Поиск наборов управляющих величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.333

ПОИСК НАБОРОВ УПРАВЛЯЮЩИХ ВЕЛИЧИН © 2009 г. А.Ю. Аликов*, М.В. Савельев **, С.В. Федосеев **

*Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), г. Владикавказ

** Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

*North Caucasian Institute of Mining and Metallurgy, Vladikavkaz

** South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

При проектировании систем управления требуется решать задачи, имеющие большое разнообразие возможных сочетаний управляющих величин. При этом рациональный выбор в некотором смысле наилучшего набора таких величин оказывается неочевидным, особенно если учитывать требования к динамике процессов управления и ограничения, накладываемые на переменные управления и состояния. Анализ полученных условий допустимости анализируемых структур позволяет утверждать, что такие задачи сводятся к задачам поиска простых структур с линейными ограничениями при использовании определённых условий совместно с требованиями, частично линейными (квадратично-линейными) ограничениями.

Ключевые слова: анализ, система, управление, структура, линейные ограничения.

At designing control systems it is required to solve the tasks having the big variety of possible combinations of managing sizes. Thus the rational choice somewhat the best set of such sizes appears unevident, especially if to take into account requirements to dynamics of managerial processes and restrictions, накладываемые on variable managements and conditions. The analysis of the received conditions of an admissibility of analyzed structures allows to assert, that such tasks are reduced to tasks of search of simple structures with linear restrictions at use of the certain conditions together with requirements, in part linear (square- linear) restrictions.

Keywords: analysis, system, control, structure, linear restrictions.

При проектировании системы управления многомерным объектом среди основных задач решается задача выбора набора управляющих величин. В ряде случаев такой выбор очевиден и определяется сложившейся традицией управления данным классом объектов или обусловлен отсутствием достаточно широкого набора альтернативных величин, позволяющих использовать их в качестве управляющих переменных.

На практике встречаются задачи, допускающие достаточно большое разнообразие возможных сочетаний управляющих величин. При этом рациональный выбор в некотором смысле наилучшего набора таких величин оказывается неочевидным, особенно если учитывать требования к динамике процессов управления и ограничения, накладываемые на переменные управления и состояния.

В качестве примера можно указать задачу выбора набора переменных управления необходимого и достаточного для воспроизведения заданных законов изменения температуры и давления газа в проточной полости. В управляющие воздействия данной задачи включаются:

1) изменение площадей каналов, связывающих объект управления (проточную полость) с магистралью наполнения и с атмосферой, при этом допускается наличие нескольких магистралей с различными уровнями давлений и температур выдаваемых ими газов;

2) включение подогревателя газа в управляемой полости;

3) включение системы охлаждения газа (в обоих случаях термическое воздействие может оказываться с использованием различных вариантов технических устройств, различающихся динамикой и амплитудой создаваемых ими воздействий и рассматриваемых как альтернативные варианты воздействий);

4) можно использовать сжатие/расширение газа в результате изменения объема управляемой полости.

Кроме перечисленных, применяются и многие другие воздействия: в частности, впрыскивание и сжигание в полости различных смесей газов, жидкостей, их паров, продуктов сгорания твердых топлив, в том числе пороховых шашек, использование ионизирующих воздействий, например в виде электрических разрядов, а также электромагнитных излучений, например лазерных и т. д.

В результате анализа решаемой задачи проектировщик может сократить множество теоретически возможных управляющих воздействий до более узкого их списка, на его взгляд, наиболее приемлемых для решаемой им технической задачи.

Последующий обоснованный выбор конкретного набора управляющих воздействий, не обладающего избыточностью и, вместе с тем, достаточного для реализации заданных динамических характеристик системы управления требует проведения весьма трудоемких расчетов, особенно при необходимости учета

динамики вспомогательных механизмов управления, а также ограничений, накладываемых на переменные управления и состояния.

Ввиду высокой трудоемкости анализа вариантов синтезируемых систем рассматриваемого класса сложился эмпирический подход, предполагающий последовательное наращивание размерности вектора управления и амплитуд управляющих воздействий до уровня, достаточного для обеспечения назначенных динамических требований к системе управления. Указанное наращивание обычно осуществляют путем последовательного добавления к вектору управления очередного управляющего воздействия из их списка, возможно, упорядоченного в порядке убывания предпочтительности использования очередного воздействия. Очевидно, указанный подход обеспечивает выявление неизбыточного по структуре вектора управления. Однако он не может быть признан достаточно строгим методом выявления наилучшего варианта управления, поскольку, во-первых, не предполагает исследования всего множества сочетаний управляющих воздействий, и, во-вторых, не определяет явно и достаточно строго правило сравнения вариантов по их предпочтительности.

Задача исчерпывающего перебора и анализа всех возможных сочетаний управляющих величин из заданного списка рассмотрена в работе [1] на примере синтеза системы, реализующей требуемый закон программного изменения давления и температуры в проточной полости переменного объема. В ней выделение наилучшего варианта основано на использовании суммы балльных оценок «стоимости» технической реализации той или иной переменной управления. В указанной работе не ставится и не решается задача выделения всего множества минимально-факторных решений на основе правила минимально-факторного выбора, оценка приемлемости вариантов ведется без учета ограничений на диапазон допустимых значений переменных управления и состояния, а также допустимых отклонений получаемой траектории от программной.

