CC BY
67
УДК 624.21
ПЛИТЫ С ДВУМЯ ЗАЩЕМЛЕННЫМИ И ДВУМЯ СВОБОДНО ОПЕРТЫМИ СТОРОНАМИ
В.П. Кожушко, профессор, д.т.н., ХНАДУ
Аннотация. Приводится метод расчета пластин, у которых две противоположные стороны защемлены, а две другие стороны имеют свободное опирание. Реализация задачи базируется на решении системы алгебраических уравнений.
Ключевые слова: граничные условия опирания плиты на опоры, единичные перемещения, показатель гибкости системы, поперечные полосы, продольные полосы, распределительная способность системы, смешанный метод строительной механики.
ПЛИТИ З ДВОМА ЗАТИСНЕНИМИ I ДВОМА В1ЛЬНО ОБПЕРТИМИ СТОРОНАМИ
В.П. Кожушко, професор, д.т.н., ХНАДУ
Анотаця. Наведено метод розрахунку пластин, у яких дв1 протилежм сторони затиснут1, а дв1 гншг сторони мають выьне обпирання. Реал1зац1я задач1 базуеться на розв 'язанм системи алгебрагчних р1внянь.
Ключов1 слова: граничм умови обпирання плити на опори, одиничм перемщення, показник гнучкост1 системи, поперечм смуги, поздовжт смуги, розподыьча здатмсть систем, зм1ша-ний метод будгвельног мехатки.
PLATES WITH TWO RESTRAINED AND TWO FREE - SUPPORT SIDES
V. Kozhushko, Professor, Doctor of Engineering Science, KhNAHU
Abstact. A method for calculation of plates with two opposite restrained and two opposite free-support sides is developed. The problem is solved using a system of algebraic equations.
Key words: boundary conditions for slab-resting on piers, unit deflections, system's flexibility index, transverse plates, longitudinal plates, system's distributive capacity, mixed method in engineering mechanics.
Введение
Классический расчет пластин на внешние нагрузки базируется на решении дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений в частных производных [1, 2]. При этом методика расчета уравнений зависит от вида приложенных к плитам внешних нагрузок и граничных условий опирания плиты на опоры. Сравнительно простое в математическом плане решение получается при загружении плиты равномерно распределенной нагрузкой по всей ее площади и сво-
бодном опирании двух ее противоположных сторон на опоры. При действии иных внешних нагрузок или при сложных условиях опирания сторон пластины на опоры задача значительно усложняется, поэтому получение решения в замкнутом виде возможно только для простых задач.
Анализ публикаций
Естественно, ученые изыскивали иные способы расчета пластин, которые бы могли учесть все факторы, влияющие на НДС си-
стемы, и дали бы возможность разрешить математические трудности задачи. В связи с этим стали применять приближенные вариационные методы [1], метод сеток [2], МКЭ [3], метод конечных элементов смешенного типа [3], одинарные и двойные тригонометрические, степенные и смешанные бесконечные ряды [4, 5], решения в матричной форме [6], тензорное исчисление [7] или ряды специального типа [8].
При решении задачи вариационными методами (например, методом Ритца-Тимошенко) сначала задавались поверхностью прогибов в виде ряда
™ = е ат ф т (х, ^)
т= 1
(1)
затем составляли уравнение потенциальной энергии. Используя вариационное уравнение Лагранжа
3 (V - и)
д ат
= 0
(2)
переходили к решению системы алгебраических уравнений, в которых неизвестными являлись коэффициенты ат. В формуле (2) V - энергия внутренних сил; и - энергия внешних сил.
Проводились также исследования работы на изгиб прямоугольных пластин при трех ее закрепленных гранях [9] и при учете нелинейных процессов [10].
Цель и постановка задачи
Анализируя эти разработки, можно сделать вывод о том, что нет единого подхода к решению задач по расчету пластин при действии на них разных внешних нагрузок и при различных способах закрепления их граней. В связи с этим предлагается для всех упомянутых условий работы пластин применить приближенный метод расчета [11, 12], разработанный нами для определения НДС пролетных строений автодорожных мостов.
