CC BY
38Научная статья УДК 004.932.4
ао1:10.24151/1561-5405-2022-27-6-807-818
Подавление белого шума на изображениях на основе винеровской фильтрации в области дискретного вейвлет-преобразования с применением нейросетевых технологий
К. А. Алимагадов, С. В. Умняшкин
Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва, Россия
Аннотация. Алгоритмы компьютерного зрения находят широкое применение при решении ряда прикладных задач. Корректность работы таких алгоритмов зависит от поступающих им на вход фото- и видеоданных, подверженных влиянию шумов, поэтому подавление шумов - важный этап низкоуровневой обработки цифровых изображений. В работе исследована винеровская фильтрация нормального белого шума в области дискретного вейвлет-преобразования с применением нейронных сетей. Приведены описания архитектуры сетей, а также разработанного алгоритма их применения для фильтрации в области дискретного вейвлет-преобразования. Предложенный алгоритм протестирован на наборе данных BSDS500 при различных уровнях шума. Качество фильтрации оценено по вычисленным значениям отношения сигнал / шум (SNR) и индекса структурного сходства (SSIM). Результаты обработки тестовых изображений свидетельствуют о том, что разработанный алгоритм превосходит по качеству шумоподавления винеровскую фильтрацию в области дискретного вейвлет-преобразования без использования нейронных сетей и большинство других рассмотренных фильтров.
Ключевые слова: подавление шумов, фильтр Винера, вейвлет-фильтрация, белый шум, фильтрация изображений, нейронные сети
Для цитирования: Алимагадов К. А., Умняшкин С. В. Подавление белого шума на изображениях на основе винеровской фильтрации в области дискретного вейв-лет-преобразования с применением нейросетевых технологий // Изв. вузов. Электроника. 2022. Т. 27. № 6. С. 807-818. https://doi.org/10.24151/1561-5405-2022-27-6-807-818
© К. А. Алимагадов, С. В. Умняшкин, 2022
Original article
White noise suppression based on Wiener filtering using neural networks technologies in the domain of discrete wavelet transform
K. A. Alimagadov, S. V. Umnyashkin
National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russia [email protected]
Abstract. Computer vision algorithms are widely used in solving a number of applied problems. Correctness of these algorithms depends on input photo and video data sensitive to noise impact. For this reason noise suppression is an important step in low-level digital image processing. In this work Wiener filtering of normal white noise using neural networks in the domain of discrete wavelet transform is investigated. A description of the networks architecture and a developed algorithm of their application for filtering in the domain of discrete wavelet transform are given. The proposed algorithm was tested on a dataset BSDS500 noised with various noise levels. Quality of filtering has been evaluated by calculated values of signal-to-noise ratio (SNR) and structural similarity index (SSIM). Results of test images processing indicate that the quality of noise suppression of the developed algorithm outperforms Wiener filtering in the discrete wavelet transform domain without using neural networks and most of other considered algorithms.
Keywords: noise suppression, Wiener filter, wavelet filtration, white noise, image denoising, neural networks
For citation: Alimagadov K. A., Umnyashkin S. V. White noise suppression based on Wiener filtering using neural networks technologies in the domain of discrete wavelet transform. Proc. Univ. Electronics, 2022, vol. 27, no. 6, pp. 807-818. https://doi.org/ 10.24151/1561-5405-2022-27-6-807-818
Введение. Среди методов подавления шумов на изображениях можно выделить три группы: пространственные, частотные и пространственно-частотные. При использовании пространственных методов снижение уровня шумов происходит за счет непосредственной обработки пикселей изображения. В основе частотных методов лежит применение преобразования, переводящего изображение в спектральную область, где и проводится обработка. Пространственно-частотные методы подавления шумов также основаны на обработке некоторого обобщенного спектра изображения. Однако в этом случае преобразование позволяет локализовать сигнал (изображение) одновременно как в частотной, так и в пространственной области, что дает возможность использовать преимущества пространственных и частотных методов. Пространственно-частотными являются, например, вейвлет-преобразования [1].
