CC BY
35
Goryunkova Anna Alexandrovna, candidate of technical sciences, docent, anna [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.983.3:621.798.144:669.71
ПОДХОД К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В МЕТАЛЛАХ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ДИЛАТАНСИИ
Г.М. Журавлев, И.А. Наумов
Рассмотрен подход к расчету напряженно-деформированного состояния при проведении операций холодной обработки металлов давлением основанный на учете пластической дилатансии. Выписаны основные уравнения, построен функционал и показан способ его решения численным методом, позволяющим определять напряженно-деформированное состояние формирование механических свойств и деформационную повреждаемость.
Ключевые слова: изготовление изделий, дитлатирующие материалы, повреждаемость металлов, плоское пластическое деформирование.
Важной проблемой является повышение эффективности технологических процессов изготовления изделий из металлов способами обработки давлением, обеспечивающими получение требуемых эксплуатационных характеристик.
Проводимые исследования пластического формоизменения материалов показывают, что эксплуатационные свойства изделий зависят не только от механических характеристик, но и от физико-структурных свойств обрабатываемых материалов, к которым относится и повреждаемость материала дефектами деформационного характера, связанная с пластическим разрыхлением (или уплотнением) мезоструктуры деформируемого материала. Известно, что основным физическим механизмом повреждаемости металлов при их больших пластических деформациях, является порообразование. Порообразование в условиях пластической деформации приводит к необратимому изменению объема деформируемого материала - его пластической дилатансии.
В работе рассмотрен подход к исследованию процессов пластического деформирования дитлатирующих материалов. Теоретической основой анализа процессов является теория пластичности и, прежде всего, теория течения, которая предполагает использование и основных положений теории движения сплошной среды.
Рассмотрим подход к определению необходимых параметров на примере решения задач плоского пластического деформирования с учетом дилатансии материала. В данном случае относительная деформация в направлении оси у, параллельной большому размеру, будет мала еу = 0, и ею
можно пренебречь. При равенстве деформаций е у = 0, напряжение вдоль
данной оси равно полусумме двух других напряжений а
а х + а 2
Так
'У 2
как а у является постоянной величиной, то это напряжение является одним из главных, следовательно т Ху = т уг = 0. В этом случае отсутствует
составляющая скорости Vу Перемещение инструмента происходит параллельно оси г (рис.1). Задача при этом является плоской, со следующими отличными от нуля компонентами вектора скорости перемещения VХ, V Ф 0 и тензоров деформаций еХ, е , уХг Ф 0 скорости деформации
ех, &2, у^ Ф0 и напряжения аХ, ау, аг, т Хг Ф 0.
Рис. 1. Схема плоского пластического деформирования
Силы инерции и массовые силы считаем пренебрежимо малыми по сравнению с силами, вызывающими пластическое течение металла.
Пластическое течение тела должно удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия сплошной среды в напряжениях
дах , Этхг = 0. ЭОг | Этгх = 0
Эх Эг
+ •
Эг Эх
(1)
и уравнению неразрывности
'Э
р
у х + Э у г Эх Эг
V
+
ух
ЭР+ ЭР= 0
— + =
Эх
Эг
(2)
где р - плотность среды, р = ро(ехр-8); ро - начальная плотность; 8 - плоская деформация (дилатансия ), 8 = \ ёЛ; 8 - скорость дилатансии; ( - время.
Напряженное состояние в любой точке сплошной среды определяется симметричным тензором напряжений
Та =
ау О
а
2 У
Соответственно девиатор напряжений
ах - а О
\гг
О О • а.-о
где <7 - среднее напряжение, определяемое как:
о
(3)
Интенсивность касательных напряжений определяется выражением
Т=т^°х ~°у)2'
(4)
Деформация каждой точки сплошной среды характеризуется тензором деформаций
1
Те =
УXI
1
'Уп
Его компоненты определяются выражениями
дцх Э//г
Удг ¿+дх
где их, ьи - перемещения вдоль оси х и 2 соответственно.
