т_к^ = Ат\\]1т_к - dim kerJm(Z),

а поэтому из леммы 2 с учетом (12) следует, что

т

^ Nj (n,k) = dim - dim\5lm_k + dim ker Tm (L).

;=0

Выписывая аналогичное равенство при т = т-1, а затем, вычитая получившееся равенство из имеющегося, будем иметь

Nm(n,к)-dim-dimU^, -dimU^ + +

+ dim ker Tm(L)~ dim ker Г;„_] (L).

Нетрудно заметить, что

i (m+n-Г

dimUm -dimUm_, =dimPm = sdirnPm -s

у n-\

а значит найдем

N(n,k) = s

^ m + n-1^

V n~l У

( m-k + n-\\

+ dim kerTm(Z)-dim кегГш_,(І). (13)

п-1

Как отмечалось в следствии 1, если в выражении Ь(х)Р'(х) отбросить все члены, порядок которых выше т, то получим Тт(1)Р‘(х). Поэтому, если обозначить \УЛ = |^|(>т > то для

Р1 (х) е и‘т^к будем иметь

1(х)Р\х)-ТтЩР\х)^.

Если Р1 (х)екегТт(1), то и значит Р‘(х)еУ‘т. Верно и обратное. Если

Р‘(х)еУ'т, то Ь(х)Р1(х) е ХУ5 и значит Тт(Ь)Р‘(х)е ХУ5, а это означает, что Тт(1,)Р‘(х) = 0, т.е. Р‘(х) е кегТт(Ь). Значит, кегТт{Ь) = У^ и из равенства (13) следует утверждение теоремы. Доказательство завершено. П

Пример 1. Пусть 8к(х,у) и Як(х,у) - некоторые полиномы, не имеющие общих делителей в кольце С[х,у] полиномов над С. Рассмотрим два дифференциальных уравнения:

8к{Ох,Оу)и(х,у) = О, Кк(Ох,Ву)и(х,у) - 0.

Существуют ли полиномиальные решения этих уравнений, общие для обоих из них и как много таких решений [7]?

Определение 2. Полиномиальное решение дифференциального уравнения с однородным степени к оператором Ьк (Ох, Оу) будем называть простым решением, если степени каждого

монома, входящего в это решение, либо по х, либо по у меньше к .

Запишем рассматриваемые уравнения в виде системы

'Sk(DxM'

L(DX,D )и(х,у) -

и(х,у) = 0. (14)

Найдем Ыт - число линейно независимых однородных полиномов степени т , которые являются решениями обоих рассматриваемых уравнений. Для этого воспользуемся теоремой 2 для системы (14) полагая 5 = 1, (~п = 2, д-к и значит в этом случае

1(х,у) = Ь*(х,у) = (8к(х, у), Як (х, ^)).

Найдем число Хт = сііт V2 = |Р2{х) є \і2т_к : Ь{х)Р2(х) є \^і>т Р,11 ■ Используя равенства

(8к(х,у) + Як(х,у))

уУ

: Як у)рт-к (х, у) + Рк (х, у)Ят-к (х,у) = 0

Лп-к(х,У)у

и учитывая, что полиномы Бк(х,у) и ()к(х,у) не имеют общих делителей, можем утверждать, что полином Рт_к(х,у) должен делиться на полином 1{к(х,у) и выполнено равенство Qm~k (Х> у) = ~$к (х, У)Рт--к (х, У)1Рк (х, у). Поэтому т-к> к и поскольку полином Рт-к(х,У)1Р-к (х,У) имеет степень т - 2к и может быть выбран произвольно, то таких однород-

ных полиномов от двух переменных будет

т-2к+\

1

Ли Ли-1 ~

а значит

/

ґт-2к + Іл 1

V

Следовательно, из равенства (11) получаем

'т + 0 'т-к + \' из -2к +1%

-2 +

, 1 ) V 1 , ^ 1 )

откуда Ыт = 0 для т > 2к, =2к-т-1 для 2 к>т>к и = /и +1 для к>т> 0. Таким об-

разом, все полиномиальные решения, общие для рассматриваемых уравнений - простые.

