CC BY
10
ОБЗОР
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Пертурбативность и непертурбативность в эффектах больших Z
для водородоподобных атомов
К. А. Свешников1,0, Д. И. Хомовский2,6
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, 1 кафедра квантовой теории и физики высоких энергий;
2 кафедра квантовой статистики и теории поля.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: а [email protected], 6 [email protected] Статья поступила 12.04.2016, подписана в печать 16.06.2016.
Для нижних уровней водородоподобного атома в рамках чисто пертурбативного и существенно непертурбативного по а/п подходов рассмотрены эффекты, обусловленные взаимодействием AU^MM аномальной компоненты магнитного момента электрона с кулоновским полем ядра при Zа > 1. При этом в непертурбативном случае в силу специфических особенностей оператора AUamm для точечного кулоновского источника распределение заряда по объему ядра задается на уровне кварковой структуры через валентные (конституентные) u- и d-кварки. В работе показано, насколько нетривиальным оказывается такой непертурбативный анализ и как меняются его результаты при переходе от центральной задачи со сферической симметрией к учету вклада от периферии. Показано также, что для всех значений Z, вплоть до критических, оба метода приводят к совпадающим с точностью не менее 0.1 % результатам для сдвига уровней 1 s1/2 и 2pj/2 за счет AUamm . Таким образом подтверждается, что теория возмущений по а/п в сверхтяжелых атомах приводит к корректному результату, если при этом с самого начала учитывается полная зависимость волновой функции от Zа.
Ключевые слова: аномальный магнитный момент электрона, взаимодействие Дирака-Паули, водоро-доподобный атом, большие Z, радиационные поправки.
УДК: 539.182. PACS: 31.30.Jv.
Введение
В связи с новыми лабораторными и астрофизическими экспериментами по спектроскопии и столкновениям тяжелых ионов и синтезу новых сверхтяжелых элементов [1-6] особую актуальность приобретает вопрос о том, насколько теория возмущений способна описывать КЭД-эффекты в области Z > 137, когда Zа > 1 не является более малым параметром [7-10]. Отметим, что на данный момент удалось экспериментально синтезировать только сверхтяжелые ядра с зарядом, не превышающим Z = 118, которые представляют так называемый остров стабильности (Z от 114 до 126), и выдвинута гипотеза о существовании второго острова стабильности вокруг Z = 164 ([1, 3] и цит. лит.). Тем не менее область Z >137 активно обсуждается как в квантовой химии, где наиболее важным, имеющим принципиальное общетеоретическое значение, является вопрос о последнем элементе Периодической системы [3, 10], а также в планируемых экспериментах по столкновениям тяжелых ионов типа U + Pb, U + Th, U + U, U + Cm и т. д., на вводимых в ближайшее время и строящихся коллайдерах тяжелых ионов FAIR (Дармштадт) и NICA (Дубна), когда на короткое время ~ 10~19-10~21 с возможно образование компактных ядерных квазимолекул с суммарным
зарядом, превышающим Zcг ~ 170. В последнем случае КЭД предсказывает непертурбативную перестройку вакуума, которая должна сопровождаться целым рядом нетривиальных эффектов, в частности испусканием вакуумных позитронов ([4, 5] и цит. лит.), однако многолетние эксперименты на установках ОБ1 ((Дармштадт)) и в Аргоннской национальной лаборатории так и не привели к однозначному выводу о статусе закритической области, что придает вопросу о возможной роли непертурбативности в КЭД-эффектах при Z >137 особую значимость [4, 5, 7, 9].
В общем виде ответ на этот вопрос пока отсутствует, поэтому представляет интерес исследование отдельных КЭД-эффектов, которые допускают детальный непертурбативный анализ и сравнение результатов с теорией возмущений (ТВ). Таким эффектом является взаимодействие аномалии Дg магнитного момента (АММ) дираковского ферми-она с кулоновским полем протяженного источника (атомного ядра) с большим Z, которое описывается оператором Дирака-Паули
AUamm = Ag AoiíVF,
2 4m" (1)
где o^Fpv = 2(i aE - aH), а E и H — электрическая и магнитная компоненты электромагнитного
2 ВМУ. Физика. Астрономия. № 5
тензора Р^ . Такое взаимодействие представляет интерес как в случае частиц с АММ по крайней мере частично неэлектромагнитной природы (адро-ны), так и для электрона и других лептонов, у которых основной вклад в АММ дают радиационные КЭД-эффекты. В частности, для атомного электрона общее выражение для гиромагнитного отношения имеет вид [11-13]
ЙЬоипД^) = ёо + Д&ес + Д&аё-
(2)
При этом для Z с 137 главным слагаемым в (2) является ёо, которое определяется из уравнения Дирака по линейному отклику на внешнее магнитное поле. Аналитическое выражение для ёо -фактора электрона в 1х1/2-состоянии водородоподобного атома в приближении неподвижного точечного ядра
ёо (г) = 3(1 + 2^1 - (га)2)
(3)
было получено Дж. Брейтом еще в 1928 г. [14]. Поправка Д§гес обусловлена эффектом отдачи, возникающей за счет конечности массы ядра [15-17] и является функцией двух безразмерных параметров г а и ш/М^, где МN — масса ядра. Аналитическое выражение для Д§гес для =состояния, точное в первом порядке по ш/MN, имеет вид
( „ \
ш
Дёгес(г) = — (г а)
ММ
1
{1 а)2
{ 3(1 + ^1 - (га)2 ) )
(4)
В данной работе, однако, основное внимание уделяется большим г, для которых эффекты отдачи по крайней мере в первом приближении неактуальны из-за малости ш/MN.
