Плотность распределения капитала некоммерческого фонда для пуассоновской модели при гистерезисном управлении капиталом Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 3(12)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.865

Я.С. Бублик, К.И. Лившиц ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПИТАЛА НЕКОММЕРЧЕСКОГО ФОНДА ДЛЯ ПУАССОНОВСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ ГИСТЕРЕЗИСНОМ УПРАВЛЕНИИ КАПИТАЛОМ1

Получены уравнения, определяющие плотность распределения капитала некоммерческого фонда, в предположениях, что поступающие денежные средства (премии) и выплаты из фонда образуют пуассоновские потоки, а управление капиталом фонда является гистерезисны. Найдено решение уравнений при экспоненциальных распределениях поступлений и выплат и в случае малой нагрузки премии.

Ключевые слова: некоммерческий фонд, гистерезисное управление, плотность распределения капитала, малая нагрузка премии.

Под некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. К некоммерческим фондам могут быть отнесены, в частности, все государственные внебюджетные фонды РФ. Построению и исследованию моделей некоммерческих фондов посвящены, например, работы [1 - 5], в которых исследуются характеристики математической модели деятельности фонда при различных предположениях о потоках поступающих в фонд платежей (премий) и выплат из фонда. В настоящей работе задача решается в предположении, что потоки поступающих в фонд премий и выплат из фонда являются пуассоновскими, а управление капиталом фонда является гистерезисным.

1. Математическая модель изменения капитала фонда

Основной характеристикой состояния фонда является его капитал 5(0 в момент времени /. В работе предполагается, что с капиталом 5(0 могут происходить следующие изменения:

1. В фонд поступают денежные средства. Будем считать, что моменты поступления денежных средств образуют пуассоновский поток с интенсивностью X. Поступающие денежные суммы являются независимыми одинаково распределенными величинами с плотностью распределения ф(х), средним значением

М {х} = а и вторым моментом М {х2 } = а2 .

2. Фонд расходует поступившие денежные средства. Будем считать, что выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величи-

1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы “Развитие научного

потенциала высшей школы” (2009 - 2010 годы), проект № 4761.

нами с плотностью распределения у (х), средним значением М {х} = Ь и вторым моментом М {х2} = Ь2.

Моменты начисления выплат денежных средств также образуют пуассонов-ский поток, интенсивность которого ц( 5) зависит от капитала фонда. Предполагается, что управление расходованием денежных средств определяется следующим образом, Устанавливаются два пороговых значения капитала £ и Х2, причем £2 > . В области £ < £ ц(5) = ц0, в области £ > £2 ц(5) = ц1. Так как фонд

не имеет целью получение прибыли, то естественно считать, что

ц0Ь < Ха < ц1Ь . (1)

Таким образом, при £ < £1 фонд расходует в среднем меньше средств, чем в него поступает, а при £ > £2 расходует в среднем больше средств, чем в него поступает.

В области же £1 < £ < £2 устанавливается значение ц( 5) = ц0 или ц( 5) = ц1 в зависимости от того, как процесс £ (ґ) вошел в эту область. Если он вошел в нее через порог £1 снизу вверх , то остается ц(5) = ц0, если же он вошел в эту область через порог £2 сверху вниз, то остается ц( 5) = ц1. Таким образом, значение ц(5) = ц1 устанавливается при достижении капиталом £ (ґ) значения £2 и оканчивается при уменьшении капитала до значения £1. Область £1 < £ < £2 и представляет собой область гистерезиса в управлении капиталом.

Наконец, будем считать, что при £ < 0 фонд не прекращает свою деятельность, но наступает период неплатежеспособности фонда, обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.

2. Плотность распределения капитала фонда

Выпишем уравнения, определяющие плотность вероятностей Р (5) величины капитала фонда 5 во всех областях изменения капитала в стационарном режиме. Так как суммы поступающих премий и расходуемых денежных средств представляют собой сложно-пуассоновские процессы [6] в каждой из областей, то плотность Р (5) существует и может иметь разрывы лишь в точках £1 и £2. Перенесем начало отсчета в точку £ = -£1 и обозначим £0 = £2 - £1. При этом нижний порог £1 = 0 .

