CC BY
39
УДК 539.52
Г. М. Журавлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 40-16-74 (Россия, Тула, ТулГУ),
Чан Дык Хоан, асп.,(953) 433-94-92, tranduchoan@mail .т (Россия, Тула, ТулГУ)
ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПЛАСТИЧЕСКОГО ФОРМОИЗМЕНЕИЯ ДЕТАЛЕЙ ИЗ ДИЛАТИРУЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ
Рассмотрен подход к решению задач осесимметричного пластического формоизменения дилатирующего материала. Выписаны основные соотношения для анализа осесимметричного пластического деформирования. Построен функционал для расчета силовых параметров процесса. Показана методика расчета напряженно-деформированного состояния с определением шаровых напряжений и пластической повреждаемости материала.
Ключевые слова: задача осесимметричного пластического формоизменения дилатирующих материалов, напряженно-деформированное состояние, мера повреждаемости, пластическое разрыхление (пластическая дилатансия), функционал.
В настоящее время многие детали машин и аппаратов эксплуатируются в жестких режимах и испытывают интенсивные силовые нагрузки, тепловые воздействия, высокие давления. Поэтому к технологии их изготовления предъявляются повышенные требования к качеству. В связи с этим многие сложные вопросы анализа, проектирования и разработка теории и технологии, повышающие эффективность процессов обработки металлов давлением, требуют использования научных достижений как теории пластичности, так и механики деформационной повреждаемости и являются актуальной научно-технической задачей. Следует также отметить, что решение этих задач требует детального учета локальных свойств обрабатываемого материала, связанных с неоднородным распределением напряжений, скоростей, деформаций и пластической дилатансии, что можно достичь использованием современных численных методов решения
[3].
Рассмотрим подход для решения задач осесимметричного пластического течения с учетом дилатансии материала. Пусть ось симметрии деформируемого тела вращения совпадает с осью г цилиндрической системы координат г, в, г. При этом компоненты напряжения и смещения не зависят от полярного угла в. В этом случае отсутствует составляющая скорости Ув и компоненты напряжений ггв и ггв равны нулю. Деформируемое тело принимаем изотропным, жесткопластическим, дилатирующим в результате роста микропор. Перемещение инструмента при вытяжке происходит параллельно оси г. Задача при этом является осесимметричной
с отличными от нуля компонентами вектора скорости перемещения (V, соф0) и тензоров скорости деформации (¿г, ев, ¿г9уп±0) и напряжения (<тг, а^а., т^ФО).
Силы инерции и массовые силы считаем пренебрежимо малыми по сравнению с силами, вызывающими пластическое течение металла. Пластическое течение рассматриваемого тела независимо от условия пластичности должно удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия сплошной среды в напряжениях
' д(7г ^ дтг- + Ог - (У$
Э Г дх Г д тг- + тг~ да7 ^
Л
= 0
Э г
Э2
-0
0)
и уравнению неразрывности
(Э\) г> ЭосЛ Эр
+ —+ Э г г Ъг)
| + \)— + со— = 0,
Э г Ъх
(2)
где р- плотность среды, р = ро(ехр-е); - начальная плотность;
е - объемная деформация (дилатансия ), е- \eclt; £ - скорость дилатан-сии; t - время.
Напряженное состояние в любой точке сплошной среды определяется симметричным тензором напряжений
Тс7 =
ог 0
Гг-
0
\
(7в 0 0 (7 -
* /
Соответственно девиатор напряжений
о,, - о 0
тг:
0
ств-а 0
тг: 0
а- - а
где а - среднее напряжение, определяемое как
ау +ав+а-
<7 = —---
3
Интенсивность касательных напряжений определяется выражением Т = -ав)2 +{ав -ст.)2 +{ст:-аг)2 + 6т2^ .
Деформация каждой точки сплошной среды характеризуется тензором деформаций
0 1
Т£ =
О ев
Ьг2 О
Уп О
е.
Его компоненты определяются выражениями
£„ =
£в =
Эг Э5. Э5
г
Э5.
=
Эг Эг
Дилатансия определяется линейным инвариантом тензора деформации е = 1у(Т)£ = ег+ев+е2.
Скорость деформации в любой точке сплошной среды определяется тензором скоростей деформаций
0 1
(
Тё =
^Уп О ёв О
О е-
1
Уг:
Его компоненты определяются следующим образом:
ди . V . дсо
£- =
Эг
дь дсо
Эг Эг
Скорость дилатансии (скорость относительного изменения объема)
£ = 11(Те) = £г+£#+£-. Интенсивности скорости деформации сдвига
Н = ~ ё-- ^ + ~ ^ + 2 & '
Интенсивность скорости деформации £ = Н/ л/3 . Соотношение между напряжениями и скоростями деформации для осесимметричных процессов строится на основе гипотезы о подобии и ко-аксиальности девиаторов напряжений и тензора скоростей деформации:
Т€=ЛВ(7=Л[ау-а),
где Я- коэффициент, пропорциональный мощности пластической деформации, равный отношению интенсивности скорости деформации сдвига Я к удвоенной интенсивности касательных напряжений 2Т, т.е. Л = Н/2Т.
