Периодические решения второго рода в окрестности семейства g задачи Хилла Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 517.933:521.1

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА В ОКРЕСТНОСТИ СЕМЕЙСТВА £ ЗАДАЧИ ХИЛЛА

А. Б. Батхин, Н.В. Батхина

Исследованы семейства периодических решений второго рода (по Пуанкаре), порожденные прямооборотной луноподобной орбитой g. Обнаружены все виды бифуркаций периодических решений, допустимых в неинтегрируемых гамильтоновых системах. Полученные результаты могут быть полезны при исследовании периодических решений более сложных моделей, а также для объяснения движения естественных и искусственных спутников.

Введение

Если система дифференциальных уравнений имеет периодическое решение с периодом Т, то вблизи этого решения иногда существуют периодические решения с периодом, кратным Т. Такие решения Пуанкаре предложил называть периодическими решениями второго рода. В третьем томе «Новых методов небесной механики»[1] он разработал практически весь необходимый математический аппарат для построения таких решений. Однако эффективное применение этого аппарата долго не находило реализации. Это, возможно, связано с тем, что в отличие от неинтегрируемых систем в случае интегрируемой системы почти все семейства периодических решений не имеют периодических решений второго рода. Если решения неинтегрируемой системы строятся методом аналитического продолжения решений интегрируемой системы, то в окрестности периодического решения второго рода этот метод обязательно расходится [2]. Чем дальше исследуемая система от интегрируемой, тем легче строить периодические решения второго рода, естественно, не аналитическими, а численными методами.

Настоящая статья посвящена численному исследованию периодических решений второго рода в окрестности прямооборотного семейства#луноподобных простых периодических орбит задачи Хилла.

Плоская задача Хилла является предельным случаем классической плоской круговой ограниченной задачи трех тел, силовая функция которой представляет собой сумму силовых функций центрального и плоско-параллельного полей. Она интересна как модель начального уровня, содержащая характерные черты распространенных небесно-механических моделей [3].

Модель Хилла

Уравнения движения третьего тела в модели Хилла могут быть получены из уравнений плоской круговой ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ) с помощью т. н. преобразования Хилла.

Напомним, что в безразмерной равномерно вращающейся с единичной угловой скоростью вокруг центра масс двух массивных тел (например, Солнце и Земля) системе координат уравнения движения третьего тела (Луны) имеют вид:

х = 2 у +

у = ~2х +

дУ_

дх т_, ч х2 + у2 1 -а и

9Гг^У>-Г-+^+1

ду

(1)

где ¿/<0,5 — массовый параметр, а г, и г, — расстояния от третьего тела до массивных тел. Уравнения (1) обладают первым интегралом Якоби

^=У(х,у)-(^+у2\

(2)

Преобразование Хилла осуществляется путем перехода в систему координат, связанную с меньшим телом, с последующим масштабированием (см., напр., [4]):

X = х//3 + /л - 1,х = хцч\у = 7 = уц

- ¿„уз

(3)

Раскладывая правую часть выражения (2) по степеням ¿ит и ограничиваясь в разложении только слагаемыми порядка меньше /л, получим интеграл Якоби предельной задачи С = 3х2 + 2/г-х2 - у2, а сами уравнения движения в безразмерных физических переменных описываются системой

\х = 2у + 3х - х/г3

(4)

I у--2х-у!г"

где г = ^[х2 + у2-

Задача Хилла обладает единственным первым интегралом — интегралом Якоби — и един ственным параметром задачи — постоянной С.

Гамильтониан задачи имеет особенность в начале координат —

Р\1 Рг) ~ Рг) ЯгР\ ~~ Ч\Рг ~ ~^Я\ ^т(?1 ^~Яг)

+ ч\

которая устраняется стандартной процедурой регуляризации Леви-Чивитта:

а -а

0.2 61 У

Л

(а

' Р\

I Рг)

1 /

/■

Гамильтониан в регулярных переменных принимает вид

Н = 2С{$ + 01) + Цр? + Р1) + 2(е,2 + £ )[(Щ - р& ) + %$£ - 2д; - 2в;] - 4.

(5)

(6)

(7)

Как видно из (7), полиномиальный гамильтониан регуляризованной задачи Хилла имеет форму двух несвязных гармонических осцилляторов с одинаковой частотой, возмущенных полиномиальными членами. Члены четвертого порядка возникают из-за действия силы Кориолиса вследствие замены инерциальной системы отсчета, связанной с центром масс, на вращающуюся, связанную со вторым телом. Система, соответствующая гамильтониану, содержащему члены только до четвертого порядка, интегрируема. Члены шестого порядка, описывающие действие первого тела, нарушают интегрируемость системы.

