Поле точечного источника в кв радиоканале на частотах больших МПЧ при неточно заданной критической частоте слоя F1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2008. Вып. 4

УДК 538.56

С. А. Киб, Н. Н. Зернов

ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА В КВ РАДИОКАНАЛЕ НА ЧАСТОТАХ БОЛЬШИХ МПЧ ПРИ НЕТОЧНО ЗАДАННОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЕ СЛОЯ .Р2

Введение. Настоящая работа продолжает исследование распространения волн КВ диапазона в ионосфере с неточно заданными параметрами, которые были начаты в работе [1]. Здесь будут исследованы зависимости среднего поля и средней энергии поля в КВ радиоканале, вычисленные как результат усреднения по ансамблям разбросов критической частоты слоя Г2 foF2 [1], от частоты передатчика. Частотные представления указанных выше моментов поля будут представлены в виде главного члена разложения соответствующих моментов поля по частотам в окрестности максимально применимой частоты (МПЧ). И основное внимание будет уделено случаю, когда частота передатчика больше МПЧ. А также будет получен характерный масштаб убывания средней энергии поля, в области частот превосходящих МПЧ.

Постановка задачи и общие соотношения. Исходя из результатов работы [1], мы знаем, что наиболее существенным параметром модели ионосферы, влияющим на положения каустики, является критическая частота слоя Г2. Поэтому в данной работе воспользуемся следующими выражениями для среднего поля, средней энергии, и поля, когда параметры ионосферы заданы точно [1],

Е(х) = --

1 ' 2 ' 1/3 Ргк{акж+Ф(аь}} ( A i 1 \k'I

2аД [k\V"(ak)\\ V7! - a* I

1/3

где

^0 ^0 Фк = Ф(ак) = 2 j ^Je(z) - a\dz, хк = V(ak) = 2 j

ык

(x - Хк) , (1)

dz, у = -V"(ak). 6

- а

0 0 Среднее поле для случая не точно заданной критической частоты foF2 [1]:

(Е) = const - exp <j \j/ - - [SG]Z + — [SbC]0 + -S4(bCfG - -{Y.Cfb^x - x) \ x

12

x Ai

. f(£bC)4

V 4

+ i£2bCG - b(x - x) , (2)

где О - среднеквадратичное отклонение параметра foF2 и -2

£

2

О

1 — 2ikx8О2 ’ \j/ = ik(ak x + Ф),

G = k(A + x%),

b =

1/3

otfc — 8(/oF2 — f oF2) + ^(/oF 2 — f oF 2) + ak,

Фк = A{foF2 - foF2) + Ф,

xk = C(foF2 — foF 2) + x.

© C. A. Киб, Н. Н. Зернов, 2008

Средняя энергия поля для малых значений дисперсии foF2 (О < 1) [1]:

х

Здесь

D = 21/3(оЪС )2;

H = D2 - 22/3Ъ(x - x).

Средняя энергия поля для больших значений дисперсии foF2 (О < 1) (данное выражение справедливо для теневой области) [1]:

Указанные выше выражения для моментов поля дают нам представление о том, как убывает поле в теневой области (формулы (І), (2), (4) справедливы также для освещенной области). Как уже говорилось выше, в данной работе будет проведено исследование моментов поля на частотах, больших МПЧ. Для этого следует проанализировать зависимость параметров (З) от частоты передатчика, точнее, от разности f - fMUF (MUF - максимально применимая частота, англ.). Это и будет сделано ниже.

Энергия поля при отсутствии дисперсии foF2. Найдем энергию поля Wu(f) = = \E\2 = \ const \2Ai2(—Ъ(f )(xk(f) - xk(fMUF))) (І) для случая, точно заданных параметров, на частотах больших МПЧ. При этом, проникновение поля в теневую область будет незначительным. Теперь нас интересует вопрос, как неточность задания параметра foF2 влияет на среднюю энергию поля и энергию среднего поля, на частотах близких к МПЧ.

Для построения средней энергии поля и энергии среднего поля, на частотах близких к МПЧ, будем использовать тот факт, что в выражениях (2), (4), (5) параметры (3), зависят от частоты передатчика и конкретной модели ионосферы. Таким образом, нам требуется построить зависимость параметров (З) от частоты передатчика при заданной модели ионосферы. Эти зависимости представлены на рис. І-4. Также они дают представление о том, сколько членов ряда нужно учитывать при разложении выше указанных параметров (или их комбинаций) в ряд в окрестности МПЧ.