Д&аа описывает радиационный вклад в гиромагнитное отношение связанного электрона и представляется в виде двойного ряда по степеням параметров а/п, отвечающего за процессы излучения-поглощения виртуальных фотонов электроном, и га, что учитывает взаимодействие между электроном и атомным ядром. К настоящему времени в рамках пертурбативной КЭД надежно установлена структура Д§га(1 в порядке (га)2 с учетом всех поправок по а/п [18, 19]
Дёга( = (&ее-2) [1 + (га)2/б] + О((а/п)(г а)4), (5)
где йгее = 2 + Д$гее — гиромагнитное отношение для свободного электрона, которое известно с большой точностью как в теории, так и в эксперименте [20-23].
Следует отметить, что поправки порядка (га)2 к Д§га(( имеют прежде всего кинематическую природу [15-17, 24, 25]. Такие КЭД-эффекты, как поляризация вакуума и рассеяние света на свете, проявляются только в порядке О((а/п)(га)4). В то же время из (5) следует, что в таком «кинематическом» приближении Дйгее является параметром, не зависящим от конкретного электронного состо-
яния, и при определении характеристик атомного электрона может рассматриваться как отдельный динамический фактор. Таким образом возникает мотивация к непертурбативному учету вклада от Д$гее в свойства электронного состояния в атомах с большим г непосредственно через уравнение Дирака (УД) с дополнительным членом (1), поскольку при этом за счет структуры оператора Дирака-Паули сохраняются все основные свойства картины Фарри. Подчеркнем, что АММ электрона возникает в КЭД как одна из радиационных поправок к вершинному формфактору в пределе малых переданных импульсов [26, 27] и поэтому для атомного электрона ДиАММ есть только один из видов эффективного взаимодействия, обусловленного радиационными поправками к затравочному лагранжиану. В то же время для адронов ДидММ имеет полноценный статус дополнительного члена взаимодействия с внешним электромагнитным полем, при этом эффект от ДидММ для нуклонов по величине будет сравним с эффектом для электрона, поскольку в обоих случаях АММ оказывается одного порядка по абсолютной величине.
ДиАММ имеет ряд специфических особенностей, в частности для точечного кулоновского источника оператор (1) обладает максимально допустимой для УД сингулярностью ~ 1/г2. В свою очередь, это приводит к тому, что для любых г волновая функция (ВФ) дираковской частицы становится всюду регулярной, имеющей в кулоновской особенности нули бесконечной кратности для обеих компонент биспинора. Поэтому оператор (1) одновременно является и способом регуляризации дираковского гамильтониана для точечного источника с зарядом г > 137, альтернативным к стандартному способу обрезания кулоновского потенциала при г < 5, который фактически означает приписывание источнику ненулевого размера [9, 28]. С другой стороны, поскольку фактическими источниками электрического заряда в атомном ядре следует считать валентные (конституентные) и - и й-кварки, которые как носители (дробного) заряда проявляют себя как те же атомные электроны, т. е. их заряд всегда локализован в некоторой точке, то полностью непертурбативный анализ вклада от ДиАММ в силу его специфики требует учета кварковой структуры ядра. В настоящей работе будет показано, насколько нетривиальным оказывается такой анализ и как меняются его результаты при переходе от центральной задачи со сферической симметрией к учету вклада от периферии.
Отметим также, что взаимодействие дираковско-го фермиона с кулоновским полем точечного источника с учетом АММ через член Дирака-Паули рассматривалось в свое время в [29] с целью исследования возможности возникновения резонансов на масштабах порядка адронных размеров и масс за счет возрастания роли магнитных эффектов на
предельно малых расстояниях. В настоящей работе мы рассматриваем принципиально другой аспект наличия у частицы АММ, а именно общую задачу о спектре и свойствах стационарных состояний при наличии взаимодействия (1) в зависимости от величины заряда и размеров кулоновского источника, для чего используются другие методы, как аналитические, так и численные, а полученные результаты явно демонстрируют всю нетривиальность результатов непертурбативного учета КЭД-эффектов при больших Z.
1. Эффекты от ДUдмм для центральных кварков
Общий вид УД для частицы с АММ в кулонов-ском поле ядра имеет вид (Н = с = 1)
(а p + рш + и (г) + АикЖт)Ф = Е ф, (6)
где и (г) — кулоновский потенциал ядра, в котором кварковая структура никакой специальной роли не играет и поэтому и (г) выбирается в стандартном виде потенциала равномерно заряженного шара радиуса Я
Z
и(r) = -2R (3 - (r/Л)2), r < R, U(r) = -Za/r, r ^ R,
(7)
а радиус ядра определяется через Z (упрощенной) формулой Я = 1.228935 (2.5Z)1/3 Фм. Коэффициент в этой формуле выбран таким образом, чтобы в чисто кулоновской задаче с потенциалом и (г) уровень 1х1/2 почти достигал порога отрицательного континуума при Z = 170 с энергией связи 1.99999ш. Более корректное соотношение Я = 1.2 А1/3, А = 0.00733Z2 +1.3Z+63.6 для нашего случая будет превышением точности, поскольку уже кулоновский потенциал ядра в виде (7) является приближением, особенно при Z > 137.