Метод отображений Пуанкаре

Исследование траекторий четырехмерного фазового пространства Я4 задачи удобнее и эффективнее производить с помощью метода последовательных отображений или метода сечений Пуанкаре, который позволяет перейти к изучению свойств отображения плоскости на себя. В качестве «плоскости сечения» выберем подмногообразие Г с К4, полученное путем пересечения гиперплоскости (рх = |у = 0} с многообразием н(^х,рх,у,ру,С)-0рля фиксированного значения параметра С:

Г-Н 1 п<ру

(8)

Таким образом, dim Г = 2 и точки этого многообразия будем описывать двумерным вектором z{x,x)-

Фазовый поток/: R* -»/?*, определенный гамильтонианом (5), корректно индуцирует отображение Пуанкаре р р —> Г ПРИ условии, что векторное поле гамильтониана Я трансверсально в каждой точке из Г. Последнее свойство имеет место быть, если в качестве подмножества /’выбрать центральную часть области допустимых значений на плоскости {х, х) (см. рис. 1). Обозначим через gr : Г ->/?* отображение вложения. Выберем z є Г, тогда через т(1) будем обозначать наименьшее время, необходимое для возвращения фазовой траектории f'(gT(z)) на плоскость сечения приру< 0. Тем самым отображение Рзадается формулой

P(z) = gr(fzCz\gr(z))\ (9)

Это отображение строится численно путем решения задачи Коши системы канонических уравнений гамильтониана Н. В качестве начального условия выбирается вектор gт{z), где у — точка на плоскости сечения Г. Интегрирование производится неявным методом Эверхарда 17-го порядка в регулярных переменных (см. [5]). Многократные итерации начальных точек затем визуализируются, что позволяет определить начальное приближение неподвижной точки отображения.

Неподвижная точка 1 к-го порядка отображения Р

Рк{Г) = Г, (10)

гае к є К,

соответствует периодическому решению х\^ + Т^\і )| = || с периодом Т.

Уточнение неподвижной точки отображения Р производится методом ньютоновых итераций, совместно с мониторингом мультипликаторов отображения. Поскольку отображение Р сохраняет площадь, то собственные числа Я,, Я2 матрицы производных отображения удовлетворяют условию Л,Л2 = 1■ Удачный выбор начального приближения ?0 гарантирует сходимость последовательности {г,.}, определенной итерационной схемой

(дР Vі

2М =%- —(?,)-£ (Щ)-г,.). (11)

)

Определим матрицу производных отображения Р, используя дифференциальные характеристики фазового потока/. Рассмотрим систему канонических уравнений гамильтониана Нъ векторной форме

¿(0 = /(*)■ 02)

Здесь вектор х(х,рх,у,р ) — вектор фазовых переменных, а вектор /(х) есть вектор правых частей канонических уравнений. Каждой точке г еТ соответствует решение задачи Коши для системы (12) с начальным условием х(0,1) = gГ(z). Учитывая способ определения отображения вложения £р получим, что

Р1(г) = х1(ф),г),1 = \,2. (13)

Матрица производных отображения Р может быть вычислена по формуле [см. 6]

£<*>=

dz

Е-

(hJ(x(T(z),z)fj

0(t(z),z)s

(И)

где И есть вектор, нормальный к сечению Г,

Л* — ему транспонированный, а ©(/,?) — решение задачи Коши уравнения в вариациях

с начальным условием

^©(лг) = |^(х(*,?))©(/,?) (15)

Учитывая выбор плоскости сечения д>х с вектором Л - (0,0,1,0), получим формулу в координатной форме

(.7,

дг} &. /,{х(ф\х))

Для расчета матрицы производных отображения необходимо найти значение двух вектор-функций дх!д2р] = 1,2 при I = т(г), которые есть решение системы (15). Интегрировать эту систему приходится вдоль решения х (¿Д), то есть совместно с системой , а значит, решается в итоге система уравнений 12-го порядка.