В работе [2] показано, что применение фильтра Винера в базисе дискретного вейв-лет-преобразования (ДВП) позволило получить сопоставимые (а в отдельных случаях и превосходящие) результаты фильтрации по сравнению с ее аналогом в базисе дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
Цель настоящей работы - развитие подхода, описанного в статье [2]. При формировании частотной характеристики фильтра Винера в области ДВП предлагается использовать сверточные нейронные сети для получения оценки ДВП-спектра мощности полезного сигнала, а также учитывать информацию о контурах изображения. Рассматривается ДВП, реализуемое биортогональными фильтрами 9/7 [2, 3].
Винеровская фильтрация белого аддитивного гауссова шума. Дискретные полутоновые изображения будем представлять в виде матриц, элементы которых определяют яркость пикселей. В рамках исследования рассматривается модель белого аддитивного гауссова шума, не коррелированного с изображением. Искажение изображения аддитивным шумом в формализованном виде описывается выражением
ё (Х У) = / (X У) + Ч(х, У) (1)
или в матричном виде
С = Ж + N,
где С = (ё(х, у)), Ж = (/(х, у)) и N = (п(х, у)) - зашумленное изображение, исходное
изображение и шум соответственно [4].
Считаем, что значения функций в (1) - случайные величины. Задача подавления шумов заключается в такой обработке (преобразовании) изображения О, чтобы полученное из него в результате изображение Ж как можно точнее приближало оригинальное изображение Р. В качестве мер сходства изображений используем отношение сигнал / шум (БКК) [4] и индекс структурного сходства (ББГМ) [5].
Белый шум имеет спектр мощности, равный константе, т. е. его энергия равномерно распределена по всем частотам [1]. Для модели нормального шума п( х, у) - случайная величина, плотность распределения которой задается законом Гаусса:
Р(г) = —т= е 2с ,
где ц - математическое ожидание (обычно ц = 0); о - среднеквадратическое отклонение (СКО) [4].
Обозначим матрицу яркостей пикселей полутонового зашумленного изображения как С = (ёт я), а его двумерный ДВП-спектр - как W = (^ ¡), ^ = ДВП(С). Пример
ДВП-спектра изображения и используемые обозначения для его саббэндов представлены на рис. 1.
ДВП-спектром мощности назовем математическое ожидание квадратов ДВП-коэффициентов. Для дискретного белого шума N = (цтп) с нулевым средним
М[Ли п ] = 0 и дисперсией М\п2 п] = с2 его ДВП-спектр мощности является постоянным,
т. е. Vк, I: М[ю£, ] = с2, где V = (ш^) = ДВП(К).
По аналогии с ДПФ [1, стр. 308] и с учетом того, что для исходного изображения Ж = С — N, а также в силу некоррелированности изображения и шума в ДВП-спектре мощности имеем
МК2 I ] = МК2 I ] - с2,
где 8 = I) = ДВП(Ж).
Рис. 1. Изображение Barbara (a) и его трехуровневый ДВП-спектр (б) Fig. 1. Image Barbara (a) and its three-level discrete wavelet transform spectrum (b)
В области ДВП коэффициенты фильтра Винера (аналог частотной характеристики) находятся по следующей формуле:
W (k, l) =
M [si ] M[w2] - о
M[ski ] + о2 M[wk, ]
= 1 --
о
M[w2 ]:
(2)
где - ДВП-спектр мощности зашумленного изображения О; о2 = М[ш^] -
ДВП-спектр мощности шума.
Реализация фильтра Винера в области ДВП. Разработанный алгоритм фильтрации состоит из следующих шагов (входным изображением является О, выходным - Е ). Шаг 1. Вычисление ДВП-спектра W = ДВП(О) зашумленного изображения. Шаг 2. Разделение вейвлет-коэффициентов щ 1 ДВП-спектра W на два класса:
«контурные» или «фоновые». При фильтрации вейвлет-коэффициенты, принадлежащие разным классам, будут обрабатываться независимо.
