CC BY
33
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 4 (2013)
УДК 512.548
ПЕРИОДИЧНОСТЬ В АБЕЛЕВЫХ n-АРНЫХ ГРУППАХ
Н. А. Щучкин (г. Волгоград)
Аннотация
В работе доказано, что всякая периодическая абелева n-арная группа изоморфна прямому произведению примарных абелевых n-арных групп, относящихся к различным простым числам.
Ключевые слова: абелева n-арная группа, периодичность, прямое произведение.
PERIODICITY IN ABELIAN n-ARY GROUPS
N. A. Shchuchkin (c. Volgograd)
Abstract
It is proved that every periodic abelian n-ary group is isomorphic to the direct product of primary abelian n-ary groups belonging to different primes.
Key words: abelian n-ary group, periodicity, direct.
В этой статье продолжается изучение периодичности в абелевых п-арных группах, начатое в [1]. Алгебру (G, f) с n-арной операцией f (п ^ 3) называют n-арной полугруппой, если в ней выполняется обобщенный закон ассоциативности
f (f (an1),an+l1) = f (a\,f (O^i)
для всех i = 1,... ,n — 1. Мы будем использовать стандартные обозначения f (xi, . . . ,Xk ,Xk+1,. . . ,Xk+s,Xk+s+1, ...,Xn) = f X, {sc,x'n+s+i)
f 3 • (0)
всяким раз, когда xk+i = • • • = xk+s = x (xi - пустой символ при г > j, также x - пустой символ). В n-арной полугруппе (G, f) определяют новую (k(n — 1) + 1) арную операцию f(k) по правилу
кФТ-1Н1) = f (f (-yf (f(x;),xm-l1) • • -).xkt-;lt-1H2i
k times
Если в п-арной полугруппе {О, f) разрешимы и имеют единственные решения уравнения f (аг—1,хг, аП+1) = Ь, где а1,..., аг-1,аг+1,..., ап, Ь — любые элементы из О, г = 1,..., п, то ее называют п-арной группой.
В п-арной группе {О, f) для фиксированного элемента а решение уравнения
(п-1) _
f ( а х) = а обозначают через а и называют косым элементом для а. Определение косого элемента задает в п-арной группе {О, f) унарную операциюа; х ^ Х, которая может быть использована при определении п-арной группы (см. [2, 3]). п-Арная группа называется абелевой, если в ней верны тождества
f (Х1, ■ ■ ■ , Хп) f (ха(1), , Ха(п))
для любой подстановки а £ Бп. В произвольной абелевой п-арной группе {О, f) множество Р всех элементов конечного п-арного порядка образует п-арную подгруппу (Следствие 1, [1]), которую будем называть периодической частью парной группы {О, f).
В п-арной группе {О, f) элемент е называют единицей, если для любого
а £ О верно f (( е\а, ( - ^) = а для г = 1п. Единица будет идемпотентом. В отличии от групп, п-арная группа может не содержать единицы либо иметь одну и больше единиц. Однако следующий результат такой же, как в группах.
Теорема 1. ([1], Следствие 2). п-Арная фактор-группа {О/Р, ^) абелевой п-арной группы {О, f) по периодической части P имеет одну единицу P, а остальные э.ле.мент,ы имеют бесконечный порядок.
На любой абелевой п-арной группе {О, f) определяют абелеву группу тебс{О, f) с операцией + по правилу а + Ь = f (а, ( с ),а,Ь), где с £ О. Тогда
f (а1,...,ап) = а1 + ... + ап + б, (1)
( п)
где б = f ( с ) [4]. Элемент с - нуль в тебс{О^). Верно и обратно: в любой абелевой группе О для выбранного б задается абелева п-арная группа {О, f) = аЫаО, где f действует по правилу (1). Кроме того, для произвольно выбранного элемента б из абелевой группы О верно О = теб0аЫаО, где 0 — нуль группы О, и для любого фиксированного элемента с из абелевой п-арной группы {О, f) верно {О, f) = аЬ1^тебс{О, f).
Для идемпотента с абелевой п-арной группы {О, f) получим абелеву группу тебс{О, f), в которой f (а1,..., ап) = а1 +... + ап. В этом случае п-арную группу {О, f) называют производной от абелевой группы тебс{О, f).
Следствие 1. п-Арная фактор-группа {О/Р^') абелевой п-арной группы {О, f) по периодической части Р является производной от абелевой группы тебр {О/Р^') без кручения.