Предложение 1. Если матрица Ь(х) символа оператора системы (2) квадратная, а матрица

Ьк (х) символа оператора младших производных этой системы невырожденная, то решение системы (2) существует при любой правой части /(х)е\]1т_к и максимальное число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородной системы (2) имеет вид

(т + п-\\ (т-к + п-1^

Мт{п,к) = э -5 .

\ п-\ ) у п-1 ;

Существование решения системы (2) сразу следует из теоремы 1. Значение Мт(п,к) получается из теоремы 2, если учесть, что в данном случае Ьк(х) Ф 0 => Ьк(х) ф 0 и значит полином низшей степени, входящий в Ь(х)Р‘(х), будет иметь вид Ьк(х)Р{(х), где Р[(х) - однородный полином низшей степени, входящий в Р‘ (х) и 1<т-к. Поэтому включение Цх)Р‘(х) е Р/

(5 = /) возможно лишь при Р‘(х) = 0, а значит У^ = {0}.

Замечание 1. Если квадратная матрица Ьк(х) невырожденная, то используя предложение 1

и известное комбинаторное тождество

/ п ++ / п+т _ |п+т+1

+

Л 1п , п 1 17+1 ,

находим

£л^(и-и)=5£

1 Ь-> 'і-к + п-2У 'т + п-Г ґт-к + п-\'

— = 5 -5

2 і К п~2 ) К п~1 ) ч п~х ,

= Мт(п,к).

1=0 1=0 \

Например, максимальное число линейно независимых однородных степени т гармонических полиномов от п переменных равно максимальному числу линейно независимых гармонических полиномов до степени т включительно от п -1 переменной.

Пример 2. Подсчитаем число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений системы уравнений вида:

~ху

■Уу=0, их

Ііуу-Ух

О,

возникающей при исследовании некоторых задач термоупругости. Перепишем систему в виде

ґґо2

Б2

XX *^ху

I \ XX

д

уу

+

-й.

= о.

Для этой системы имеем t-s = 2, п = 2, k = \, q- 2 и кроме этого

det L{ (х, у) - det ¿2 (х> У)" 0, но det Ь(х,у)ф 0. По аналогии с примером 1 обозначим Лт = dim V2. Нетрудно видеть, что

(

х - ху х~ - у~

,2\

-У

/

и^2

/ і>т

p. =Q.= 0 для 0 < і < т - 2; 3 Rm_2 (х, у), Рт_х = xRm_2 ,Qm_x= ~yRm.2 •

'm-ll

В силу произвольности Rm_2(x,y) будем иметь Хт

1

. Поэтому

' т +1^ + 3 1 ґт- 2n

, 1 ; ,и. 1 1 ) , 1 ,

Nm=2

и значит Nm- 3 для т > 2 и Nm = 2 для т = 0,1.

Теорема 3. Для любого оператора ¿(D) вида (1) верно равенство

L(D)PS = P'©kerZ(x).

Доказательство. Положим Ps(x) є Р', Q‘(x) є Р'. Если обозначить к + / = т, то из равенства (8) нетрудно получить

(Lk(D)P^x),QHx)) =

Здесь уже можно считать, что числа к,1 и т независимы, поскольку при тФк + l мы имеем очевидное тождество 0 = 0. Поскольку Ps(x)- ! Ql (х) > ТО, суммируя это

равенство по I и т и полагая к = /, получаем

(і/ (Я)Р' (х), е' (х)) = (р* (х), ГДх)^ (х)).

Если полученное равенство просуммировать по I от к до q, то найдем

(L(D)Ps(x),Qt(x)) = (Ps(x),L(x)Ql(x)).

Отсюда сразу следует, что для оператора L(D): Р5 н-> Р; справедливо равенство Ґ (D) = ¿(х): Р' н» Ps. Проводя рассуждения, аналогичные сделанным в конце доказательства леммы 1, приходим к равенству L(D)PS = Р' 0 kerZ(x), завершающему доказательство теоремы.