Матрица производных отображения позволяет определить индекс устойчивости неподвижной точки г* отображения Р. Поскольку отображение Пуанкаре, индуцированное фазовым потоком системы канонических уравнений, сохраняет объем, то характеристический многочлен матрицы (14) имеет вид

^|(,)Я + 1, (18)

дР

где 7>——(? *) — след матрицы производных отображения в неподвижной точке. Корни много-дг

члена (18) удовлетворяют одному из двух соотношений:

дР

дг

ближении случаю (эллиптическая точка);

2-1/ ~ дР

• либо - /; , Я , 2 € Я при

(гиперболическая точка).

1 дР

Индексом устойчивости будем называть величину а~~Тг (г 15 тогда условие устойчи-

2 02

вости принимает вид |а| < 1.

Заметим, что ряд «тонких» эффектов, связанных с перестройкой фазового пространства, можно обнаружить, используя высокоточную арифметику, которая обеспечивает локальную погрешность на шаге интегрирования не хуже, чем 10~30 [7]. Для этого применяется метод Тейлора произвольного порядка. Изучение семейств периодических решений в зависимости от параметра задачи С осуществляется с помощью алгоритма продолжения решения по длине дуги бифуркационной диаграммы. Одновременно осуществляется мониторинг чисел вращения, что позволяет обнаруживать периодические решения второго рода.

Семейства прямооборотных периодических орбит

либо Я1=Я2, ПРИ

< 2, что соответствует устойчивому в линейном при-

Тг—(5*)

дгХ ’

> 2; что соответствует неустойчивому случаю

Сначала заметим, что в отличие от ограниченной задачи трех тел задача Хилла имеет две неустойчивые коллинеарные точки либрации, симметричные относительно второго тела: (± 34/3,0). При С > 34/3 точки либрации отсутствуют, а кривая нулевой скорости разделяет фазовое пространство на две несвязные области финитного и инфинитного движения. При С < 34/3 точки либрации существуют, области финитного и инфинитного движения становятся связными. При этом по-прежнему существуют финитные решения задачи Хилла. Вид кривых нулевой скорости на плоскости (х,х) после и до размыкания показан на рисунке 1.

0=4.25

0=4.55

Рис. 1. Кривые нулевой скороста на плоскости (х, у ) до (справа) и после (слева) размыкания

Эно показал [8], что в задаче Хилла существует 5 семейств однооборотных симметричных относительно оси (Апериодических орбит а, с, g, g’,f. В силу инвариантности системы относительно замены переменных

I = -(,х = х,у = -у,х = -х,у = у (19)

каждое семейство периодических решений имеет симметричное. Указанные выше семейства совпадают со своими симметричными.

Семейства а и с происходят от либрационных орбит. Семейства/и # являются обратнооборотными и прямооборотными спутниковыми орбитами соответственно. Семейство /устойчиво при всех значениях постоянной Якоби, тогда как семейство # устойчиво лишь при С > 4,49998584, а затем испытывает бифуркацию потери симметрии, при которой рождаются две взаимно симметричные относительно оси О У орбиты семейства g’. Интерес к орбитам семейств ^ и объясняется тем, что больше половины естественных спутников планет Солнечной системы имеют орбиты, соответствующие в приближении Хилла орбитам этих семейств, причем значение константы Якоби для некоторых из этих спутников лежит в рассматриваемом нами диапазоне. Кроме того, большинство искусственных спутников Земли движутся по прямооборотным орбитам, близким К £ И £ ’.

Рассмотрим поведение семейства g прямых однооборотных периодических решений при изменении параметра С. При С > 4,49998584 эта орбита устойчива, и ее индекс устойчивости при уменьшении Сот значения 5,11 монотонно возрастает от 0,82 до 1 (см. рис. 4). При С* = 4,49998584 орбита g испытывает бифуркацию потери симметрии (типа «вилки»). Основное решение становится неустойчивым, а в его окрестности появляется пара устойчивых решений g’, каждое из которых уже не симметрично относительно оси О У. На рисунке 2 показано сечение Пуанкаре в окрестности орбиты #до и после бифуркации, а на рисунке 3 — орбиты семейств при

С = 4,4. Орбиты семейства g' могут быть получены из орбит семейства поворотом на 180° относительно начала координат.

Рис. 2. Инвариантные торы на плоскости (х,х) до и после бифуркации потери симметрии

в окрестности семейства g

Однооборотное периодическое решение эволюционирует следующим образом: с уменьшением значения постоянной Якоби в диапазоне от 4,49998584 до 4,30012179 само решение остается устойчивым, но в его окрестности рождаются периодические решения 2-го рода с различными числами вращения. Можно выделить несколько сценариев возникновения периодических решений 2-го рода:

• слабые резонансы;

• сильные резонансы;

• транскритические бифуркации;

• каскады удвоения периода.