Начнем с области £ > £0. Обозначим через Р (5, ґ) плотность распределения капитала фонда 5 в момент времени ґ. Рассмотрим два близких момента времени ґ и ґ + Дґ. Значение капитала 5 в момент времени ґ + Дґ может быть получено в следующих случаях. В момент времени ґ капитал фонда равнялся 5 , и за время Дґ он не изменился. Вероятность этого события 1 -(Х + ц1 )Дґ + о (Дґ). В момент времени ґ капитал фонда равнялся 5 - х, и за время Дґ поступила случайная премия х. Вероятность этого события ХДґф(х) йх + о (Дґ). В момент времени ґ капитал фонда равнялся 5 + х, и за время Дґ произведена случайная выплата х. Вероятность этого события ц1Дґу(х) йх + о (Дґ). По формуле полной вероятности

будем иметь

ад ад

Р(*,ґ+Дґ)=(1-(Х+ц1 )Дґ)Р(5,ґ)+ХДґ|Р(^-х^)ф(х)ёх+ц1Д/1Р(*+х,ґ)у(х^х+о(Дґ) .

0 0

Переходя к пределу при Дґ ^ 0 и ґ ^ад , получим, что при £ > £0

ад ад

(Х + ц)Р (^) = Х| Р (^ -х)ф(х)ёх + ц1Р(^ + х)у (х)ёх . (2)

0 0

Решение уравнения (2) должно удовлетворять граничному условию Р (+ад) = 0 .

Перейдем к рассмотрению области 0 < £ < £0. Здесь возможны два варианта ц(^) = ц0 и ц(^) = ц1. Обозначим

80 (*) = Р{* < * (ґ) < * + ё*, ц( *) = ц0 } / ё^',

81 (*) = Р {* < * (ґ) < * + ё*, ц(*) = ц} / ё* в стационарном режиме. Очевидно, что

Р (* ) = 80 (* ) + 8і (* ) .

Рассмотрим сначала траекторию, для которой ц(*) = ц0. В этом случае значение капитала * в момент времени ґ + Дґ может быть получено в следующих ситуациях. В момент времени ґ капитал фонда равнялся * и за время Дґ он не изменился. Вероятность этого события 1 -(Х + ц0 )Дґ + о(Дґ). В момент времени ґ

капитал фонда равнялся * - х, и за время Дґ поступила случайная премия х. Вероятность этого события ХДґф( х) ёх + о (Дґ). В момент времени ґ капитал фонда равнялся * + х, и за время Дґ произведена случайная выплата х. Вероятность этого события ц1Дґу(х) ёх + о (Дґ). Причем * + х < £0, так как в противном случае ц(*) равнялось бы ц1, а не ц0 (траектория начиналась бы в области * > £0). По формуле полной вероятности получим в стационарном режиме

* ад £0

(Х+ц0 )80 (*)=Х|80 (*-х)ф(х)ёх +Х|Р(*-х)ф(х)ёх+ц0 | 80 (*+х)у(х)ёх. (3)

0 * 0

Рассмотрим теперь случай, когда ц(*) = ц (траектория изменения капитала начиналась в области * > £0). В этом случае значение капитала * в момент времени ґ + Дґ может быть получено в следующих ситуациях. В момент времени ґ капитал фонда равнялся * , и за время Дґ он не изменился. Вероятность этого события 1 - (X + ц) Дґ + о (Дґ). В момент времени ґ капитал фонда равнялся * - х, и за время Дґ поступила случайная премия х . Вероятность этого события ХДґф(х)ёх + о (Дґ). При этом * - х > 0, так как в противном случае ц(*) = ц0, а не ц (траектория начиналась бы в области * < 0 ).В момент времени ґ капитал фонда равнялся * + х, и за время Дґ произведена случайная выплата х. Вероятность этого события ц1 Дґу (х) ёх + о (Дґ). В стационарном режиме получим

* £0-* ад

(Х+ц)8] (*)=Х|81 (*-х)ф(х)ёх +ц | 81 (*+х)у(х)ёх+ц | Р(*+х)у(х)ёх. (4)

