CC BY
19
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.518.6 © Л. И. Данилов
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПО ВЕЙЛЮ СЕЧЕНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Пусть (U, р) — полное метрическое пространство, Mp(R, U) , где p ^ 1 — множество (сильно) измеримых функций f : R ^ U , для которых
Г i+1
sup / pp(f (t),x0) dt < , x0 € U.
i€R Л
На Mp(R, U) определяются метрики
Dpp)iU,g) = (sup у / f?(f(t),g(t))dt) /P, l> 0
v5eR l ;
и полуметрика D^p)(f,g) = lim DPP](f,g) , f, g € Mp(R, U) . Для измеримого (по Лебегу)
l^+x p’
множества T С R обозначим
kw{T) = lim sup у mes [£,£ + /] ПТ,
l^+x £gR 1
где mes — мера Лебега на R. Пусть Mp(R, U) — множество функций f € Mp(R, U) таких, что для любого е > 0 существует такое число 5 > 0, что для всех измеримых множеств T С R, для которых kw (T) < 5 , справедливо неравенство
lim sup у I ff(f(t),Xo)dt<£.
l^+cx, jeR 1 J[£^+i]nT
Для функции f € Mp(R, U) число т € R называется (е, D^^l) -почти периодом, где е > 0,
если D^l(f (.), f (. + т)) < е , и (е, dPpP) -почти периодом, если D^p)(f (.), f (. + т)) < е . Множество T С R относительно плотно, если существует число а > 0 такое, что [£, £ + а] П T = 0 для всех £ € R. Функция f € Mp(R, U) , p ^ 1 принадлежит пространству Wp(R, U) почти периодических (п.п.) по Вейлю функций порядка p, если для любого е > 0 существует число l = 1(е, f) > 0 , для которого множество (е, Dppl) -почти периодов функции f относительно плотно.
На пространстве U определим также метрику р;(ж,у) = min{1, p(x, y)} , x,y € U . Пусть W(R, U) = Wi(R, (U, р;)) — пространство п.п. по Вейлю функций f : R ^ U (порядка 1) со значениями в метрическом пространстве (U, р;) . Имеем Wp(R, U) С Wi(R, U) С W(R, U), p ^ 1. Последовательность {т/ }/gN С R называется f -возвращающей для функции
f € W(R, U) , если DlP ^(f (.),f (. + т/)) ^ 0 при j ^ . Для функции f € W(R, U)
через Mod f обозначается модуль (группа по сложению) таких чисел Л € R, что elArj ^ 1 при j ^ (где i2 = —1) для любой f -возвращающей последовательности {т/} . Если
U = (H, у.У) — банахово пространство и f € Wi(R,H) , то Mod f совпадает с модулем частот функции f .
Пусть (clb U, distp) — метрическое пространство непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства (U, р) с метрикой Хаусдорфа distp , (cl U, distp) — метрическое пространство непустых замкнутых подмножеств пространства (U, р) с метрикой Хаусдорфа distp , соответствующей метрике р . Пространства Wp(R, clb U) , p ^ 1 и W(R, clb U) п.п. по Вейлю многозначных отображений F : R ^ clb U определяются как соответствующие пространства п.п. по Вейлю функций со значениями в метрическом пространстве (clb U, distp) . Положим W(R, cl U) = Wi(R, (cl U, distp)); W(R, clb U) С W(R, cl U).
Теорема 1 ([1]). Пусть (U, р) - полное метрическое пространство, g Є W (R, U), F Є W(R, cl U) . Тогда для любой неубывающей функции п : [0, +то) ^ [0, +то) , для которой n(t) > 0 при t > 0 , существует функция f Є W(R, U) такая, что Mod f С Mod g + Mod F , f (t) Є F(t) п.в. и p(f (t),g(t)) ^ p(g(t),F(t)) + n(p(g(t),F(t))) п.в. Если F Є Wp(R, clb U) для некоторого p ^ 1, то функция f принадлежит пространству Wp(R, U) .