Энергия среднего поля на частотах больших МПЧ. Выражение для энергии среднего поля может быть получено из формулы (2). Разберем случаи малых и больших значений дисперсий foF2. Рассматривая эти два случая, можно сделать некоторые упрощения в выражении (2) и получить выражение для энергии среднего поля на частотах больших МПЧ. В дальнейшем в качестве точки наблюдения x выберем положение

{W) = 2C2V^^~DeW Л11"'2 + 1°3 ~ 2Ъ^ЪС)2(х “ *) +

2 • 22/3л/тг

200

100

14

-100

F-/мир, МГц

1 1 1 1 1

| |

1 1 : : :

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4

/-/ мир, МГц

Рис. 1. Зависимость параметров С, х от частоты передатчика

каустики при точно заданной критической частоте foF2, а частота передатчика будет определять нам значение МПЧ (т. е. х = ).

Энергия среднего поля на частотах больших МПЧ для малых значений дисперсии foF2. При малых значениях дисперсии foF2 вещественная часть параметра £2, входящего в выражение (2), много больше мнимой части. Это означает, что £2 « а2, при условии 2кЪха2 1. Данное условие задает область малых значений дис-

персии foF2. Принимая во внимание данное приближение, можно получить следующее выражение для энергии среднего поля

]¥ = \{Е}\'2 = | сопв! |2 ехр | —[оС]2 + ^[аЬС]6 — (аС)2Ь3(х — ж)| х

. (6)

Как показывают расчеты, в выражении (6) можно пренебречь величинами 1/б[оЪС]6 и 1/4(аЪС)4. Кроме того, имеет место соотношение

-Ъ(х — х) + га2ЪСО = -Ъх(1 — га2Ск^) + Ъх + га2ЪСкЛ « —Ъ(х — х) + га2ЪСкЛ.

0

2

х

100

я IS 90

80

70

1 1 L 1

|

О—

i i i i

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4

f~ f MUF , МГЦ

f- f MUF , МГЦ

Рис. 2. Зависимость параметров A, Ф от частоты передатчика

С учетом сказанного получим окончательно выражение для энергии среднего поля W:

W = | const |2 exp { — o2[G2 + b3C2(x — x)]}|Ai(—b(x — x) + io2bCkA)|2.

Это выражение является функцией расстояния до каустики. Нас интересует зависимость от частоты передатчика, когда частота превышает МПЧ, так как для прогнозирования уровня КВ сигнала на частотах превышающих МПЧ, важно знать характерный масштаб убывания поля. Для представления энергии среднего поля в терминах частоты введем следующие обозначения:

LE = G2 + b3C2 (x — x);

X = —b(x — x); yE = kbCA.

Теперь разложим эти величины в ряд в окрестности МПЧ:

X = Xi(f — fMUF);

YE = YE (f — fMUF) + Yf0;

(7)

LS = LS1(f — fMUF) + LS0.

E

Представления (7), как показывают расчеты, справедливы когда f — fмuF > 0, а когда f — fмuF < 0 нужно учитывать члены более высокого порядка. Но как уже говорилось

-0,1 0 0,1

f-fMUF, МГЦ

f-fMUF, МГЦ

f-fMUF, МГЦ

Рис. 3. Зависимость параметров 8, ak от частоты передатчика

выше, нас интересует характерный масштаб убывания поля на частотах превышающих МПЧ, и поэтому ограничимся лишь линейными членами. Таким образом, получим выражение для энергии среднего поля в терминах частоты:

W = \ const I2 exp { - с2 [if^/ - /muf) + £|o]}|Ai(Zfi (/ - ,/muf) + Z.fo)|2;

Zg — X + iC Yf, (8)

7 f — iC2 Y f

Zso — Y so •

Сравним энергию среднего поля W (8) с энергией поля при точно заданных параметрах ионосферы Wo , которая имеет вид:

Wo — |£|2 — | const |2Ai2(Xi(/ - /muf))

(9)

Аргумент функции Эйри, входящей в выражение для энергии среднего поля (8), становится комплексным за счет ошибки /оЕ2, что приводит к возрастанию энергии, но это возрастание компенсируется убывающей экспонентой.

