CC BY
24
УДК 519.81
ПОИСК РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ГОЛОСОВАНИЙ
Е. А. Токарева, С. А. Макаров
DECISION IN THE CONDITIONS OF THE STOCHASTIC UNCERTAINTY AND MULTIPLY OBJECTIVES WITH THE USE OF CHOICE THEORY METHODS
E. A. Tokareva, S. A. Makarov
Аннотация. Актуальность и цели. Принятие решений в условиях неопределенности и многокритериальности представляет большую ответственность, если это касается использования бюджетных средств. Цель данной работы - показать эффективность нового и достаточно простого в применении метода для поиска Парето-оптимальных решений. Материалы и методы. Исходные альтернативы сравнивались друг с другом по каждому показателю с использованием методов стохастического доминирования и теории голосований. На основании полученных ранговых оценок определялось Парето-оптимальное множество. В результате сверки с использованием дополнительного критерия было получено терминальное решение. Результаты. На примере показана поэтапная процедура выбора терминального решения. Выводы. Использование стохастического доминирования и теории голосований позволяет существенно снизить уровень неопределенности и перевести исходную задачу многокритериального выбора к ранговому упорядочению альтернатив.
Ключевые слова: стохастическое доминирование, теория голосований, многокритериальный выбор.
Abstract. Background. Decision making under uncertainty and multiply objectives is a great responsibility when it comes to the use of budgetary funds. The purpose of this work - to demonstrate the effectiveness of a new and relatively simple-to-use method to search for Pareto-optimal decisions. Materials and methods. Source alternative were compared with each other for each indicator to be used as is the methods and the theory of stochastic dominance and choice theory. On the basis of these assessments is ranked Pareto optimal set. As a result of the convolution with an additional criterion was obtained terminal decision. Results. On the steps we demonstrate how to select the terminal decision. Conclusions. Using the theory of stochastic dominance and the choice theory can significantly reduce the level of uncertainty, and to transfer the original problem of multi-criteria selection to the rank ordering of alternatives.
Key words: stochastic domination, choice theory, multi-criteria decisions.
Введение
При оценке инвестиционных проектов социальной направленности часто возникают ситуации, когда выбор осуществляется в условиях множества целевых функций, входящих в противоречие по отношению друг к другу. Экономия бюджетных средств с одной стороны и социальные показатели развития региона с другой стороны создают основания для возникновения конфликтных противоречий для ЛПР (лица, принимающего решение) в лице органов государственной власти и местного самоуправления.
В зависимости от характера информации, которая имеется в распоряжении ЛПР, такая многокритериальная задача может дополняться стохастич-ностью оценок целевых показателей [1].
1. Модель задачи принятия решения в условиях многокритериального выбора и стохастичности оценок значений целевых показателей
Перед лицом, принимающим решение, стоит задача сделать выбор из п инвестиционных решений. Для этого необходимо упорядочить эти инвестиционные решения по степени предпочтения.
Будем полагать, что инвестиционное решение о1 характеризуется набором значений к целевых функций х1 = (х^,..., х1,..., х\), а инвестиционное решение о2 - набором х2 = (х^2,..., х2,..., хк ) . Инвестиционное решение
о1 будет доминировать над инвестиционным решением о2, если хотя бы для одного значения 7 выполняется условие х1 ^ х2 и ни для одного значения 7 не выполняется обратное условие х1 -< х2 . Другими словами, второе инвестиционное решение о2 ни по одному показателю не может быть лучше инвестиционного решения о1, а хотя бы по одному из показателей о2 хуже, чем о1.
Значения целевых показателей х] являются случайными величинами, распределенными по некоторому закону.
Пусть ^ (х7 )= Р х1 ]) и ^о2 (х7 ) = Рх7 ]) - функции распределения значений 7-го целевого показателя для инвестиционных решений, соответственно, о1 и о2 . Требуется определить множество недоминируемых решений, составляющих множество Парето, и затем упорядочить эти решения по степени предпочтения с использованием в случае необходимости дополнительных критериев.
2. Поиск решения
Если в отношении значений х7 установлено правило «больше-лучше», то имеет место стохастическое доминирование первого порядка о1 > о2 , если ¥а2 (х7 )> ^ (xj) для всех х7 е Я [2]. Однако в большей части случаев данное
условие может выполняться только на некотором интервале значений х7 . В этой ситуации для определения более предпочтительной альтернативы воспользуемся сравнением плотностей распределения вероятностей этих альтернатив /' , (х7) на отдельных интервалах значений х7.
Нужно отметить, что задача усложняется еще и тем, что правило «больше-лучше», установленное в отношении предпочтения инвестиционных решений, исключает из рассмотрения сравнения плотностей распределения на интервалах с меньшими значениями х7 .
Рассмотрим подобное сравнение альтернатив на следующем примере. Пусть плотности распределения вероятностей значений х7 представлены на графиках следующим образом (рис. 1).