0 0 £0 -*

Наконец, в области 5 < 0, учитывая, что переход в эту область возможен из области 5 > S0, а из области 0 < 5 < £0 как с траектории с ц(5) = ц0, так и с траектории с и (5) = ц1, получим в стационарном режиме

» - 5

( + *, )Р (5 ) = У| Р ( 5 — х)ф(х)ёх + ^0 | Р(5 + х)ф(х)ёх +

0 0

^ — 5 ^ — 5 ад

+ц0 | g0 (5 + х)у(х)ёх +ц1 | gl (5 + х)у(х)ёх +ц1 | Р(5 + х)у(х)ёх. (5)

—5 —5 £0 — 5

Решение уравнения (5) должно удовлетворять граничному условию Р(—ад) = 0 .

3. Экспоненциальные распределения премий и выплат

Пусть распределения поступающих премий и выплат из фонда являются экспоненциальными :

ф(5)=«ехр(—5), у(5)=1ехр (—5). (6)

В этом случае может быть найдено точное решение системы уравнений (2) -

(5). Рассмотрим, например, решение уравнения (5) как самого громоздкого. Подставляя в уравнение (5) плотности распределения ф( 5) и у( 5) (6), получим

у — 5 5 у 5 0 — у 5

(Х + ^0 )Р(5) = ае а | Р(у)еаЛу + -уеЬ |Р(у)е Ъ<^у + ^еЬ, (7)

—ад 5

и 5° —у и 5° -■у и ад —у

где Q = -Ъ-1 £0 (у)е ЪЛу + ЬI ё1 (у)е ЪЛу + ЪI Р(у)е ЪЛу.

Ъ 0 0 50

Дважды дифференцируя (7), приходим к уравнению

Р (5) — ¿0Р (5)= 0, (8)

где ¿0 = ъ;:0Ъ )(

аЪ (У + и0)

Откуда, учитывая условие Р(—ад) = 0 , будем иметь, что при 5 < 0

Р(5) = Бек°5. (10)

Постоянная Б должна быть теперь определена так, чтобы решение (10) дифференциального уравнения (8) удовлетворяло исходному уравнению (7). Аналогично, решение уравнения (2) имеет в области 5 > £0 вид

Р(5)= Ле~к5, (11)

и1Ъ — Уа

где к1 = Ъ( ^ (12)

аЪ (У + и1)

решение уравнения (3) в области 0 < 5 < £0

Я0 (5) = В + Век°5, (13)

решение уравнеия (4)

81 (* ) = С1 + С2е~

(14)

Постоянные А,В1,В2,С1,С2,Б должны быть теперь выбраны так, чтобы функции (10), (11), (13), (14) удовлетворяли системе исходных уравнений (2) - (5) и условию нормировки

0 £0 +ад

| Р(*)ё* + | (0 (*) + 81 (*)) + | Р(*)ё* = 1. (15)

-ад 0 0

Подстановка решений (10), (11), (13), (14) в систему уравнений (2) - (5) приводит к соотношениям на постоянные

В + В2

1 ■ = Б 1

1 + к0 а

1 + к0 а

„к0 £0

В + В2

С + С2

1 - к0Ь

= 0;

1

1 - к1а

= 0;

к1£П

к1£П

С + С

А-

---------= А------------:

1 + к1Ь 1 + к1Ь

■ = Б-

к0гк° £°

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(1 — к1а)^(1 + к1Ъ)-(1 — к1а)е к^0 ) (1 + к0а)(1 + к0а)ек°5° — (1 — к0Ъ)

Решая систему уравнений 16) - (20) и учитывая условие нормировки (15), окончательно получим, что

Щ ((1 + к0а) — (1 — к0Ъ )е~к°) ек°5, 5 < 0,

Р(5) = |г0 (1-(1-к0Ъ)ек°(5—)) + ) (1-(1 — к^е^15), 0< 5< £0, (21)

Щ ((1 + к1Ъ(ек1*° —(1 — ка)), 5 > £0,

где

К =

к1 (1 + к0 а)

К =

к0 (1 - к1а)

(22)