Доказательство. Из следствия 7.1.1 [5] и теоремы 1 следует, что п-арная фактор-группа {О/Р, f') абелевой п-арной группы {О, f) по периодической части Р будет производной от абелевой группы тебр {О/РД‘'). Осталось показать, что тебр {О/Р^') является группой без кручения. От противного. Допу-
(п-1)
стим, что элемент f (х, Р ) группы тебр {О/Р, f'), отличный от Р, имеет ко-
( п- 1)
нечный порядок к. Тогда верно равенство kf (х, Р ) = Р. Откуда (к(п — 1) +
( п- 1) ( п- 1)
1)f (х, Р ) = f (х, Р ). Так как п-арная фактор-группа {О/Р, ^) является
(п-1) /м (п-1)
производной от абелевой группы тебр{О/Р^'), то f (х, Р рк> = f (х, Р ), т.е.
( п- 1)
мы получили, что элемент f (х, Р ), отличный от Р, имеет конечный п-арный порядок. Это противоречит теореме 1. Следствие доказано.
Как и в группах, назовем п-арную группу периодической, если п-арные порядки всех ее элементов конечны.
Теорема 2. Любая абелева п-арная группа {О, f) является периодической тогда и только тогда, когда абелева группа тебс{О^) будет периодической.
Доказательство. Необходимость. Пусть абелева п-арная группа {О, f) является периодической. Строим абелеву группу тебс{О^). Согласно предложению 2.5.14 из [6] п-арный порядок элемента с совпадает с порядком элемента
( п)
б = f ( с ) в группе тебс{О^). Пусть этот порядок будет равен к. Выбираем произвольный элемент а £ О, у которого п-арный порядок равен в. Тогда, используя (1), получим
а = а^ = ^в)( ( о1+ )) = (в(п — 1) + 1)а + вб.
А значит, к(в(п — 1) + 1)а + вкб = ка, откуда к(в(п — 1) + 1)а = ка, или к((в(п — 1) + 1) — 1)а = с. А значит, группа тебс{О, f) будет периодической.
Достаточность. Пусть абелева группа тебс{О^) будет периодической и
( п)
элемент б = f ( с ) имеет порядок к. Выбираем произвольный элемент Ь £ О, у которого биарный порядок равен Ь. Тогда Ьа = с, а значит, (Ьк(п — 1) + 1)а+Ькб =
а. Тогда, используя (1), получим а = (Ьк(п — 1) + 1)а + Ькб = а^к\ А значит, абелева п-арная группа {О, f) является периодической. Теорема доказана.
В периодической абелевой п-арной группе {О, f) выделим множество Ор элементов, п-арные порядки которых есть степени фиксированного простого числа р. Будем считать, что все идемпотенты из {О^) содержатся в Ор, так как идемпотент является нулевой степенью любого простого числа р. Как и в группах, верна
Теорема 3. В периодической абелевой п-арной группе множество элементов, п-арные порядки которых есть степени сфиксированного простого числа р (включая и нулевые степени), образует п-арную подгруппу.
Доказательство. Пусть Ор — множество элементов периодической абелевой п-арной группы {О, f), п-арные порядки которых есть степени фиксированного простого числа р. Выбираем а1,... ,ап из Ор с п-арными порядками рЯі, і = 1,... ,п. Полагаем т = тах(в1,... , вп). Для всех выбранных аі имеем
рт) , Лрт(п—1)+1\ , Хрч(п-і)+і) ((рт-рВі)(п—1)).
аі 1(рГП)( аі ) 1(рГП)( аі , аі )
_ г , (рві (рт-Ві 1)(п 1))\ г ((раі (п-1) + 1) (рВі (рт-Ві_2)(п_1)) _
= ї(рВі (рт-аі-1))(аі, аі ) = f(psi (рт-аі_1))( аі , аі ) =
_ (рВі (рт-Ч-2)(п-1)) ^ (рЧ(п-1)) ^
І (рві (рт-°і _2))(ai, аі ) ... І(р'ві )(аі, аі ) аі.
Тогда, используя формулу (5) из [1], получим
f (а1,..., ап){рт) = f (а1 \..., апт)) = f (а1,..., ап).
Известно ([5], предложение 3.5 ) что если для элемента Ь из п-арной группы верно Ьт = Ь для некоторого целого числа т, то т делится на п-арный порядок элемента Ь. Из предложения 3.5, [5] следует, что, рт делится на п-арный порядок элемента f (а1,..., ап), это означает, что п-арный порядок элемента f (а1,..., ап) равен степени простого числа р.
Косым для элемента а из Ор конечного п-арного порядка р/ будет элемент а = а&3—1), а его п-арный порядок равен р8/НОД(р8, п — 2) (см. [7]). А значит, парный порядок элемента а равен некоторой степени простого числа р. Теорема доказана.
Следствие 2. Множество всех идемпотентов (если оно не пусто) в любой абелевой п—арной группе {О^) является п-арной подгруппой.