Имеет место утверждение аналогичное предложению 1.

Предложение 2. Пусть матрица Цх) символа оператора системы (2) квадратная. Тогда если det Цх) Ф 0, то полиномиальные решения и(х) є Ps системы (2) существуют для любой правой части /(х) е Р* (s -t).

Это утверждение следует из того очевидного факта, что если det ¿(х) Ф 0, то однородная система Цх)Р'(х) = 0 имеет только нулевое решение Р\х) = 0, т.е. kerZ(x) = {0}. Тогда из теоремы 3 следует, что L(D)PS = Р(.

Пример 3. Рассмотрим известную систему уравнений Ляме

Д ui+/J—JL = f(x), i = l,n,

OXj

где @!( - объемное расширение, имеющее вид ©м = divM . Запишем эту систему в виде [13]

Еми = Аи + jtiDu = / (х), (15)

где D = diag(DX],...,DXn)Adiag(DX],...,DXii), а матрица А состоит из одних единиц, т.е. А = (1). ,_—п. Обозначим через Е единичную матрицу. Убедимся, что для любого /и є С, но

/1Ф-1 верно равенство ЕЦРП = Р”. Для этого воспользуемся предложением 2 и покажем, что

сіег £ (х) ф 0 . Подсчитаем сЫ Еи (х). Продифференцируем деі Ем (х) по параметру /и. Это возможно в силу полиномиальной зависимости сієї: (х) от ц. Воспользуемся правилом диффе-

ренцирования определителей. При дифференцировании первого столбца определителя скп Ец(х) будем иметь

1

X,

А (хl,x2,...,x„) = xl det

jlix2

juxl+ |х|2

М*п

цхгхп

мх2хп

цх1+\х\2

Если продифференцировать к -й столбец определителя ёй Е^ (х), а затем переставить в нем 1 -ю и к -ю строки, а затем 1 -й и к -й столбцы, то получим Ац(хк ,х2,...,хк_х,х,,хк+1,хп). Таким образом, можно записать

(ЫЕм(х)) ^ = Ам(хх,х2,...,хп) + А^х2,хъ...,хп) + --- + Ам(хп,х2,...,хх). (16)

Исследуем зависимость полинома Ам (х) от ¡и. Если продифференцировать этот полином по /и, то нетрудно заметить, что его производная будет равна нулю: при дифференцировании первого столбца мы получим нулевой столбец, а при дифференцировании /-го столбца (2<1<п) мы получим первый столбец, умноженный на х,. Значит полином Ар(х) не зависит от /л. Поэтому

1 цх-, ... цхп

А„ (х) = X) det

Мх2

м4+М2

цх2хп

цх2хп

2 I \2

МХП + I Х I

= 4з(х) = х, |х

«-1

Подставив найденное значение А (х) в ( 16), находим

(det-È^x)) =| х

2п-2

Это означает, что

*1 + +Хп

det Е (х) = ¡и I х |2" +5(х),

йп

(17)

где В(х) - некоторый полином. Для того, чтобы его найти достаточно положить /и-0 в (17). Будем иметь |x|2"=det£0(x) = В(х). Таким образом, det£^(x) = (1 +//) | х |2п , а значит det EfJ (х) Ф 0 при цф~ 1. Хорошая операторная матрица А -Е возмущается хотя и не малой, но очень плохой матрицей juD, для которой rank D(x) -1 и поэтому она мало влияет на действие оператора А • Е : число однородных степени т полиномиальных решений однородной системы (15) при всех /иф- 1 одинаково и совпадает с числом однородных гармонических полиномов степени т умноженным на число переменных п.

Где искать решения однородной системы (2) устанавливает следующее утверждение.

Предложение 2. Имеет место равенство Ps = (kerZ,(£>) п Ps) Ф L{x)Ÿl.

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2 с той лишь разницей, что вместо леммы 1 надо использовать теорему 3.