Шаг 3. Нахождение по ДВП-спектру W зашумленного изображения с использованием нейронных сетей оценки значений вейвлет-коэффициентов ДВП-спектра 8 = ДВП(Е) незашумленного изображения.
Шаг 4. Вычисление по оценкам $к1 с помощью формулы (2) коэффициентов
фильтра Винера: W (k, l) = si
11/( Sk2 i + о2),
где sk i = Са XE exP
i=-2 j=-2
i + J a
sk+u+j . Значе-
ние параметра a =1 подобрано эмпирически, а константа Са находится из условия
{ .л
i + j
a
Са ]Г ]Гехр = 1.
'=-2 ]=-2
Шаг 5. Фильтрация ДВП-спектра путем умножения каждого вейвлет-коэффи-циента зашумленного изображения на соответствующий коэффициент фильтра Винера:
щк1 = Ж(к, I!, в результате чего получается преобразованный ДВП-спектр W = (щ 1) . Шаг 6. Выполнение для получения изображения Е обратного ДВП: Е1 = ОДВП(\¥) .
На первом шаге алгоритма выполняется трехуровневое ДВП, аналогичное примеру, приведенному на рис. 1. Выбор большего количества уровней преобразования не приводит к видимому улучшению качества изображений как визуального, так и по мерам БКК и ББГМ. Описанная обработка ДВП-спектра не затрагивает саббэнд ЬЬ3.
Вейвлет-коэффициенты контурных и фоновых областей саббэндов ДВП-спектра имеют различный характер статистических связей. Поэтому на шаге 2 для получения более качественных результатов обработки осуществляется классификация вейвлет-коэффициентов ДВП на контурные и фоновые по алгоритму, представляющему собой некоторую модификацию подхода из [6] и включающему в себя следующие действия.
1. Для каждого внутреннего (неграничного) вейвлет-коэффициента щ 1 каждого
обрабатываемого саббэнда (ЬН, НЬ или НН) вычисляется взвешенная сумма £ = £(щ¡) = ^¡Щк+и+у этого вейвлет-коэффициента с его соседями, где ис-
пользуются веса К = (г ^) 1:
f-1 2 11
rlh = -1 2 1 ,
v-1 2 ъ
f-1 1 -1 1
r hl = 2 2 2
v-1 1 1,
-1 -1 -1 -1 2
-1 -11
2 -1
-1 2 ,
-1 21
2 -1
-1 -1у
V
При классификации вейвлет-коэффициентов HH-саббэндов используются две маски весов, так как в этих саббэндах проявляются два типа диагональных контуров, которые детектируются каждый своей маской.
2. Полученное для wk 1 значение модуля суммы сравнивается с двумя эмпирически подобранными порогами T = 7,2 ашЬЬ и T2 = 8,5 ашЬЬ, где <5шЬЬ - СКО вейвлет-коэффициентов соответствующего саббэнда. Вейвлет-коэффициенты, для которых выполняется неравенство |S| > T2, помечаются как контурные, а для которых T2 > |$| > T1, помечаются как контурные, если среди их восьми соседей есть хотя бы один, для которого справедливо |S| > T2.
3. В результате выполнения п.п. 1, 2 для каждого саббэнда формируется бинарное изображение, на котором контурные коэффициенты имеют единичное значение (true), фоновые коэффициенты - нулевое (false). С этими бинарными изображениями контуров выполняется морфологическая операция размыкания с примитивами:
f0 1 01 f0 0 01 f! 0 01 f0 0 11
Plh = 0 1 0 , PHL 1 1 1 P = , PHHj 0 1 0 P = , PHH2 0 1 0
v0 1 0 у v0 0 0 у v0 0 1 у v1 0 0 у
2
Множество контурных вейвлет-коэффициентов саббэндов ИИ получается путем объединения множеств помеченных на предыдущем шаге вейвлет-коэффициентов, ко-
и R
после выполнения над ними
торые найдены с помощью весовых масок Кш операции размыкания с примитивами Pm и Рж соответственно. Размыкание позволяет снизить влияние шумов и получить более четкие контуры.