Рис. 1. Графики плотности распределения вероятностей двух случайных величин
По графику видно, что на интервале значений xi е [5; 6] проект a2 имеет преимущество перед проектом a1, поскольку значения показателя xi в данном интервале могут быть обеспечены только при реализации проекта a2.
На интервале xi е [2;5], наоборот, проект a1 имеет преимущество
по отношению к проекту a2 . Несмотря на то, что в обоих проектах возможны значения целевого показателя из данного интервала, с большей вероятностью это может иметь место при реализации проекта a1, поскольку график плотности распределения вероятности значений xi для данного проекта лежит
выше графика плотности проекта a2.
На интервале xi е [1;2] возможна реализация лишь проекта a2. Но, несмотря на это, проект a2 не может иметь преимущества на данном интервале по отношению к проекту a1, поскольку интервал меньших значений не может иметь преимущества, если в отношении значений показателей установлено правило «больше-лучше».
Для того, чтобы принять решение по поводу того, какой проект является более предпочтительным по показателю xi, необходимо определить величину предпочтения. В качестве такой величины можно рассмотреть вероятность принятия случайной величиной xi значения из заданного интервала.
На интервале xi е [5;б] преимущество имеет проект a2. Вероятность того, что показатель x2 примет какое-либо значение из данного интервала,
равно 5. Поскольку в примере распределения равномерные, то вероятность
вычисляется элементарно. Вероятность того, что показатель x2 примет ка-
3
кое-либо значение из интервала xi е [1;2], составит 5, а показатель xi составит 1. По всей видимости, преимущество проекта a1 на данном интервале
будет равно разности между значениями вероятностей, т.е. — . В целом же по
1 2 1 показателю преимущество имеет проект о , поскольку — > 5.
Аналогичным образом выполняются сравнения других проектов, после чего составляется мажоритарный турнир, из которого определяется упорядочение проектов в соответствии с их преимуществами по правилу Кондорсе. Если в турнире невозможно определить победителя из-за циклических предпочтений (т.е. имеет место парадокс Кондорсе), то выбирается какой-либо состоятельный по Кондорсе метод для раскрытия данной неопределенности. В итоге каждому проекту присваивается определенный ранг в соответствии с местом, занятым в мажоритарном турнире.
После того, как определены предпочтения проектов по одному из показателей х7 , та же процедура проводится по другим показателям. В результате получаем систему рангов, характеризующих каждый проект. Если при сравнении проектов в число эффективных попадает более одного, дальнейший выбор можно выполнить, упорядочив ранги для каждого проекта и сравнив последовательно эти упорядоченные наборы рангов [1].
Если в результате такого сравнения также не определен лучший проект, то возможно применение дополнительных критериев (критерия принятия или критерия отвержения).
3. Пример применения процедуры принятия решения
Рассмотрим применение метода стохастического доминирования на следующем примере.
В регионе организуется тендер. По итогам тендера было определено четыре проекта:
1) строительство аквапарка;
2) открытие нового стадиона;
3) строительство современного кинотеатра;
4) появление нового торгового центра.
Предположим, что все проекты равны по стоимости и регион обладает средствами, достаточными для реализации только одного из них. Критериями выбора послужили:
1) доходность в день (сумма, полученная от одного посетителя);
2) количество посетителей (человек);
3) политический капитал (процент положительного рейтинга у избирателей).
Диапазон значений по каждому критерию приведен в табл. 1.
Таблица 1
Инвестиционные проекты и диапазон значений критериев выбора
Проект/Критерии Доходность в день, руб. Количество посетителей, чел. Политический капитал,%
Аквапарк (А) 200-2000 100-300 2-5
Стадион (С) 500-1000 200-800 7-10
Кинотеатр (К) 200-1000 100-500 10-30
Торговый центр (Т) 0-12000 1000-2000 20-40
На первом этапе сравним альтернативы по критериям. Попарное сравнение проектов относительно доходности в день представлено на рис. 2.
Рис. 2. Сравнение проектов по доходности в день
Строительство стадиона и аквапарка имеют преимущества на различных интервалах (500 - 1000 руб. и 1000 - 2000 руб., соответственно). Вычислим значения и сравним их:
А у С: (2000 -1000) • = Ц; С У А: (1000 - 500) • )
1 1
500 1800 I 18
13
Таким образом, строительство стадиона обладает большей доходностью в день по сравнению с аквапарком. Аналогично сравним преимущества аквапарка и кинотеатра:
А у К: (2000 -1000)—— =10 ; К у А: (1000 - 200)• |—---— | =10 .
у ! 1800 18 у ! \800 1800) 18
Мы видим, что альтернативы эквивалентны по показателю доходности в день.
При дальнейшем сравнении видно, что строительство аквапарка приоритетнее нового торгового центра:
А у Т: (1000 - 200) • — —---— 1 = —; Т у А: (12000 - 2000)--— =100 .
у Ч1800 12000) 120 у ! 12000 120
Также видно, что в любом случае строительство стадиона доминирует над альтернативой кинотеатра.
