Плоские термоэлектронные облака и заряд пылинок Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

ПЛОСКИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОННЫЕ ОБЛАКА И ЗАРЯД

ПЫЛИНОК

С. И. Яковленко

На основе точного решения уравнения Пуассона Больц-мана в плоском случае рассмотрены свойства равновесных термоэмиссионных облаков вокруг пылевых частиц с большой плотностью заряда на поверхности. Показано что равновесное значение зарядов пылинок существенно меньше того значения, которое при соответствующей температуре получено в экспериментах. Отмечено, что термоэмиссионная пылевая плазма в имеющихся экспериментах является переохлажденной по степени ионизации.

Последнее время большое внимание уделяется рассмотрению пылевой плазмы, фор мирующейся за счет термоэмиссии электронов из пылинок [1-5]. При этом болыпо;; интерес представляет вопрос о равновесных распределениях электронных облаков в та ких системах. При большой плотности заряда на пылинке становится справедливо)' плоская модель, в рамках которой можно точно решить уравнение Пуассона Больц мана и определить равновесное распределение основного заряда в термоэлектронное облаке.

Уравнение Пуассона - Больцмана. Рассмотрим ситуацию, когда электронный газ над плоской поверхностью формируется за счет термоэмиссии электронов из тела при температуре Т. Для нахождения распределения потенциала ф, напряженности поля Е = —Vф и плотности заряда еЛ^ следует решить уравнение Пуассона, в котором плотность заряда определяется распределением Больцмана ЛГе = Л^ ехр(е.^>). Здесь Л"., - плотность электронов в тех точках, где потенциал равен нулю; учтено, что заряд электрона отрицателен. В общем случае уравнение Пуассона - Больцмана имеет вид Аф = 47ге2Лге1 ехр(еф).

Будем измерять длину в единицах d = 8ге2/Т. Кроме того, выберем нулевое значение потенциала в точке, где (87тe2/T)3Nei = 1. Введем безразмерные величины потенциал у?, напряженность поля Е и плотность электронов пе - с помощью соотношений: кр = фе/Т, Е = Fed/T = FT2/87re, пе = (8тге2/T)3Ne. Тогда уравнение Пуассона Больцмана в плоском случае, когда все величины зависят только от безразмерной координаты х по некоторой оси, перпендикулярной заряженной плоскости, принимает вид: d2<p/dx2 = (1/2) ехр(</?), Е = -dtp/dx, пе = ехр(<р).

Граничные условия и классификация решений. При рассмотрении такого рода задач, как для плоской, так и для сферически-симметричной геометрии, обычно выбирают граничные условия, соответствующие обращению в нуль как потенциала, так и напряженности поля в некоторой точке [4-6].

Однако в общем случае следует задавать плотность положительного заряда на стенке а. При этом задается значение напряженности поля на стенке F0 = F(x = 0), Е0 = Е(х = 0). Оно соответствует напряженности поля в плоском конденсаторе: F0 = 4лсг или ad2/е = 2Е0. Мы здесь рассмотрим именно такую постановку задачи.

Второе граничное условие выберем в некоторой точке ао, соответствующей нулевой напряженности поля, где заряд плоскости полностью компенсируется зарядом слоя электронов: Е(ао) = 0.

Понизим порядок уравнения Пуассона - Больцмана, рассматривая напряженность поля, как функцию потенциала: EdE/dtp = (1/2) ехр((/?). Первое интегрирование дает связь напряженности поля с потенциалом: Е = (ехр(у>) -f Е\ — I)1/2. Здесь Е\ - значение напряженности поля в той точке х = ai, где потенциал равен нулю <^>(ai) = 0. а безразмерная плотность электронов равна единице.

Возможны три типа решений уравнения —d^p/dx — (ехр(у) + Е2 — I)1/2, которым отвечают физически разные задачи. Рассмотрим их.

Когда Ei > 1, поле нигде не обращается в нуль. Это соответствует ситуации, когда заряд плоскости не компенсирован зарядами электронов. Мы здесь этот случай рассматривать не будем.

Когда Ei = 1, поле обращается в нуль при у = —оо. Эта ситуация соответствует электронному облаку, создаваемому одной плоскостью, причем нулевое значение поля имеет место на бесконечном расстоянии от плоскости, ао —> оо.