Классификация вейвлет-коэффициентов на контурные и фоновые выполняется как при обучении сетей, так и при их непосредственном использовании. Пример саббэнда LH2 изображения Butterfly (исходного и зашумленного) и результат применения к нему алгоритма выделения контурных вейвлет-коэффициентов представлены на рис. 2.
Ч г ■ ■. 3"
-V Îr Л 4 * ' » »
W. i
А
Г ' *
Г J ■ il
; л;
г Г
С - г*
te. • Ч 'у -Ъ
tr t «J . ч
Л '7,.
w ' i
if "\
• Г •
Рис. 2. Саббэнд LH2 исходного (а) и зашумленного (в) изображений Butterfly и помеченные для них контурные вейвлет-коэффициенты (б, г соответственно) Fig. 2. Subband LH2 of the original (a) and noised (c) image Butterfly and its marked contour
wavelet-coefficients (b, d respectively)
На шаге 3 оценки S^ вейвлет-коэффициентов ДВП-спектра незашумленного изображения предлагается формировать с помощью нейронной сети. Для этого саббэнды наблюдаемого ДВП-спектра W зашумленного изображения покрываются перекрывающимися областями размером 5*5 вейвлет-коэффициентов. Затем каждый набор из 25 вейвлет-коэффициентов рассматриваемой области подается на вход нейронной сети, на выходе которой ожидается получить оценку незашумленного значения центрального из них (рис. 3).
Значение на входе сети
™k-2,l-2 Wk-2J-1 Щ-2,1 wk-2,l+\ Щ-2,1+2
wk-1 ,/-2 wk-1,/-1 Щ-1,1 wk-\J+\ wk-\,l+2
Щ,1-2 1 WkJ WkJ+\ Щ,1+2
wk+1,1-2 m+\ j Щ+lJ+l щ+1,/+2
Wk+2,1-2 Wk+2,/-l Щ+2,1 Щ+2,1+\ Щ+2,1+2
Предсказание сети
Отклик сети
4,1
Рис. 3. Входной образ и отклик нейронной сети Fig. 3. Input wavelet coefficients set and response of the neural network
Используемая нейросетевая модель. Для получения оценок
веивлет-
коэффициентов ДВП исходного изображения по вейвлет-коэффициентам щ 1 ДВП за-
шумленного изображения (шаг 3 алгоритма фильтрации) предлагается использовать нейронную сеть (рис. 4), имеющую два сверточных слоя, между которыми применяется функция активации вида
фид(х) = ■
X
л2
(6)
Архитектура данной сети разработана по аналогии с подходом, изложенным в работе [7]. Нетрудно показать, что функция (6) имеет следующее свойство [7]:
X
VA,^0, Vk^O: ф„а(*) = фтХ
X
— х
V ^ У
Поэтому необходимость точного ручного подбора параметра X отпадает, так как в процессе градиентного спуска веса слоев настроятся таким образом, что за счет линейных преобразований аргумента и значения фтд(х) на выходе сети получим отклик, который будет оптимальным в смысле минимума функции потерь, используемой при обучении. Начальное значение параметра X выбрано по аналогии с работой [7]: X = 3ау, где а у = 15 - СКО рассмотренного в экспериментальных тестах шума среднего уровня. График функции (6) является своего рода обобщением (промежуточной формой) классических «жесткого» и «мягкого» пороговых фильтров, используемых для фильтрации
k. I
X
Рис. 4. Архитектура нейронной сети Fig. 4. Architecture of the neural network
шумов в области ДВП [8] (рис. 5). Приведенные на рис. 4 параметры сети (размерность слоев, количество сверточных ядер, а также значение параметра функции активации m = 2) подобраны эмпирически так, чтобы результат фильтрации обеспечивал наибольший рост значений SNR и SSIM.