Дилатансия определяется линейным инвариантом тензора деформации - дилатансия (относительное изменение объема)
е=/1Йе=^+%- (5)
53
Скорость деформации в любой точке сплошной среды определяется тензором скоростей деформаций:
1
Тё =
1
Ъ
Ух:
£-
Его компоненты определяются следующим образом:
Эу2
а-
УУ7=— +
(6)
,х: дг дх
Скорость дилатансии (скорость относительного изменения объема)
¿ = /1(г)6=бх+¿2,
Интенсивности скорости деформации сдвига
(7)
Интенсивность скорости деформации
ё. =Я/73.
(В)
(9)
Соотношение между напряжениями и скоростями деформации для осесимметричных процессов строится на основе гипотезы о подобии и ко-аксиальности девиаторов напряжений и тензора скоростей деформации:
Ге^о^К-0)'
(10)
где X - коэффициент, пропорциональный мощности пластической деформации.
Общее условие текучести изотропных дилатирующих сред сформулируем в виде [3]
/ = Г-*(а,р) = 0, (11)
где к - некоторая функция а и р.
Для плоского деформированного состояния дилатирующей сплошной изотропной среды используем условие текучести Грина, которое описывается кривой Ламе, где в частном случае г =2 (рис. 2):
г г 2л
+ —
V а 1ъ)
= 1; к = Ы\-
а + сЛ
а
где г = р!<1> 1, р и д соответственно четное и нечетное числа
54
Рис. 2. Условие пластичности Грина
Для определения материальных функций а, Ь, с, содержащихся в условиях текучести, составляются три уравнения:
= 1;
( 3 С + г (Яп Л
р + Р
3 а \
'3 С-ЯЛГ
+
V у
у/ЗЬ
= 1;
+
Я
V Ь У
= 1
где Яр, Як - напряжения текучести в экспериментах по одноосному
растяжению, одноосному сжатию и кручению цилиндрических образцов. Тогда получим для состояния текучести:
1 о 1
- при одноосном растяжении: о = > = р >
- при одноосном сжатии: о = - — , Г = ;
3 е л/3 с
- при кручении > = О, Т = Як .
Исключая а и Ъ, приходим к уравнению относительно с:
(
з + л
Л
) ^ - )
+ (О - )У У - -р
= (ЭОГ - *Гр ) ■
После нахождения с вычисляем а и Ъ по формулам:
а -
(зс + яр)г Я'с-(Зс-Яс)Г я'р
К - *р )
(Зс+ Яр) Г к - (зС-Яс у ягр
Г (зс + Др) Г-(3 с-ясу
ъ =
Чаще всего условие текучести Грина используется в виде эллипса, тогда при г = 2 имеем
(с + с)2 Г2
7 " а2 б2 ~ '
(13)
с -
к (
Я„(Яс -Яр
2 (3 Як - Я с Я р
у
а = с +
2сЯсЯр
з(яс - Яр
У
ь =
а Я
к
4~а 2 - с 2
(14)
В теории пластичного формоизменения имеются соотношения ассоциированного закона течения:
Чг
дх
■ X
2(о+с) 1 ох-о
+■
За'
Эу
' Эг
2(а+с) а.-а
+-
За'
Ух ,
Эг дх
=41-
ПХ2
Выписанные основные соотношения являются универсальными и могут быть использованы в дальнейшем для анализа процессов плоского пластического деформирования заготовок из дилатирующего материала.
Для анализа процессов деформации, исходя из баланса мощности внутренних и внешних, сил можно составить энергетический функционал, представляющий собой разность мощностей внутренних и внешних сил, действующих на систему:
\у -¡V =0 (15)
внутр внешн '
Под мощностью внутренних сил понимаются затраты мощности пластической деформации и мощности сил трения на контактной границе с инструментом, определяемые выражением
Ж = Ж + Ж (16)
гувнутр гупл гутр->
где Жпл - пластическая компонента мощности; Жтр - компонента мощности сил трения.
