CC BY
14
УДК 681.7.068.4
ПЛАНАРНЫЙ СЛАБОКОНТРАСТНЫЙ БРЭГГОВСКИЙ ВОЛНОВОД СО СТЕНКАМИ ИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИ РАСПОЛОЖЕННЫХ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ
Р. М. Фещенко1, А. В. Виноградов
Развита аналитическая теория планарных слабоконтрастных брэгговских световодов, основанная на представлении тонких размытых слоев дельта-функциями. Найдено дисперсионное уравнение для световода с малым числом слоев, оценены радиационные потери. Проведены численные расчеты потерь для световода с параметрами, близкими к реальному волокну, известному из литературы. Представленная модель является более реалистичной, чем модель с резкими границами слоев.
Несмотря на значительные успехи, достигнутые при использовании простых оптических волокон, основанных на полном внутреннем отражении, в волоконной оптике существует ряд нерешенных проблем. Они связаны с необходимостью уменьшения не линейности, управления дисперсией и количеством распространяющихся в волокне мод, реализацией одномодового режима в волокнах с большим диаметром сердцевины. Последнее необходимо для создания мощных одномодовых волоконных лазеров [1]. Для решения обозначенных проблем необходим переход к использованию световодов сложной конструкции: микроструктурированных и брэгговских. Если первые из них хорошо известны и находят практические применения, то вторые только начинают развиваться.
Начало изучения брэгговских световодов было положено в работах [2, 3], где рассматривались световоды с полой сердцевиной и большим скачком показателя преломления между слоями. В более современных работах [4, 5] получила распространение другая конструкция, где сердцевина состоит из материала с показателем преломления, немного
меньшим 0.001), чем в оболочке, а отражение обеспечивается структурой, состоящей из трех концентрических слоев с показателем преломления немного выше 0.01), чем в оболочке. Было экспериментально показано, что в таком волокне существуют брэгговские моды с относительно малыми радиационными потерями [4, 5]. Дальнейшее развитие подобных слабоконтрастных брэгговских световодов требует развития их теории и методов расчета.
Ранние попытки построения аналитической теории брэгговских световодов связаны с использованием приближения, где все слои имеют резкие границы [2, 3]. Однако из измерений известно, что такое приближение далеко от реальности - слои размываются, и получаются острые пики показателя преломления (см. рис. 2 и 8 в [5]). Развиваемая в настоящей работе теория основывается на представлении тонких размытых слоев с помощью дельта-функций. На этой основе выводится и численно решается дисперсионное уравнение, находятся радиационные потери планарных слабоконтрастных брэгговских световодов.
Отражение от бесконечной периодической структуры, состоящей из дельта-функций. Рассмотрим отражение электромагнитной волны с s-поляризацией от пла-нарной многослойной структуры с диэлектрической проницаемостью е(х) вида:
оо
е(х) = £i + а ^ 8{х — ml), (1)
171=0
где £i - диэлектрическая проницаемость среды в промежутках между дельта-функциями, / - период многослойной структуры, а а > 0 - интеграл от дельта-функции. Электрическое поле удовлетворяет волновому уравнению:
Е"(х) + к2 (ф) - р2) Е(х) = 0, (2)
где к - волновое число, ар- компонента волнового вектора вдоль волокна, отнесенная к к. Из (1) и (2) следует, что между дельта-функциями электрическое поле Е(х) может быть представлено в виде:
Е(х) = Clme"^-m'> + C2me-*"<*-m,\ (3)
где к = ку/е-1 — р2, (ш — 1)/ < х < т1, т = 1,2,... и х < 0, т — 0. Коэффициенты С\т и С2т находятся из условия непрерывности поля на дельта-функциях, при следующих из (2) скачках производной. Коэффициент отражения от такой структуры равен:
я = (4)
Вектор Cjm = (Cim, С2т)Т при трансляции влево на период I преобразуется с помощью матрицы перехода МТ:
Сц., = MTCim, (5)
где матрицы М и Т - это матрицы прохождения через дельта-функцию и сдвига влево на расстояние /, соответственно. Можно показать, что:
1 / е-С"**) -ieiU sin ip \ к2 а л , , тг
МТ =- . ... \ , а = ——, tg^ = a, 0 < v? < —.
