CC BY
80Подобие вихревого и магнитного полей
Васильев С. В. [email protected]) Институт Автоматизации Проектирования РАН
Введение
Представления об электромагнитных явлениях как о вихревых движениях жидкости были сформулированы Гельмгольцем [1, 2], В.Томсоном [3-8], Чеинсом [9], а также некоторыми другими авторами [10-17]. В XX столетии подобные идеи высказывались Дж.Томсоном [18, 19], Н.К.Кастериным [20], В.Ф.Миткевичем [21-26] и другими авторами [27, 28]. Но основной вклад в теорию электромагнетизма сделан, разумеется, Максвеллом [17], который выписал уравнения электромагнитного поля, базируясь на представлениях Гельмгольца о вихревых движениях идеальной жидкости, под которой Максвелл подразумевал мировую среду, заполняющую пространство.
Однако все выдвинутые гидродинамические модели электромагнитных явлений имеют существенные недостатки. Первым таким недостатком является то, что согласно известным гидродинамическим моделям при поступательных движениях тел в пространстве должны наблюдаться дополнительные электрические или магнитные эффекты, которые реально не наблюдаются.
Практически все гидродинамические модели электромагнитных явлений можно разбить на две группы. В первой группе моделей магнитное поле рассматривается как проявление поступательного движения, а электрическое поле - как проявление вращательного (вихревого) движения жидкости. Такой точки зрения придерживались, в частности, Гельмгольц, Чеинс, В.Томсон, Дж.Томсон, Н.П.Кастерин. Во второй группе моделей магнитное поле рассматривалось как проявление вихревого движения жидкости, а электрическое поле - как проявление поступательного движения. Этой точки зрения придерживались, в частности, Максвелл и Миткевич.
В пользу последних представлений свидетельствовало, в частности, открытое Фарадеем явление поворота плоскости поляризации света в магнитном поле.
В моделях первой группы представление о магнитном поле как о поступательном движении жидкости приводит к выводу о возникновении магнитного поля при любом движении в жидкости, чего на самом деле нет, и что вызывало справедливую критику со стороны авторов второй группы моделей. В моделях второй группы представление об электрическом поле как о поступательном движении жидкости приводит к выводу о возникновении электрического поля при любом движении в жидкости. Однако этого явления также не обнаружено.
Вторым недостатком существующих моделей оказалась бедность класса использованных движений жидкости. Эта бедность явилась следствием представлений Гельмгольца о движениях идеальной среды, согласно которым вихрь не может ни появляться, ни исчезать. Таким образом, вопрос о возникновении вихревых движений не возникал. Между тем известно, что вихри могут и появляться, и исчезать.
Использованные в гидромеханических моделях представления о движениях жидкости привели к парадоксам энергии (при рассмотрении движений жидкости вокруг вихревых столбов): энергия единицы длины вихря равна бесконечности. В электродинамике имеется парадокс, аналогичный рассмотренному: энергия единицы длины проводника с током равна бесконечности. Правда, поскольку одиночного проводника не существует, появляется возможность разрешения этого парадокса за счет рассмотрения всей конструкции в целом, включая обратный проводник, тогда этот парадокс разрешается. Тем не менее, парадоксального положения не должно
существовать ни для какой системы, в том числе и для условного одиночного проводника.
Рассматриваемая ниже модель строится на постулате подобия вихревого и магнитного полей и не требует дополнительного постулата о подобии электрического поля и поля скоростей жидкости. Кроме того, не исключаются из рассмотрения течения жидкости с возможностью появления и исчезновения завихренности даже при отсутствии стандартно понимаемых эффектов вязкости.
Заметим, что впервые об эффекте появления (исчезновения) завихренности в идеальной несжимаемой жидкости было заявлено в работах [29, 30], где показано, что этот эффект оказывается связан с фазовым переходом второго рода, когда агрегатное состояние не меняется, но изменяется внутренняя структура (внутреннее движение) жидкости.
1. Подобие вихревого и магнитного полей
Выпишем уравнение Эйлера движения несжимаемой жидкости [31]:
— + (и-У)и + V р = 0.
д I
Здесь приняты следующие обозначения: I - время;
V - оператор Гамильтона; в цилиндрических координатах (х , г , р ):
(1.1)
V =
С д д 1 д л
дх дг г др
и - скорость жидкости; в цилиндрических координатах: и = {и, V, м>); р - давление в жидкости, делённое на её постоянную плотность;
н* - окружная составляющая скорости, которую условимся называть кручением в случае осесимметричного потока; Как известно, условие несжимаемости жидкости выглядит следующим образом:
V-и = 0.
Запишем уравнение Эйлера (1.1) в форме Громеки-Лэмба:
д и
™ + v(и2/2 + р ) д ( к '
= и х а
(12)
(13)
где а = Vх и - поле вектора вихря.