Расчет заключается в том, что вдоль сторон 1а и 1Ь вырезаются полосы определенной ширины (рис. 1). Количество продольных полос шириной d лучше назначать нечетным, а если количество полос планируется четным,
то оно должно быть не менее 10. В нашем случае продольная полоса пролетом 1а представляет собой элемент с обоими защемленными концами, т.е. он рассчитывается как статически неопределимая балка с 3 неизвестными, но при этом вводится цилиндрическая жесткость полосы при изгибе.
Рис. 1. Расчетная и основная схемы поперечной полосы
Поперечную полосу шириной 1м (см. рис.1) следует вырезать в том месте по длине пролета 1а, в котором предполагается определять внутренние усилия в плите (на рис.1 такая полоса вырезана в середине пролета 1а). Поперечный элемент рассматривается как балка на упруго оседающих опорах, которыми и являются продольные полосы. В этом и заключается совместная работа пересекающихся полос. При решении задачи можно учесть все шесть неизвестных в каждой рассматриваемой точке плиты, однако, как показали исследования, приведенные в работе Улиц-кого Б.Е. [4], на распределительную способность системы наибольшее влияние оказывают вертикальные силы Zl и крутящие моменты Мг (см. рис.1). Задача по определению НДС системы упрощается, если построить линии влияния сил Zl, действующих на продольные полосы, и линии влияния крутящих моментов М. После этого не представляет никаких трудностей построение линий влияния поперечных сил и изгибающих моментов в поперечной полосе.
Предлагаемый метод расчета
Для определения усилий Х и М используется смешанный метод строительной механики. Для этого вводится фиктивное защемление на левом конце поперечной полосы (в точке А). Для рассматриваемой в статье задачи учитывается то положение, что поперечная полоса, кроме опирания на упругие опоры (т.е. на продольные полосы), имеет еще и две концевые опоры (см. рис. 1). Все упругие и концевые опоры разрезаются горизонтальной плоскостью, а вместо отброшенных связей прикладываются опорные реакции ХА Хв, вертикальные силы Х в месте установки упругих опор. Кроме того, неизвестным будет и угол поворота упругого защемления (угол поворота фа). Упругие опоры устанавливаются под серединами продольных полос, т.е. на расстояниях между собой, равных d, если ширина всех продольных полос одинакова. При учете только вертикальных сил Х количество неизвестных составит (п +3), где п -количество продольных полос (количество упругих опор). Для определения неизвестных Zi, ХА, ХВ и фА следует решить систему из (п +3)-х уравнений.
м8 + 8 ^ + - + 8^ + 81ВгБ + аф а + А ,р = 0;
н 8 п1Х1 + 8 п2Х2 + •" + 8 ппХп + 8 пВХВ + апФ А + А пР = 0;
П 21 + 22 + • + 2п + + 2в - 1 = 0;
о а1Х1 + а212 + • + апХп + 1В2В + ai = 0. (3)
Поскольку система (3) включает в себя толь-
ко (п +2) уравнения, то следует ввести до-
полнительное уравнение (4), учитывающее равенство нулю перемещения в точке В по-
перечной полосы.
8 В1Х1 + 8 В 2 Х2 + ••• + 8 ВпХп + 8 ВВХВ + + 1Вф А + А ВР = 0.
(4)
Методика вычисления единичных перемещений при неизвестных ХА, ХВ и Х, свободных членах Др и коэффициентах при угле поворота фА приведена в работе [11], хотя некоторые особенности их определения мы приведем и в статье.
где Ук - прогиб 7-й точки поперечной полосы с фиктивным защемлением в точке А от единичного усилия Хь, приложенного в к-ой точке. Прогиб определяется легко при использовании правила Верещагина, т.к. эпюры изгибающих моментов от сил Х = 1 и Хк =1 представляют собой треугольники, построенные как для консольной балки.