eos ip у ie~ sin <p et(i/í+v) y 2k 2
Для бесконечной многослойной структуры в силу теоремы Блоха справедливо:
MTCi = /iCi, (7)
т.е. вектор столбец C¿ является собственным вектором оператора МТ. Собственные числа МТ равны:
= Т, (8)
cos<¿>
а собственные векторы:
_ ( iaeiU \ _ /- И2\
xli - I . А , _2„-.7ZkW> .. I ' ХЬ - ( -iae~ilK I '
Vi + а2е-'(,к+^) - /xi У '
Не ограничивая общности, положим теперь |/xi| > 1, а |/гг| < 1 (поскольку |ij = | det МТ| = 1)- Тогда в соответствии с (4) и (9) коэффициент отражения от бесконечной многослойной структуры, составленной из дельта-функций, будет равен:
R=-e-il*[ATiVT=A>), A=SÍn(/K + y')> (10)
sin у?
где верхний знак (минус) выбирается, если eos (/к + ip) > 0, и нижний знак (плюс), если cos(//c + ip) < 0. Можно показать, что случай cos(//c + <р) > 0 отвечает четным брэгговским порядкам, а случай cos(//c + <р) < 0 - нечетным.
Будем считать, что а £ И, т.е. поглощение в среде отсутствует. Тогда коэффициент отражения (10) равен по модулю 1, если |А| < 1. Границы этого интервала определяются уравнениями:
sin(//c + tp) = ± sin v?, (11)
которые имеют следующие решения (относительно длины волны А или параметра р):
2ly/a - р2 = пА, 2lyfei-p2 = + А. (12)
Для центра полосы, т.е. для точки, где А = 0, можно получить:
2/^/еа-р2^ + (13)
В формулах (12)—(13) п = 1,2,.... Формулы (12)—(13) определяют полосы, нумеруемые числом п. Полоса с центром, определяемым уравнением (13), имеет границы, определяемые уравнением (12).
Заметим, что центры полос, определенные из условия (13), соответствуют минимумам абсолютной величины одного из собственных чисел (8): минимальное положительное значение одного из собственных чисел достигается в четных полосах, а минимальное по модулю отрицательное - в нечетных. Эти минимальные по абсолютной величине числа равны:
= Та ± VI + а2 = ±аё + 0 ■ (14)
Минимальные значения соответствуют в силу уравнения (7) максимально быстрому затуханию электромагнитной волны в глубь структуры, т.е. наилучшему удержанию поля в световоде. Рассмотрим два частных случая.
• Пусть параметр а мал. В этом случае:
7Г СИ . .
Тогда для центра полосы можно получить из (13) выражение
21у/£1-р* = - ^—з + пХ, (16)
у у/ег - р2
которое приблизительно совпадает с известным условием Брэгга, поскольку первое слагаемое в правой части мало. Для границ полос имеем из (12)
21у1ех -р2 = Хп, 21у/£1 -р2 =--72^== + Хп. (17)
• Пусть теперь а 1. В этом случае для центра полосы имеем из (13)
21^е\ — р2 = Л(—1/2 + га), (18)
для границ полос получаем из (12)
21у/£1 - р2 = Хп, 21у/б1 -р2 = А ( —1 + п). (19)
Из формул (18) и (19) видно, что полосы смыкаются друг с другом, образуя сплошную зону, где = 1.
Моды идеального слабоконтрастного брэгговского световода. Рассмотрим симметричный планарный волновод со следующей зависимостью диэлектрической проницаемости от *
£о, М < 2> / ч
(20)
е(х) =
еа+а £ ¿(|x|-6-f-m/), |*|>f,
т=0
где (1 - толщина сердцевины волновода, а. е0- ее диэлектрическая проницаемость. Параметр Ь - расстояние от границы сердцевины до первой дельта-функции или т.н. фазовый параметр.