Уравнения электромагнитного поля Максвелла в ненамагничивающейся неполяризующейся среде (жидкости) запишем в системе единиц Лоренца-Хивесайда
[32]:
Vх £ + 1 дВ = 0
с д г
Vх в - 1 д1 = 1 /
с д I с
V- В = 0 V- Е = д
Здесь приняты следующие обозначения: E - электрическое поле; В - поле магнитной индукции; I - плотность электрического тока; q - плотность электрического заряда. с - скорость света в вакууме.
Третье уравнение системы (1.4) позволяет определить векторный потенциал A электромагнитного поля (по магнитной индукции В ) следующим образом:
I VX A = В (1.5)
[ V- A = 0
Второе уравнение системы (1.5) - это калибровочное условие, уменьшающее произвол в выборе векторного потенциала.
Заметим, что система уравнений (1.5) полностью аналогична системе уравнений Гельмгольца для определения поля вектора скорости и по известному полю вектора вихря со :
I VXи = С
\ - (1.6)
[ V-и = 0 V 7
Таким образом, система уравнений (1.5) переходит в систему уравнений (1.6), если предположить подобие поля вихря магнитному полю, а поля скорости - полю векторного потенциала, т. е.
и = a A
сс = aB (1.7)
a = const
Первое уравнение системы уравнений Максвелла (1.4) позволяет представить электрическое поле Е через векторный А и скалярный р потенциалы электромагнитного поля:
- 1 д A
E = -Vp - - —. (1.8)
c д t
Систему уравнений Максвелла будем рассматривать совместно с законом Ома о подобии (сонаправленности) тока проводимости i и пондеромоторной напряжённости электрического поля e [32]:
i = I - q и
^ и
e = E + - X В (1.9)
^ c
i = a e
где и - по-прежнему, поле вектора скорости проводящей среды, а - электрическая проводимость среды.
^ и ^
В сверхпроводнике 1/а = 0, е = 0 и Е =--х В.
с
В таком случае, уравнение (1.8) может быть представлено в виде:
д А
~д7
+
У (со) = и х В .
(1.10)
Это уравнение полностью аналогично уравнению Эйлера, записанному в форме Громеко-Лэмба (1.3), если только узреть подобие вихревого и магнитного полей (1.7). Для этого, кроме подобия (1.7), достаточно дополнительно положить
— + р = асо. 2
(111)
Таким образом, показано, что уравнения движения несжимаемой невязкой жидкости (1.3), (1.6) аналогичны уравнениям (1.10), (1.5), полученным из уравнений Максвелла электромагнитного поля в среде, дополненных условием сверхпроводимости среды. Подобие определяющих систем уравнений означает существование подобия между полями, фигурирующими в каждой из систем.
С учётом выявленного подобия, можно заявить, что явление отсутствия вязкости среды подобно явлению сверхпроводимости (среды).
Продолжим подобие (1.7) на хорошо проводящую подвижную среду (жидкость) с большой, но конечной проводимостью а .
Из уравнений (1.4), (1.9) легко получить:
^ с с
сЕ = - и х В + —Ух В - —
а
а
д Е
~д7
+
(У
и
(112)
кроме того, по-прежнему (см. (1.8), (1.5))
д А
~д7
+ У(ср) = - сЕ
Ух А = В
у- А = 0
(113)
Введём обозначения Р = -асЕ, V = с1 /а. Тогда систему уравнений (1.12), (1.13) с использованием подобия (1.7), (1.11) представим в виде
Р = и ха - V -У ха -
V
д Р
~д7
+
(у-р ^
ди
+ У (и 72 + р )
а = Ух и У• и = 0
= Р
2
2
с
Уравнения предыдущей системы переходят в уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, если предположить исключительную малость членов первого уравнения этой системы, содержащих множитель Vс2 = 1/а. Действительно получим
^ + 72 + p) дt к '
= и х
[Ух и ] + уА и
У- и = 0
(А = (У-У) - оператор Лапласа).
Важно заметить, что система уравнений Навье-Стокса была получена из уравнений электромагнитного поля Максвелла (1.4), дополненных законом Ома (1.9). Это приведение ещё раз подтверждает тезис о существовании подобия между вихревым и магнитным полями и, что более важно, между полями скорости и векторного потенциала электромагнитного поля.
2. О токе и материи
Покажем, что кинематический фазовый переход, связанный с переменностью удельного внутреннего углового момента «невязкой» жидкости ] в осесимметричном течении [29, 30] оказывается подобным проявлению эффекта переменности магнитной проницаемости / среды.