Строительство торгового центра в паре со стадионом является доминируемой альтернативой:
С У Т : (1000 - 500 )• | —---—| =—; Т у С : (12000 -1000 )• 1 110
у ! \500 12000) 120 у !
12000 120
В паре «кинотеатр-торговый центр» приоритетной является альтернатива строительства кинотеатра:
К у Т : (1000 - 200) • \—---— | =112; Т у К: (12000 -1000)--— =110.
у Н800 12000) 120 у ! 12000 120
Аналогично сравним попарно альтернативы по критерию количества посетителей в день (графики представлены на рис. 3).
В паре «аквапарк-стадион» приоритетнее будет последняя альтернатива
(преимущества I и 5 соответственно). Эквивалентными вновь окажутся аль-
3 6
тернативы строительства аквапарка и кинотеатра со значением, равным 0,5. Торговый центр обладает большим преимуществом перед аквапарком, так как интервал числа посетителей находится правее. По этой же причине торговый центр будет приоритетнее строительства стадиона и кинотеатра. Строитель— 1 1
ство стадиона предпочтительнее, чем кинотеатра I — > ^
Наконец, сравним проекты по значению политического капитала. В нашем случае аквапарк будет доминируемой альтернативой по отношению ко всем другим альтернативам. Строительство кинотеатра будет приоритетнее стадиона, а торгового центра - приоритетнее кинотеатра и стадиона (рис. 4).
На втором этапе проранжируем альтернативы по каждому признаку. Относительно доходности в день лидирует стадион, присвоим ему первый ранг; второй ранг присвоим аквапарку и кинотеатру. Низший - третий ранг -у торгового центра.
Лидером по количеству посетителей является торговый центр, немного отстает стадион. Наименьшее число посетителей предполагается в аквапарке и кинотеатре, поэтому им присвоим третий ранг.
1ЛОО
1-й»
юо гш лею
Л* > ■
1.1 ООО
, с
т
т>с -
Л*>> I
1/300
I /»л
А
Л>К К
К>А
I №о
1.1000
, К
т
Т>К -
:оо юо ила
ММ .Г:
100 ?00 1000
мое л
Рис. 3. Сравнение проектов по количеству посетителей в день
Если ранжировать альтернативы по значению политического капитала, то торговому центру присваивается наивысший ранг, затем идет кинотеатр, потом - стадион, а аквапарку присваивается четвертый ранг. Для большей наглядности занесем ранги в табл. 2.
Таблица 2
Ранжирование альтернатив
Проект/Критерии Доходность в день, руб. Количество посетителей, чел. Политический капитал,%
Аквапарк 2 3 4
Стадион 1 2 3
Кинотеатр 2 3 2
Торговый центр 3 1 1
Рис. 4. Сравнение проектов по критерию политического капитала
Теперь воспользуемся методом Парето и найдем доминируемые альтернативы. Очевидно, что таковой является строительство аквапарка, поэтому исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Далее упорядочим ранги в порядке возрастания и найдем наилучший вариант.
Стадион: 1, 2, 3.
Кинотеатр: 2, 2, 3.
Торговый центр: 1, 1, 3
Сравнивая упорядоченные последовательности рангов, видим, что оптимальным вариантом является строительство нового торгового центра. Далее следуют, соответственно, стадион, кинотеатр и исключенный из рассмотрения аквапарк.
Заключение
Метод стохастического доминирования используется в случаях многокритериального выбора и позволяет решить проблему неопределенности, вызванную наличием нескольких равнозначных критериев. Однако в данной статье рассмотрены лишь непрерывные распределения, что позволяет проводить дальнейшее исследование. Следующие шаги связаны с рассмотрением дискретных распределений, что особенно актуально, если ЛПР имеет дело с оценками, полученными в результате опросов.
Список литературы
1. Разработка и принятие решения в управлении инновациями : учеб. пособие / И. Л. Туккель, С. Н. Яшин, С. А. Макаров, Е. В. Кошелев. - СПб. : БХВ-Петербург, 2011. - 352 с.
2. Арефьева, И. Ю. Стохастическое доминирование в условиях рисковости разных степеней / И. Ю. Арефьева // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. - 2009. - Вып. 4. - С. 25-32.
Токарева Елена Александровна
студентка,
Нижегородский институт управления, Российская Академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ E-mail: [email protected]
Макаров Сергей Александрович доцент,
кафедра математики и системного анализа, Нижегородский институт управления, Российская Академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ E-mail: [email protected]
Tokareva Elena Aleksandrovna student,
Nizhny Novgorod Institute of management,
Russian Academy of national economy and state service under the RF President
Makarov Sergey Aleksandrovich associate professor, sub-department of mathematics and systems analysis, Nizhny Novgorod Institute of Management,
Russian Academy of National Economy and State Service under the RF President
УДК 519.81 Токарева, Е. А.
Поиск решения в условиях стохастической неопределенности и много-критериальности с использованием методов теории голосований / Е. А. Токарева, С. А. Макаров // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. -2016. - № 1 (17). - С. 142-150.