Когда Ei < 1, поле обращается в нуль при конечном значении потенциала = 2 ln( 1 — Е2). Эта ситуация соответствует, например, электронному облаку, создавае-

мому между двумя идентичными заряженными плоскостями, причем нулевое значение напряженности поля имеет место в точке ао, соответствующей половине расстояния между этими плоскостями.

Случай одной плоскости. Интегрируя уравнение —dtp/dx = exp(<¿?/2), получаем:

<р(х) = 2\п[2Е0/{хЕ0 + 2)], Е{х) = 2Е0/(хЕ0 + 2), пе(х) = [2Е0/(хЕ0 + 2)]2.

Потенциал обращается в нуль, а поле и плотность электронов становятся равными единице в точке а\ = 2 • (1 — \¡ Ео), которая может лежать как слева, так и справа oj заряженной плоскости.

Величина 2/Е0 дает характерную ширину области спада плотности электронов и напряженности поля. При большой плотности заряда на стенке слой электронов, ком пенсирующий этот заряд, становится узким и область основного изменения различны х характеристик электронного облака можно рассматривать на основе плоской задачи даже в случае пылинки сложной геометрии. Большая плотность заряда поверхности пылинки (Е0 ~ 500) характерна для экспериментов [1 - 3] (см. [4, 5] и ниже).

Выразим поверхностную напряженность поля Ео через термоэмиссионные харак е ристики. Термоэмиссионная плотность тока определяется формулой Ричардсона Деш мана: j — Aexp(—b/T), А = \-nmet¡b? — 120 Л/сле2. Здесь Ь- работа выхода электронов со стенки, h = 2nh - постоянная Планка. Из условия равенства термоэмиссионного ток; обратному тепловому току j = е(Т/2тгтеУ^2 Ne0 имеем плотность электронов на грани це: Ne0 = N(b)ü3'2exp(-l/tf), N(b) = 2(теЬ/2тгЯ2)3/2 = 6.04 • 1021 см~3 • (Ь/эВ)3/2, где д — Т/Ь. Отсюда следует безразмерное значение приповерхностной плотности электро нов: пео = C(6)t?-3/2exp(-l/t?), C{b) = 2(те/27г^2)3/2(8тге2)3/63/2 = 2.9 ■ 105 {эВ/b)3'2.

Из равенства пе0 = Е£ находим значение граничной напряженности поля Е0 = л'/Г через которую, согласно полученным выше формулам, просто выражается как поверх ностная плотность зарядов, так и зависимость от координаты х всех остальных вел;-чин: Е(х), пе(х).

Случай двух плоскостей. Интегрирование уравнения —dy/dx — [exp((¿>/2) — k2)]1/'2, где k = (1 - El)1'2, дает: ф) = In(Е2 + к2), Е(х) = к ■ tg[(a„ - х)к/2)], пе(х) = (Е2 + к2). Поле обращается в нуль при а0 = (2/к) ■ arctg(Ео/к). Величину к следует выбирать та кой, чтобы значения Ео и ао соответствовали заданным значениям плотности заряда на плоскости и половине расстояния между плоскостями (см. ниже). Плотность электрон' : в рассматриваемой области 0 < х < а0 не обращается в нуль. При к = 1 полученн* решение соответствует большой плотности заряда на стенке Ео » 1, когда потенциал и поле обращаются в нуль практически в одной точке а0 = 7г (см. [4, 5]).

17 / 1/2

ЕоЧо

1/2 п ЗоПеО /2

Рис. 1. Зависимость приведенной напряженности поля на стенке е — E0/nlJ02 от приведенного расстояния между стенками а = а0п1/02/2, (сплошная кривая). Пунктир соответствует приближенному выражению для больших расстояний е = (1 — (7г/2а)2)1/2, (а —> оо); штрихи приближенному выражению для малых расстояний е — а, (а —» 0), когда электроны выдавливаются на стенки.

Зависимость поверхностной напряженности поля Eq от термоэмиссионных характеристик для двух заряженных плоскостей несколько отличается от рассмотренного выше случая одной заряженной плоскости. Используя равенство пе0 = Е$ + к2 и подставляя к = (ne0 — Eq)1/2 в выражение для а0, имеем: а — (1 — 62)-1/2arctg[e/(l — б2)1/2], а = a0nj02/2, е = Eo/nló2. Это выражение, задает Е0 как функцию, обратную зависимости а(е), см. рис. 1.