4. Плотность распределения капитала фонда при малой нагрузке премии

При произвольных распределениях поступающих премий ф(5) и выплат у (5) получить точное решение системы уравнений (2) - (5) не удается. Однако в этом случае можно построить приближенное решение уравнений при некоторых дополнительных предположениях. Введем параметр 9 , где 0 < 9< 1, и будем считать, что

и0Ъ = (1 — 9)Уа, и1Ъ = (1 + 9)Уа. (23)

Параметр 9 имеет тот же смысл, что и нагрузка страховой премии в задачах страхования [7]. Рассмотрим, далее, асимптотический случай, когда нагрузка премии 9 ^ 1. Практически это означает, что при любом значении капитала s фонд расходует почти столько же денежных средств, сколько в него поступает. При этом естественно считать, что пороги S1 и S2, определяющие гистерезисное управление капиталом, зависят от нагрузки премии 9 . Более точно будем считать, что при 9^0 разность порогов S0 (9) = S2 (9) - S1 (9) ^ да , но существует конечный предел

z0 = lim 9S0 (9).

6^0

Опять перенесем начало отсчета в точку s = -S1. Решение системы уравнений

(2) - (5) будем искать в виде

g0 (s) = 9/0 (9s, 9), g (s) = 9fi (9s, 9), P (s) = 9f (9s,9), (24)

где f (z, 9), fi (z,9) - некоторые функции, которые считаются дважды дифференцируемыми по z и равномерно непрерывными по 9 . Подставляя (24) в уравнение

(3) и делая замену переменной 9s = z, получим уравнение относительно функции

f0 (^ 9):

да да

(X + h) )f0 ( z 9) = Xj /0 ( z -9x, 9)ф(х )dx + ^0 j /0 ( z + 9x, 9)у( x )dx +

0 0

да да да (25)

+Xj f (z-9x,9)cp(x)dx-Xj f0 (z-9x,9)v|/(x)dx-ц0 j f0 (z + 9x,9)v|/(x)dx.

z0 - z Є

Раскладывая в первых двух интегралах подынтегральные выражения в ряд Тейлора по первому аргументу и ограничиваясь первыми тремя членами разложения, получим, учитывая (23),

Xa2 +^ob2

+-

2

92

fo (z ,9)-W0 (z,9)+

f (z-9x,9)p(x)dx-X| f0 (z-9x,9)p(x)dx-ц0 J f0 (z + 9x,9)\\i(x)dx

z z Zo -z

9 9 9 .

(92)

0(92'1

92

- = 0. (26)

Функции f (z, 9), f0 (z, 9) предполагаются дифференцируемыми и, следовательно, ограниченными. Поэтому, например:

1 да 1 да

— J f0 (z + 9х, 9)\(x)dx < maxf0 (y, 9)-j J x2\(x)dx —>0,

9 Z0-z y (z0 - z) Z0-z 9—0

9 9

так как второй момент M {x2} = b2 по условию существует. Аналогично могут быть оценены и другие интегралы.

Обозначим

/о (г) = Ит /о ( 0). (27)

0^0

Переходя в (26) к пределу при 0 ^ 0, получим уравнение относительно функЦии /о (г):

/о (г)-юо/0 (г) = °

2Ха

где ®о = 7-------—. (28)

Ха2 +Цо^2

Откуда

и, следовательно,

fo (z) = B + B2ea°0 go (s) = 0(B + B2efflo6s) + о(0). (29)

Аналогичные рассуждения позволяют показать, что функция

f (z)= lim fl (z, 0) (30)

0^0

определяется выражением

f (z) = Cj + C2e-ffll°, (31)

где ®1 = . 2Xa , (32)

Xü2 + ^

и, следовательно,

Наконец, функция

gl (s) = 0(Ci + C2e-ffll0s) + о(0). (33)

f (z ) = lim f (z, 0) (34)

0^0

будет равна /(г) = -Г^п / °’ (35)

[£>еИог, г < о,

где учтено, что / (г, 0) ^ о при г ^ ±о , и, следовательно,

р Г Ж*-'0 + о(0), * > ^, (36)

[О0е*о0' + О (0), 5 < о.

