Периодические решения уравнения обобщённых аналитических функций с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.2

Д.С.Сафаров, Г.М.Мисоков ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ОБОБЩЁННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Курган-Тюбинский госуниверситет им. Н.Хусрава

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 25.09.2013 г.)

В работе предлагается метод нахождения периодических решений для уравнения обобщённых аналитических функций с отклоняющимся аргументы.

Ключевые слова: уравнение - аналитическая функция - отклоняющийся аргумент. На плоскости С рассмотрим уравнение вида

w- + a (z) w (z) + b (z) w (z + h) + c (z) w (z + h2) = f (z) , (1)

где z = x + iy, w = u + iv, 2dz = dx + id , a (z), b (z), с (z), f (z) — заданные непрерывные функции, h, h — некоторые комплексные числа.

Уравнение (1) в случае h = h2 = 0 изучено в [1]. Когда в (1) все входящие являются вещественными, мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, которое в более общем случае исследовано в [2].

1. Предположим, что коэффициенты и правая часть уравнения (1) - однопериодические функции с периодом с, (Rea ^ 0) и пусть R - фундаментальная область группы

Sk = z + ka, k = 0,±1, +2,...

Будем строить однозначные однопериодические решения уравнения (1) с периодом с , в смысле И.Н.Векуа [1].

Определение 1. Однопериодическое решение уравнения (1) с периодом с, допускающее в конечной части плоскости в качестве особых точек лишь конечное число полюсов, а при приближении z к концевым точкам R стремится к конечному или бесконечному значению, будем называть обобщенным решением. Когда множество полюсов решения пусто и при стремлении z к концевым точкам полосы R стремится к конечному значению, то решение называется регулярным.

Будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) непрерывны на R и в окрестности бесконечно удалённой точки удовлетворяют условиям

|a( z)| < M , Ь( z)| < M , C( z) < M , \f (z) < 2, (2)

z | \z\ z z

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: [email protected]

где Мх, М2, М3, М4 — постоянные.

Все однопериодические обобщённые решения уравнения

+ А ( г ) w ( г ) = Е ( г ) (3)

найдены в работе В.И.Показеева и Д.С.Сафарова [3].

Основным инструментом исследования является интеграл вида

где

Н (*> г) = — + ¿1-1-+ — ,

I — г VI — г + ко ко )

к

а / (г) — непрерывная однопериодическая функция, удовлетворяющая на концах полосы Я условию

Е(г)| < МР^ > 2.

г

Доказано, что интеграл является непрерывным и ограниченным на Я однопериодиче-

ским решением уравнения

ъ? = / (г), г е Я. (4)

Как в [3], будем считать, что однопериодическое обобщённое решение уравнения (1) имеет в области Я порядок не выше Л + ^ + Я2,Л = Л + Л + ... + Лт, если оно в точках г. е Я имеет полюсы

и на концах полосы Я порядков ^ и82 соответственно. В работе [3] доказано, что все однопериодические решения уравнения (4), имеющие в Я порядок не выше Л + ^ + Б2, определяются формулой

Ф (г) = а(г) + у/(г) =

т Х] Г-1У"1 И1'1 2л' У-

= + ' <5>

где С}1 — произвольные постоянные.

При исследовании уравнения (1) будем рассматривать два случая:

3\т(к2 /= 0 или Зт(к2/0 .

Теорема 1. Пусть в уравнении (1) hx,И2 кратны с и a,b,c,f удовлетворяют условиям (2). Тогда уравнение (1) при любой правой части имеет в R однопериодические решения порядков не выше Л + + и они даются формулой

w ( z 1 = ev( z )

'( z ) = '

где z) определено в формуле (5),

Кz)-~Jf (t)Z)H (Uz)dR ж p

,(6)

р (z) = - Ц (а (t) + Ь (t) + с ^))Н- (t, z) М,

ж к

н (t, z) = Н (г, z) - Н (t, ^ ), z0 е Я.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и ^ = к с0,И2 = к2 ®,кх ,к2 — целые числа. Тогда функция

р (z) = — — Л (а (t) + Ь (t) + с (t))Н (^ z) dQ

ж я

является периодической с периодом с и

р- = а ^) + Ь ^) + с ^) .