Отличие предлагаемого подхода к формализации рассматриваемой задачи поиска неизбыточных наборов управляющих величин состоит в том, что он, во-первых, предполагает выявление множества всех минимально-факторных наборов управляющих воздействий, т. е. всех наборов воздействий, необходимых и достаточных для реализации требуемых траекторий движения динамической системы; во-вторых, приводит к достаточно просто проверяемым условиям приемлемости варианта управления, вместе с тем учитывающим ограничения, накладываемые на переменные управления и состояния, а также на отклонение получаемой траектории от программной.

При формализации рассматриваемой задачи будем исходить из следующих предположений. Объект управления описывается системой уравнений

Сх / dt = Ax + Bu ; х(0) = х0, (1)

где х - и-мерный вектор состояния; и - да-мерный вектор управления; t - время; А, В - известные матрицы соответствующих размерностей, компоненты х, и, А , В принимают значения из множества действительных чисел.

Назначена контрольная траектория движения х (£х0), tе [0,7], которую необходимо осуществить с заданной точностью. Искомое управление должно удовлетворять условию и е и , а соответствующая ему траектория движения системы (1) - условию х е X , где и, Х - области допустимых значений векторов и и х соответственно.

Требуется найти все наборы ^-компонент вектора управления и, отклонение которых от нулевого значения есть необходимое и достаточное условие осуществления с заданной точностью контрольной траектории движения. При этом все компоненты вектора и, не вошедшие в набор полагаются тождественно равными нулю.

Вектором решения рассматриваемой задачи является вектор и. Его компоненты и^) - функции времени, отражающие изменение тех или иных физических величин, допускающих их использование в качестве переменных управления. Этот вектор удовлетворяет принятому в данной работе определению вектора решения.

Действительно, в соответствии с принятым нами определением вектора решения вектор и, во-первых, является конечномерным (содержит т компонент). Во-вторых, каждая его координата и^) указывает на наличие либо отсутствие элемента структуры синтезируемого объекта. Компонента и(С), тождественно равная нулю, содержательно означает отказ от использования соответствующей ей физической величины в качестве переменной управления. Наоборот, наличие в векторе и компоненты, не равной тождественно нулю, означает использования соответствующей ей физической величины в качестве переменной управления. В-третьих, координаты вектора и, отличные от нуля, определяют количественные характеристики синтезируемого объекта - векторного закона управления и(Р), а именно - конкретные функции времени иф, обеспечивающие достижение поставленной цели управления: воспроизведение с заданной точностью назначенной траектории движения х (£х0), t е [0,7].

Структура решения определяется набором S компонент вектора и, которые могут быть отличны от нуля. Учитывая, что каждой компоненте вектора и соответствует конкретная физическая величина, из множества величин, допускающих использование в качестве переменных управления, набор S определяет перечень физических величин, используемых для управления. Минимально-факторная структура решения S в данном случае определяет набор таких физических величин, использование которых для управления объектом есть необходимое и достаточное условие обеспечения заданной точности воспроизведения назначенной траектории х ^,х0), tе [0,7].

Иными словами, минимально-факторная структура S вектора управления и не содержит компонент (физических величин, претендующих на использование в качестве переменных управления), которые можно исключить из S0, обеспечив приемлемость получаемой траектории движения объекта за счет допустимого изменения функций и^), оставшихся в структуре закона управления и(().

Важным частным случаем рассматриваемых векторов управления с минимально-факторной структурой являются векторы, в которых число физических величин, используемых для управления, минимально. Такие векторы управления имеют, следуя принятой нами терминологии, минимальную структуру. Они являются предпочтительными по отношению к остальным векторам с минимально-факторной структурой, если все физические величины однородны (неразличимы) в смысле предпочтительности их включения в набор X Когда представляется возможным указать весовые коэффициенты, оценивающие «стоимость» использования каждой физической величины, то целесообразным оказывается выявление множества векторов управления с минимально-взвешенной структурой.

Таким образом, в общем случае в рамках рассматриваемой задачи заслуживают внимания различные варианты формализации правила сравнения сложности анализируемых структур векторов управления, в частности перечисленные выше правила минимально-факторного к мф, минимально-взвешенного к мв сравнения и правила сравнения сложности структур по числу элементов к м.

Учитывая сказанное, потребуем отыскания множества простых структур вектора управления и, удовлетворяющего в общем случае определению, в котором в качестве правила сравнения сложности могут использоваться, в частности, правила к мф, к м, к „в.

Векторы управления с одной из указанных разновидностей простых структур (минимально-факторной, минимальной и минимально-взвешенной) будем далее называть векторами управления с простой структурой.

В связи с наибольшей практической значимостью минимально-факторных структур среди простых структур именно им при дальнейшем исследовании данной задачи будет уделено наибольшее внимание.

