CC BY
29
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)
Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера
УДК 511.36
ПОЛИАДИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ F-РЯДОВ
Аннотация
В работе получены полиадические оценки для линейных форм от некоторых ^-рядов.
В этой работе полученные в [1] оценки применяются к некоторому подклассу Е-рядов [3], [4].
Начнем с определений, необходимых для формулировки теоремы.
На кольце й целых чисел можно ввести топологию т, рассматривая множество идеалов (га)в качестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. Кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологического кольца (см. [2], [3]). Обозначим это кольцо Ът.
На кольце Ът можно ввести метрику (см. [2], [4]), положив
Бесконечная последовательность x\,x2,--- целых чисел называется фундаментальной, если для любого к Е N существует N Е N такое, что для всех m,n> N справедливо сравнение xm = xn(modk!).
Для фундаментальных последовательностей {xk} и {ук} рассмотрим последовательности {xk + ук} {xk — Ук} {xk ■ Ук}• Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов из кольца ZT образуют кольцо.
Будем называть последовательность c\,c2,... нулевой последовательностью, если lim cn = 0, где предел понимается в смысле топологии кольца ZT.
В. Г. Чирский (г. Москва)
(1)
где
0, если x = y(modm),
1, если x ф y(modm).
(2)
Назовем фундаментальные последовательности {xk} и {yk} эквивалентными, если их разность {xk — yk} является нулевой последовательностью.
Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из ZT.
На множестве полиадических чисел можно ввести операции сложения и умножения, что позволяет говорить о кольце G целых полиадических чисел.
Вложение кольца Z в G осуществляется сопоставлением элементу x Е Z класса у фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности x, x,x,. . ..
Так как ZT — метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству GT. Кольцо GT можно метризовать. Пусть у Е GT состоит из последовательностей {xk}, а у Е GT — последовательностей {yk}•
Определим
р(у, у) = lim p(xk,yk), (3)
где расстояние p(xk,yk) между элементами xk ,yk Е ZT определено равенством (!)•
Элементы а Е Gt имеют каноническое представление в виде ряда
£■
П=1
n! (4)
где ап € {0,1,... ,п}.
Кольцо &т является прямым произведением колец по всем, простым, числам рг, при этом ряд а сходится, в любом ZPi.
Действительно, степень, в которой простое число р входит в разложение
п— Бп 0 ^
числа п! на простые множители, равна-----------, где Бп — сумма цпфр в р-ичном
р - 1
разложении числа п. Следовательно, для любого рг при п ^ ж
\ап ■ п\\р. ^ 0,
что является достаточным условием сходимости ряда (4) в Zpi.
В [3], [4] исследованы так называемые Е-ряды. Здесь мы ограничимся
рассмотрением подкласса Е-рядов, который состоит из рядов вида
ап ■ п!гп ,
у которых ап Е Z и \ап\ = О (е°1п), п ^ ж, гДе С1 — некоторая постоянная (т.е. мы рассматриваем класс Е (С1, С2, С3, й) см. [4], в котором С1 = С3 = 0 й = 1.) Далее ряды /1 (г) = 1,..., /т(г) принадлежат этому классу.
Пусть /1(г),..., /т(г) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений
т
П : у'г = 5^ ^МУг, * =1,...,т, (5)
3 = 1
а
n
Е
133
Агз Е 0(г). Пусть Т(г) Е Z[z\ и Т(г) ■ Аг^(г) Е Z[z\, г,] = 1,...,ш, причем пусть степень Т(г) — наименьшая возможная, а коэффициенты Т(г) — взаимнопростые целые числа.
Обозначаем йедО и Н(О), соответственно, наибольшие из степеней и высот многочленов Т(г), Т(г)Аг^(г), г] = 1,... ,ш.
Через по (О) обозначаем число, существование которого доказано в теории ^-функций, С-функций и Е-рядов (см. [7], стр. 106). В качестве оценки сверху для п0(О) можно взять число, стоящее в правой части неравенства
по (О) ^ С(ш, deg О)Н(О)с(т^ в) (6)
(см. [4], теорема 1.2), причем можно взять
с(ш, deg О) = log2 С(ш, deg О) = (2 + (deg О + 1)ш)(2+(ае® д+1)т) (7)
Пусть £ Е Z, £ = 0, С отлично от особых точек системы (5). Положим
с4 = с1 + 5, с5 = ш2с4 + 2, (8)
N = ехр(4(2(ш+3) + с4(ш-1))2), N0 = ехр(\£\2 + degО(\£\ + 2) + 21пН(О) + 1))},
N0 = тах{п0(О), N, N} (9)
^N01п N0
Но = ехр[ N01пN0 (1 - ш + 3 + (шх 1)с5 ) ) (ю)
(1п N0 ) 2
Обозначим, при х > 3,
1(х) = е(1п ж) 1 и(х) = ш(х + 1) — х(1п х)_ 2 где [¿\ обозначает целую часть числа
Р,(х) = ((^) , Р.(х) = и (^ ( 1 +2(ш + 3 + (ш— Ц») || (11)
Мп х/ I 1п х \ (1п ( ж ^ 2 I I
Теорема 1. Пусть /1(г) = 1,... ,/т(г) входят в рассматриваемый подЕ
уравнений (5) и линейно независимы над 0(г). Пусть £ Е Z, £ = 0, число £ отлично от особы,х точек систем,ы, (5).