Кроме того, р (z + ) = р (z + кр) = Р (z) ,7 = 1,2 . Теперь, разыскивая решение уравнения (1) в виде

w ( z ) = ер( z)v ( z ),

где V(z)—искомая периодическая по с функция, для V(z) получим уравнение вида (4), то есть

- z)

v^ = e

f (z) -

Легко видеть, что если w (z) имеет в Я порядок не выше Л + ^ + , то функция V (z) также

имеет этот порядок. Поэтому имеет место формула (6).

В частности, для регулярных решений уравнения (1) получим

w ( z ) = e

с - zf (t) H (t, *) dR

ж p

где с — произвольная постоянная.

Таким образом, задача отыскания однопериодических решений уравнения (1) в случае, когда ^ кратны с, является нётеровой.

2. Пусть теперь a (г) ,Ь (г) ,с (г),/(г)— непрерывные двоякопериодические функции с ос-

(о Л

новными периодами 0)], С)г, Зт —- Ф- 0 . Обозначим через О — фундаментальную область группы

Ущ)

^ (г) = г + ко + кщ2, к—к2 = 0, +1,±2,±3,...,

с вершинами 0,о1,о1 + о2 ,о2 .

Определение 2. Двоякопериодическое решение уравнения (1) с периодами ох,а2 будем на-

зывать обобщённым решением с основными периодами 0)х, со2, ^/от

Ф- 0, если оно допускает в О.

особые точки типа полюса и удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в О \ О0, О0 — множество полюсов решения (1) в О. В случае О = 0 — пустое множество, обобщённое решение называется регулярным.

Будем говорить, что обобщённое двоякопериодическое решение (1) в области й имеет порядок не выше Л,Л = Л + Л + .- - + Лт, если оно в точках г . имеет полюсы порядков не выше Л..

Двоякопериодические решения уравнения (3) исследованы в работах [4,5]. Как в [5], класс

обобщённых двоякопериодических решений уравнения (1) с периодами щ, о2 порядка не выше Л

*

обозначим через Ж—л, р > 2, — пространство Соболева. Как следует из работы [5], для существования решений уравнения (3) из класса Ж—я, р > 2, при непрерывном двоякопериодическом, с периодами щ , о2, функции Е(г), необходимо и достаточно, чтобы существовала квазиэллиптическая функция Ф(г) с периодами щ,а2 и полюсами в точках г,г2,...,гот не выше порядка Л такая, что

т 1

^ Яes Ф( г) =--¡¡Е ( г ) d О.

к=1 г

При этом все решения (4) представимы в виде

н ( г) = Ф (г) + ТЕ = Ф( г) — — ¡¡Е (/)С(г — г ) О ,

Ф (г) = С + ТТСкС{к—1)(г — г^) , (7)

1=1 к=1

где С,Сд — произвольные постоянные, д(г) — дзетта-функция Вейерштрасса,

т 1

2С =——¡¡Е ( г ) ЛО.

1=1

Из результатов работ [4] и [5] получим.

Теорема 2. Пусть в уравнении (1) Ъх и к2 соответственно кратны ссгис2, 1т (с2 / р)^ 0,

А = -Л(а + Ь + с) dQеГ, Г = { тр + ш2с2 , щт2 — целые числа }. ж о

Тогда для разрешимости уравнения (1) в классе Wpл> Р > 2 необходимо и достаточно, чтобы существовала квазиэллиптическая функция Ф(z) с периодами сох,а2 и полюсами

z1 ,z2,...,^ не выше Ли такая, что

т 1

ЕЯ» ф( z) = — А/ ^) а о,

где

Т^А = -Л( а (t) + Ь (t) + с ^ — z) d О, ж о

и постоянная d удовлетворяет уравнению

^ с1+^1А0 = ^ с2 +7гА = 1

,

Г Л

7,72 —циклические постоянные, 77 = — ,— = 1,2. При этом любое решение (1) из класса

V 2 )

*

W*л, р > 2 имеет вид

w (z) = е-л—Т^А [ф(z) + Т (е^7(z))'

где Ф(z) имеет вид (7) .