*0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X

Рис. 3. Орбиты семейств gи g’

Индекс устойчивости

------------ Орбита д

- — — — Орбита д'

]--1-.-------)--!-1--|-!---.-г _ - 1-]-1-[-!--1---1-},--, , ]---;--}-^

5 Постоянная Якоби С ^ ?

Рис. 4. Индекс устойчивости ОрбИТ £ И#’

Слабые резонансы

Пара мультипликаторов орбиты £'при уменьшении С последовательно принимает все значения, лежащие на единичной окружности от +1 до —1. При прохождении мультипликато-

ра через точку, аргумент которой равен

2л ру

в окрестности # рождается пара периодичес-

ких ^-оборотных решений (одно из которых устойчиво, а другое неустойчиво). Появившиеся высокооборотные решения по мере уменьшения С удаляются от орбиты g ’ к сепаратрисной поверхности. При этом мультипликаторы ^-оборотного устойчивого решения тоже последовательно «перемещаются» по единичной окружности от +1 до —1 и, следовательно, в их окрестности при соответствующих значениях мультипликаторов появляются резонансы более высокого порядка, и т. д. При этом можно утверждать, что сечение Пуанкаре в окрестности каждого из этих резонансов выглядит подобно сечению в окрестности но в меньшем масштабе, то есть наблюдается наличие некоторой фрактальной структуры фазового пространства. На рисунке 5 показаны окрестности резонансов 1:5, 1 : 25, а на рисунке 6 — соответствующие им 5-ти и 25-ти оборотные орбиты.

С =4,3230 с.;

//М^лН р'...

11 {1 а 1111 д '111^-

\’ц Р' 'ч* г/¥: '

\ \\ -'-'-г, | /7

С=4,31675

-Г'.»» -п.м -п.5

-Г).*-6 -С.45 -0.-4

('.Е* -0.55 -1.М -П.Р1 -П-'.Г -П.К] -"].?£ -0.45 -0.43 -іЛ.47 О.«* *1.4

Рис. 5. Окрестность резонансов 1 : 5 и 1 : 25 на плоскости (х,.г)

Рис. 6. Орбиты резонансов 1 : 5 и 1 : 25 на плоскости (х, у)

Поскольку орбита симметрична относительно оси ОХ, то и все периодические решения 2-го рода тоже симметричны относительно этой оси. Все родившиеся резонансы испытывают каскады бифуркаций удвоения периода, и по мере приближения к сепаратрисе образуют зоны локального хаоса. Такое поведение характерно для периодических решений 2-го рода с числами вращений до 1: 4, не включая последнее. Иначе эволюционируют сильные резонансы.

Сильные резонансы

Первым из них появляется резонанс 1 : 4 при С = 4,30012179, однако при этом аргумент мультипликатора орбиты еще не достиг значения ^ • Этот резонанс появляется в результате эллиптико-гиперболической бифуркации вдали от решения Заметим, что для семейств gx 'и g2 ’все их перестройки происходят идентично, то есть при одних и тех же значениях параметра С, но в силу взаимной симметрии семейств структура инвариантных многообразий на сечении Пуанкаре выглядит различной. На рисунке 7 показано появление резонанса 1 : 4 в окрестности семейств gl ’и g2 ’, соответственно.

-А. 52' -0.ЭЗ-

С*4,3001

С=4,3001

-ачк -п.*“

-1.4? -П.'О

.їй -п.*ч -ага -П.ГГ

Рис. 7. Появление резонанса 1 : 4 на плоскости (х,і) в окрестности орбит gx ’иgi’

По мере уменьшения С, устойчивое 4-оборотное решение «уходит» к уже разрушенной сепаратрисе и бифурцирует каскадом удвоения периода. Неустойчивое 4-оборотное решение приближается к решению g’, последовательно разрушая инвариантные торы, формирующие островок устойчивости вокруг (см. рис. 8).