Главные же единичные перемещения 5Й поперечной полосы в 7-й точке от единичного усилия Zi = 1 равны
5Й = У„ + Уг ,
(6)
где ун - прогиб продольной полосы от единичной равномерно распределенной нагрузки q = 1, приложенной вдоль полосы. Прогиб продольной полосы определяется в том сечении по ее длине, в котором вырезана поперечная полоса. Прогиб находится по общепринятой методике строительной механики как для балки с обоими защемленными концами. Например, при определении прогиба уа в среднем сечении продольной полосы следует пользоваться формулой
уи
IР (1 - О
384 Е^
(7)
где
Е I
пр пр
1 ~ - цилиндрическая жесткость про- Упр
дольной полосы.
С целью определения ординат линий влияния сил, действующих на продольные полосы, систему уравнений (1), (2) следует решать п раз, учитывая установку единичной распределенной нагрузки над каждой продольной полосой.
Для возможности проведения анализа влияния соотношения изгибных жесткостей продольных и поперечных полос, а также их размеров на НДС системы, нами предлагается первые п уравнений системы (1) и уравнения (2) разделить на прогиб уа. Тогда измененные величины единичных перемещений 8 ук следует определять по формуле
Единичные перемещения 51к учитывают прогибы только поперечной полосы и определяются по формуле
5й- Ук ,
(5)
где
8 Ук =а щ
_жа7 ц ж~ ак о7 ц
-3"7Ч з 3~7- "Гч . и а ш и а а ш
(8)
(9)
Если k то в формуле (9) индексы надо поменять местами.
Показатель гибкости системы
* 3(1 -у 2оп)
^ 77 т ?
6 Епоп ^поп Уп
(10)
где ^поп/поп - изгибная жесткость поперечного сечения поперечной полосы; \'||0|| - коэффициент Пуассона материала поперечной полосы; </ - расстояние между серединами продольных полос.
Для середины пролета продольной полосы с защемленными концами
а =
64^ПРУ3(1-Ур
попЛюп(1- У пр)
(11)
Измененные главные перемещения 8 % следует определять по формуле
4 = Р + а^й,
(12)
где (3 К, К] - коэффициент, учитывающий влияние характера опирания поперечной полосы на величину прогиба ' /-й продольной полосы от единичной распределенной нагрузки </=!.
Р=1
Рис. 2. Схема для определения прогибов у(г) под ий точкой поперечной полосы Р=1
Рассмотрим поперечную полосу как балку, нагруженную сосредоточенной силой Р=1, расположенной на расстоянии у1 от фиктивной заделки (от левого конца поперечной полосы, рис. 2). Тогда прогиб у() в точке I от единичной силы Р=1, приложенной в этой же точке i, можно выразить следующей формулой:
Е
1
где
Обозначим через
х = У •
1Ь
К = 3(Х 2 - 2Х 3 + Х 4).
(14)
(15)
поп1поЛ) = ^ 13(Х 2 - 2Х 3 + Х 4), (13)
Величиной К обозначим выражение (15) для средней продольной полосы, т.е. для точки, в которой yi = 1^2. Тогда для средней полосы (наиболее удаленной от точек А и В опирания концов поперечной полосы) в = 1, для остальных полос величина в будет меньше единицы.
Методика определения измененных свободных членов А уР и коэффициентов а) при угле поворота фА изложена в работе [11].
Используя показатель гибкости а, можно оценить влияние жесткостей и геометрических параметров продольных и поперечных полос на НДС пластины.
Анализируя систему уравнений (1), можно сделать вывод, что каждое из первых п уравнений системы описывает работу одной главной балки (первое уравнение - работу первой главной балки, п-е уравнение - работу п-й балки).
Ширину продольных полос можно принимать не одинаковой, т.е. можно рассматривать так называемую нерегулярную систему. Решение задачи о НДС нерегулярной системы не вызывает серьезных затруднений. Если нерегулярная система имеет такое же количество главных балок, как и регулярная, то количество уравнений в системе (1, 2) не меняется. И в этом случае при определении единичных перемещений, свободных членов и коэффициентов при фА следует пользоваться вышеизложенными формулами.
Если при расчете поперечной полосы, опирающейся на две концевые опоры, учесть крутящиеся моменты М, то необходимо решение новой системы, в которой нужны дополнительные п уравнений (по количеству неизвестных моментов М ).
Методика определения коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (16) изложена в работе автора [12].