К числу периодических п-арных групп относятся, в частности, абелевы парные группы, п-арные порядки всех элементов которых являются степенями фиксированного простого числа р. Эти п-арные группы называют примарными по простому числу р. Верна
Теорема 4. Если абелева группа О является примарной по простому числу р, то абелева п-арная группа {О, f) = аЫаО будет примарной по этому же простому числу р.
Доказательство. Пусть О — примарная абелева группа по простому числу р и д имеет порядок рк в группе О. Выбираем произвольный элемент а Є О, у которого порядок равен р/. Обозначим Ь = тах{к, в}. Тогда ра = 0 и рд = 0,
(рь (п_1)+1)
а значит, (р*(п — 1) + 1)а + рьд = а. Используя (1), получим ( а ) = а, откуда а^р ) = а. Как и раньше, р1 делится на п-арный порядок элемента а, это означает, что п-арный порядок элемента а равен степени простого числа р. Теорема доказана.
Обратная теорема к теореме 4 не верна, т.е. из примарности абелевой парной группы {О, f) не всегда следует примарность абелевой группы гедс{О, f).
Пример 1. Пусть (a), (b) — циклические группы порядков 3, 2 соответственно и G = (a) + (b) — прямая сумма этих групп. Определим абелеву тернарную (n-арную при n = 3) группу (G,f) = ablaG. Непосредственные вычисления показывают, что элементы 0, 2a, b, 2a+b имеют тернарные порядки, равные 3, а элементы a, a + b будут идемпотентами. Значит, абелева тернарная группа (G, f) = ablaG является примарной по простому числу 3, однако абелева группа G = redaablaG не является примарной.
Как и в группах, верна
Теорема 5. Всякая периодическая абелева n-арная группа изоморфна прямому произведению примарных абелевых n-арных групп, относящихся к различным простым числам.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В периодической абелевой n-арной группе (G, f) определим абелеву группу redc (G, f), которая будет периодической (согласно теореме 2).
Пусть а — изоморфизм из redC(G,f) в внешнюю прямую сумму 7 Ga примарных подгрупп Ga, относящихся к различным простым числам ра, действующий по правилу: если g = gai + ... + gak, где для каждого i = 1,... ,k
имеем gai Е Gai для некоторого ai Е I, то a(g) = Tg : I ^ (JaeI Ga, где
gai, если a = ai для некоторого i = 1,... ,k; (2)
0, если a = ai для любого i = 1, . . . , k.
(п)
Для d = f ( c ) полагаем d = dai + ... + dar. На каждой абелевой группе Ga строим абелевы n-арные группы (Ga, fa) = abldaGa, причем da = daj для некоторого j = 1,... ,r и для всех a из I, отличных от a1,... ,ar, полагаем da — нуль в группе Ga. По теореме 4 все так построенные n-арные группы (Ga, fa) будут примарными по простым числам ра. Покажем, что а является изоморфизмом из (G, f) в ПaeI (Ga, fa). Заметим, что n-арная операция f в n-арной группе naeI (Ga, fa) действует по правилу f (ti, . . ., Tn)(a) = fa (Tl(a) , ... , Tn(a)).
Пусть ai,. . . ,an Е G и ai = bai1 + ... + baik. , где baij Е G aij для некоторого
aij Е I. Для удобства полагаем d = ban+11 + ... + ban+1k +. Через J обозначим
набор различных индексов среди индексом вида aij, где i = 1,... ,n + 1 и j = 1,... ,ki для фиксированного i. Тогда
ki kn kn+i
a(f (an)) = a(a1 + ... + an + d) = baij + ... + banj + X/ ban+lj) =
j=1 j=1 j=1
= а^(с1в + ... + спв + Сп+1в)) = fe (с1в , . . . ,Спв)) = T fe (cie ,'"Cn(i)
eeJ eeJ
где
= í bajs, если в = ajs для некоторого s = 1,... ,kj; (3)
Cje \ 0, если в = ajs для любого s = 1,... ,kj.
Tg(a)
Согласно правилу (2) имеем т Y;l3eJ fe(cie,.,cn¡3)(a) =
= í fe (С1в,..., Спв), если a = в для некоторого в Е J; (4)
0, если a = в для любого в Е J.
f (a(a1), . . .,a(an))(a) = f (тai,. . .,Tan )(a) = fa(Tai (a) , . . . ,Tan (a)) =
f fe(Tai (в),... , Tan (в)), если a = в для некоторого в Е J; (5)
0, если a = в для любого в Е J.
Но для всех i = 1 , . . . , n имеем
т.е. та1 (в) = Сгв. Значит, отображения (4) и (5) совпадают, тем самым мы доказали, что а сохраняет п-арную операцию. Теорема доказана.
Вновь как и в группах, верна
Теорема 6. Периодическая часть конечно порожденной абелевой п-арной группы является конечной п-арной подгруппой.
