Периодические стационарные процессы и неравенство Виноградова-Пойа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ И НЕРАВЕНСТВО ВИНОГРАДОВА—ПОЙА*

И. А. Ибрагимов

С.-Петербургское отд. мат. ин-та (ПОМИ) им. В. А. Стеклова РАН, академик РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Неравенство Виноградова—Пойа. Пусть х — какой-нибудь неглавный характер Дирихле mod к. Тогда для него выполняется неравенство Виноградова—Пойа:

< coVJtlnk (1)

(см., напр. [3], гл. 8, §1 и п. 3 ниже). Через здесь и далее обозначаются абсолютные постоянные, кроме того в ходе доказательств мы также обозначаем буквой е без индексов абсолютные постоянные «вообще», не обязательно одни и те же. Ниже предлагается «вероятностное» доказательство неравенства Виноградова—Пойа.

2. Периодические стационарные последовательности. Пусть — стационарная в узком смысле периодическая с периодом к последовательность. Последнее означает, что с вероятностью 1 ^п+и = £п. Мы всегда ниже предполагаем, что Е|£п|2 < х, Е£п = 0. Обозначим через Еп и Г (¿А) корреляционную функцию и спектральную меру последовательности £п соответственно, так что

р 2п

Еп = еп Г (¿А). (2)

Jo

Относительно этого равенства и других используемых ниже результатов из теории стационарных процессов см., напр., [1]. Ясно, что последовательность Еп к-периодична, и потому спектральное представление (2) принимает следующий вид:

к-1

Rn = Y, fv e2nivn/k, (3)

0

где = ¥(^Л„}), Л„ = 2пи/к, V = 0,1,..., к — 1. Таким образом, мера ¥ сосредоточена на множестве |Л^, V = 0,...,к — 1}. При этом

і к-1

u = zY.R^il,n/k- (4)

к 0

Спектральное представление самой последовательности

р 2п

£n = einX Z (dX),

0

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №02-01-00262), РФФИ — ННИО (грант №04-01-04000) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-4222.2006.1).

© И.А.Ибрагимов, 2011

^ — ортогональная случайная мера, поэтому

к-1

£п = Е С,е2п^п/к1 (5)

о

случайные величины СV = %({А^}) имеют нулевое среднее, ортогональны и Е|С^ |2 = /. Ясно, что

к-1

1

с = їТ,ье~Мип/к- (6)

2пі^п/к

, Цп е

0

Отметим еще, что в силу равенства (6) случайная величина Со инвариантна и потому для эргодических последовательностей Со = 0,/о = 0.

Лемма 1. Если в представлении (3) /о = Е | Со |2 = 0, в частности, если последовательность эргодична, то

Е £п = 0. (7)

о

Доказательство. Утверждение леммы немедленно следует из представления (5) и равенства

к-1

Е^=0, ^0. (8)

п=о

Лемма доказана. Отметим, что для стационарных в узком смысле эргодических последовательностей утверждение леммы можно доказать лишь в предположении Е{|Со|} < го. Действительно, в силу периодичности

пк- 1 к- 1

пк ^ =

оо

тогда как по эргодической теореме

к-1

пк

Ит У" £,• = 0.

п пк < *

0

Теорема 1. Пусть {Цп} —стационарная в широком смысле последовательность. Допустим, что для всех N

1

Е| Е & П ^ В2N (9)

где постоянная В2 может зависеть от характеристик последовательности Цп. Тогда

2 '

Е1/2 < тах

1< а<И

N

Х>

< сіВ21/2а/Я1пЖ. (10)

Доказательство. Неравенство (9) есть по существу вариант хорошо известного неравенства Меньшова—Радемахера из теории ортогональных функций (см., напр., [1], лемма 4.1, с. 144; там же имеется замечание о принадлежности этого неравенства к теории вероятностей, см. § 1 гл.IV).

Доказательство повторяет известные аргументы, см. [1], с. 244. Именно, обозначим через сумму = ^2¿=+2^2 1 . Тогда сумма ^^ может быть записана в виде

, где , принимающие значения 0, 1, и £ зависят от а. Поэтому на основании неравенства Коши

тах

1/2

< Етах \$г,и\ < с(1п N)1/2 тах\Бг}и\2 j <

1/2

< с(1п N)1/2

(11)

Отсюда в силу (9) следует, что

Е тах

Е^-

< с 1пNJ2N2-VЕ^^\2 < е2В^ 1п2 N.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть {-п} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть для некоторого р > 2 ЕЩ^ < то. Допустим, что для всех N

Е

N

Т.-

< В^р/2,

(12)

постоянная Вр может зависеть от характеристик последовательности {-п}. Тогда

Е тах

1<а<N

< с2ВІ/р\НЧ\/ІпЛПпІпЛГ,

(13)

Е тах

1< а<N

<с3(р- 2) {р 1)/рВуруПЧ(1 п№)1/р.