Для полного сепарабельного метрического пространства (U, р) обозначим через (M(U),d) (полное сепарабельное) метрическое пространство вероятностных борелевских мер ^[.] , определенных на а -алгебре борелевских подмножеств метрического пространства (U, р) , с метрикой Леви - Прохорова d ; Wi(R, M(U)) — пространство п.п. по Вейлю мерозначных функций R Э t ^ ^[.; t] Є M(U) порядка 1 со значениями в метрическом пространстве (M(U),d) . Мерозначная функция R Э t ^ ^[.;t] Є M(U) принадлежит пространству Wi(R,M(U)) тогда и только тогда, когда F(ж) ^[dx;.] Є Wi(R, R) для всех непрерывных ограниченных функций F Є Cb(U, R) (см. [2]). При этом
Mod ^[.;.] = ^ Mod / F(ж) ^[dx;.].
FeCb (U,R) Ju
Для ^ Є M(U) , ж Є U и 5 Є (0,1) положим r¿(ж,^) = inf {r > 0 : ^[Ur(ж)] > 5} , где Ur(ж) = {y Є U : р(ж,у) < r} .
Теорема 2. Пусть (U, р) — полное сепарабельное метрическое пространство,
g Є W(R, U), ^[.;.] Є Wi(R, M(U)) . Тогда для любого 5 Є (0,1) существует функция f Є W(R, U) такая, что Mod f(.) С Modg(.) + Mod ^[.;.] , f(t) Є supp^[.; t] п.в. и р(Л(t),g(t)) <r¿(g(t),^[.; t]) + 5 п.в.
Пусть Srd — совокупность относительно плотных множеств T С R. Будем обозначать через PpP) (е; f) множество (е, Dp)) -почти периодов функции f Є Mp(R, U) .Пусть Wp(R, U) — множество функций f Є Mp(R, U) таких, что 1) PpP) (е; f) Є Srd для всех е > 0 ,2) для любых е, 5 > 0 существует компакт С U такой, что kw ({t Є R : р(f (t),K£¿) ^ е}) <5 .В
случае U = (Rn, |.|) условие 2 выполняется для всех функций f Є Mi(R, Rn) . Обозначим W(R,U) = Wi(R, (U,р/)). Имеем Wp(R,U) = W(R,U) П Mp (R, U) С W(R,U) П Mp (R, U) С С Wp(R, U). Если f Є W(R, U) П Mp(R, U) , то для любого е' > 0 существует число е > 0 такое, что рр) (е'; f) 5 )(е; f) .
Теорема 3. Пусть (U, р) — полное метрическое пространство, g Є W (R, U),
F Є Wi(R, (cl U, distp)) и T(е) = )(е; g) П p(distp/) (е; F) Є Srd для всех е > 0 . Тогда для
любого 5 > 0 и любой функции h Є Wi (R, R) с плотным в R (счетным) модулем частот Mod h (для нее T(е) ПР(р*) (е; h) Є Srd для всех е > 0 ) найдется функция f Є W(R, U) такая, что f(t) Є F(t) п.в., р(Д(t),g(t)) < р^^)^(t))+5 п.в. и для любого е' > 0 существует такое число е > 0 , что )(е'; f5 T(е) ПР(р*)(е; h) . Если, кроме того, F Є Mp(R, clb U) для некоторого p ^ 1, то f Є W(R, U) П Mp (R, U) С Wp(R, U) .
Список литературы
1. Danilov L. I. On Weyl almost periodic selections of multivalued maps // J. Math. Anal. Appl.
2006. V. 316. № 1. P. 110-127.
2. Данилов Л. И. О почти периодических по Вейлю мерозначных функциях // Известия Института математики и информатики УдГУ. Вып. 1 (31). Ижевск, 2005. С. 79-98.
Данилов Леонид Иванович Физико-технический ин-т УрО РАН,
Россия, Ижевск
e-mail: [email protected]