АидММ задается с учетом плотности носителей заряда в ядре р(г)
AUAMM = -i Ag4m Y
dr
r - r'
\F=F\-
где
a
A = -¡— Ag, 4m s
UP(r) =
dr'
P(r' ) Ir-r'l
(9)
(op - iZq\an/r2) x = -(e - 1 - U (r ))ф,
где Zq — заряд кварка, Л = а Agiree/4 ~ а2/4п, е = Е/ш, п = г/г.
Для центральных кварков при наличии АидММ будут по-прежнему сохраняться полный момент ] электрона и оператор £ = в(& 1 + 1), поэтому в стандартном представлении для матриц Дирака верхний и нижний спиноры электронной ВФ будут содержать шаровые спиноры Щ.щ и Щ^щ различной четности и радиальные функции (г) и gj(г)
'jm< =
= (ifj (r)Qjim \gj (r)ttjl'm
(12)
При этом fj (г) и gj (г) вещественны и i + i' = 2j. Определение сферических гармоник и шаровых спиноров следует [30], при этом П^щ = & nQjlm.. Далее состояния с фиксированным j и различными четностью, которую будем отождествлять с четностью верхнего спинора, и собственными значениями £ будем рассматривать по отдельности. Если j = i + 1/2, то при четности (- 1)1 и £ = j + 1/2
/ iui (rЩт Yjmj — I
\qi (r )anQji m
фjmj =
(13)
и радиальные функции и1 (г), ql(г) удовлетворяют уравнению
(дгщ - (1/г + ZqЛ/г2) щ = (е + 1 - и(г))ч1 , \drqi + ((I + 2)/г + ZqЛ/г•2) ql = -(е - 1 - и(г))щ,
(14)
а если четность равна (-1У+1 и £ = -(]' + 1/2), то
ф, = ( ivi (r ynftjimA ' V pi (r)ttjimj )
(15)
-P(r') = iA Y ^Up(r), (8)
и далее будем рассматривать случай атомного электрона, тогда
Ag = Agiree = a/п - 0.656958(a/n)2 + O((a/n)3).
(10)
Сначала рассмотрим случай u- и d-кварков в центре ядра. Тогда в единицах массы электрона и его комптоновской длины волны из уравнения (6) для верхней и нижней компонент дираковского бис-пинора ф и x следует
(op + iZqAan/r2) ф = (e + 1 - U(r))x,
при этом уравнения для пары и1 (г), р1 (г) принимают вид
\drvt + ((I + 2)/г - ZqЛ/г2) VI = (е + 1 - и(г))р1, \drpi - (1/г - ZqЛ/г2) р1 = -(е - 1 - и(г)^.
(16)
В (14,) (16) член Дирака-Паули доминирует на предельно малых расстояниях г ~ О(а2/4п) от центра, за счет чего асимптотика радиальных функций при г ^ 0 становится регулярной для всех Z и вне зависимости от четности уровня с точностью до степенного множителя будет описываться экспоненциально быстро убывающими функциями с нулями бесконечной кратности, которые для и -кварка (Zu = 2/3) имеют вид [9, 29] ^(г) ^ ехр(^щЛ/г),
e - 1 + 3Za/2R 2 , „ , , ч gj(r) ^--2Z"Â-r2 exp(-ZuA/r),
а для d -кварка (Zd = -1/3) gj (r) ^ exp(Zd A/r),
fj (r) ^ -
e + 1 + 3Za/2R 2
-r-
2Zd A
r 2 exp(Zd A/r).
(17a)
(17b)
Из вида асимптотик (17a), (17b) очевидно, что AUamm является существенно непертурбативным
эффектом, поскольку (17) не имеет разложения по степеням а при г ^ 0. В свою очередь это приводит к тому, что в поведении радиальных компонент электронной ВФ возникают существенные изменения на малых расстояниях от центра по сравнению с чисто кулоновской задачей. На рис. 1, 2 и 3, 4 показано поведение радиальных компонент нормированной ВФ для двух нижних уровней различной четности 1^1/2 и 2р1/2 для чисто кулоновской задачи, а также с и -и й -кварками в центре ядра. Заряд ядра соответствует критическому X = 170 для и X = 183 для 2^1/2. Для детализации графиков на рис. 2, а, б и 4, а, б использованы координаты £ = 40г + 1п г. На рис. 2, в и 4, в расстояние задается в Фм. Из рис. 2, в четко видно, что нижняя компонента биспинора для уровня 1«[/2 становится локализованной на масштабе О (а2/4п) ~ 10-3 Фм, если в центре ядра находится й -кварк. Аналогичная ситуация на рис. 4, в для уровня 2р[/2, когда в центре помещен и-кварк.