Будем далее рассматривать только симметричные моды, т.е. решения уравнения (2), для которых справедливо Е(—х) = Е(х). Симметричные моды при прочих равных условиях лучше удерживаются световодом и, следовательно, представляют основной интерес. Тогда в сердцевине решение уравнения (2) можно записать как
д
Е(х) = Е0 eos (í/*) , г] — kyje0 - р2, |*| < -. (21)
Дисперсионное уравнение в общем виде записывается, исходя из непрерывности логарифмической производной при х = d/2
, (yd\ _ .к 1 - Дехр(2гбАс) V +Äexp(2»ftic)'
где R определяется формулой (10). Его можно преобразовать к виду:
r,tgV{ = «ctg - у - ^ + ' cos(/k + v) < °> (23)
7/tg^ = «ctg (bK-J + l'iy cos(/k + V>) > (24)
где
. (sm(ln + ip)\ тг 7Г
7 = arcsin I Ц-^ , --<!<-■ 25
\ sin y> J l ¿
Как видно, параметр 7 не всегда вещественен. Уравнения (23)-(24) в общем виде и при учете материальной дисперсии могут быть решены только численно.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Случай малого a здесь не представляет интереса, поскольку в реальных волокнах число периодов невелико и, следовательно, волновод будет плохо удерживать поле.
• Пусть а 1. Как уже отмечалось, это соответствует ip ¡=s 7г/2 и, следовательно,
sin</? й ±1 и Ай sin(//c + 7г/2). Можно показать, что уравнения (23) и (24) сводятся к одному уравнению
7?tg^ = /cctg(bK). (26) В наиболее простом случае, когда b — 0, уравнение (26) упрощается
rid 7Г 2жт „ . ч
iytg-^- = oo ^ + m = 0'1'2'- (27)
Формулу (27) с учетом определения rj можно переписать как
^-"ЧзУйн2- (28)
Выражение (28) можно использовать для классификации брэгговских мод. Первой считается мода с т — 0. При условии а 1, как отмечалось выше, брэгговские полосы отражения разных порядков сливаются, а моды существуют при всех значениях т и определяются формулой (28). При конечном а (28) определяет моды лишь приближенно, а решения дисперсионного уравнения (23-24) существуют не при всех т, а только если тп < т < т'п, где числа тп и т'п определяют границы области существования мод в n-м брэгговском порядке.
• Пусть теперь е0 — р2 <С |£i — £о|- Тогда можно считать, что к не зависит от р и
2тг ,_
/С = у у/ех - е0. (29)
Следовательно в уравнениях (23) и (24) правая часть не зависит от г) и они легко решаются.
Рассмотрим пример с параметрами, близкими к реальному волокну (см. [5], рис. 8а) Е\ — £о = 2пАп = 3 • 10~3, 1 = 1 мкм, d = 40 мкм, с* = 1.5 • Ю-2 мкм и А = 1 мкм. Для основной моды из (28) имеем £о — р2 ~ A2/(4gP) яз 2 • Ю-4 <С — £о|. Далее получаем а = 7гаА_1(£1 - £0)~1/2 « 0.86 и <р » 0.71. Также 1к + у? и 3.12 w тг и cos(3.12) < 0. Тогда А « 0.037 и Л и —1.31. Следовательно 7 w 0.037, и работает уравнение (23). Теперь можно оценить правую часть уравнения (23). Она получается равной
к (, \к 7 тг\ , .
-ctg Í Ьк - - - j + - I » -14.62, (30)
т.е. приближение большого а также хорошо выполняется. Минимальное по модулю собственное значение равно
Mmin = А + \/л2 - 1 «-0.45. (31)
Уравнения (23) и (24) можно использовать для определения оптимального / для заданной длины волны Л. Это значение соответствует равенству бесконечности правой части в уравнениях (23) и (24). Отсюда получается:
cos(2b/c — 1к) sin ip = sin(/« + lp)- (32)
Это уравнение может быть решено численно. При b = О оно переходит в
sin 1к = 0 1 =-, т = 1,2,... (33)
/С
которое при условии 6q — р2 <С |£i — £о| прямо определяет I.