Доказательство. Докажем неравенство (13). Если 2 < г <р, то

(14)

Е

N

Т.-

< Brp/pNr/2.

Подобно (11)

1/г

< с(1п N)

(г — 1) /г

1/г

Етах \Ч < с(1п N )(г—1)/г I ^Г . (15)

2

р

Г

Поэтому

Е тах

< сВр/р(1пN)г—1 ^N2г"/2— < с(1пN)г—1^/2(г - 2) —1. (16)

Следовательно,

Е тах

< сВІ/р^/ШпН ІМ

р>г>2

< с2ВІІР^М\пМ^/\п\пМ.

ехр \ 1п 1п ТУ ^ (г — 2) 1/г

<

(17)

Чтобы доказать (14), воспользуемся неравенством

< ^ 2^(1/2—1/р)2—и(1/2—1/р) тах\Бг^\ <

V

^ 2^р—2)/(2(р—^

<

(р—1)/р / \ 1/р ( X) \St-v\р2—(1'р/2—1')\ .

Поэтому

Теорема доказана.

Е

тах < с3вур^{\пМ)1/р.

Теорема 3. Пусть {£п} —стационарная в узком смысле к-периодическая эргодиче-ская последовательность. Если выполняются условия теоремы 1, то с вероятностью 1

тах IVб,- < ГІС2В\!2\Гк 1пк.

0<а<к-1!^ - - 2

Если выполняются условия теоремы 2, то с вероятностью 1

тах IV < с1с3В\!р\/к\/\ті к 1п 1п к,

-„¿к-л\^1 ^ — 3 р ’

0ак1

т^х ІЕ< 2сЛр - 2)

0<а<к—1

-(р—1)/р

Вур\/~к(\п к)1^.

Кроме того,

тах

0ак1

V> тах Е1/2 < IV - 0<а<к-1 І I

(18)

(19)

(20)

(21)

Доказательство. Очевидно,

тах I —

0< а<к- 1І^

N

< вир IV

M<N

м

г

2

Случайная величина supM<N ^M £j \ инвариантна и, следовательно, в силу условия эргодичности

N

sup \ £j = const = E sup \ £j

M<N M M<N M<N

Ссылка на неравенства теорем 1 и 2 заканчивает доказательство неравенств (18)—(20). Неравенство (21) очевидно. Теорема доказана.

Укажем две простые границы для Б2. Во-первых, из равенства

N

2 N

— R0

RoN + 2^(N - j)Rj

Е

1

следует, что для ^-периодических последовательностей

к-1 к-1

В2 < Ко + ^\Щ \ = Е \К(22)

1 -(к-1)

Во-вторых, для последовательностей с /о = 0

I N р2тт | N — 1 2 к — 1 *2 ъМп

ЕЕ«> =/ £ ‘ух И““’ = Е й

1 "'О 0 п=1 вт к

к-к/Ы

< сМ2 Е /п + сМ ^ ^ /п + ск ^ /пп < сМ тах(к/п)*

п<к/Ы к-1>п>к-к/Ы к/Ы

Таким образом,

к-1

B2 < c min I Е \Rj|, max(fc/„)

\—(к—1)

Получить хорошие оценки для Bp при p > 2 существенно труднее.

3. Примеры. 3.1. Неравенство Виноградова—Пойа. Пусть к — целое число. Обозначим О = {0,1, ■ ■■ ,к — 1} классы вычетов mod к с обычным сложением и умножением. Обратимые элементы О, т. е. взаимно простые с к, (ш, к) = 1, образуют абелеву группу G по умножению.