Для обучения и тестирования модели использовали набор из 30 полутоновых изображений размером 512*512 пикселей с разрядностью 8 бит/пиксель. Исходный набор изображений был разбит на обучающую и тестовую выборки: 25 изображений в обучающей выборке, 5 - в тестовой. В качестве образов, поступающих на вход сети, использовали наборы из 25 соседних вейв-лет-коэффициентов ДВП-спектра зашум-ленного изображения. Каждому образу была поставлена в соответствие метка - центральный вейвлет-коэффициент из 25 рассматриваемых, взятый из ДВП-спектра незашумленного изображения. Для каждого обрабатываемого саббэнда (саббэнд LL3 обработке не подвергали) обучались по две нейронных сети, одна - для фильтрации контурных вейвлет-коэффициентов, вторая - для фильтрации фоновых. Таким образом, для фильтрации изображения с использованием трехуровневого ДВП необходимо всего 18 сетей. В соответствии с рекомендациями по соотношению объема обучающей выборки Ntr и числа обучаемых параметров Np из [9] (отношение Ntr / Np должно быть не менее 30) при обучении моделей для каждого саббэнда использован объем обучающих данных, достаточный, чтобы избежать рисков переобучения.
Обучение проводили с помощью алгоритма Adam [10] со значениями параметров:
а = 0,01; в = 0,9; Р2 = 0,999; s = 108. Размер одного батча обучающей выборки
выбран равным 2048. В качестве функции потерь использовали среднеквадратическую ошибку. Количество эпох обучения выбрано равным 150. При большем числе эпох обучения уменьшения функции потерь не наблюдалось.
Результаты экспериментов. Пример винеровской фильтрации в области ДВП (с использованием нейронных сетей, а также с помощью алгоритма, приведенного в [2]) изображения Boat, зашумленного аддитивным нормальным белым шумом с нулевым средним и СКО = 15, представлен на рис. 6.
Для сравнения эффективности описанного алгоритма фильтрации нормального белого шума с существующими аналогами при проведении тестов также рассмотрены: билатеральный фильтр [11], винеровская фильтрация в области ДПФ [2], винеровская фильтрация в области ДВП [2] и фильтрация на основе сети DCT2net [7]. Фильтры протестированы на пяти полутоновых изображениях размером 512*512 пикселей, широко используемых для проверки алгоритмов цифровой обработки (Barbara, Boat, Lena, Goldhill и Mandrill). Рассмотрены три уровня шума со значениями СКО, равными 7, 15 и 30 соответственно. Параметры фильтров подбирали таким образом, чтобы для заданного СКО шума обеспечить наибольший рост отношения сигнал / шум после обработки (в среднем по тестовым изображениям).
X
Рис. 5. Графики функций, задающих жесткую (кривая 1) и мягкую (кривая 2) пороговые
фильтрации, и функции ф2д(Х) (кривая 3) Fig. 5. Graphs of the functions defining hard (curve 1) and soft (curve 2) thresholding and the function ф^х^) (curve 3)
Рис. 6. Результат фильтрации изображения Boat (SNR = 19,29 дБ, SSIM = 0,54) фильтром Винера в области ДВП: а - без использования нейронных сетей (SNR = 25,05 дБ, SSIM = 0,8);
б - с использованием нейронных сетей (SNR = 25,42 дБ, SSIM = 0,82) Fig. 6. Result of Wiener filtering of the image Boat (SNR = 19.29 dB, SSIM = 0.54): a - without the neural networks (SNR = 25.05 dB, SSIM = 0.8); b - using the neural networks (SNR = 25.42 dB, SSIM = 0.82)
Таблица 1
Значения SNR (дБ) до и после обработки фильтрами при разных значениях СКО шума
Table 1
Values of SNR (dB) before and after filtering with various values of noise standard deviation
Фильтр Barbara Boat Lena Goldhill Mandrill
о = 7
до обработки 25,3 25,88 25,93 24,85 25,66
Билатеральный фильтр 27,85 29,05 30,11 28,44 27,98
Фильтр Винера (ДПФ) 29,12 28,11 30,09 27,47 28,46
Фильтр Винера (ДВП) 28,97 29,15 30,87 28,58 30,12
Фильтр Винера (ДВП с сетями) 29,08 29,30 31,16 28,74 30,21
БСТ2пег 29,86 29,88 31,63 29,43 29,16
о = 15
до обработки 18,69 19,29 19,44 18,26 19,05
Билатеральный фильтр 22,57 25,05 25,96 24,46 23,38
Фильтр Винера (ДПФ) 25,46 24,54 26,29 23,98 23,38
Фильтр Винера (ДВП) 24,34 25,05 26,46 24,29 24,69
Фильтр Винера (ДВП с сетями) 24,56 25,42 26,92 24,65 24,86
БСТ2пег 26,03 26,58 27,89 25,70 24,84
о = 30
SNR до обработки 12,84 13,40 13,67 12,39 13,09
Билатеральный фильтр 18,94 21,59 22,21 21,42 20,10
Фильтр Винера (ДПФ) 22,26 21,52 22,72 21,37 19,57
Фильтр Винера (ДВП) 20,36 21,32 22,09 20,77 20,26
Фильтр Винера (ДВП с сетями) 20,74 22,09 23,02 21,65 20,62
БСТ2пег 22,39 23,55 24,32 22,76 21,15
Примечание. Жирным шрифтом выделены наибольшие полученные значения курсивом - второй по убыванию результат после наибольшего 8КЯ.