Численное решение с асимптотиками (17а), (17Ь) показывает, что для ядра с критическим зарядом X = 170 уровень 1х[/2, которому соответствует уравнение (14) при I = 0, за счет Дилмм с центральными кварками будет сдвинут относительно чисто кулоновского случая с потенциалом (7) следующим образом:
Д£лМм( 1^1/2 ) = 244.1 эВ,
Лй)
(18)
ДеЛмм(1*1/2) = 10.0 эВ. Если теперь учесть, что в этом случае средний радиус электронной ВФ будет порядка О(1) »Я, вероятность нахождения электрона внутри ядра составляет всего ~ 0.02, то на первый взгляд вклад от кварков со смещением из центра ядра может отличаться от (18) только на поправки. А поскольку область исчезновения электронной ВФ на каждом кварке в соответствии с асимптотиками (17а), (17Ь) будет иметь размеры ~ а2/4п с Я, то в первом приближении результирующий сдвиг электронного уровня может быть вычислен как прямая сумма
80 60 40 20
-20
0:2'
0.4
0.6
0.8
1.0
Рис. 1. Поведение верхней (сплошная линия) и нижней (пунктир) радиальных компонент нормированной кулоновской ВФ уровня 1^1/2 с 6 = —0.99999 при однородном распределении заряда в ядре с X = 170 и радиусом Я = 1.228935 (2.5X)1/3 Фм
80 а
и \ 60 и^иагк
\40
2а
-15* -10*^ А-5 —♦""ГО- 15
80 б
и \ 60 й?-циагк
40
20х
-15 -10 -5 5 10 15
800000 Г в
600000 400000 200 ООО
0.0000 0.0010 0.0020 0.0030 Бт
Рис. 2. Поведение верхней и нижней радиальных компонент нормированной ВФ уровня 1х1/2 для однородного распределения заряда X = 170 в ядре с и -кварком в центре — график а. С й-кварком в центре — для верхней компоненты график б, для нижней график в. Точками отмечены следующие расстояния от центра ядра: на графиках а и б слева направо 10-4Я, 10-3Я, 10-2Я, 10-1Я, Я/2, Я, 2Я, 4Я, 10Я; на графике в точки 10-4Я, 3•10-4Я
Дблмм = (22 + N) ДбАиМм + (X + 2N) ДедМм> (19)
где X — число протонов, N — число нейтронов. В результате для сдвига уровня 1 ^1/2 за счет Дилмм при ядре с X = 170, N = 1.5 X = 255 получаем
Делмм(1«1/2) = 152.0 кэВ.
(20)
Подчеркнем, что этот результат для вклада от Дилмм в сдвиг уровня является полностью непер-турбативным как по а/п, так и по Xа. Этот результат следует прежде всего сравнить с оценкой сдвига по ТВ, когда Дилмм рассматривается как возмущение кулоновского потенциала (7). В этом случае сдвиг уровней с квантовыми числами п]
100 80 60 40 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Рис. 3. Поведение нижней (сплошная линия) и верхней (пунктир) радиальных компонент нормированной кулоновской ВФ уровня 2pi/2 с б = —0.99947 при однородном распределении заряда в ядре с Z = 183 и радиусом R = 1.228935 (2.5Z)1/3 Фм. Нижняя компонента имеет нуль в окрестности 0.4 Фм
за счет центральных кварков находится по формуле
ДбдммМ = «^Uamm ij =
= -2ZqX
drf(0)(r) gOV), (21)
где /Ц)(г), gn0\г) — радиальные компоненты ВФ невозмущенного кулоновского уровня определенной четности . Результат для сдвига уровня 1х[/2 при этом оказывается существенно другим:
ЛбА"Мм(1*1/2) = 244.26 эВ, Лб£Мм(1*1/2) = -122.13 эВ, A6amm(1s1/2) = 62.3 кэВ.
(22)
Причина такой разницы между (18), (20) и (22) в том, что (21) за счет радиальных кулоновских компонент /П;0), ¿П0) полностью учитывает зависимость от Xа, но при этом является эффектом первого порядка по XqЛ, т.е. фактически по Д$гее и тем самым по а/п, в то время как (18) вычисляется полностью непертурбативным образом как по Xа, так и по а/п. Как показано было выше, в последнем случае для точечных кварков Д^мм приводит к экспоненциально быстрому убыванию ВФ при г ^ 0 на фоне максимальной амплитуды последней (см. рис. 2, 4) и тем самым его учет по ТВ и должен приводить к другому результату. Заметим также, что для атомного электрона Д^мм, как это уже отмечалось во введении, является лишь одним из видов эффективного взаимодействия за счет радиационных КЭД-эффектов и поэтому суммарный сдвиг 1«!/2-уровня (20) за счет Дилмм сам по себе не является наблюдаемым эффектом, а представляет собой лишь отдельный вклад в полный радиационный сдвиг уровня.
Еще более нетривиальные результаты возникают в таком подходе для оценки сдвига уровня 2р\/2 за счет Дилмм. Для X = 183 численный расчет через
¿/-quark
-15 -10 -5
5 10 15
-100 ООО -200 ООО -300 ООО -400 ООО -500 ООО
Рис. 4. Поведение верхней и нижней радиальных компонент нормированной ВФ уровня 2р1/2 для однородного распределения заряда X = 183 в ядре с й-квар-ком в центре — график а. С и -кварком в центре — для верхней компоненты график б, для нижней график в. Точками отмечены следующие расстояния от центра ядра: на графиках а и б слева направо 10-4Я, 10-3Я, 10-2Я, 10-1Я, Я/2, Я, 2Я, 4Я, 10Я; на графике в точки 10-4Я, 2•10-4Я
уравнение (16) с асимптотиками (17) дает
ДбА"Мм(2р1/2) = 74.7 эВ, Лб^Мм(2р1/2) = 194.8 эВ,
(23)
в результате чего суммарный сдвиг уровня 2ру2 в приближении центральных кварков оказывается положительным и такого же порядка, что и 1х[/2,
Делмм(2р1/2) = 190.7 кэВ, (24)
а при оценке вклада от Дилмм по ТВ результаты для 2р[/2 оказываются существенно другими:
ДиМм(2р1/2) = -179.7 эВ, ДбдМм(2Р1/2) = 89.9 эВ, ДбАмм(2p1/2) = -49.3 кэВ.
Отметим также характерную особенность в обоих случаях: для 1s1/2 сдвиг за счет и-кварка, а для 2р1/2 сдвиг от й-кварка оказываются положительными и практически одинаковыми при расчетах непертурбативным и пертурбативным методами, в то время как сдвиги за счет й-кварка для 1х1/2 и от и-кварка для 2р1/2 существенно различаются вплоть до знака.