Моды при конечном числе слоев. Радиационные потери. Рассмотрим симметричный планарный волновод, содержащий конечное число слоев дельта-функций, со следующей зависимостью диэлектрической проницаемости от х
е(х) =
£о, N < f,
N
ei + a £ S(\x\-b-l-ml), f < |х| < f + (N - 1)1 + 6, (34)
m=0
ei, |x|>f + (iV-l)/ + b,
где N - число дельта-функций. Тогда дисперсионное уравнение для симметричных мод запишется в виде, аналогичном (22):
(Т)с1\ . 1 — Яр/ ехр(2гЬк)
1Гу = ~1К 1 + Ду ехр(2г'6/с)' (35)
где Ддг - это коэффициент отражения от конечной периодической структуры, содержащей N дельта-функций. Этот коэффициент отражения может быть определен с помощью матрицы перехода МТ. Ы-я степень от МТ равна:
i [ Rtf - Rfl -(rf - tf)
(МТ) R - R { RR(^ - tf) Rtf -Rfi» ) '
где
Я = —е~'и (Л ± ¿л/1 - А2) . (37)
Как и раньше считается, что > 1 и |/х2| < 1, верхний знак (плюс) выбирается, если сов(/к + (р) > 0, и нижний знак (минус), если сов(/к + (р) < 0. Формула для
коэффициента отражения Ддт выглядит как (см. (4))
причем это выражение при N оо стремится к Я, т.к. < 1. Рассмотрим теперь
случай, когда фазовый параметр Ь = 0. Тогда дисперсионное уравнение (35) принимает вид
1 - — - Я1 ^ Г>
Т]д\ .1-Я
Я 1 - я
Д1-Д
1 - Г-
^ Я 1 + я
(39)
Я 1 +л
При выполнении условия | «С 1, уравнение (39) можно приближенно написать как
/шЛ . 1-Я
пЬе — и — гк-—
\2 I 1 + Я
т 2 Я(Я — Я)
(40)
Я(1 - Я2).
Уравнение (40) приводит к поправке к величине г] бесконечной структуры, полученной из (21), которая в дальнейшем будет обозначаться 8г]. Поскольку коэффициент отражения Ям всегда меньше по модулю 1, то эта поправка будет иметь отрицательную мнимую часть 8г}", соответствующую затуханию волны в волноводе из-за утечки излучения в окружающее пространство.
0.26 0.22 7 0.18
р? 0.14
0.10 0.08
1000 -
0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 Длина волны, мкм
1.0 1.1 1.2 Длина волны, мкм
Рис. 1. Вещественные части 77 для первой (сплошная линия) и второй (пунктирная линия) мод планарного брэгговского волновода.
Рис. 2. Коэффициенты затухания для первой (сплошная линия) и второй (пунктирная линия) мод планарного брэгговского волновода.
Считая в первом приближении, что к не зависит от Т], для поправки 8г) и ее мнимой части 8т}" можно теперь получить:
8т)
2тг
1 1-Я
2тп + 1 кд2 1 + Я
1-е
дг 2 Я(Я — Я) Я(1 - Я2).
(41)
Sri"
2тг
CN
Re
2Я(Я - Я) . Я( 1 - R)2 _
(42)
2т -)- 1 кс12
где т - порядковый номер моды как определено выше. В точке точного резонанса, когда Я = ±гехр(—г/с/) и А = 0, имеем
Re
2Я(Я - Я)
= -2 < О,
. Я(1 - Я)2 .
т.е. мнимая часть поправки отрицательна, как и следует из общих соображений.
(43)
1.0 0.8 0.6 0.4 d 0.2
$ 0.0 ß
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
20 30
X, мкм
Рис. 3. Поля для первой (сплошная линия) и второй (пунктирная линия) мод планарно-го брэгговского волновода. Вертикальные линии отмечают расположение дельта-функций. Длина волны Л = 0,9 мкм соответствует минимуму потерь на рис. 2.