Как следует из табл. 1, в большинстве случаев фильтрация с помощью сети БСТ2пе1 позволяет получить наилучшие результаты обработки. Однако, уступая лишь БСТ2пе1;, винеровская фильтрация в области ДВП на основе сверточных сетей демонстрирует большие значения БКК после обработки по сравнению с результатами других фильтров. В отличие от фильтрации в области ДПФ обработка в области ДВП не содержит комплексной арифметики и ее выполнение требует меньше вычислительных затрат. Разработанный алгоритм также протестирован на наборе данных BSDS500 [12, 13], который содержит 500 изображений объектов различной природы - людей, животных, пейзажей, растений и т. п. Поэтому значения мер качества, полученные на данном наборе, могут свидетельствовать об эффективности работы предложенного алгоритма на большом количестве различных классов изображений.
В ходе экспериментов на наборе BSDS500 рассмотрены три уровня шума со значениями СКО из предыдущих тестов. Фильтрации подвергались полутоновые версии изображений с разрядностью 8 бит/пиксель. Для сравнения качества обработки на тех же данных протестирован алгоритм винеровской фильтрации в области ДВП, описанный в работе [2]. Результаты тестирования приведены в табл. 2.
Таблица 2
Средние значения SNR и SSIM, полученные по 500 изображениям до и после фильтрации при различных значениях СКО шума
Тable 2
Average values of SNR and SSIM obtained from 500 images before and after filtering with various values of noise standard deviation
Фильтр SNR, дБ SSIM
о = 7
Значение до обработки 24,58 0,80
Фильтр Винера (ДВП) 27,90 0,93
Фильтр Винера (ДВП с сетями) 28,07 0,93
о = 15
Значение до обработки 18,07 0,56
Фильтр Винера (ДВП) 23,15 0,83
Фильтр Винера (ДВП с сетями) 23,42 0,85
о = 30
Значение до обработки 12,26 0,32
Фильтр Винера (ДВП) 19,26 0,67
Фильтр Винера (ДВП с сетями) 19,74 0,72
Найденные значения БКК и ББГМ позволяют сделать вывод о том, что предложенная винеровская фильтрация на основе нейронных сетей превосходит по качеству обработки алгоритм, описанный в [2]. Разработанный алгоритм является более предпочтительным средством для устранения нормального белого шума по сравнению с фильтрацией, рассмотренной в [2, 8], с точки зрения качества шумоподавления.
Заключение. Полученные в ходе тестовых экспериментов значения БКК и ББГМ позволяют сделать вывод о том, что алгоритм винеровской фильтрации в области ДВП с применением сверточных нейронных сетей решает задачу подавления нормального белого шума лучше, чем большинство других рассмотренных алгоритмов. Модификация, учитывающая контурную информацию на изображении и использующая нейронные сети для получения оценки спектра мощности полезного сигнала, позволила улучшить результаты исходного алгоритма [2].