Рис. 8. Эволюция резонанса 1 : 4 на плоскости (х,х) в окрестности орбит gt’и g2’

При С = 4,298482279 аргумент мультипликатора решения становится равным ^, а неустойчивое 4-оборотное решение гибнет, взаимодействуя с однооборотным решением. При этом происходит рождение нового неустойчивого 4-оборотного решения по сценарию слабых резонансов. В этот момент единственными устойчивыми решениями остаются орбита#’ и островки устойчивости, сохраняющиеся в окрестности устойчивой 4-оборотной орбиты. При дальнейшем уменьшении С родившееся неустойчивое 4-оборотное решение удаляется от#’, в окрестности которого вновь появляются инвариантные торы, но уже другой структуры (см. рис. 9), и размеры островов устойчивости увеличиваются. На сечении Пуанкаре в окрестности орбиты #’ (левая часть рис. 9) видны точки, оставленные орбитами «убегания», которые покидают область финитного движения через «дыры» разрушенной сепаратрисной поверхности. Пример такой орбиты «убегания» с числом оборотов 50 показан на рисунке 10.

Рис. 9. Структура инвариантных торов на плоскости (х,х) в окрестности семейства g’

после прохождения резонанса 1 : 4

Рис. 10. Орбита убегания на плоскости (х, у)

Такая структура фазового пространства сохраняется до С = 4,28266780, при котором рождается пара 3-оборотных периодических орбит, которые эволюционируют также, как и описанные выше 4-оборотные. Такое поведение резонансов 1 : 4 и 1 : 3, возможно, связано с тем, что их появление происходит при С < 34/3, когда уже произошло размыкание кривой нулевой скорости. Более того, к этому моменту уже разрушена сепаратрисная поверхность, ограничивающая g и область устойчивости испытывает возмущение со стороны внешних резонансов.

Транскритическая бифуркация

Интересный сценарий появления периодических решений второго рода реализуется для резонансов с числами вращения из диапазона от 1 : 4 до 1 : 3. Были исследованы резонансы 3 : 11, 2 : 7 и 3 : 10. Их появление происходит с некоторым «упреждением» по С, то есть появляются две пары резонансов в результате эллиптико-гиперболической бифуркации на некотором удалении от § Эти резонансы представляют собой орбиты, взаимно симметричные относительно начала координат. В одной из пар резонансов устойчивое решение при продолжении по параметру «удаляется» от а неустойчивое — «приближается», в другой же паре устойчивое «приближается», а неустойчивое «удаляется». В результате в окрестности однооборотного решения формируется два кольца «островов» — внутреннее и внешнее (см., рис. 11 для резонанса

3 : 10). Наличие двух симметричных пар резонансов, в отличие от рассмотренного выше случая сильных резонансов, не приводит к разрушению инвариантных торов в окрестности £'.

Для резонанса 3:11 было обнаружено явление смены устойчивости, когда при одном и том же значении параметра устойчивое решение становится неустойчивым, а симметричное ему неустойчивое — устойчивым, то есть эти решения испытывают транскритическую бифуркацию. На рисунке 12 показаны графики индекса устойчивости этих орбит.

Рис. 11. Структура инвариантных торов на плоскости (х, х) в окрестности резонанса 3:11

1.0004

\

\

Рис. 12. Зависимость индекса устойчивости семейства 3 : 11 от постоянной Якоби

Каскады удвоения периода

Наконец, при С = 4,2714258 мультипликаторы решения#’проходят через —1 и происходит бифуркация удвоения периода: орбита теряет устойчивость, а в ее окрестности появляется устойчивое решение вдвое большего периода. Подробно это явление описано в статье [9].

Исследования позволяют утверждать, что имеют место каскады этих бифуркаций. Так, например, для орбиты #’был обнаружен каскад удвоений 1-2-4-8-16-32-64-128-256, для которого была вычислена постоянная Фейгенбаума 5- Полученное значение оказалось близким к теоретическому для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, что является косвенным подтверждением наличия каскада бифуркации удвоения периода (см. табл. 1). Однооборотные, двухоборотные и четырехоборотные орбиты данного каскада показаны на рисунке 13.

Рис. 13. Одно-, двух- и четырехоборотные орбиты каскада 1-2-4-... на плоскости (х, у)

Аналогичные расчеты проводились и для других орбит. Так, например, для резонанса 1 : 5, неподвижная точка отображения которого лежит на оси симметрии, был построен каскад бифуркаций удвоения 5-10-20-40-80-160 и вычислены не только постоянная 5. но и скейлинго-вые константы аир, значения котор ых также оказались близки к теоретическим: 5 « 8,69, а «4,01, Р «16,07 (при теоретических значениях £«8,721, ««4,01807, /?« 16,3638) [9].