Общее условие текучести изотропных дилатирующих сред сформулируем в виде
/ = Т-к(а9р) = О, где к - некоторая функция <т и р.
Для осесимметричного напряженного состояния дилатирующей сплошной изотропной среды используем условие текучести Грина, которое описывается кривой Ламе (рис.1)
(а + сУ (тУ . . А (а + сУ - + - =1; к = Ы 1--,
V а ) \Ь) \( V а )
где г = р/д> I, р и д - соответственно четное и нечетное числа
Рис. 1. Условие пластичности Грина
Для определения материальных функций а, Ь, с, содержащихся в условиях текучести, составляются три уравнения:
(Зс + Я„У (Я,А
За
(Зс-Яс За
V
и у 1 V Ь)
= 1.
где Кр,Яс,ЯК- напряжения текучести в экспериментах по одноосному растяжению, одноосному сжатию и кручению цилиндрических образцов. Тогда согласно работе [3] получим для состояния текучести: - при одноосном растяжении
при одноосном сжатии
<т = Т = -^Я
С >
но с:
3 л/3
- при кручении
(7 = 0, Т = Як .
Исключая из системы а и Ь, приходим к уравнению относитель-
(з с + кр)г[кгс-(у/зкк)гу
(Зс- кс у [(ТзХ У-к] = (Зсу (я; - я;).
После нахождения с вычисляем а и Ь по формулам
г (Зс + кру к;-(Зс-ксу к;
а =-7-г-;
г (к:-к;) 1г {зс + кру к:-{зс-ксу к;
Чаще всего условие текучести Грина используется в виде эллипса, тогда при г = 2 имеем
/
(о + с)2 Т2
= 1,
с =
а
2^3 Як - ЯсЯр
2
\;а = с н—/--—= ,
2 сДг
(3)
(4)
В теории пластичного формоизменения имеются соотношения ассоциированного закона течения:
Эг»
э7
г»
г
дсо
= Х
=х =л
2(о + с) аг - о
За'
2(о + с) | а9-а
За2 Ь2 2(а + с) + <т- - а
За'
Эг> Эоо
= 4Х
У тг:
дг Эг у 305
(5)
(6)
(7)
Выписанные соотношения для осесимметричного пластического формоизменения позволяют составить основное энергетическое уравнение, которое характеризует состояние материала при данных условиях обработки. Энергетический функционал, который полностью характеризует состояние деформируемой среды в данных условиях обработки, представляет собой разность мощностей внутренних и внешних сил, действующих на систему. Под мощностью внутренних сил понимаются затраты мощности пластической деформации и мощности сил трения на контактной границе с инструментом, определяемые выражением
Ж = Ж = Ж + Ж
внешн внутр пл тр
где Жпл - пластическая компонента мощности; Жтр - компонента мощности сил трения.
Под мощностью внешних сил понимается мощность, получаемая от воздействия осевой деформирующей нагрузки. Запишем составляющие мощности внешних и внутренних сил в форме, непосредственно используемой для расчета:
^=( -¿^
V
Жтр = | / Т ■[ Ук Щ ,
^^внешн = \ Х™
где (Ту - компоненты тензора напряжений; ¿у - компоненты тензора скоростей деформации; V - объём; / - коэффициент трения; [ук ] - скорость скольжения металла по инструменту; Ек - площадь контакта границы с
инструментом; X - вектор поверхностных сил; V - вектор скорости движения инструмента (скорости деформирования); 5 - площадь торца рабочей части инструмента.
Таким образом, с учетом всего вышеизложенного общее выражение функционала, описывающего состояние деформируемой среды в произвольный момент времени, имеет вид
| (ое + ТН + | /т, [ук + | ХУ№ = 0. (9)
V ^ 8
Функционал (9) используется для расчета силовых параметров процессов пластического формоизменения дилатирующих сред, определения минимальной мощности сил пластической деформации и соответствующей данной мощности кинематических характеристик.
Для анализа напряженно-деформированного состояния в данной задаче представлена полная система уравнений теории осесимметричного пластического течения изотропных дилатирующих сред (1) - (8). Полная
система уравнений содержит восемь уравнений относительно восьми неизвестных функций: четыре компонента напряжений аг, ,?гг, два компонента вектора скорости и, о, плотность р и скалярную функцию 1. Система уравнений приводится к системе уравнений в напряжениях. С этой целью система уравнений дополняется соответствующими граничными условиями в напряжениях и скоростях.