Уравнения электромагнитного поля Максвелла в намагничивающейся поляризующейся жидкости запишем в системе единиц Лоренца-Хивесайда [32]:
Ух E +
1 д B
c дt
ух н - 1 д3
c д t V- B = 0 V- 3 = q
= 0
11
(2.1)
Здесь приняты следующие обозначения: Н - магнитное поле; 3 - поле электрической индукции;
Систему (2.1) будем рассматривать совместно с законом Ома (1.9) и стандартным мультипликативным выражением
В = /Н (2.2)
тогда, по-прежнему, справедлива система уравнений (1.13), а уравнение (1.12) предстанет в виде
^ ^ ^ с ^ с
сЕ = - и х В + —Ух Н - —
(
а
а
д Р
~д7
+
М)
Л
с
Как и ранее, пренебрегая последними двумя членами последнего уравнения и подставляя выражение из (2.2), найдем
д А с с2 г 1
- + У (со) = и х В - -Ух В + -- [Уц х В ]. (2.3)
д г ац ац
с2 - V
Введём переобозначение V = - и обозначение £ = —Уц, тогда уравнение (2.3)
а ц ц
представим в виде
дА + У (со) = (и +|)х В - V У х В .
Имея в виду подобие (1.7), (1.11), последнее уравнение представим не в терминах электромагнетизма, а в терминах механики сплошных сред
дг + У( V2 + Р) = (и + £)ха - V Ух а . (2.4)
Как и в основополагающих работах по кинематическому фазовому переходу [29, 30], будем рассматривать «невязкие» течения жидкости, т.е. такие, для которых
Ух ё = 0 (2.5) Для «невязких» стационарных течений жидкости из (2.4) получим
У (и 72 + р ) = (и +£)х а . (2.6) В осесимметричном течении в цилиндрических координатах (х, г, о):
и = (и, V, и), 3 = ^1 (ги)г, - wx, а^, а = - иг, | = ( ^ 0),
где индекс означает частную производную по указанной переменной. Для обеспечения (2.5) предположим, что
а = 0, (2.7)
тогда уравнение (2.6) распишется в виде системы из трёх скалярных уравнений:
(и 72 + Р )х = ^х
(и72 + Р ) = ииг + - и2 (2.8)
(и + £)(ги)х + (V + п)(ги)г = 0
Из первой пары уравнений последней системы сразу следует, что
их = 0, (2.9)
тогда последнее уравнение (2.8) превращается в
(v + п)( rw)r = 0,
из которого следует, что: либо 1. (rw)r = 0, либо 2. v + п = 0.
В первом случае (с учётом (2.9)) имеем следующее выражения для поля кручения
const ^
w = -, т.е. стандартный вариант постоянства циркуляции и а = 0. Во втором,
r
нестандартном случае,
v = - v(ln M)r, (2.10)
при этом вихрь может быть отличным от нуля. Действительно, уравнение (2.5) допускает ненулевые решения и одно из таких решений (с учётом (2.7), (2.9))
а = (const, 0, 0),
из которого следует возможность w = const • r
Переменность магнитной проницаемости «невязкой» жидкости / (см. условие (2.10)) «порождает» циркуляцию тока if точно так же, как переменность удельного внутреннего углового момента жидкости j обуславливает переменность циркуляции жидкости. Смотрите [29, 30]. Отметим, что в этих работах было получено расширение интеграла циркуляции для стационарных осесимметричных течений идеальной жидкости, а именно, интеграл
rw + j = const (L)
Т.о. фазовый переход, представляемый изменением параметра порядка -внутреннего углового момента - оказывается подобным фазовому переходу, представленному изменением магнитной проницаемости.
Остальные уравнения - первые два уравнения системы (2.8), приводятся, с учётом положения (2.7), к стандартным уравнениям Эйлера невязкого стационарного осесимметричного течения жидкости с кручением:
uux + vur + px = 0
w2
uvx + vvr + Pr = -
r
Эту пару уравнений можно представить следующим каноническим образом:
uux + vur + рх = 0 uvx + vvr + pr = 0
~ w2
где p = p ± —,
const
причём знак «+» следует в стандартном варианте w = -, знак «-» - в
r
представленном в этой работе варианте w = const • r .
Несложно показать, что в рассмотренном (стационарном осесимметричном) варианте, циркуляция плотности электрического тока намагничивания Г = 2nriv
подобна скорости изменения внутреннего углового момента жидкости и •Vj = - и •V(rw). Более того, в нестационарном варианте сохраняется та же формулировка: «циркуляция плотности тока подобна скорости изменения плотности внутреннего углового момента», или, после несложных выкладок:
Г = 2nc dj
av dt
Фазовый переход второго рода электромагнитного поля сопряжён с т.н. «скручиванием» (переходом в намагниченность) векторного потенциала подобно кинематическому фазовому переходу, изложенному в [29, 30], где «скручивалась» скорость (поток) и появлялся внутренний угловой момент. Как показано в представленной работе, изменение внутреннего углового момента подобно изменению магнитной проницаемости. Однако магнитная проницаемость вакуума постоянна и равна единице. Отсюда можно сделать вывод о том, что область фазового перехода заполнена веществом (материей), в котором магнитная проницаемость переменна. Т.о., «скручивание» векторного потенциала электромагнитного поля в вакууме сопряжёно с возникновением материи, обладающей как магнитным, так и угловым моментами!