Предложенная архитектура сетей содержит на два порядка меньше обучаемых параметров, чем модель БСТ2пе1;: 154 против 28 561. Оценка §к1 каждого вейвлет-
коэффициента (контурного или фонового) ДВП-спектра исходного изображения формируется как отклик лишь одной из 18 сетей, обученных для обработки саббэндов определенного вида и уровня, каждая из которых содержит по 154 параметра. Используемые алгоритмом фильтрации 18 нейросетевых моделей содержат всего 18-154 = 2772 обучаемых параметра.
Найденные оценки количества вычислительных операций свидетельствуют о том, что предложенный алгоритм винеровской фильтрации требует меньше примерно в 16 раз умножений, в 15 раз сложений и в 9 раз делений, чем обработка с помощью сети DCT2net. Таким образом, предложенный алгоритм фильтрации - более эффективное решение с точки зрения экономии вычислительных ресурсов.
Литература
1. Умняшкин С. В. Основы теории цифровой обработки сигналов. М.: Техносфера, 2021. 550 с.
2. Умняшкин С. В., Алимагадов К. А. Применение фильтра Винера для подавления аддитивного белого шума на изображениях: сравнение частотного и вейвлет-базисов // Передовое развитие современной науки: опыт, проблемы, прогнозы: сб. ст. II Междунар. науч.-практ. конф. Петрозаводск: Новая наука, 2020. С. 21-27.
3. Antonini M., Barlaud M., Mathieu P., Daubechies I. Image coding using wavelet transform // IEEE Trans. on Image Proc. 1992. Vol. 1. Iss. 2. P. 205-220. https://doi.org/10.1109/83.136597
4. Gonzalez R. C., Woods R. E. Digital image processing. 4th ed. New York: Pearson Education, 2018. 1168 p.
5. Zhou Wang, Bovik A. C., Sheikh H. R., Simoncelli E. P. Image quality assessment: from error visibility to structural similarity // IEEE Transactions on Image Processing. 2004. Vol. 13. Iss. 4. P. 600-612. https://doi.org/10.1109/TIP.2003.819861
6. KimlykM., Umnyashkin S. Image denoising using discrete wavelet transform and edge information // 2018 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus). Moscow; St. Petersburg: IEEE, 2018. P. 1823-1825. https://doi.org/10.1109/EIConRus.2018.8317461
7. Herbreteau S., Kervrann C. DCT2net: an interpretable shallow CNN for image denoising // arXiv [Электронный ресурс]. 2021. URL: https://arxiv.org/abs/2107.14803 https://doi.org/10.48550/arXiv.2107. 14803 (дата обращения: 05.10.2022).
8. Alimagadov K. A., Umnyashkin S. V. Application of Wiener filter to suppress white noise in images: wavelet vs Fourier basis // 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). St. Petersburg; Moscow: IEEE, 2021. P. 2059-2063. https://doi.org/10.1109/ ElConRus51938.2021.9396470
9. Haykin S. Neural networks and learning machines. 3rd ed. New York: Pearson, 2009. 936 p.
10. Kingma D. P., Ba J. L. Adam: a method for stochastic optimization // arXiv [Электронный ресурс]. 2014. URL: https://arxiv.org/abs/1412.6980v1 https://doi.org/10.48550/arXiv.1412.6980 (дата обращения: 07.05.2022).
11. Tomasi C., Manduchi R. Bilateral filtering for gray and color images // Sixth International Conference on Computer Vision (IEEE Cat. No. 98CH36271). Bombay: IEEE, 1998. P. 839-846. https://doi.org/ 10.1109/ICCV.1998.710815
12. Arbeláez P., Maire M., Fowlkes C., Malik J. Contour detection and hierarchical image segmentation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2011. Vol. 33. Iss. 5. P. 898-916. https://doi.org/10.1109/TPAMI.2010.161
13. Berkeley segmentation data set and benchmarks 500 (BSDS500) // Berkeley Computer Vision Group [Электронный ресурс]. URL: https://www2.eecs.berkeley.edu/Research/Projects/CS/vision/grouping/ resources.html (дата обращения: 15.06.2022).