В теории и технологии обработки металлов давлением широкое распространение получили положения механики рассеянной повреждаемости, которые позволяют довольно точно рассчитывать деформационные характеристики технологических операций и прогнозировать физико-механические свойства готовых изделий. Определяющие соотношения для меры повреждаемости строятся на оценке явления пластической дилатан-сии (разрыхления) деформируемого металла, характеризующейся величиной пластического разрыхления металла (пластической дилатансией ец). С моментом образования макротрещины связывается достижение величиной пластического разрыхления критического значения ецкр, зависящего
от условий деформирования, структуры и химического состава металла. Приведенные представления позволяют ввести меру повреждаемости о следующим дифференциальным соотношением [1,2,3]:
= , (10) г» кр
где dw - приращение характеристики повреждаемости материала в резуль-
АУк -АУ0
тате приращения d£ пластического разрыхления; е =—--- раз" А^0 рыхление металла; АУо =АУмо +АУко - начальный объем металла, который складывается из начального объема металла АУмо и начального объема микропор АУпо; АУк =АУмк +АУпк - конечный объем металла, который складывается из конечного объема металла АУмк и конечного объема микропор АУпк; £цкр - критическая дилатансия.
Мера поврежденности о за путь нагружения 5 находится интегрированием дифференциального уравнения (10):
Г de^^
о = |——.
5 кр
Величина поврежденности находится в диапазоне 0 £ со< 1, где значение о = 1 соответствует моменту разрушения. Экспериментальные исследования показали, что существует стадия образования микродефек-
тов, когда поврежденность, полученная при деформировании, оказывает заметное влияние на эксплуатационные характеристики изделий (усталостное разрушение, несущую способность, жесткость конструкции).
В современных инженерных расчетах при решении технологических задач пользуются степенной зависимостью между пластическим разрыхлением е и накапливаемой деформацией Л (рис.2.).
,02
,01
1
г \
о 1 г з Л
Рис. 2. Зависимость пластического разрыхления сталей от степени деформации при мягкой схеме напряженного состояния: 1 - нелинейная модель; 2 - линейная модель
Степенная модель пластического разрыхления имеет следующий
вид:
е =ьла (11)
где Ь - модуль; а - степенной показатель пластического разрыхления (для определения параметров пластической дилатансии Ь и а были проведены экспериментальные исследования).
В зависимости от величины степенного показателя различают линейную модель а=1 и нелинейную модель а<1 для процессов с мягкой схемой напряженного состояния. Согласно степенной зависимости (11) предельная степень деформации Лпр связана с критической величиной
пластического разрыхления ец кр соотношением
е кр = ЬЛапр, (12)
а приращение пластического разрыхления - соотношением
(1еп = ЬаЛа-1dЛ. (13)
Подставляя величины £ц кр и d£jj из зависимостей (12) и (13) в
дифференциальное соотношение для меры повреждаемости (10), получаем
л аЛа dw =-d Л,
Ла
пр
308
или в интегральной форме
ЛаЛа-1Н ^
с = I-dЛ,
ла 0 Лпр
где Лпр = Лпр (а) устанавливается по диаграмме пластичности.
Выводы
1. Вариационный метод и использование основных соотношений пластического формоизменения для дилатирующего материала позволяют определить полностью напряженно-деформированное состояние во всех точках деформируемого полуфабриката, включая шаровый тензор напряжений. Этот подход является важным при анализе процессов осесиммет-ричного пластического формоизменения, в которых реализуются мягкая схема напряженного состояния и влияние шаровых напряжений на технологическую пластичность и деформационную повреждаемость очень велико.
2. Для оценки повреждаемости деформируемого материала микродефектами целесообразно использование нелинейной математической модели пластического разрыхления и экспериментально установленной связи между пластической разрыхленностью и накапливаемой деформацией. Учёт нелинейности пластического разрыхления вносит заметную поправку в расчёт операционных степеней деформаций по сравнению с использованием линейной модели.
Список литературы
1. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов С.В. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984. 144 с.
2. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. М.: Металлургия, 1970. 229 с.
3. Макаров Э.С., Гвоздев А.Е., Тутышкин Н.Д. Технологическая механика дилатирующих материалов; под ред. Н.Д. Тутышкина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 183 с.
G.M. Zuravliov, Tran Duc Hoan
APPROACH TO SOLVING THE PROBLEMS OF PLASTIC FORMING OF DILATING MATERIALS
The formulation of axisymmetric plastic forming problem of dilating materials was investigated. Basic formulas for analysis of stress-strain state and damageability of plastic dilating materials are presented. Function of power for analysis plastic forming process of dilating materials, correspoding with minimal value ofpower was formulated.
Key words: axisymmetric plastic forming of dilating material problem; stress-strain state; measure of damageablity; plastic loosening(plastic dialation), function.
Получено 14.12.11