а
м 8 if)Zj + - +8 (Z)Zn +8 (B)ZB + 8MM + - +8 MZ + ajj л + A 1P = 0;
J 8 ffj + - +8 (nf}fn + 8 nbZb + 8 Mm + - +8 M)Mn + aj a + A p = 0;
J 0 (f)fj + - +0 (ff + 0 (BbZb + 0MMl + - +0 MZ + j a +01P = 0;
н....................................................................................................................................................................................(16)
J 0 n?fj + - +0 n^Z +0 'sZb +0 ПМм + - +0 MZ + j A +0 p = 0;
J fj + - + fn + fA + Zb - 1 = 0;
j ajfj + - + anfn + IbZb + M + - + mn - a, = 0; J 8 B? f 1 + - +8 fn + 8 f f в +8 BMMj + - +8 z Mn + A bp = 0.
Решение задачи не усложняется, если каждая продольная или поперечная полосы имеют свои жесткости, а также если продольные и поперечные полосы имеют переменные по длине жесткости.
Выводы
Предложенная методика расчета позволяет определять НДС плиты при загружении любыми внешними нагрузками или при различной ее геометрической анизотропии.
Литература
1. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки /
С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кри-гер ; пер. с англ. -2-е изд., стереотипное. - М. : Наука, 1966. - 635 с.
2. Вайнберг Д.В. Расчет пластин / Д.В. Вайн-
берг, Е.Д. Вайнберг. -2-е изд., перераб. и доп. - К. : Бущвельник, 1970. - 435 с.
3. Белкин А.Е. Простейшие конечные эле-
менты смешанного типа для задач изгиба пластин / А.Е. Белкин // Вестник МГТУ. Серия «Машиностроение». -2003. - № 2. - С. 15-36.
4. Улицкий Б.Е. Автоматизация проектирова-
ния плитно-балочных разрезных мостов / Б.Е. Улицкий, Ю.М. Егоруш-кин, В.А. Ермолов ; под ред. Б.Е. Улиц-кого // Тр. Всесоз. науч.-исслед. ин-та трансп. стр-ва (ЦНИИС). - М. : Транспорт. - 1976. - Вып. 102. - 128 с.
5. Семенец Л.В. Пространственные расчеты
плитных мостов : учебное пособие / Л.В. Семенец ; под общ. ред. В.А. Российского. - К. : Вища шк., 1976. - 164 с.
6. Масленников А.М. Расчет строительных
конструкций численными методами :
учеб. пособие / А.М. Масленников. -Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. - 224 с.
7. Работнов Ю.Н. Механика твердого дефор-
мируемого тела : учеб. пособие / Ю.Н. Работнов. - М. : Наука. Гл. редакция физ.-мат. л-ры, 1979. - 744 с.
8. Власова Е.В. Метод расчета прямоуголь-
ных пластин при изгибе сосредоточенными силами : монография / Е.В. Власова ; Рос. гос. откр. техн. ун-т путей сооб.
- М., 2003. - 116 с.
9. Джабидзе Г.О. Расчет на изгиб тонкой
плиты прямоугольной формы, когда три ее грани закреплены жестко, а четвертая
- свободна / Г.О. Джабидзе // Проблемы прикл. мех. - 2003. - № 4. - С. 87-93.
10. Запорожец Е.В. Некоторые особенности
расчета балочных пластин и балок при больших прогибах / Е.В. Запорожец,
B.Б. Запорожец, Л.В. Фролова // Вюник Придншр. держ. акад. буд-ва та аритектури. - Дшпропетровськ. - 2002. -Вип. 6. - С. 22-27.
11. Кожушко В.П. Расчет пролетных строе-
ний балочных мостов разрезной системы / В.П. Кожушко // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К. : Бущвельник. - 1980. - Вып. 36. -
C. 118-122.
12. Кожушко В.П. До розрахунку балочно-
консольних прогшних будов на тимча-сове навантаження / В.П. Кожушко // Автом. дороги i дор. буд-во. - К. : Бущ-вельник. - 1985. - Вип. 37. - С. 56-60.
Рецензент: Э.Д. Чихладзе, профессор, д.т.н, ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 2 апреля 2010 г.