Определение 3. Будем говорить, что вектора Х^(х) из Р* ( / е 1т ) полиномиально независимы. если

т

X Р,(х) 4(х) = 0 => V/ 61т,Р,(х) = О,

1=0

где />(х)еР. Рангом матрицы Цх) назовем максимальное число ее полиномиально независимых столбцов.

Предположим, что матрица Цх) обладает следующим свойством: если ранг матрицы Цх) равен г , то г ее первых строк и столбцов полиномиально независимы. В противном случае мы можем переставить уравнения системы (2) и перенумеровать ее неизвестные так, чтобы это свойство было выполнено.

Лемма 3. Существует замена переменных и = А(0)Э с невырожденной матрицей Л О), приводящая систему (2) к виду

'а1а8(/г(1>(£>),...,Л(г)(£>)) о"

Тф) о,

Доказательство. Рассмотрим матрицу Цх) как оператор, действующий из О5 в О1, где

х(0)(Д)ад=

¿00 = /(*)■

О* = СаЗа(х): Са е е о| и О - поле частных кольца Р^Р1 из теоремы 1. Тогда

понятие полиномиальной независимости из определения 3 становится эквивалентным обычной линейной независимости в (У.

Пусть ранг матрицы Цх) равен г . Выберем в пространстве Цх)СУ следующий базис:

е,О) = (о,• ■О,Л(,)(х),0,...,О,Тг+и(х),...,Ти(х)) , где г е /,., Я('\х) и Т-{(х) ( / = г +1,...,/) - полиномы по х, выбранные таким образом, чтобы существовало полиномиальное решение и(х) = А -(х) системы уравнений Цх)и(х) = е] (х). Такие е,-(х) и решения А*(х) существуют, поскольку можно решить первые г уравнений системы Цх)и(х) = еДх) с Ки)(х) = 1 в (У, затем выписать полный вектор Цх)А-(х) и положить значение Т]^х) при у = г + в векторе е1 (х) равным ] -й координате вектора Цх)А* (х). Тогда А'-(х) будет решением системы Цх)и(х) = е,(х) с построенным е1 (х). Если теперь домножить эти е, (х) и Л - (х) на общий знаменатель всех дробей, входящих в них, то получим ej (х) е Р;, А*(х)е?°.

Определим Л? (х) для значений / = г + 1,...,з, требуя, чтобы они были линейно независимыми полиномиальными решениями в О1 системы Цх)и(х) = О. Это тоже можно сделать, поскольку ранг матрицы Цх) равен г . Теперь составим матрицу Л(х) = (л^(х),...,л*(х)|. Она неособенная, поскольку все вектора Л? (х) по построению линейно независимы в (У. Матрица Л(х) обладает свойством

Цх)А (х) = (Цх)А{ (х),Цх)А°г (х), Цх)А*+1 (х),. ..,Цх)А* (х)) =

' Я{1)(х) ... О 0 ... О4

■ (ех(х),...,ег(х),0,■■;$)-

О

^+1,1 (*) Т0(х)

1бг\х) 0 ... О

Тг+1 (х) О

О

Т1г(х) 0 ... О

то Ьф)и = ЦО)А(й)3 = Ь{0){В)3 = /(*). Ут-

где Т(х) - (Гу ,(х)).=^ . Поэтому, если и = А(0)9

j=r+Іj

верждение леммы доказано.

Обозначим через 51, ■ символ Кронеккера.

Теорема 4. Пусть матрица Цх) - квадратная, невырожденная, тогда всякое полиномиальное решение системы (2) может быть записано в виде_______________________________________________________

и(х) = '£3(1\В)Р«\х), (18)

/=1

где <9^(х) - полиномы из РЛ, удовлетворяющие уравнению

Цх)3(,\х) = Я(л(х)е/, в котором е, =(д]1,...,дХ1)т, Я10(О)Рю(х) = ¿(х) и Ки)(х), Р{г)(х)е Р.