Получим условия допустимости структуры решения S рассматриваемой задачи. Для этого представим требование близости реальной и контрольной траекторий, в форме условий, допускающих относительно простую проверку.

Решение уравнения (1) можно, используя формулу Коши [2, с.37], записать в виде

x(t,x0) = x0 (t) + JK(t,t)B(x)u(x)dx :

где х ) - свободное движение объекта (1), соответствующее условиям {х(0) = х0, и = 0}; К(/, т) - матрица Коши системы (1).

Для дискретного времени

{¿0 = а 112,..., ^ ^М = Т}

^ц, Хо) = x0 (ц) + £ K(ц, I +1)Bs (|K (|),

ц-1

■ Zj

I=0

ц = 0,1,..., M.

С учетом заданной структуры S вектора и имеем

ц-1

Х(ц, Х0) - Х0 (ц) = Z к(ц, I + 1)B(|)u(|),

I=0

ц = 0,1,...,M ,

(3)

где BS , и5 получены соответственно из В , и(|) исключением элементов, номер которых отсутствует в наборе S, перечисляющем номера активных компонент вектора и. Систему (3) представим в виде

ГS(ц)и5 = х(ц,x0)-x (ц),ц = 0,1,...,M,

(4)

где Г(ц) - матрица, получаемая в результате перехода от системы (3) к системе (4), uS = uS (|)^=0М _1. В конечном итоге приходим к системе

3sus = X,

где 3 = Гs (Ц)ц=0,м , X = (х(Ц) _ х0(Ц))ц=0,м .

Требование точного совпадения получаемой и контрольной траектории в каждый из моментов времени ц = 0,1,..., М представляется условием

(5)

где

^sus = X

* * 0 * X = (Х (0,Х0)-x (0),...,x (ц,Х0)-

_ х0 (ц),..., х*(М, х0) _ х0 (М))

- вектор-столбец, получаемый подстановкой в % вместо дискретных значений х(ц, х0) дискретных значе-

*

ний х (ц,х0) для каждого ц = 0,1,...,М .

Для заданного варианта S, учитывая равенство нулю всех координат вектора и5, номера которых не включены в S, систему (5) для заданного S можно представить в виде

Z ^ ,u, = x

(6)

j^s

(2)

где 3, - ¡-й столбец матрицы 3 ; ц, - ¡-я компонента вектора и.

Из (6) получим следующие варианты условий достаточной близости получаемой и контрольной траектории:

у- < £ 3]и] < у+ ; (7)

№

(£3}и} -у*)т (£3}и} -у*) <ДК, (8)

где [у-, у+ ] - назначенный диапазон допустимых значений вектора у^ = 3SuS = £ 3; вектор у*

является «номиналом» вектора у; Дк - квадрат максимально допустимой длины невязки у-у* (заметим, что среднеквадратическое отклонение траектории х(:, х0) от х*(:, х0) в моменты времени ц = 0,1,...,М есть Дк /(М +1)).

Требование и е и конкретизируем в форме условия

и- < DSuS < и + , (9)

где и-, и +, D - заданные векторы и матрица соответствующих размерностей. Ограничения на переменные состояния х е X , используя равенство (2), опишем условием

X"< С8и8 < X + , (10)

где X-, X +, С - заданные векторы и матрица соответствующих размерностей. Структуру S вектора

Поступила в редакцию

управления и будем считать допустимой, если для неё выполняются в зависимости от принятой формализации одно из соотношений (6), (7), (8) совместимо с требованиями (9), (10). Таким образом, рассматриваемая задача сведена к задаче поиска множества простых структур, в котором допустимость структуры определяется одним из условий (6), (7), (8) совместно с требованиями (9), (10).

Анализ полученных условий допустимости анализируемых структур позволяет утверждать, что рассматриваемая задача сведена к задаче поиска простых структур с линейными ограничениями в случае использования условий (6) или (7) совместно с требованиями (9), (10), частично линейными (квадратично-линейными) ограничениями в случае использования условий (8) совместно с требованиями (9), (10) и квадратичными ограничениями при учете только условий (8).

Литература

1. Подчуфаров Б.М., Подчуфаров Ю.Б., Понятский В.М. Проектирование устройств управления параметрами газовой среды в проточной полости // Пневматика и гидравлика. М., 1984. Вып. 11. С. 179-184.

2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., 1968.

17 июля 2008 г.

Аликов Алан Юрьевич - канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой «Системы автоматизированного проектирования» Северо-Кавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета).

Савельев Михаил Владимирович - докт. техн. наук, профессор кафедры «Электронные вычислительные машины» Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). E-mail: post master @ srstu.novoch.ru

Федосеев Сергей Владимирович - канд. техн. наук, докторант кафедры «Электронные вычислительные машины» Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).

Alikov Alan Yurievich - Candidate of Technical Scince, head of department systems of computer-aided designs of North Caucasian Institute of Mining and Metallurgy (State Tecnological University).

Saveliev Michail Vladimirovich - Doctor of Technical Scince, professor of department brains of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

Fedoseev Sergey Vladimirovich - Candidate of Technical Scince, departament of brains of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).