Пересечение скачков уплотнения без тангенциальных разрывов Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXII 2001 ~~~ ~~"

■М3—4

УДК 533.6.011.72. 533.6.011.5

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ БЕЗ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ

В. В. Келдыш

Исследуется регулярное пересечение в пространстве двух косых скачков уплотнения различных семейств и интенсивности, когда в поле течения не образуется тангенциальный разрыв и между скачками,исходящими от линии их пересечения, это поле однородное. Исследование проводится аналитически с использованием точных соотношений на скачке уплотнения в идеальном газе. Получена зависимость между параметрами приходящих скачков уплотнения, когда задача имеет решение. При этом в расчетной плоскости, перпендикулярной линии пересечения скачков, величина числа М течения перед ними М" > 2 (М > 1,414) независимо от величины отношения коэффициентов удельных теплоемкостей окружающей среды Получены формулы для расчета параметров исходящих скачков уплотнения и течения между ними.

При различной интенсивности приходящих скачков уплотнения решение задачи единственное. Определены границы областей значений их параметров как при сверхзвуковой скорости за исходящими скачками уплотнения, так и когда эти скачки сильные и скорость за ними в расчетной плоскости дозвуковая. С ростом числа М эти границы приближаются к границе области существования решения, и при числе М > 4 исходящие скачки уплотнения почти всегда сильные. С уменьшением величины # увеличивается область значений параметров приходящих скачков уплотнения, соответствующих невырожденным решениям рассматриваемой задачи

При движении в газе тел со сверхзвуковой скоростью одними из основных элементов поля течения, определяющих действующие на тело силы, являются скачки уплотнения. При их пересечении возникают поверхности тангенциального разрыва скорости, попадание которых на поверхность тела сопряжено с рядом нежелательных явлений (отрыв потока, пики тепловых потоков, переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный и др.) [1]. В симметричном случае пересечения скачков уплотнения различных семейств и одинаковой интенсивности тангенциальный разрыв отсутствует, и поле течения между скачками уплотнения, исходящими от линии их пересечения, однородное. Этот случай подробно освещен в литературе [2], [3].

В настоящем исследовании рассматриваются возможность и условия существования регулярного пересечения скачков уплотнения различных семейств и разной интенсивности, когда тангенциальный разрыв отсутствует, и течение между исходящими скачками однородное. В проведенных ранее численных исследованиях приведены такие примеры [4]. Они представляют интерес в ряде случаев, например для входных устройств сверхзвуковых воздухозаборников, где весьма желательно иметь однородное поле течения.

Исследование задачи проводится аналитически в плоскости, перпендикулярной линии пересечения скачков (расчетная плоскость), используются точные соотношения в скачке уплотнения в идеальном газе [5]. Поле течения перед скачками предполагается однородным. Из уравнения энергии следует, что скалярные параметры поля течения в пространстве и в расчетной плоскости одинаковые, а векторы скорости течения и параметры торможения различаются на величину составляющей скорости, параллельной линии пересечения скачков уплотнения, в окрестности которой она постоянна. Никаких ограничений на параметры скачков уплотнения, исходящих от этой линии, не накладывается, а углы их наклона к вектору скорости течения перед ними в расчетной плоскости 0 могут быть как меньше, так и больше, чем при максимальном угле поворота этого вектора в косом скачке уплотнения 5тах при том же значении числа М перед ним. В первом случае, когда 0<0(8тах), скорость течения за исходящими скачками на большинстве режимов сверхзвуковая, и такие скачки называются слабыми. Во втором случае, когда 0 > 0(бтах), эта скорость в расчетной плоскости всегда дозвуковая, и скачки называются сильными.

Если угол Р между вектором скорости течения перед приходящими скачками и линией их пересечения меньше л/2, в некоторой области значений их параметров скорость в пространстве за сильными исходящими скачками сверхзвуковая [6]. При регулярном пересечении скачков уплотнения приходящие скачки всегда слабые, и скорость течения за ними сверхзвуковая.