Период С 8 С предельное

2 4,271428007690760 — 4,267936405820

4 4,268336772964500 — 4,267927068071

8 4,267974047189860 8,5222362 4,267927695834

16 4,267933010746990 8,8391135 4,267927693981

32 4,267928303631730 8,7179601 4,267927694095

64 4,267927763988070 8,7226361 4,267927694096

128 4,267927702110340 8,7211288 4,267927694097

256 4,267927695015410 8,7214012

Таблица 1

Период С 8 а Р

5 4,31264000 — — —

10 4,31196000 — — —

20 4,31187900 8,39506173 4,01215280 —

40 4,31187005 9,05027933 4,94208115 12,35017255

80 4,31186895 8,16605840 4,04758610 17,58423734

160 4,31186883 8,49612402 4,01173580 16,07346529

Таблица 2

После прохождения бифуркации удвоения периода орбита оставаясь неустойчивой:

• меняет свою форму (рис. 14);

• при С »4,05241 у орбиты появляется две петли (рис. 15);

• при С ~ 3,68448 орбита становится ударной, образуется третья петля, и орбита становится обратнооборотной (рис. 16).

-8.25 1--------------1-- -1------1-------’-------1-------

-в.7 -в.6 -0.5 -в.4 —0.3 -0.2 -в.1 8 в.1

Рис. 14. Орбита £ на плоскости

Рис. 15. Появление петель у орбиты

Рис. 16. Орбита#’ становится обратнооборотной

Заключение

Проведенные исследования показывают, что в задаче Хилла наблюдаются все виды бифуркаций периодических решений, которые могут реализовываться в неинтегрируемых гамильтоновых системах с двумя степенями свободы. Двумя основными сценариями перехода к хаосу являются явление расщепления инвариантных многообразий и наличие каскадов бифуркаций удвоения периода.

Подробное изучение семейств периодических решений плоской задачи Хилла позволяет использовать полученные результаты как базовые для более сложных моделей. Например, для исследования ограниченной задачи трех тел, которую можно рассматривать как возмущение задачи Хилла, аналитически зависящее от массового параметра ц; или для поиска семейств периодических орбит пространственной задачи Хилла.

С астрономической точки зрения, полученные результаты могут объяснить движение (захват, временный захват, перемещение от одного резонанса к другому и т.д.) некоторых тел Солнечной системы. Если они подходят с малыми скоростями к окрестности планеты в системе Солнце-планета, то на некоторое время они могут попасть в область, близкую к планете. Движение в этом случае описывается возмущением задачи Хилла.

Summary

PERIODIC SOLUTIONS OF THE SECOND GENRE IN THE VICINITY OF HILL’S PROBLEM FAMILY g

A.B. Batkhin, N. V. Batkhina

Families of periodic solutions of the second genre (on Poincare), generated by direct moonlike orbit g are investigated. All types of periodic solutions bifurcations, valid in nonintegrable Hamiltonan systems are found out. The received results can be useful at research of periodic solutions of more complex models, and also to an explanation of movement of natural and artificial satellites.

Литература

1. ПуанкареА. Новые методы небесной механики III. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972.

2. КрейсманБ.Б. О симметричных периодических решениях плоской ограниченной задачи трех тел: Препринт ФИАН им. П.Н. Лебедева РАН. 1997. № 67. 54 с.

3. Hill G.W. Researches in the Lunar Theory. The Collected Mathem. Works. Washington, 1905. V. 1. P. 284-324.

4. Simo C., StuchiT.J. Central stable/unstable manifolds and the destruction of KAM tori in the planar Hill problem // Physica D. № 140(2000). P. 1-32.

5. Бордовицина T.B. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука,

1984.

6. Wiggins S. Global Bifurcations and Chaos. Analytical Methods// Appl. Math. Science. N. Y.: Springer,

1988.

7. Batkhina N.V., Batkhin A.B. High precision parallel algorithms of numerical integration of celestial mechanics problems // IAA transactions. 2002. № 8. P. 22—23.

8. Henon M. Numerical Stability of the Restricted Problem: Hill’s Case: Periodic Orbits and their Stability//Astron. & Astrophys. 1969. № 1. P. 223—238.

9. Батхин А.Б., Батхина H.B., Сумароков С.И. Бифуркации удвоения периода в задаче Хилла // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 5.2000. С. 6—11.