При больших расстояниях между плоскостями, когда а >> 1, б(а) —>• 1, имеет место то же выражение для граничной напряженности поля, что и в случае одной плоскости

К - */2

При малых расстояниях между плоскостями, когда а << 1, е(а) —► 0, граничная напряженность поля (и с нею плотность заряда на стенке) стремится к нулю (Е0 0 при а0 -н► 0). Плоскости как бы выдавливают электроны на стенки.

Значение а0 — аъл, разделяющее эти области зависимостей Ео от а0, равно эф-

фективной ширине пристеночного слоя электронов, создаваемого одной плоскостью: abd - 2/Е0 = 2п~о/2.

Применение к пылевой плазме. Ориентируясь на эксперименты [1 - 3], рассмотрим характерные величины для термоэмиссионной плазмы Сг02- В работах [2, 3] приведена несколько различающиеся значения работы выхода СгО2; соответственно, Ь\ = 2.1ЪзВ и ¿2 — 2.1 эВ. Хотя значение 62 представляется более точным-, ниже даны зависимого и для обоих значений Ь. Средний радиус пылинок и плотность числа пылинок имели значения соответственно, го = 0.4 мкм, Np ~ 5 • 107 см"3.

Заряд на поверхности пылинки и размерная ширина электронного слоя определи ются выражениями: Zp = 2Е0(8тге2/Т) 2(47Гг^); ам = (2/Е0)(8тте2/Т). При температуре Т = 1700 А', имевшей место в экспериментах, где наблюдалось некоторое упорядочивание в расположении пылинок, эти величины составляют: Zp(b\) и 13, Zp(b2) яз 115; a6<i(V) ~ 7г0, a6d(62) ~ 0.7го. Экспериментальное же значение заряда пылинки при этой температуре было существенно больше: Zv « 500.

Рис. 2. Зависимости заряда частицы (а) и отношения толщины слоя к радиусу частицы (Ь) для различных значений Ь: сплошная кривая Ь = 2.1 эВ; пунктир - Ь = 2.75 зВ; штрихи - Ь = 1.7 эВ.

Рассмотрение зависимостей Zp и а^ от температуры (см. рис. 2) показывает, что в термодинамическом равновесии экспериментальное значение заряда пылинки Zp ^ 500, для которого применима плоская модель, достигается лишь при Т = 2100 А . При

этом «¡,¿(62) ~ 0.17го. Расстояние между пылинками во всех случаях достаточно велико, дг-1/з ^ 70ГО) что позволяет пренебречь обсуждавшимся выше эффектом выдавливания электронов.

Существенно более высокое значение температуры Т — 2100A', при которой в термодинамическом равновесии заряд пылинок соответствует фактически имеющемуся, по сравнению с экспериментальным значением температуры Т = 1700 К для того же заряда, можно связать с неточностью определения работы выхода для "гофрированных" частиц малого размера. Тогда для согласия с экспериментами следует положить Ь = 1.7 эВ (см. рис. 2). Кроме того, поверхность "гофрированной" пылинки превосходит величину 47ГГд.

Отметим еще одно обстоятельство. Для того, чтобы заряд пылинки не был практически полностью экранирован электронным облаком и система пылинки-газ вела себя как плазма, а не набор нейтральных дебаевских атомов, плазма должна быть переохлаждена по степени ионизации. Иначе говоря, температура пылинок, эмиттирующих электроны, должна быть несколько выше температуры газа. В пользу этого предположения косвенно свидетельствует и тот факт, что рассмотрение баланса термоэмиссии и тройной рекомбинации [4] приводит к разумным значениям заряда пылинки (при Т = 1700 К, Zp » 230 для Ь = 2.75эВ\ Zp « 410, для Ь = 2.1 эВ и Zv & 520 для 6= \.1эВ).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Фортов В. Е., Нефедов А. П., Петров О. Ф. и др. ЖЭТФ, 111, N 2, 467 (1997).

[2] Фортов В. Е., Филинов B.C., Нефедов А. П. и др. ЖЭТФ, 111, N 3, 889 (1997).

[3] Н е ф е д о в А. П., Петров О. Ф., Ходатаев Я. К., Храпак С. А. ЖЭТФ, 115, N 3, 837 (1999).

[4] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. Препринт ИОФАН N 8, М., 1997.

[5] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. ЖТФ, 69, N 1, 53 (1999).

[6] G i Ь s о п Е. G. Phys. Rev., 9, N 12, 2389 (1966).

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 28 июня 1999 г.