Доказательство. Пусть Р — периодическая часть конечно порожденной абелевой п-арной группы (С, Д). Р будет п-арной подгруппой в (С, Д) ([1], следствие 1). Выбираем с из Р и на (С,Д) строим абелеву группу гейс(С,Д) (см.
Покажем, что каждый элемент из Р в группе гейс(С,Д) имеет конечный порядок. Отметим вначале, что (С, Д) = аЫатейс(С, Д). Вновь согласно предложению 2.5.14 из [6] п-арный порядок элемента с в п-арной группе (С, Д) равен порядку (бинарному) элемента й в группе гейс(С, Д). Пусть этот порядок равен к. Выбираем любой элемент а из С конечного п-арного порядка I. Полагаем т =
НОК(к, I) и т = кт\, т = 1т2. С одной стороны, а<т> = Дт)( 2^ а 1+1') = а, с другой стороны, а<т> = (т(п — 1) + 1)а + тй. Значит, т(п — 1)а + тй = с. Но тй = т\(кй) = с. Тогда т(п — 1)а = с. Значит, а имеет конечный порядок в группе гейс(С, Д).
Покажем теперь, что из конечной порожденности п-арной группы (С, Д) следует конечная порожденность группы гейс(С, Д). Для п-арной группы (С, Д) существует универсальная обертывающая группа (С*, ф). Множество С0 = {а\ ф а2 ф ... ф ап-\ | аг Е С} является нормальной подгруппой в (С*, ф) (см. [8]). Пусть (С, Д) порождается конечным множеством X. Тогда (С, Д) состоит из элементов, которые получаются после применений операции Д к элементам из множества X и косым к этим элементам [9]. Значит, для каждого элемента д из (С, Д) найдутся неотрицательные целые числа Ь\, т\,... ,Ьк, тк такие, что
Tai
bais, если в = ais для некоторого s = 1,... ,ki;
0, если в = ajs для любого s = 1,... ,ki,
выше).
где xai Е X, i = 1,... ,k и к=1 (ti + mi) = q(n — 1) + 1. Так как G порождает {G*, ф), то имеем конечную порожденность {G*, ф). А тогда и подгруппа G0 будет конечно порождена (как подгруппа конечно порожденной группы конечного индекса). Известно, что G0 и redc{G,f) изоморфны, значит, redc{G,f) также конечно порождена.
Итак, абелева группа redc{G,f) конечно порождена, а значит, множество всех элементов конечного порядка этой группы конечно. Раньше мы показали, что это множество содержит P. Теорема доказана.
Следствие 3. Любая периодическая конечно порожденная абелева n-арная группа конечна.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щучкин Н. А. Периодичность в полуабелевых n-арных группах // Ученые записки Орловского государственного университета, 2012. T. 6, ч. 2. С. 254259.
2. Gleichgewicht B. and Glasek K. Remarks on n-groups as abstract algebras // Coll. Math. 17, 1967. P. 209-219.
3. Dudek W. A. Remarks on n-groups // Demonstratio Math. 13, 1980. P. 165-181.
4. Timm J. Kommutative n-Gruppen: Diss., Hamburg, 1967. 156 p.
5. Русаков С. А. Алгебраические n—арные системы. Минск: Навука i техшка, 1992. 262 с.
6. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. I. Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.
7. Dudek I. M., Dudek W. A. On skew elements in n-groups // Demonstratio Math., 1981. Vol.XIV, №4. P. 827-833.
8. Post E.L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48, 1940. P. 208-350.
9. Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. Минск: Беларуская навука, 1999. 180 c.
REFERENCES
1. Shchuchkin N. A. Periodicity in semiabelian n-ary groups // Proceedings of Orel State University, 2012. Vol. 6, Part 2. P. 254-259.
2. Gleichgewicht B. and Glasek K. Remarks on n-groups as abstract algebras // Coll. Math. 17, 1967. P. 209-219.
3. Dudek W.A. Remarks on n-groups // Demonstratio Math. 13, 1980. P. 165-181.
4. Timm J. Kommutative n-Gruppen: Diss, Hamburg, 1967. 156 p.
5. Rusakov S. A. Algebraic n-ary system. Minsk: Science and Technology, 1992. 262 p.
6. Gal’mak A. M. n-ary groups. Part I. Gomel: GSU F. Skoryna, 2003. 196 p.
7. Dudek I. M., Dudek W. A. On skew elements in n-groups // Demonstratio Math. 1981. Vol.XIV, №4. P. 827-833.
8. Post E.L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48, 1940. P. 208-350.
9. Gal’mak A. M. Congruence polyadic groups. Minsk: Belarusian Science, 1999. 180 p.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет. Поступило 14.09.2013