Доказательство. Нетрудно непосредственно проверить, что полином и(х), определяемый по формуле (18), действительно удовлетворяет системе (2)

Ь{В)и{х) = Е Ь{В)3{1\В)Р('\х) = X е^'\В)Р{,\х) = X е,^*) = /(*)•

г=1 /=1 /=1

Покажем, что любое полиномиальное решение системы (2) может быть записано в виде (18). Пусть и(х) е РЛ - решение системы (2). По условию теоремы ранг матрицы Цх) равен 5 . Воспользовавшись леммой 3, с помощью замены переменных и = А(В)м> систему (2) в случае з = 1 запишем в виде

с!1аё(л(1)(Д),...,^)(1)))М;(х) = /(х).

Так как с1е1 А(х) Ф 0, то на основании предложения 2 по полиному и(х) всегда можно найти полином и'(х) е Р5 такой, что и(х) = А(0)ц>(х). Вводя обозначения

Р{,\х) = ч>^х), 3(,\х) = (Л, ,(х),...,АЛ,(х))Г, где и'Дд-) и Аг ; (х) - компоненты вектора Мх) и матрицы Л(х) соответственно, равенство и(х) = А(В)м^(х) можно преобразовать к необходимому виду

и(х) = А(В)м>(х) = 3{1)(В)м>}(х) + 3(°\В)м>5(х) = £ 3°\В)Ри)(х).

1=1

Теорема доказана. П

Рассмотрим другой пример использования полученных результатов.

Пример 4. Пусть дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

Вф)= X К»“,

к<\а\<д

где Ъа е М такой, что полином В(х) не кратен |х|2 = х2 + • • • + х2. Обозначим через V множество всех гармонических полиномов от п переменных, т.е. V = кег А п Р .

Задача 1. Найти полиномы и0(х)еУ такие, что существует решение уравнения

В(В)и(х) = и0( х),

принадлежащее множеству V.

Для решения задачи 1 воспользуемся предложением 2. Верно следующее утверждение. Теорема 5. Задача 1 имеет решение при любом полиноме и0(х) е V.

Доказательство. В соответствии с леммой 2 и формулой Альманси (см. например [16]), полином В(х) можно единственным образом представить в виде .в(л:) = ^(л:) -ь |-с|2 ^(л), где Н(х)

- некоторый гармонический полином, причем в силу условия задачи Н(х) ф 0 и Н(х) = Н(х). Разделим множество V на два множества У<0> и - четных и нечетных гармонических полиномов по некоторой переменной х-. Обозначим через //(0)(х) и Н(])(х) четную и нечетную по

компоненты полинома Н(х) = Я(0)(х) + Я(1)(х). Используя результаты [10] нетрудно доказать, что для каждого Н(х) е V имеют место равенства

00

Н(Л(х) = £ (-1 Ух2/+*'нР(х), I = 0,1,

5=0

где х = и \н\,]{х): 5 е М0| - некоторая система полиномов, обладающая

свойством нормируемости [17],

Д0)Я«(х) = Я^(х), (19)

-.2

где обозначено Д^=Д-£)у. Ясно, что Н{р(х) = ,\х{1)Н((р(х) и Н^°\х) = Н(х)\х =0,

Я¿l,(х) = Н'Х/(х)|т =о • Поэтому полином Н^°\х) определяется однозначно с помощью Я(х)| а Я(П(х) с помощью Н'Х){х\х = 0 . Значит

СО

Г^=^(-1Ух2/+1%^\ і = 0,1,

5=0

где р(/) при / = 0,1 два экземпляра пространства полиномов от переменной х. Вычислим множества Н^0\П)У(-^. Имеют место равенства

00 00

(0_

х,-=0 ’

Я(0)(І))К(') = £ (-1 //Я'Я^ОО)^ (-1)"^+г’!Д^}р(''

1=0 1 5=0

ІК-1)

1=0 5=/

1=0

25-2/+/,! 5-/ У

(2/)!