Литература
1. Гельмгольц Г. Два исследования по гидродинамике: Пер. с нем./ Под ред. С. А. Чаплыгина. М.: Типография О.Л. Сомовой, 1902.
2. Гельмгольц Г. Фарадеевская речь. Современное развитие фарадеевских воззрений на электричество: Пер. с нем. В. Тюрина. СПб. Изд-во П.П. Сойкина. 1898.
3. Цейтлин З.А. Вихревая теория материи, ее развитие и значение// Дж. Томсон. Электричество и материя. M.-JL: Госиздат, 1928. С. 199-217.
4. Thomson W. Magnetism, dynamic relation of Nicol's Cyclopedia, 1860. Proc. of R.S.VI, 1856;VI, 1861.
5. Thomson W. Ether, electricity and Ponderable Matter. Cambr. and Dubl. papers, 484,1890.
6. Thomson W. On the duties of ether for electricity and magnetism. Phil. Mag. IX, 1900,305.
7. Thomson W. Electrical insulation in "vacuum". РЫ1. Mag. VIII, 1904. P. 472.
8. Thomson W. Hydrodynamics. Cambr. and Dubl. Math. and Phys. Papers. IV, 1910.
9. Chains. Phil. Mag. XII, 1860; I, II, 1861.
10. Heaviside O. Electromagnetic theory. Electrical papers. Vol. 1, 2. London - N.Y., 1892.
11. Joseph HJ. Some unpublished notes of Oliver Heaviside. The Heaviside centenary volume. London, 1950.
12. Кемпбелл Н.Р. Современная электрическая теория: Пер. с англ./ Под ред. И.И. Боргмана. СПб.: Изд-во "Образование", 1912.
13. Лоренц Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения: Нер. с англ./ Под ред. Т.П. Кравца. Т.: Гостехтеориздат, 1953.
14. Langevin P. Chim. et Phys. Mai 1905.
15. Larmor J. Aether and Matter. Cambr. 1900.
16. Abraham und Foppl. Theorie der Elektrizitat. Leipzig, 1904-1905.
17. Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля: Пер. с англ./ Под ред. П.С. Кудрявцева. М.: Гостехтеориздат, 1952.
18. Томсон Дж.Дж. Электричество и материя: Пер. с англ./ Под ред. А.К. Тимирязева. М.-Л. Госиздат. 1928. С. 9-97.
19. Томсон Дж.Дж. Взаимоотношение между материей и эфиром по новейшим исследованиям в области электричества: Пер. с англ./ Под ред. И.И. Боргмана. СПб.: Изд-во "Естествоиспытатель", 1910.
20. Кастерин Н.П. Обобщение основных уравнений аэродинамики и электродинамики. М.: Изд-во АН СССР, 1937.
21. Миткевич В.Ф. О природе электрического тока. Телеграф и телефон без проводов. № 15. Нижегородская лаборатория, 1922. С. 1—13.
22. Миткевич В.Ф. Работы В. Томсона. Электричество. № 3, 8, 10,1930.
23. Миткевкч В.Ф. Работы Фарадея и современное развитие приложений электрической энергии. М.: Гостехтеориэдат, 1932. С. 1-13.
24. Миткевич В.Ф. Основные воззрения современной физики Л- Изд-во АН СССР, 1933.
25. Миткевич В.Ф. Основные физические воззрения. - 3-е изд. М.- Изд-во АН СССР, 1939.
26. Миткевич В.Ф. Магнитный поток и его преобразования. М.: Иэд-во АН СССР, 1946.
27. Брон О.Б. Электромагнитное поле как вид материи. М.-Л.: Госэнергоиэдат, 1962.
28. Вовченко А.П. О гидродинамической аналогии для уравнений электродинамики// Укр. физ. ж. 1972. Т. 17, № 5.
29. Быркин А.П., Васильев С.В., Щенников В.В., Кинематика фазовых переходов в механике сплошных сред. М.: Компания Спутник+, 2004. - 44с.
30. Васильев С.В., Кинематический фазовый переход. - Электронный журнал «Исследовано в России», 105, стр. 1081-1089, 2005. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/105.pdf
31. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика. - М.: Физматгиз. - 1963.
32. Можен Ж., Механика электромагнитных сплошных сред, - М.: Мир, 1991.