Пусть
Ь(у1, . . . , Ут) = ^1У1 +-+ ЬтУт (12)
ненулевая линейная форма с целыми коэффицентами, Н = шах(\Л,1 \,..., \Нт\). Обозначим, Ь /(£)) = Н1/1(£) +... + Нт/т(£). Пусть Н0 определено равенством
(10), в котором N0 вычислено при n0(D), равном, правой части неравенства
(6), входящие в него величины заданы, равенствам,и (7) и (8). Пусть последовательность натуральных чисел, Нк k = 1,... удовлетворяет условию
Рн(НкН) > Рв(Нк)) k = 0, 1,..., (13)
где функции Рн(x) и Рв(x) определены, в (11).
Пусть
m+3+2m С5
Гк = Н~Г VInIn Hk (14)
Тогда определенное равенством (3) расстояние
p(i(7(0),0) « Е ¿ (15)
00
где М = U Мк, а множество Мк состоит из натуральных чисел, которые к=1
делятся, хотя, бы, на, одно из чисел, p¡\ i = 1,... ,k.
Доказательство. Отметим, что при условиях теоремы все ряды /¿(£), i = 1га годятся в каждом из полей Qp и в каждом таком поле представляют собой элемент Zp. Таким образом, можно считать /¿(£) обозначением некоторого полиадического числа (хотя, разумеется, определяющий это число ряд не является каноническим разложением рассматриваемого числа). Рассмотрим совокупность а полиадических чисел а1;... am. Обозначим
L(a) = hiai + ... + hmam j (16)
где h1,... ,hm E Z, H = max \hi\.
i=1, m
Лемма 1. ( [2]) Пусть существует число Н0 такое, что для, любой линейной формы (16), коэффиценты которой удовлетворяют условию Н ^ Н0, существует интервал (а(Н),Ь(Н)), где а(Н) < Ь(Н), а(Н),Ь(Н) — возрастающие функции и существует простое число p, p E (а(Н),Ь(Н)) такое, что
\L(a)\p > p-r(p>H)
при некотором r(p, Н) E N. Тогда существуют последовательность чисел, Нк, Нк E N, последовательность простых чисел, ук и последовательность чисел, Гк = r^pi^,Нк) такие, что определенное равенством (3) расстояние p(L(a), 0) удовлетворяет неравенству
р(Щ). о» е ¿ • <17)
m^M
00
где М = U Мк, а множес тво Мк состоит из натуральных чисел, которые к=1
делятся, хотя, бы, на, одно из чисел, p¡\ i = 1,... ,k.
ПОЛИАДИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ F-РЯДОВ
135
Лемма 2. ( Теорема 1.1. [4]) Пусть Р-ряды = 1,..., /т(г) линейно независимы над 0_(г) и составляют решение системы (5). Пусть £ Є Ъ, £ = 0, число £ отлично от особых точек системы (5). Пусть форм,а Ь(у1,... ,ут) определена, равенством (12). Тогда для, любого Н ^ Н0 существует простое число р, удовлетворяющее неравенствам
Рн(1пН) <р<Рв(1пН)
такие, что
m + 3+2m С5 г-m---------------^-5
\L(f(Щр >Н~т~(18)
Теорема сразу следует из этих лемм. Действительно, возьмем в лемме 1 а(Н) = Рн(1пН), в(Я) = Рв(1пН)
m + 3+2m С5 r-m---------------^-5
г(р, Н) = Н~т~ ^1п1пн (19)
Используя неравенство (13), получаем, что интервалы [а(Нк),в(Нк)) не пересекаются при различных к. По лемме 2, в каждом из таких интервалов есть число р = рк такое, что для него выполняется оценка (18). Применяя лемму 1, с учетом (16), получаем теорему.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Чирский В. Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебыш. сб. - 201 1. .Y" I.
[2] Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М. Наука. 1971.
[3] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М. Наука. 1984 .
[4] Новоселов Е. В. Топологическая теория делимости целых чисел. Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та 3, 1960, С. 3 - 23.
[5] Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Мат. заметки. - 1990.- т.48. - №2. - с. 123- 127.
[6] Bertrand D., Chirskii V., Yebbon J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, - V. XIII. - №2. - 2004. - pp. 241- 260.
[7] Шидловский А. Б. Трансцендентные числа -М.- Наука. -1987. - 448с.
Московский педагогический государственный университет.
Получено 22.05.2012