О) ■

/=0 5=0

V со Г °° л

^ЯГ<®>Р<0 = Е<-1)'*ГЧ, 1%%Я10>&)РЮ

у11)- 5=0 ^/=о у

с

Г(,).

Проводя аналогичные вычисления для Я(1)(£>)К(0) будем иметь

00 ОО ОО со

я<»ф)И°> =Х(-1У^/+1'я/С1)(5)Х(-1Г^ ’д^р(0)-1 Е

х(-1)

5-/ Х7

/=о

25-2/-!,!

5=0

ОО ОО

(2/ + 1)!

1=0 5=/+1

д/+1

5+1 „25+1,! Л * (Л „

1=0 5=0

(у)

(2/ + 1)!

іл; /% •

5=0

с

уО)

или в общем виде

оо ( 00 Д^+1 *

я(1)(£))К(/) = 2(-1)^,_,ху,+Ы!Д(Л Е';^~'іч,я/(1)^р(0

5=0 у

^(2/ + 1)Г

Р(Ы).

Сходимость рядов, входящих в полученные соотношения, очевидна, поскольку эти ряды представляют собой конечные суммы. Используя эти равенства, нетрудно найти

Н(В)У = (Я(0)(Д) + Я(1)(Д))(К(0) + У{1)) = (Я(0)(£>)Г(0) + Я(1)(Г>)К(1)) +

+(Я(1)(£)И0) + Я(0)(/?Ж(!)) = X (-1),^,-!Д{іу) X X

5=0 (^=0 /=о (2/ + 0!

1 со Д/- ■

£(-1 )ыХ7^т-^<°(5)р(0

5=0 ^/=0

Л(7)

&(2/ + 1-/)Г

Ясно, что Я(£>)К с К поскольку ДЯ(£>)К = Я(Д)Д1/Г = {0}. Поэтому оператор Я(£)) дейст-

вует из Р в себя Я(/)): К -> К . Из (19) следует, что У изоморфно р . Поэтому оператор Я(О) порождает следующий матричный оператор:

/'-гпЛ

A(D):

KP

(0)

О)

;(l) vP

, A(D) =

С 00 д/ 00 V

урін^ф) У—^ .

Йо(2/)! ' Й(2/ + 1)!

,/+і

Ai л

¿5(27 + 1)! ' ¿(2/)! '

Найдем образ оператора А(П). Для этого, в соответствии с предложением 2, необходимо выписать полином сієї А(х). Имеем

det А(х) =

ціГ<>(ї)

V/=o

\2 /

+

ЕІНН^Ч*)

U=0

(20)

Предположим, что ёе1 А(х) - 0 в Р. Поэтому коэффициенты полинома det А(х) равны нулю, а значит, равны нулю и коэффициенты полинома ёеЫ(х) при х е С"”1. Будем считать, что х е С”. Вспоминая определение полиномов, Я(,)(х) записываем

1=0

я(0(х) = £ (-1 )1х]ы'н\1\х), і = 0,1

и поэтому из (20) легко найдем

det А(х) ■

где і

■2

-1 и значит

(Я(0)(х)) -(я(1)(х))

det А(х) = Гя(0) (х) + №} (х)1 Г Я(0) (х) - Я(1) (х)

\хj =(|х|

Таким образом, вспоминая, что Я(х) = Я(0^(х) + Я(1)(х), будем иметь det А(х) = Я(Х[||х||,..х„ )Я(Х]||х||,..х„).

Нетрудно видеть, что аргументы у полиномов Я(х) справа удовлетворяют условию

х є С" . Рассмотрим полином Т(х) = Я(х)Я(х),

где

Н{х) = H(xx,...,-xj,...,xn). В силу сделанного предположения det А(х) = 0 будем иметь

||х||2 = 0 => Xj = +z||x|| => Г(х) = 0 . Теперь, применяя теорему Гильберта о нулях полиномов [14], получаем

(||xf = 0 => Т(х) = о) => Зр е N, 3Q(x), Тр(х) = Q(x)\\xf.