Под мощностью внешних сил понимается мощность, получаемая от воздействия осевой деформирующей нагрузки. Запишем составляющие мощности внешних и внутренних сил в форме, непосредственно используемой для расчета:
Wm. = I О] 'ei]dV;
V
Wmp. = I f ■ [vк]dFK;
FK
Weнешн. = I X x V dS
S *
где si], - компоненты тензора напряжений; ei] - компоненты тензора и и
скоростей деформации; V - объём; f - коэффициент трения; [vK ] - скорость скольжения металла по инструменту; FK - площадь контакта границы с инструментом; X - вектор поверхностных сил; V - вектор скорости движения инструмента (скорости деформирования); S - площадь торца рабочей части инструмента.
Таким образом, с учетом всего вышеизложенного общее выражение функционала, описывающего состояние деформируемой среды в произвольный момент времени, имеет вид
I (ое + TH)dV + I fts [vk ]dFK + I XVdS = 0. (17)
V F S
Функционал (17) используется для анализа процессов пластического формоизменения дилатирующих сред при статических скоростях деформации.
Для численного решения задач можно использовать стандартные прикладные программы или самостоятельно разработанные программы, которые могут быть представлены в среде программирования ДЕЛЬФИ 7.0. Данные программы позволяют определять значение мощности пластической деформации и соответствующее ей действительное поле состав-
ляющих скорости перемещений для любого процесса деформации. Полученное значение мощности дает возможность определить значение технологической Рп и удельной силы q, а действительное поле составляющих
скорости позволяет в каждой точке поля рассчитать компоненты тензора деформации ех, ег, уХ2, скоростей деформаций ех, е , ухг, интенсивность скорости деформации сдвига Н и интенсивность скорости деформации е! и компоненты тензора напряжений.
В дополнение к вышеуказанным выражениям приведем некоторые зависимости, связанные с уравнением неразрывности плоской деформации е:
е = | edt,
где е - компоненты тензора скоростей деформации,
й р Эр — =- Эр Эр Эр —-= — + (V * V) р = — + ъ — + ^ —,
dt Э t Э t Эх Эг
причем в формуле отлична от нуля лишь конвективная производная, а локальная производная Эр / Эt для установившихся процессов равна нулю.
Представим уравнение в виде = -еdt и проинтегрируем его
р
вдоль линии тока: р = ро (ехр- е):
е = | ей,
где е - скорость дилатансии.
С ассоциированным законом течения связаны соотношения
е = х*., н = х%-.
Эо Э Т
е э/ / Эо
Исключая 1 из соотношений, получаем
Н Э/ / ЭТ
е б2(о+с)
что при условии пластичности Грина дает — =---
Н а Т
Из ассоциированного закона Э/ найдем тензор напряжений
Из ассоциированного закона е ц = 1-— найдем тензор напряжений
Эои
о„ в пластической области.
V
Последовательно получаем
Э/ Э/ Эо + Э/ ЭТ _ 1 о О _ Эо = 1 О
-=---1---,О = ~ОцОц ^ —-= — ОИ
Эоц Эо Эоц ЭТ Эог/ 3 и и ЭОу 3 и
2Т2 = О О ^
дТ
О
шп
дО
шп
2Т
где Бшп - девиатор напряжений; 5 у - символ Кронекера, определяется соотношениями: 5 у = 1 при i = j, 5 у = 0 при i Ф j,
Далее находим
1
Ошп = ошп - 3 5к15
шп
дТ дТ дБшп _ Ошп
г
доу дОшп доу
2Т
1
Л
5шг 5п - Т 5кг5У 5к15шп
V 3
О
г
шп
2Т
1
V
5шг 5п/ з 5Ц 5Ц 5шп
О
шп
1
v
2Т
поскольку Ошп = 0
5шг 5пу - 3 5у 5шп
у
1 (п ЯП \ дТ Ц
и
2Т
доу 2Т'
Следовательно, ¿у = 1
' 1 / 5,у /О Л
3 да у 2Т дТ и
Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем
Т ' = ■
д/ / до
д/ / дТ'
где штрихом обозначена производная по о.
е
Поэтому с учетом формулы Т' =--, выполняя преобразования,
Н
получаем
о У =
/ 2 Л
он— Т Т V 3 ,
2Т . 5ц + —е
Н
У '
где 5у - символ Кронекера.