2. Учет вклада от периферии
Непертурбативные результаты (20), (24) для 1s1/2 и 2р1/2, хотя и не являются сами по себе наблюдаемыми эффектами как лишь одна из составляющих полного радиационного сдвига, в любом случае задают возможный масштаб радиационных эффектов вне рамок ТВ. Этот масштаб оказывается порядка 10-20% от полной энергии связи и тем самым мог бы существенно влиять на положение уровня и как следствие на величину критического заряда. Однако (20), (24) выводятся в предположении, что все кварки в ядре можно рассматривать как центральные. Непертурбативность АЦамм проявляется в том, что поправки за счет смещения кварков оказываются весьма существенными, несмотря на малость размеров ядра по сравнению с областью локализации электронной ВФ порядка комптоновской длины волны. Для этого достаточно учесть вклад от кварков на периферии, рассматривая смещение кварков из центра ядра как возмущение, поскольку при этом нулевое приближение будет соответствовать центральным кваркам и тем самым невозмущенные ВФ, приведенные на рис. 2, 4, теперь будут включать непертурбативную зависимость как от Zа, так и от а/п. Тем самым ответ для такой ТВ будет также непертурбативен сразу по обоим параметрам.
Чтобы учесть смещение, рассмотрим сначала модель, в которой заряд центрального кварка «размазан» по объему ядра. АЦАмм, соответствующий равномерно распределенной плотности этого заряда, содержит электрическую напряженность E, равную 2чвг/Я3 при г < Я и 2 чгг I г3 при г > Я. По отношению к задаче с точечным кварком в центре напряженность внутри ядра изменяется на Ж = 2 цвг^ Я3 - г3), а вне ядра остается прежней. Если такое изменение электрического поля внутри ядра считать возмущением к центральной задаче (11), то связанное с этим изменение потенциала $ЦАмм = (дАиАмм/дЕ)|Е=0^Е в первом порядке ТВ дает следующую поправку к энергии уровня:
^Амм("1) = ФР^мм^) =
= 2Zj Л
йг№(г)g{rlj\г)( 1 - (г/Я)3), (26)
при этом в (26) П), g{nj) - ВФ задач (14), (16) с кварком j в центре ядра.
Формулу (26) можно получить другим способом: по ТВ находим поправку, вызванную смещением на
вектор a центрального кварка, используя в качестве невозмущенных , затем усредняем полученную поправку по всем векторам, для которых выполняется условие |а| < Я. Приведем вывод для уровня 1^1/2. Изменение оператора Дирака-Паули, обусловленное смещением центрального кварка, и ВФ уровня имеют вид
5Ц,
Амм(а) = -iZjЛ ^« } - ,
п. > = (ш>)а° ) (27)
Матричный элемент от SUAMM(a) вычисляется следующим образом (далее в этом выводе индекс кварка ^) будем опускать):
{и^Амм^^) =
= Л
+2 л
йг uo(г)jo(г) X
х (?+ ¡3"^0 + "О™^¡3-^
йг uo(г)jo(г) -пЦ о П+-п—Гц) =
= -22 Л
йг uo(г)jo(г) Ц
о п(г - а)
0 1-гг Ц0
0 |г - а|3
Ц +
О 2Zj Л
йгщ(г^0(г). (28)
Далее используем
П(г - а) 1 д 1
= -п У|г - а| 1 = --
г - а
дг |г - а|
(29)
и интегрируем по частям первый интеграл в правой части (28) с учетом того, что радиальные компоненты исчезают при г = 0 и при г ^ <ж .В результате
{1вЩАммШв) = 2Zj Л
йг и0(г^0(г~). (30)
0
Теперь усредняем полученную поправку по объему ядра:
Я а
41м(1в1/2 ) = 2Zj Л
3
4пЯ3
4па2 йа
= 22j Л Я3
йг и0(г) jo(г)
йг щ(г) jo(г) =
а2 йа =
0 Я
= 2Zj Л
йгщ(г)jo(г)( 1 - (г/Я)3), (31)
что полностью соответствует (26).
В результате с учетом усреднения по объему ядра сдвиг уровней за счет АЦамм от кварка типа j имеет следующий вид
ЪеАммШ) = АеА1м(пП + (32)
где ДеАМмП) — сдвиг для центрального кварка, который рассматривался в предыдущем разделе, а полный сдвиг уровня определяется аналогично (19):
Редмм = (2Х + N )Рб£Мм + X + 2М )^АМм- (33)
Для 1^/2 - и 2р1/2 -уровней результаты расчета приведены в табл. 1, 2 для некоторых значений X. На рис. 5 и 6 эти же результаты показаны графически.
Как следует из приведенных результатов, учет вклада от периферии ядра существенно изменяет величину полного сдвига уровней за счет ДЦ^мм, причем не только по величине, но и по знаку. Это связано со специфическим поведением невозмущенных ВФ в интеграле (26) при малых г, обусловленным непертурбативным учетом центральных кварков. Для 1х1/2 верхняя и нижняя радиальные компоненты для и-кварка противоположны по знаку и интеграл (26) оказывается отрицательным, а для й-кварка, наоборот, радиальные компоненты совпадают по знаку, интеграл (26) положителен, но заряд Хй = —1/3 отрицательный. И в обоих случаях область перекрытия ненулевых значений радиальных компонент оказывается такова, что интеграл принимает достаточно большое значение, причем в случае
й -кварка эта область смещена в сторону предельно малых г ~ а2/4п, но амплитуда нижней компоненты оказывается настолько большой, что полностью компенсирует малость области перекрытия. Аналогичная картина имеет место и для 2р1/2-уровня, только теперь и - и й -кварки и верхняя и нижняя компоненты ВФ меняются местами.