Из факториальности кольца многочленов над С и неприводимости над R многочлена

II ц2

х (и > 2) будем иметь

(эй(х), Я(х) = ||х[|2aw)U(3ß2(x), Я(х) = ||х||2е2(х)),

что противоречит согласно предложению 3 при L(D) = А включению Я(х), Я(х) е V . Это означает, что наше предположение dctA(x) - 0 неверно. Воспользовавшись предложением 2, найдем ДД)р2 = р2. Отсюда, вспоминая определение оператора A(D), сразу получаем H(D)V -V и значит B(D)V = V. Теорема доказана. Г_!

Литература

1. Zweiling, K. Grundlagen einer Theorie der biharmonishen Polynome / K. Zweiling. - Verlag Technik, Berlin, 1952. - 128 p.

2. Бицадзе, A.B. К теории гармонических функций / A.B. Бицадзе // Труды Тбилисского университета. - 1962. - Вып. 84. - С. 35-37.

3. Miles, Е.Р. Basic sets of polynomials for the iterated Laplace and wave equations / E.P. Miles,

E. Williams // Duke Math. Journ. - 1959. - V. 26, № 1. - P. 35-40.

4. Watzlawek, W. Warmpolynome-Modell fur besondere Losungssysteme bei linearen partiellen Differentialgleichungen / W. Watzlawek // Berichte Math.-Statist. Sekt. Forschungszentrum Graz. -1983.-Vol. 211.-P. 1-34.

5. Hile, G.N. Polynomial solutions to Cauchy problems for complex Bessel operators / G.N. Hile,

A. Stanoyevitch // Complex Variables. - 2005. - V. 50, 7-11. - P. 547-574.

6. Bondarenko, B.A. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных / В.A. Bondarenko. - ФАН, Ташкент, 1987. - 127 с.

7. Pedersen, P. A basis for polynomial solutions to the systems of linear constant coefficient PDE’s / P. Pedersen // Advances Math. - 1996. - Article № 0005. - V. 117. - p. 157—163.

8. Карачик, B.B. О решении неоднородного полигармонического уравнения и неоднородного уравнения Гельмгольца / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Дифференциальные уравнения. -2010.-Т. 46, №3,-С. 384-395.

9. Karachik, V.V. Continuity of polynomial solutions with respect to the coefficient of the higher derivative / V.V. Karachik // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. - 1997. - V. 28, № 9. -P.1229-1234.

10. Карачик, B.B. Построение полиномиальных решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, №3,-С. 534-535.

11. Никольский, С.М. Граничная задача для полиномов / С.М. Никольский // Труды математического института РАН. - 1999. - Т. 227. - С. 223-236.

12. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. - М.: Мир, 1974. - 331 с.

13. Карачик, В.В. О полиномиальных решениях уравнений Ляме / В.В. Карачик // Математические труды. - 2002. - Т. 5, № 2. - С. 155-169.

14. Ленг, С. Алгебра / С. Ленг. - М.: Мир, 1968. - 564 с.

15. Карачик, В.В. О решении неоднородного полигармонического уравнения и неоднородного уравнения Гельмгольца / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Дифференциальные уравнения. -2010. - Т.46, № 3. - С. 384-395.

16. Карачик, В.В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими /

B.В. Карачик // Математические труды. - 2007. - Т. 10, № 2. - С. 142-162.

17. Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2003. - V. 287, № 2.

- P. 577-592.

Поступила в редакцию 2 декабря 2010 г.

POLYNOMIAL SOLUTIONS ТО PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT COEFFICIENTS I

Existence of polynomial solutions to systems of linear partial differential equations with constant coefficients of general form are investigated.

Keywords: polynomial solutions, harmonic polynomials, linear partial differential equations.

Karachik Valeriy Valentinovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical Analysis Department, South Ural State University.

Карачик Валерий Валентинович - профессор, доктор физико-математических наук, кафедра математического анализа, механико-математический факультет, Южно-Уральский государственный университет.

e-mail: [email protected]