При выводе соотношений (29), (33) и (36) неявно предполагалоь, что * Ф о и

* Ф Хо. Рассмотрим теперь уравнения системы (2) - (5) при * = о и * = Хо. При

* = о уравнение (3) имеет вид

£о О

(^ + Цо )Яо (о) = Цо | 8о (х)у(х)¿х + Х|Р(-х)ф(х)ёх . о о

Откуда, учитывая (29) и (36), получим

£о О

(Х + цо )(В +В2 ) = Цо | ( +В2еа°вх )(х)а?х + ХБ| е-Ио0хф(х)а?х + о (0).

Переходя к пределу при 9 ^ 0, будем иметь

В-1 + В2 = Б.

Рассматривая теперь уравнение (3) при 5 = £0, аналогично получим

В1 + В2 е*0 г° = 0.

Уравнение (4) при 5 = 0 и 5 = £0 приводит к соотношениям

С1 + С2 = 0;

С1 + С2е-“1*» = Ле а12°.

Наконец, уравнение (2) при 5 = £0 дает

ад ад

(X + ^ )Ле~*195° = ц1 Ле-*^01 е-и‘9ху (х) йх + ХБеи°95° | е

(37)

(38)

(39)

(40)

Юобл:

X| ( + В2еи°е5°-Ио9х)ф(х)^х + х{ (с1 + С2е~ИіЄ5°+Иі9х)ф(х)^х + о(0).

1 Ч Л „-«>120 + 0 (0)

Откуда с учетом (37) - (40)

Хаю0 „ , , Хаю

-Б - (ц1Ью1 +-

-) Ае

= 0.

Так как ц1й = (1 + 0)Ха , то, переходя к пределу при 0 ^ 0, получим

А

= Б-

(41)

Решая систему уравнений (38) - (40) и используя условие нормировки (15), окончательно получим, что при 9 ^ 1 плотность распределения капитала фонда Р (5 ) имеет вид

'(1 - е-ю°95° )ю1

р (5 )=

,©005

+о(0),

£0 (ю0 + ю1 )

Ю1 (1 - ею00(-50)) Ю0 (1 - е-^)

£0 (ю0 + ю1 ) ¿0 (ю0 + ю1 )

/еш1050 -1)

М.____________!_ е-ю105

¿0 (ю0 + ю1 )

+ о (0),

(42)

Зная плотность распределения капитала фонда, можно найти такие его характеристики, как вероятности неплатежеспособности и повышенных выплат.

Неплатежеспособность фонда наступает тогда, когда его капитал становится меньше -¿1 (при выбранном начале отсчета). Поэтому вероятность неплатежеспособности фонда

ю1 (е-^1 - е-ю»052) 0(2 - ¿1 )ю0 (ю0 +ю1 )

(43)

0

£

Повышенные выплаты фонд производит в двух случаях: когда капитал фонда £ > £0 либо при 0 < 5 < £0, когда траектория изменения капитала, начавшись при 5 = £0, еще не достигла значения 0 . Поэтому вероятность повышенных выплат

Как следует из соотношения (44), вероятность Рп не зависит от порогов алгоритма.

В работе найдена плотность распределения капитала некоммерческого фонда при пуассоновских потоках премий и выплат и гистерезисном управлении капиталом. Предложенная методика может быть использована для анализа других моделей некоммерческих фондов при условии, что нагрузка премии считается малой.

1. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Изв. вузов. Физика. 2003. № 3. С. 83 - 87.

2. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 18. С. 302 - 308.

3. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник ТГУ. 2006. № 293. С. 38 - 44.

4. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Пуассоновская модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлением капиталом // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 19. С. 302 - 312.

5. Лившиц К.И., Бублик Я.С. Плотность распределения капитала некоммерческого фонда при гистерезисном управлении капиталом // Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 315. С. 174 - 178.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. М.: Мир, 1967. Т. 1.

7. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во ТГУ, 2004. 180 с.

Бублик Яна Сергеевна

Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске Лившиц Климентий Исаакович Томский государственный университет

E-mail: [email protected] Поступила в редакцию 6 мая 2010 г.

(44)

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

498 с.