Теперь рассмотрим, насколько эти результаты для сдвига уровней за счет ДЦлмм согласуются с пертурбативным подходом. Поскольку в (33) кварки равномерно распределяются по объему ядра, то пертурбативным аналогом (33) будет матричный элемент от оператора Дирака-Паули (6), в котором ир(т) соответствует однородному распределению заряда по ядру, что в уравнении (11) соответствует замене
г9аД2 ^гАг/я3, г < я, гча/г2 ^га/г2, г > я.
(34)
В результате получим
^елмм(пу) = — 2Х А
¿1 йгг3 йг $\г)4>(г), о я
0 0 (35)
где ¡П0^(г), £^0^(г) определены так же, как и в (21).
Таблица 1 Полный сдвиг уровня 1э1/2 (эВ) за счет Дилмм в зависимости от заряда ядра Z
г Деи 5еи Ъеи Дей 5ей Т>ел ^елмм
90 1.77 -0.05 1.72 -0.6 -0.3 -0.9 232
100 3.1 -0.1 3.0 -1.0 -0.5 -1.5 444
110 5.5 -0.3 5.2 -1.5 -1.1 -2.6 855
120 10.1 -0.8 9.3 -2.3 -2.4 -4.7 1683
130 19.5 -2.1 17. 4 -3.3 -5.4 -8.7 3406
140 38.9 -5.4 33.5 -4.4 -12.3 -16.7 7030
150 77.4 -13.8 63.6 -4.4 -27.4 -31.8 14314
160 145.1 -31.7 113.4 -0.7 -56.0 -56.7 27223
169 233.1 -59.5 173.6 8.6 -95.4 -86.8 44026
170 244.1 -63.2 180.9 10.0 -100.5 -90.5 46096
Таблица 2
Полный сдвиг уровня 2р1/2 (эВ) за счет Дилмм в зависимости от заряда ядра Z
г Деи 5еи Ъеи Дей 5ей Т>ел ^елмм
110 -0.34 -0.11 -0.45 0.233 -0.008 -0.225 -74.5
120 -0.7 -0.4 -1.1 0.58 -0.03 0.55 -196.6
130 -1.5 -1.5 -3.0 1.6 -0.1 1.5 -596
140 -3.4 -6.4 -9.8 5.6 -0.7 4.9 -2067
150 -5.8 -26.2 -32.0 19.4 -3.4 16.0 -7214
160 -2.3 -81.1 -83.4 53.5 -11.8 41.7 -20027
170 18.1 -177.5 -159.4 108.4 -28.7 79.7 -40623
180 59.0 -300.9 -241.9 174.4 -53.4 121.0 -65270
183 74.7 -340.2 -265.5 194.8 -62.0 132.8 -72823
-50:
Рис. 5. Деч, 5еч, 'Веч как функции заряда ядра X для 1^1/2: а — и-кварк; б — й-кварк
Другой (почти) пертурбативный подход к оценке сдвига за счет ДЦдММ состоит в численном решении уравнения (11) при замене (34). При этом оба способа обьединяет переход к однородной плотности заряда ядра, что игнорирует наиболее существенное непертурбативное свойство оператора Дирака-Паули, которое проявляется в асимптотиках (17а), (17Ь) для точечного кулоновского источника.
Результаты таких пертурбативных расчетов приведены в табл. 3. Из нее следует, что оба способа дают близкие в пределах 10% результаты, но при этом чисто пертурбативный матричный элемент (35) и непертурбативный расчет через среднее по кваркам (33) совпадают с точностью не менее 0.1 %, причем как для 1«[/2, так и для 2р[/2, так что случайным совпадением это считать нельзя. Такое совпадение само по себе является нетривиальным
Рис. 6. Дед, 5еч, как функции заряда ядра X
для 2р1/2: а — и -кварк; б — й-кварк
результатом, поскольку одинаковый ответ дают два существенно различных подхода к вычислению вклада от ДиАмм • Решение уравнения (11) с заменой (34) оказывается при этом менее точным, причем практически одинаково для 1«1/2, так и для 2р>1/2, что свидетельствует о неполной самосогласованности такого способа, поскольку из-за перехода к однородной плотности заряда в решении исчезает основное непертурбативное свойство оператора Дирака-Паули — нули бесконечной кратности в асимптотике ВФ на точечном источнике заряда. Как следствие в этом случае ДЦдмм становится несингулярным возмущением кулоновского гамильтониана и в последовательном подходе должен учитываться по ТВ как поправка через (35).
Еще одной критической характеристикой КЭД-эффектов является их степень роста как функция X.
Таблица 3
Пертурбативный сдвиг уровней 1э1/2 и 2р^2: расчет по формуле (35), а также через решение уравнения (11) при замене (34) и с непертурбативным расчетом через формулу (33).