Последовательность построения решения в напряжениях и деформациях:
- из вышеполученного поля составляющих скоростей перемещения вычисление скорости деформации в узловых точках;
- расчет интенсивности скоростей деформаций сдвига в узловых точках;
- определение деформации в узловых точках;
- нахождение плотности дилатирующего материала в узловых точках;
- вычисление материальных функций а, Ь, с, содержащихся в условии текучести;
При вычислении материальных функций а, Ъ, с принимаются численные значения, соответствующие конкретному материалу.
Решая совместно уравнения условия пластичности, находим в пластической области О и Т:
т Ь2Я
Т = .--а = -с + ——Г.
VаЧ2+Ь2Н2 Ъ2Н
Определяем отличные от нуля компоненты тензора напряжений:
с>х-
G- =
' 2 гТл
о----
V 3 Н
г 2 гТл
о----
3 Н
2 Т
2 Т
Н Л
2 Т .
+--г.,
Н "
Тхг" н'Ух2'
Приведенный подход к расчету процессов холодной обработки металлов давлением с учетом пластической дилатансии и с использованием вариационного метода позволяет определить все параметры, характеризующие напряженно-деформированное состояние, включая шаровый тензор напряжений и неоднородность их распределения. Это дает возможность более точно выбирать технологические режимы обработки и прогнозировать эксплуатационные свойства готовых изделий.
Список литературы
1. Богатов A.A. Остаточные напряжения и разрушение металл // КШП ОМД. 2007. № 10. С. 27 - 34.
2. Богатов A.A., Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.
3. Дмитриев A.M., Воронцов A.JL Технология ковки и объемной штамповки. Часть 1. Объемная штамповка выдавливанием: учебник. М.: Высшая школа, 2002. 400 с.
4. Колмогоров B.JL, Мигачев Б.А., Бурдуковский В.Г. Феноменологическая модель накопления повреждений и разрушения при различных условиях нагружения Екатеринбург: УрОРАН, 1994. 104 с.
5. Макаров Э.М., Гвоздев А.Е. Теория пластичности дилатирующих сред. М. -Тула: Изд-во «Гриф и К», 2000. 358 с.
6. Kukuryk М. Analysis of deformation and damage evolution in hot elongation forging // Archives of metallurgy and materials. Vol. 57. Is. 2. 2012.
Журавлев Геннадий Модестович, д-р техн. наук, проф., mcgeeii4(cvgj}iail. сот, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Наумов Иван Александрович, асп., vnwnexisteiice(ävaiidex.rii, Россия, Тула, Тульский государственный университет
APPROACH TO CALCULATING THE STRESS-DEFORMED CONDITION IN METALS TAKING INTO ACCOUNT PLASTIC DILATANCY
G.M. Zhuravlev, I.A. Naumov
In the paper considered the approach to the calculation of the stress-deformed condition in the operations of cold metal forming, based on account of plastic dilatancy. Listed all major equation, built functionality and shows the way its decisions by a numerical method to determine the stress-deformed condition of the formation of mechanical properties and deformation damageability.
Key words: manufacturing of products, dilatancy material, metal damageability, flat plastic straining.
Zhuravlev Gennady Modestovich, doctor of technical sciences, professor, mcgeen4@ gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Naumov Ivan Aleksandrovich, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 681.3
ПЕРВАЯ ОПЕРАЦИЯ ВЫТЯЖКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТАКАНА БЕЗ ПРИЖИМА
В.М. Лялин, В.Ф. Кузин, Фан Нгок Ту
Решена задача, позволяющая установить напряженно-деформированное состояние цилиндрической заготовки при вытяжке.
Ключевые слова: конечные элементы, граничные условия. Абсолютные деформации и напряжения.
Возможности статического прочностного анализа программы метода конечных элементов используются для определения перемещений, напряжений, деформаций и усилий, которые возникают в конструкции или ее составных частях в результате приложения механических сил, давлений либо перемещений. В программе МКЭ для решения этих задач используются численные методы. Разрешающее уравнение статического анализа записывается в виде
[К]{и} =
где [К] - матрица жесткостей; - вектор сил;{и} - вектор перемещений.
61