Доказательство. Пусть к = кр, к = к2с2, к,к — целые числа. Будем искать решение (1)

в виде

( ^ = р( z) е-Т^А( ^ , (8)

w (

где А (z) = а ^) + Ь ^) + с ^), и число d как в теореме,

^[А^)] = 1Л(а(t) + Ь(t) + с(0)^ — z)dО ,

ж п

р(z) — искомая двоякопериодическая функция с периодами щ,с2. Подставляя (8) в (1) и используя свойства функции § (z) = ТА(z) [5], получим уравнение вида (4)

*

dp r( \ t

-¡- = f (z) e

dz w

причём p(z) g p > 2 . Поэтому если Ф(z) имеет вид (8) и

m m л

£ResФ(2) = --1///(z)/^Q

(9)

*=i z=Zi j=i к-a

то функция ( (z) - ф (z) + Tc (f (z)eT A+b ) удовлетворяет уравнению (9) и имеет порядок не выше X , тогда для разности р ( z) — рх ( z) получим

dp-dpL = o dz dz

отсюда имеем р (z) — р (z) = const.

Так как Ф (z) содержит произвольную постоянную, то, подставляя в (8)

р( z ) —Ф ( z ) + T;( f ( z)eAAAAb2),

получим утверждение теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и Д,еГ. Тогда уравнение (1) при любой

*

правой части имеет решение из класса W^, p > 2 и они представимы в виде

w ( z) = e T(A

¥( z)-1 iff (t) eT(A a(T- z - A) dtQ ) n]lJ () a(-Ao)a(t-z) '

здесь функция y/(z) имеет вид

¥( z ) =

<r(z - a)

<(z - bi)

m ' 'j

C + C,C(z - ai ) + ]TYCjkC(k-1)(z - zj)

j=1 k=1

где b — a — A, Ь — z G j — 1,2,..., к, а( z) — сигма-функция Вейерштрасса, постоянные C, Cj, C^ связаны условиями

т т Xj

C + ZCj-1 — 0,C + Cl (b — a) + YLc*Z{k—l) (bi — zj) — 0 .

j=1

j=1 k=1

Поступило 25.09.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. - М., 1959, 628 с.

2. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М., 1971, 296 с.

3. Показеев В.И., Сафаров Д.С. Простые обобщенные аналитические функции, автоморфные относительно элементарных групп. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат. и хим. наук, 1991, №4 (120), с.3-8.

4. Показеев В.И., Сафаров Д.С. Простые обобщенные аналитические функции, автоморфные относительно элементарных групп (двоякопериодические решения). - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат. и хим. наук, 1992, №4 (4), с.15-21.

5. Сафаров Д.С. Двоякопериодические обобщённые аналитические функции и их приложения. -Душанбе: Дониш, 2012, 190 с.

Ч,.С.Сафаров, Г.М.Мисоков ХДЛХОИ ДАВРИИ МУОДИЛА^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИИ УМУМИКАРДАШУДА БО АРГУМЕНТИ ФАРЦКУНАНДА

Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Н.Хусрав

Дар макола методи ёфтани халхои даврии муодилахои функсияхои аналитикии умуми-

кардашуда бо аргументи фарккунанда нишон дода шудааст.

Калима^ои калиди: муодила - функсияи аналитики - аргументи фарцкунанда

D.S.Safarov, G.M.Misokov PERIODICAL SOLUTIONS THE EQUATIONS OF THE GENERALIZED ANALYTIC FUNCTIONS WITH DEVIATING ARGUMENTS

N.Khusrav Qurgantyube State University In the paper method of finding the periodical solutions of the generalized analytic functions with deviating arguments is proposed .

Key words: equation - analytic function - deviating arguments.