Для 2р1/2 при X = 183 расчет через формулы (11), (34) опускает уровень в нижний континуум, поэтому средняя нижняя клетка остается пустой
1^1/2 2Р1/2
X (35) (11), (34) (33) X (35) (11), (34) (33)
140 7031 6727 7 030 160 -20040 -21539 -20027
150 14317 13 594 14314 170 -40661 -43 065 -40623
160 27 223 25 802 27 223 180 -65 344 -68227 -65270
169 44017 41886 44 026 181 -67 877 -70 773 -67799
170 46136 43927 46096 183 -72908 -72823
В пертурбативной КЭД степень роста собственно энергетического вклада в лэмбовский сдвиг уровня п описывается формулой
7 4а5
ДEsnE (X а) = 7-aг-п' пп3
Рщ (X а),
(36)
д
s(7) = X д^ 1п(Релмм),
(37)
10
8 6 4 2
¡^-состояние
15
10
50
100
150
Рис. 7. Степень роста вклада от ДЬЛмм как функция заряда ядра X: а — для уровня 1х1/2; б — для уровня 2Р1/2
где Рщ (Xа) по известным данным для различных X аппроксимируется достаточно плавной и медленно меняющейся функцией от Xа [10, 27, 31, 32]. Для электрона ДЦдмм является составной частью собственной энергии, но степень роста энергетического сдвига за счет Дилмм ведет себя существенно иначе. Если степень роста определяется стандартным образом по логарифмической производной
-0.001 -0.002 -0.003 -0.004
Аи
50
100
150 2
^-состояние
то для 1«[/2 и 2р1/2 получим кривые, показанные на рис. 7. При этом кривые для (33) и (35) практически совпадают. Различие между ними показано на рис. 8 и снова составляет не более 0.1 %.
Из рис. 7 следует, что в данном случае поведение п(X) в соответствии с (36), т.е. рост КЭД-эффектов ~ X4, имеет место вплоть до X ~ 60-80, но далее сдвиг от Дилмм показывает существенное увеличение степени роста, которое достигает максимума при X ~ 147 как для 1х[/2, так и для 2р[/2, причем этот максимум скорости роста значительно более выражен для 2р1/2 . Вообще говоря, такое поведение для КЭД-эффектов достаточно естественно, поскольку при Xа > 1 следует ожидать существенный рост непертурбативности по 7а . А поскольку как (33),
Рис. 8. Разность степеней роста для вклада от ДЦЛмм для (33) и (35): а — 1х1/2; б — 2р1/2
так и (35) практически одинаково учитывают всю зависимость от 7а через электронные ВФ, то совпадение их результатов для энергетического сдвига за счет ДЦлмм означает, что главную роль в этом эффекте играет максимально полный учет зависимости от Xа, в то время как роль второго параметра а/п как в чисто пертурбативном подходе (35), так и при непертурбативном решении через (33) сводится к первому порядку диаграммной ТВ.
Заключение
В работе были рассмотрены два существенно различных по а/п способа вычисления КЭД-эффек-тов за счет Дилмм при больших X — пертурба-тивный (35) и существенно непертурбативный (33), когда разложение по а/п из-за асимптотик (17) невозможно в принципе. Основной результат состоит в том, что для Xа > 1 оба способа с высокой точностью приводят к одинаковому результату. Это подтверждает общий вывод работ [10, 32], что расчеты по ТВ в сверхтяжелых атомах приводят к правильному результату, если при этом с самого начала учитывается полная зависимость ВФ от Xа. Следует отдельно подчеркнуть роль ненулевого размера ядра. Для точечного заряда различие между пертурбативным и непертурбативным подходами проявляются вполне наглядно на вкладе от центра ядра (20), (24) и (22), (25). Более того, для точечного ядра при Xа > 1 за счет Дилмм самосопряженность гамильтониана сохраняется, но поведение уровней становится существенно другим [9, 33]. Но для ненулевого Я последующее усреднение заряда ядра по объему приводит оба подхода в соответствие, хотя учет периферии по (26)
и по (35) существенно различаются — в первом случае смещается точечный заряд, а во втором полный заряд задается через однородную плотность распределения по объему ядра. Заметим также, что в непертурбативном подходе возможен и более сложный учет распределения кварков по ядру, когда с самого начала рассматриваются многоквар-ковые конфигурации (несколько точечных кварков на одном диаметре или на кольце с последующим усреднением по положению диаметра или кольца внутри ядра), которые приводят к аналогичному окончательному выводу, но такой анализ содержит значительно больше аналитических и численных деталей и поэтому будет рассмотрен в отдельной работе.
Еще раз отметим, что для атомного электрона сдвиг за счет AUamm является частью собственно энергетического вклада в полный радиационный сдвиг уровней. Расчеты для 1s -электрона при Z = 170 и таком же соотношении между R и Z, выполненные в [34, 35] в первом порядке по а/п c полным учетом зависимости от Zа, приводят к AEse(1sj/2) — 11.0 кэВ. Это означает, что вклад от AUamm , который возникает как одна из радиационных поправок к вершинному форм-фактору в пределе малых переданных импульсов, в значительной степени компенсируется другими составляющими собственной энергии, которые тем самым также должны вести себя по отдельности существенно сложнее, чем окончательный ответ. Но по сравнению с другими радиационными поправками учет аномалии Ag занимает выделенное положение, поскольку описывается оператором Дирака-Паули, который сохраняет все необходимые для картины Фарри свойства гамильтониана (самосопряженность, лоренц-ковариантность, дискретные симметрии и уравнение непрерывности), поэтому полученные таким образом результаты могут быть непосредственно связаны с характеристиками электронного состояния, что и было использовано в настоящей работе.