Энергия среднего поля на частотах больших МПЧ для больших значений дисперсии foF2. При больших значениях дисперсии /о^2 мнимая часть £2 много больше вещественной части. Это приводит к тому, что Т? « 4^2§2Т202 + ПРИ условии 2кЪх<32 ^ 1. Используя данное приближение, получим выражение для энергии

ь

мир, МГц

Рис. 4- Зависимость параметра Ь от частоты передатчика

среднего поля:

^ — \Е )\2 —

| со^ \2 2кЩх&

ехр

с2

оЬС)6 {ЪС)3С Ь3С2(х — х) + , + 4А,2§2а,2

2 '6 './•1 ' 4к3Ь3х3

Лі I —Ь(х — х) —

(ЬС )4

16к282х2

ЬСЮ г_ 2кЪх а2

(ЬС)4 ъсв

16к383х3 4к2Ь2х2

(10)

Как и в случае малых значений дисперсии /оЕ2, перепишем выражение для энергии среднего поля (10) в терминах частоты. Для этого введем следующие обозначения:

ТЕ —

Т и --

с2

{ЪС)Ь {ъсус Ь С (х - х)

в 4к2Ь2х2 ' :і2А- *6' ' 4кЧ3х3 (ЬС)4 ЬСС

4к282х2

УтЩ — -

УгЩ —

16к252х2 2к8х’

(ЬС)4 ьсс

м —

в 16к3Ь3х3 4к2Ь2х2

1

к\Ь\х'

1

х

2

4к2о2х

а

2

х

Разложим эти величины в ряд в окрестности МПЧ:

Эти разложения верны для частот больших МПЧ, как и в случае малых дисперсий /оЕ2. Используя разложения (11) получим выражение для энергии среднего поля Ш в терминах частоты

Из выражения (12) видно, что аргумент функции Эйри представляет собой полином второй степени по (/ — /мир) с комплексными коэффициентами, в отличие от случая малой дисперсии /оГ2, где полином первой степени. Кроме того появился дополнительный множитель перед экспонентой, который зависит от (/ — /мир). Этот множитель вообще отсутствовал в случае малых дисперсий /оЕ2 (8).

Средняя энергия поля на частотах больших МПЧ. При рассмотрении средней энергии поля будем пользоваться выражениями (4), (5). Рассмотрим два случая больших и малых значений дисперсий /о_Р2. При рассмотрении поля на частотах больших МПЧ можно сделать определенные упрощения, особенно для малых значений дисперсии /оГ2. Как в предыдущем разделе в качестве точки наблюдения х выберем положение каустики при точно заданной критической частоте /оГ2, а частота передатчика будет определять нам значение МПЧ (т. е. х — х(/мир)).

Средняя энергия поля на частотах больших МПЧ для малых значений дисперсии foF2. Средняя энергия поля (Ш) определяется выражением (4). Как показывают расчеты при рассмотрении средней энергии поля на частотах больших МПЧ, достаточно учесть только первые два члена ряда (4). Для описания поля на частотах меньших МПЧ нужно учитывать большее число членов ряда. Таким образом, после ряда математических преобразований получим:

IV = \{Е)\2 = |С7|2(М2(/ - /миг)2 + Мі(/ - /миг) + М0) х

| \Лі(^В2(/ — /МИР)2 + ^Б1(/ — /МИР) + %Во)\2]

(12)

7 е — угЕ і_____________у<;Е

о — 1 'во ' „2 во-а2

I2 ехр - 2Ъ(оЪС)2(х - х) ■ 21/3ВАі' (2~2/3я) -

+ 2-1/3(ПИ — 2)Лі2 (2-2/3Я)

Поскольку П < 1, будем пренебрегать величинами порядка П3 и П2, ПИ — П3 — 22/3ПЬ(х — х) « а2(—2(ЬС)2Ь(х — х));

И « 22/3Х.

Введем следующие обозначения:

= 2(ЬС)2Ь(х - X); уш = 21/3(ьС )2.

Для перехода к частотному представлению средней энергии поля сделаем следующие разложения величин Уш, в ряд в окрестности МПЧ

^в2(/ — /МИР) + 1^31(/ — /МИР);

ТШ Ь Б

— Г™ (/ — /мир) + У^0 .

(13)

Разложения (13) верны, когда частота передатчика больше МПЧ. Таким образом, используя разложения (13), получим выражение для средней энергии поля в терминах частоты

Ш) — 2 2/31 СОПвІ |2 ехр{ —а2(^52(/ — /МИР)2 + ^51(/ — ІМИР^ } X

221/3(У]1 (/ — /мир) + У^00 )(Аі'(Хі(/ — /мир)))2 +

+ 2 1/3 (а‘2(Ь^2(/ — /МИР)2 + ^51(/ — /МИР)) + 2 Аі2(Х1 (/ — /МИР))

Важно отметить, что в данном выражении для средней энергии поля {Ш) появилось слагаемое пропорциональное квадрату производной функции Эйри. А в выражении (9) для энергии поля Шо, когда /оЕ2 задана точно, такое слагаемое отсутствует. Это приводит к тому, что характерный масштаб убывания поля на частотах больших МПЧ увеличивается для случая неточно заданной критической частоты /о_Р2.