В качестве примера рассмотрим световод с параметрами, указанными выше, и п0 = у/eö — 1-45. Для решения дисперсионного уравнения (39) возьмем в качестве начальных значения г), определяемые формулой (27), и решим уравнение (39) численно итерационным методом. Найденная вещественная часть г) представлена на рис. 1. Коэффициент затухания волны в волноводе
dB = klmp = ImyJk2e0 - tf (44)
представлен на рис. 2. Поля первой и второй брэгговских мод изображены на рис. 3.
Скачки на рис. 1 соответствуют границе первой брэгговской полосы отражения, где А = —1. Как видно из рис. 2, минимальное затухание для основной моды ~ 3 dB/m.
Поля мод, начиная с третьей, не показаны, т.к. они не удерживаются световодом. Удерживаемые световодом моды 1 и 2 принадлежат первому брэгговскому порядку. Видно, что по порядку величины потери соответствуют измерененным в работе [5] (рис. 86). Разница (осцилляции потерь в эксперименте) обусловлена влиянием полимерной оболочки, которая здесь не учитывалась, а также тем, что измерения сделаны для волокна, а не планарного световода.
В работе была представлена точная аналитическая теория планарных слабоконтрастных брэгговских световодов со стенками, состоящими из дельта-функций, и предложена схема классификации брэгговских мод. Были рассчитаны затухание мод и дру гие параметры для примера, близкого к реальному волокну, взятого из литературы.
Теперь можно сформулировать правила построения брэгговских световодов:
1. Сначала выбирается рабочая длина волны световода и диаметр сердцевины d и определяется технологически достижимое значение параметра а (в представленной модели большие а соответствуют лучшему удержанию моды в волноводе);
2. Затем по формуле (27) находится начальное значение 7/;
3. Далее выбирается значение скачка диэлектрической проницаемости такое, что |ei — £о| ~> V2/k2, при этом Е\ > £0;
4. Путем решения уравнений (33) при фиксированном к, определяемом формулой (29), находится оптимальный период многослойной структуры /;
5. Наконец г] уточняется путем численного решения уравнений (23-24).
Найденный набор параметров полностью определяет структуру брэгговского световода. Например, параметры, использованные для расчета примера, оптимизированы для длин волн 0.9 < А < 1.0 мкм и диаметра сердцевины 40 мкм.
Представленная теория может использоваться для определения параметров как планарных световодов, так и для оценки параметров брэгговских волокон. Теория легко обобщается на случай световодов с более сложной структурой, например, если имеется полимерная оболочка. Дальнейшее развитие созданной модели возможно в направлении учета изгибных потерь. Построенная теория может быть полезной для расчетов свойств планарных гетероструктур, используемых в полупроводниковых лазерах.
Авторы выражают благодарность Ю.А. Успенскому, A.B. Попову за содержатель ные дискуссии по поводу теории оптических световодов. Работа выполнена при под держке по программе фундаментальных исследований РАН "Фемтосекундная оптика и
новые оптические материалы", подпрограмме "Новые оптические материалы", а также при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) проект No 07-02-01244-а.
ЛИТЕРАТУРА
[1] P. Roy, P. Leproux, S. Fe'vrier, et al. High power fiber lasers and amplifiers 7(2), 224 (2006).
[2] P. Yeh, A. Yariv. Optics Communications 19(3), 427 (1976).
[3] P. Yeh, A. Yariv, E. Marom. J. Opt. Soc. Am. 68(9), 1196 (1978).
[4] F. Brechet, P.Roy, J. Marcou, D. Pagnoux. Electronics Letters 36(6), 514 (2000).
[5] M. E. Лихачев, С. Л. Семенов, М. М. Бубнов и др. Квантовая электроника 36, 581 (2006).
[6] Е. И. Голант, К. М. Голант. ЖТФ 76(8), 101 (2006).
[7] Д. В. Прокопович, А. В. Попов, А. В. Виноградов. Квантовая электроника, 2007 (в печати).
Поступила в редакцию 11 апреля 2007 г.