Список литературы
1. Nucl. Phys. A. 944, Dec. 2015. Special Issue on Superheavy Elements.
2. Volotka A, Plunien G. // Phys. Rev. Lett. 2014. 113. P. 023002.
3. Theoretical Chemistry and Physics of Heavy and Superheavy Elements / Ed. by U. Kalder and S. Wilson. Springer, 2013.
4. Ruffini R., Vereshchagin G., Xue S.-S. // arXiv: 0910.097403 [astro-phys.HE].
5. Greiner W, Schramm S. // Amer. J. Phys. 2008. 76. P. 509.
6. Czarnecki A., Dawling M., Mondejar J., Piclum J.H. // arXiv: 1007.1176vl [hep-ph].
7. Schwerdtfeger P., Pasteka L.F., Punnett A., Bowman P.O. // Nucl. Phys. A. 2015. 944. P. 551.
8. Volotka A., Clazow D., Plunien G., Shabaev V. // Ann. der Phys. 2013. 525. P. 636.
9. Sveshnikov K., Khomovskii D. // Phys. Part. Nucl. Lett. 2013. 10. P. 119.
10. Indelicato P., Bieron J., Joensson P. // Theor. Chem. Accounts. 2011. 129. P. 495.
11. Beier T. // Phys. Rep. 2000. 339. P. 79.
12. Mohr P.J., Taylor B.N. // Rev. Mod. Phys. 2000. 72. P. 351; 2005. 77. P. 1.
13. Pachuki K., Czarnecki A., Jentschura U.D., Yero-khin V.A. // Phys. Rev. A. 2005. 72. P. 022108.
14. Breit G. // Nature. 1928. 122. P. 649.
15. Faustov R.N. // Phys. Lett. B. 1970. 422; Nuovo Cim. A. 1970. 69. P. 37.
16. Grotch H. // Phys. Rev. A. 1970. 2. P. 1605.
17. Martynenko A.P., Faustov R.N. // JETP. 2001. 93. P. 471.
18. Grotch H. // Phys. Rev. Lett. 1970. 24. P. 39.
19. Czarnecki A., Melnikov K., Yelkhovsky A. // Phys. Rev. A. 2001. 63. P. 012509.
20. Beier T., Lindgren I., Persson H. et al. // Phys. Rev. A. 2001. 62. P. 032510.
21. Odom B., Hanneke D., Urso B.D, Gabrielse G. // Phys. Rev. Lett. 2006. 97. P. 030801.
22. Hanneke D., Fogwell Hoogerheide S., Gabrielse G. // arXiv: 1009.4831v1 [physics.atom-ph].
23. Kinoshita T, Nio M. // Phys. Rev. D. 2006. 73. P. 013003.
24. Каршенбойм С.Г., Иванов В.Г., Шабаев В.М. // ЖЭТФ. 2001. 120. P. 546.
25. Shabaev V.M. et al. // arXiv: 0510083v1 [phy-sics.atom-ph].
26. Schwinger J. // Phys. Rev. 1948. 73. P. 416.
27. Reinhardt J., Greiner W. // Quantum Electrodynamics. 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2003.
28. Воронов Б.Л., Гитман Д.Т., Тютин И.В. // ТМФ. 2007. 150. P. 41.
29. BarutA.O, Kraus J. // Phys. Lett. B. 1975. 59. P. 175; J. Math. Phys. 1976. 17. P. 506.
30. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 1. N.Y.: McGraw-Hill, 1953.
31. MohrP.J, Plunien G, Soff G. // Phys. Rep. 1998. 293. P. 227.
32. Pyykko P. // Chem. Rev. 2011. 112. P. 371.
33. Свешников К.А., Хомовский Д.И. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2012. № 5. С. 18. (Sveshni-kov K.A., Khomovskii D.I. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2012. 67. P. 429.)
34. Cheng K.T., Johnson W.R. // Phys. Rev. A. 1976. 14. P. 1943.
35. Soff G, Schlueter P., Mueller B, Greiner W. // Phys. Rev. Lett. 1982. 48. P. 1465.
Perturbativity and nonperturbativity in large-Z effects for hydrogen-like atoms K.A. Sveshnikov1a, D.I. Khomovsky2b
1 Department of Quantum Theory and High-Energy Physics;
2 Department of Quantum Statistics and Field Theory,
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: a [email protected], b [email protected].
The effects induced by the interaction AUaMM of the anomalous component of the electron magnetic moment with the Coulomb field of a nucleus at Za > 1 are examined for the lower levels of a hydrogenlike atom within purely perturbative and essentially nonperturbative in a/п approaches. Owing to the specific features of the AUaMM operator for a point-like Coulomb source, the distribution of the charge over the volume of the nucleus is set in the nonperturbative case at the quark structure level using valence (constituent) u and d quarks. It is demonstrated that such nonperturbative analysis turns out to be nontrivial as well as the manner in which its results are altered in the transition from the central problem with spherical symmetry to the inclusion of the peripheral contribution. It is also demonstrated that these methods yield matching (with an accuracy no worse than 0.1%) results for the shift of levels 1s1/2 and 2p1/2 due to AUaMM at all values of Z through to critical ones. Thus, it is confirmed that the perturbation theory in a/п provides correct results for superheavy atoms if the complete dependence of the wave function on Za is taken into account from the beginning.
Keywords: anomalous electron magnetic moment, Dirac-Pauli interaction, hydrogen-like atom, large Z values, radiative corrections. PACS: 31.30.Jv. Received 12 April 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2016. 71, No. 5. Pp. 465-475.
Сведения об авторах
1. Свешников Константин Алексеевич — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-26-96, e-mail: [email protected].
2. Хомовский Дмитрий Игоревич — науч. сотрудник; e-mail: [email protected].