Статья поступила в редакцию 14.09.2022 г.; одобрена после рецензирования 28.09.2022 г.;
принята к публикации 14.10.2022 г.
Информация об авторах
Алимагадов Курбан Алимагадович - аспирант кафедры высшей математики № 1 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), [email protected]
Умняшкин Сергей Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики № 1 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), [email protected]
References
1. Umnyashkin S. V. Fundamentals of the theory of digital signal processing. Moscow, Tekhnosfera Publ., 2021. 550 p. (In Russian).
2. Umnyashkin S. V., Alimagadov K. A. Application of Wiener filter to suppress white noise in images: comparison of frequency and wavelet domains. Peredovoye razvitiye sovremennoy nauki: opyt, problemy, prognozy = Advanced Development of Modern Science: Experience, Problems, Forecasts, proceedings of II International research-to-practice conference. Petrozavodsk, Novaya nauka Publ., 2020, pp. 21-27. (In Russian).
3. Antonini M., Barlaud M., Mathieu P., Daubechies I. Image coding using wavelet transform. IEEE Trans. on Image Proc., 1992, vol. 1, iss. 2, pp. 205-220. https://doi.org/10.1109/83.136597
4. Gonzalez R. C., Woods R. E. Digital image processing. 4th ed. New York, Pearson Education, 2018. 1168 p.
5. Zhou Wang, Bovik A. C., Sheikh H. R., Simoncelli E. P. Image quality assessment: from error visibility to structural similarity. IEEE Transactions on Image Processing, 2004, vol. 13, iss. 4, pp. 600-612. https://doi.org/10.1109/TIP.2003.819861
6. Kimlyk M., Umnyashkin S. Image denoising using discrete wavelet transform and edge information. 2018 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus), Moscow, St. Petersburg, IEEE, 2018, pp. 1823-1825. https://doi.org/10.1109/EIConRus.2018.8317461
7. Herbreteau S., Kervrann C. DCT2net: an interpretable shallow CNN for image denoising. arXiv. 2021. Available at: https://arxiv.org/abs/2107.14803 https://doi.org/10.48550/arXiv.2107.14803 (accessed: 05.10.2022).
8. Alimagadov K. A., Umnyashkin S. V. Application of Wiener filter to suppress white noise in images: wavelet vs Fourier basis. 2021 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus). St. Petersburg, Moscow, IEEE, 2021, pp. 2059-2063. https://doi.org/10.1109/ ElConRus51938.2021.9396470
9. Haykin S. Neural networks and learning machines. 3rd ed. New York, Pearson, 2009. 936 p.
10. Kingma D. P., Ba J. L. Adam: a method for stochastic optimization. arXiv. 2014. Available at: https://arxiv.org/abs/1412.6980v1 https://doi.org/10.48550/arXiv.1412.6980 (accessed: 07.05.2022).
11. Tomasi C., Manduchi R. Bilateral filtering for gray and color images. Sixth International Conference on Computer Vision (IEEE Cat. No. 98CH36271). Bombay, IEEE, 1998, pp. 839-846. https://doi.org/10.1109/ ICCV.1998.710815
12. Arbelaez P., Maire M., Fowlkes C., Malik J. Contour detection and hierarchical image segmentation.
IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2011, vol. 33, iss. 5, pp. 898-916. https://doi.org/10.1109/TPAMI.2010.161
13. Berkeley segmentation data set and benchmarks 500 (BSDS500). Berkeley Computer Vision Group. Available at: https://www2.eecs.berkeley.edu/Research/Projects/CS/vision/grouping/resources.html (accessed: 15.06.2022).
The article was submitted 14.09.2022; approved after reviewing 28.09.2022;
accepted for publication 14.10.2022.
Information about the authors
Kurban A. Alimagadov - PhD student of the High Mathematics-1 Department, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), [email protected]
Sergei V. Umnyashkin - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof. of the High Mathematics-1 Department, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), [email protected]