Средняя энергия поля на частотах больших МПЧ для больших значений дисперсии ЮЕ2. Средняя энергия поля {Ш) на частотах больших МПЧ определяется выражением (5)

(Ш) —

| со^ |2 2 • 22/3л/тг

у/Н-Б

ехр

_?Я3/2 + ?£>3 - 2Ъ(аЪС)2(х - .

+

-£>)2

2

Для случая больших дисперсий /о¥с2 параметр П ^ 1. Исходя из этого факта, сделаем следующие предположения

2П

ЬС2 а2'

И « П2 — 22/3а4(ЬС)4;

И 3/2

3 . 22/3 3 . 22/3

Б3,-------; БЪ{х — х) Л--------——Ъ2(х — ж)2;

(15)

2

8П

л/Н{л/Н-0)2 В (2-1/%\х - х\\ _ 1 (х-х)

П

а2 4ЬС2

2

2

2

Подставим (15) в выражение для средней энергии поля (14):

(W) _

const

2 (x x)

z =

2-2У3у/ЩС\ О

2

ехр

4 С 2 '

Рассмотрим поведение {Ш) в окрестности точки г = 0. Для этого разложим в ряд, в окрестности г = 0, функцию К1/4(г2/о2):

^1/4 ( ^2

+0{z1'2

23/4a/z

И тогда, используя (l6), получим

(W)

I const |2Г (I)

29/4^/nb\C\a

(l6)

(17)

Из формулы (17) видно, что поле в области тени (или на частотах больших МПЧ) убывает гораздо медленнее, чем энергия среднего поля и энергия поля Шо при точно заданных параметрах ионосферы. Средняя энергия поля ) (17) убывает как квадратичная экспонента, а энергия среднего поля - как квадрат функции Эйри. Из формулы (17) видно, что характерный масштаб убывания поля в первом приближении равен

x — x — 2C с.

(18)

Т. е. характерный масштаб убывания поля пропорционален среднеквадратичному отклонению foF2 и первой производной расстояния до каустики хк по foF2 в точке 7^2 (3)

x — x — 2с

дхк \ dfoF2)

foF2=foF2

Теперь рассмотрим среднюю энергию поля (17) в терминах частоты. Для этого разложим в ряд г2 функцию 1 /\fb\C\ в окрестности МПЧ

(W)

const

2 - 22/3 л/кЩ

(CB1(/ — /muf) + CWo) exp

ZB2(/ — fMUF)2

І S~lW ( £ £ N і r^W .

—ЩЩ ~ t'BlKJ — J MUFJ + t'BOl z2 ~ ZW2(/ — fMUF)2.

Характерный масштаб убывания поля (18) в терминах частоты, соответственно,

2а

Хс ’

будет равен (/ - /muf) = 377, где

д_ f ^(/muf) ~ x(f) df V C(f)

І

f=fMUF

c(/)0

—

f = fMUF

' dxk ' df dxk .dfoF2,

f = fMUF

foF2=foF2

Если использовать модель ионосферы вида є(г) — 1 — ад(г), а — (/о¥2//)2 (такая модель использовалась в [1]), где / - частота передатчика, а функция д(х) определяет высотную зависимость диэлектрической проницаемости, а также когда разложения

2

2

z

2

с

2

2

2

XQ

для хь, Ф*, а к на интервале [/о_Р 2 — Зо,/о_Р2 + Зо] можно представить в виде (3), то выражение для Хс можно записать следующим образом

И тогда характерный масштаб убывания поля, на частотах больших МПЧ (при больших значениях дисперсии /оГ2) имеет достаточно простой вид и определяется статистическими характеристиками /оГ2, а именно среднем значением и дисперсией

Таким образом, выражение (19) позволяет оценить масштаб затухания поля на частотах больших МПЧ при наличии неточно заданной критической частоте слоя Г2. На поведение поля в области тени также влияют и флуктуации электронной концентрации. Соответствующие исследования проводились в [2], где было показано, что средняя энергия

на частотах больших МПЧ и (/ — /мир)-1/2 на частотах меньших МПЧ. И, соответственно, более медленное (не экспоненциальное) затухание по сравнению с полем при отсутствии флуктуаций электронной плотности. При этом характерный масштаб убывания поля будет составлять несколько процентов от МПЧ («1-2 %).