Превратим О в вероятностное пространство, приписав каждой точке ш G О вероятность 1/к. Рассмотрим преобразование Т : О ^ О, определенное равенством Тш = ш + 1. Тогда Т есть сохраняющее меру преобразование. Очевидно, Т не имеет нетривиальных инвариантных множеств. Пусть £ какая-нибудь комплекснозначная функция на О. Равенства £п(ш) = £(ш + n) определяют стационарную к-периодическую эргодическую последовательность. Если Уш £(ш) = 0, то E£n = 0. Если £(ш) имеет рядом Фурье

сумму £ш Cj¿1пгшИк, то спектральное представление £п принимает следующий вид

£n = énXZ{d\) = Е С„е^, (23)

где Ли = 2пу/к, Zv = Z({Лпи}) = cve2nulj/k. Корреляционная функция

Rn = E \cj\2e2nijn/k. (24)

j

Характеры Дирихле х(ш) суть характеры группы О (прямое определение характеров Дирихле см., напр., в [3], гл. VIII). Продолжим х(ш) на все П, полагая х(ш) = 0, если (ш, к) > 1.

Пусть х — какой-нибудь неглавный характер. Определим случайную последовательность {£„} равенствами

£и(ш; х) = £п(ш) = £их(Тпш) = х(ш + п).

Ясно, что £п — стационарная к-периодическая эргодическая последовательность.

В силу свойств характеров (см., напр., [3], с. 120), если х — неглавный характер, то

Еео4Е*Н=0, ЕЫ24Е1хН12-^ (25)

Л Л

у>(г) —функция Эйлера, количество чисел а < г, взаимно простых с г.

Корреляционная функция особенно просто вычисляется, если к — простое число. Тогда все элементы ш, кроме нуля, обратимы и для п = 0:

Спектральное представление для £п проще всего получить, воспользовавшись известными свойствами характеров. Именно, если х — примитивный характер, то (см., напр., [3], с. 120)

о

k-i о

Г(х) = 53 x(n)e2nin/k, \т(х)\

Из этих равенств немедленно следует, что в спектральном представлении (5) для £n(w; х),Х — примитивный характер, случайные величины

с, = О) = Ще-2^, 0 < г/ < к — 1; Со = 0. (26)

т ш

При этом EG, = 0, E\Zv\2 = |х(^)\2k-1.

Отсюда следует, что для примитивного характера х mod k,n = 0,

i , i _k

^"е2"т| уЫ|2 = - V е2^п.

Вп = -кТ,'™‘*\хМ12 = * £

V а=1,(а,к)=1

Последняя сумма есть сумма Рамануджана Т(к). Она мультипликативна, Т(к^) = Т(к\)Т(к2), если к!,к2 взаимно просты (см., [3], с. 164). Вычисляя сперва Т(ра),р — простое, найдем, что

Д» = \ \{к), (27)

М(^)Г 1 '

¡л(п) — функция Мебиуса ([3], с. 7).

Заметим теперь, что для рассматриваемой последовательности /п к = 1,В2 — 1, — и теорема 3 приводит к неравенству Виноградова—Пойа (1).

3.2. Гауссовские последовательности. Пусть теперь последовательность {£п} к — периодическая стационарная гауссовская последовательность. Такая последовательность уже не может быть эргодической, поскольку гауссовские стационарные эрго-дические последовательности имеют непрерывную спектральную функцию (теорема Маруямы, см., напр., [4], гл. 14). В нашем случае в этом легко убедиться и из того, что supм<N \^2М I — 1£о1 не может быть константой.

Для гауссовских последовательностей

N-1 , 1 N-1 N-1

Е|£ С,Г = Л^2»/>г(г±І)е ((£ = ,4р(е £ (¡)г>

0 0 0

Поэтому, теорема 3 для любого р > 4

а—1 а—1

Е тах |У^ £,• < Е1^/ тах |У^ £,• X < В^с^/р^/М(\п М)1/р.

0<а^<к\^ ^ - І0<а<^к\^ ^ / - 2 У1 У '

00

Выбирая здесь р = 1п 1п N, находим, что

а— 1 .

0<а^<к

Е max fo < c£?2 VNл/іп In TV, (28)

0<n.<N<k\^^J ~ v '

0

в частности,

a— 1

E max I'V < cB2\fk\/\YiInk. (29)

0<T n<h \ ' ^

U<a<k I

U

В спектральном представлении (5) — независимые гауссовские величины. Вы-

берем = ZvI\fk\iy\ где x{v)—характер Дирихле mod к предыдущего примера, Zv — независимые стандартные гауссовские величины. Тогда гауссовская последовательность £п = ^2k=1 Zve2ninv/k будет иметь ту же корреляционную структуру, что и последовательность предыдущего примера. Для нее имеет место неравенство (29).

4. Процессы с непрерывным временем. Предположим теперь, что £(t) —это стационарный процесс с непрерывным временем и вещественным периодом Т, £(t + т) = £(t). Мы будем считать процесс £(t) сепарабельным и измеримым. Как и выше, мы полагаем E£(t) = 0, E|£(t)|2 < ^. Корреляционная функция R(t) процесса ^(t)периодична с периодом Т и представляется в виде

R(t) = Е

rj e2™tJ/T

J

а спектральное представление самого процесса имеет вид

£(*) = Е Zj e2nitJ/T, (30)

J

J

случайные величины ^ имеют нулевое среднее, не коррелированы и Е^\2 = .

Установим для £(і) аналог теорем 1-3.

Е

£(і)йі

- ВрТр/2, 0 - Т - т,

Е тах

0<г<т

ГІ

< с5В21/2^Т1пТ, р = 2;

02

Е тах

Е тах

0< і<т

[ фуь < с6Вурл/Т\пТл/\п\пТ, р> 2;

>]0

І £{з)сіз <с7В1/Р(р-2)Ір-1)1/р^Т(\пТ)1/Р, р> 2.

0

(32)

(33)

(34)

Доказательство. Мы сведем этот континуальный случай к уже разобранному дискретному случаю теорем 1, 2. Нам понадобится следующий количественный вариант теоремы Колмогорова о непрерывности случайных функций (см., [2], теорема 19 приложения 1).

Лемма 2. Пусть X(і) сепарабельный измеримый случайный процесс, определенный на отрезке I = [0, Т]. Допустим, что для всех з,і Є I

Е\Х(і)\р - Н, Е\Х(і) - X(з)\р - Н\і - з\<,

где Н — д > 1. Тогда с вероятностью 1 реализации £(і) непрерывны на I и, более того,

Е тах \Х(і) - X(з)\-сН 1/рТН(з-1)/р.

\Ь—в\<Н

(35)

Перейдем к доказательству теоремы. Мы докажем лишь первое из ее неравенств; остальные доказываются аналогично. Пусть М —достаточно большое целое число, окончательным выбором которого мы распорядимся позднее. Положим

с(г (г+1))/М

г/М

£(и)Ли.

Тогда Пг образуют стационарную М-периодическую последовательность. При этом

N-1

Е\ Е Пг

г=0

Из теоремы 1 следует, что

Е

тN /М

£(и)Ли

тN

<В2— = В2М. ~ М

Е тах |У%Г| < cBl/2VN\nN. 0<а<М^ _ 2

Поэтому

Е тах

0<г<т

£(з)3,з

1/2

тТ МТ

< сВ^\1 — 1п-

М

+ Е тах т \в-г\<т/м

£(и)ё,и

0

то

Г

2

2

0

0

Для оценки последнего слагаемого воспользуемся неравенством леммы 2, полагая в ней X(t) = JU £(s)ds. Имеем

E|X(t) - X(s)|2 <|t - slf El£(u)l2du = R(0)|t - s|2

J s

Таким образом, условия леммы 2 выполняются с p = q = 2, так что E max |/ £(u)du\ < cR(0)T(т/М)1/2.

\t-s\<r/M'Js

Поэтому

о< t<T 1

ъ/ггр

Е max I / £(u)du\ <с В21/2л/Т1п------------+ Д(0)Т(т/М)1/2

Выбирая М = тТ, приходим к неравенству (32) теоремы.

Теорема 5. Пусть £(£) — эргодический т-периодический процесс с нулевым математическим ожиданием. В условиях теоремы 4 с вероятностью 1

E max

0<t<r jo Г t

E max

E max

0<t<T

£(s)ds < 2с5_02^2а/тіпг, p = 2; f £(s)ds < 2саВ^рл/r In r In In т, p > 2;

Jo

I £(s)ds <cr(p-2y{p~1)/pB1JpV^ (lnr)1^, p>2.

0p

o<t<t jo

(36)

(37)

(38)

Доказательство повторяет доказательство теоремы 3. Нужно лишь заметить, что интеграл по периоду /0 £(s)ds =0 и что в силу эргодичности

sup

s<t

£(u)du

E sup

s<t

£(u)du

< 2E sup

0< t<T

£(s)d,s

Теорема доказана.

Литература

1. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956. С. 605.

2. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.

3. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. С. 239.

4. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. С. 383.

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2010 г.

t

0

0