Результаты данной работы можно использовать для корректировки МПЧ. Согласно рекомендации МСЭ-Р [3], при вычислении МПЧ используется усредненная критическая частота слоя Г2. Таким образом, можно корректировать МПЧ в соответствии с формулой (19), используя среднее значение и дисперсию /оГ2.

Результаты вычисления средней энергии поля на частотах больших МПЧ. В [1] было показано, что с точки зрения прогнозирования уровня КВ поля на частотах больших МПЧ, наиболее значимой является средняя энергия поля {Ш). В связи с этим, ниже будут приведены результаты вычисления средней энергии поля для различных значений дисперсии /оГ2. Результаты представлены на рис. 5, 6. На этих рисунках все графики нормированы на одну и ту же константу.

Средняя энергия поля для случая малых дисперсий foF2. Положим среднеквадратичное отклонение /оГ2 равным о — 0,001 МГц. На рис. 5 представлена зависимость средней энергии поля {Ш) от частоты передатчика в окрестности МПЧ и энергия поля при точно заданной /оГ2. Как видно из графика, затухание поля на частотах больших МПЧ более слабое, чем для случая, точно заданных параметров. При о — 0,001 МГц поле практически равно нулю на частотах больших МПЧ всего лишь на « 10 кГц.

Средняя энергия поля для случая больших дисперсий foF2. Теперь положим среднеквадратичное отклонение /оГ2 равным о — 0,1 МГц. Для этого случая зависимость средней энергии поля {Ш) от частоты представлена на рис. 6. Из графика видно, что затухание поля более слабое, чем в выше представленных случаях. Поле почти полностью затухает на частотах превышающих МПЧ на 0,4 МГц (6,5 % от МПЧ). Это в 40 раз больше, чем в случае точно заданных параметров ионосферы. Происходит расширение частотной области, т. е. возможен прием сигнала на частотах гораздо больших МПЧ по сравнению со случаем точно заданных параметров.

Заключение. В данной работе исследовались зависимости моментов КВ поля от частоты передатчика при неточно заданной критической частоте /оГ2. Основное

_ 1оР2

/=/мик Л/ЮТ

/оґ2=/оґ2

/ — /мир 2о

(19)

/мир /о^12

поля имеет степенную зависимость от частоты передатчика, а именно (/ — /мир) 3/2

мпр »мгц

Рис. 5. Зависимость средней энергии поля ) (в = 0,001 МГц) и энергии поля W0 при точно заданной /о_Р2 от частоты передатчика

/~/мир, МГц

Рис. 6. Зависимость средней энергии поля (W) (в = 0,1 МГц) от частоты передатчика

внимание было уделено случаю, когда частота передатчика превосходит МПЧ. Были получены выражения для моментов поля (W = \(Е}\2 и (W}) в частотном представлении. Также было показано, что существует возможность приема сигнала на частотах значительно превышающих МПЧ по сравнению со случаем, когда критическая частота foF2 задана точно (0,4 МГц, когда среднее квадратичное отклонение foF2 равно 0,1 МГц, и 0,01 МГц, когда foF2 задана точно). Для больших значений дисперсии foF2 на основе средней энергии поля был получен характерный масштаб убывания поля, который определяется средним значением критической частоты слоя F2 и дисперсией foF2. Этот результат дает нам возможность приема сигнала на частотах, больших МПЧ.

Summary

Kib S. A., Zernov N. N. Source point field in HF radio channel on frequencies greater than MUF when critical frequency of F2 layer is roughly set.

HF field moments which depend on transmitter frequency are investigated, when critical frequency of the F2 layer is roughly set. Main attention is devoted to the case when transmitter frequency is greater than MUF. The example of the average energy of a field shows that the potential reception of a signal is possible at the frequencies which greatly exceed MUF, in comparison with the case of foF2 exact values.

Key words: ionosphere, IRI, foF2, foF2 distribution law, caustic, mean energy, mean field, Airy function, shadow area, light area, ionospheric parameters.

Литература

1. Киб С. А., Зернов Н. Н. Поле точечного источника в КВ радиоканале при неточно заданных параметрах ионосферы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2008. Вып. 3. С. 37-51.

2. Герм В. Э., Зернов Н. Н. Современная теория распространения радиоволн КВ диапазона в ионосфере // Санкт-Петербургский Государственный Университет. СПб., 2003.

3. ITU-R reference ionospheric characteristic, Recommendation ITU-R. 1997-2007. P. 1239-1.

Принято к публикации 10 июня 2008 г.