В симметричном случае при заданной интенсивности приходящих скачков уплотнения и числа М течения перед ними в расчетной плоскости известны два решения: одно — со слабыми, другое — с сильными исходящими скачками, которым соответствует одно и то же граничное условие, и решение задачи не единственное. В пространстве, когда угол р меньше л/2, векторы скорости течения за исходящими скачками в этих решениях различаются не только величиной, но и направлением. Следовательно, эти скачки образуются при обтекании различных твердых поверхностей,и решение задачи единственное [6]. Реализация таких сильных скачков уплотнения со сверхзвуковой скоростью за ними доказана в эксперименте [7].

На рис. 1 приведена схема регулярного пересечения двух скачков уплотнения различных семейств и интенсивности в расчетной плоскости. Цифрами 1 и 2 отмечены приходящие скачки уплотнения, 3 и 4 — исходящие скачки. Стрелками показано направление линий тока. Параметры скачков уплотнения и полей течения за ними имеют далее индекс, равный номеру скачка. В общем случае пересечения скачков уплотнения различных семейств и интенсивности поле течения между исходящими скачками состоит из двух частей, разделенных тангенциальным разрывом (штрих-пунктирная линия), по обе стороны которого статическое давление и температура торможения одинаковы, векторы скорости течения параллельны

Рис. 1. Схема регулярного пересечения скачков уплотнения в расчетной плоскости:

--------скачки уплотнения / и 2 — приходящие, 3 и 4 — исходящие;---->—линии

тока;———----------тангенциальный разрыв;

5 — угол между векторами скорости течения перед приходящими и за исходящими скачками

этому разрыву, а остальные параметры различаются (абсолютная величина скорости и число М, температура, плотность, полное давление).

Для того чтобы тангенциальный разрыв отсутствовал и поле течения между исходящими скачками было однородным, достаточно постоянства в нем еще одного параметра, например плотности рз =Р4- Тогда из уравнения состояния следует постоянство статической температуры в этой области поля течения 7^ = ТА, а из уравнения сохранения энергии-— постоянство

абсолютной величины скорости течения =у£ , в том числе и в окрестности линии тока, разделяющей массы газа, прошедшего через различные скачки уплотнения.

Относительные давление и плотность за исходящими скачками уплотнения определяются изменением их вдоль линии тока в приходящем и исходящем скачках:

0±2. _ й±2_

000 0СО ’

где г = 1 и 2, <2= р или р с индексом — статические давление и плотность в различных областях поля течения, индексом оо отмечены параметры этого поля перед приходящими скачками. Воспользовавшись известными зависимостями между параметрами скачка уплотнения и величинами давлений, плотностей и направлением скорости течения за и перед ним [5], получим исходные уравнения для исследования искомой системы скачков уплотнения при дополнительном условии Рз = р4:

Рз _ [2Хх\ - (х- 1)][2де*з - (дс- 0] t

/>4 [2^2 - (<£- 1)][2^*4 - (Х-0]

*|*з[2 + 0е-1)*2_ 1 \ 1 н, + (N 1 1

*2*4[2 + (зС-1)*|_ [2 + (*-1)*з]

8-81-83-54-62, (3)

л # л О • О

где Х( = М sm 0,-, xi+2 = М( sin 0і+2, і = 1 и 2, л: с индексом — квадрат числа Маха составляющей скорости течения перед скачком по нормали к нему, М, — число Маха течения в расчетной плоскости за приходящим и перед соответствующим исходящим скачками уплотнения, определяемое известной зависимостью Мг (М, jc,-) [5], М без индекса— число Маха течения перед приходящими скачками, 0,— угол наклона скачка уплотнения относительно вектора скорости течения перед ним, 8( — абсолютная величина угла поворота этого вектора в скачке, 8 —угол между векторами скорости течения за исходящими и перед приходящими скачками, % — отношение удельных теплоемкостей окружающей среды.

Два первых уравнения определяют зависимость между скалярными параметрами исходящих и приходящих скачков. Исключая характеристику одного из них, например *4, получим:

(*1 - х2 )[хз ~ х3 (х2 + а) + х2а\~ О,

2 + (*-l)*i

а -

2^*1 "Of-1)

Х\=Х2 — симметричное пересечение скачков уплотнения. Из корней квадратного уравнения, соответствующего обращению в ноль второго множителя, только один удовлетворяет условию существования скачка уплотнения, когда нормальная к нему составляющая вектора скорости течения перед ним сверхзвуковая, > 1, i = 1, 2, 3,4 (х, = 1 — волна Маха):

1 < х3 = М2 sin2 03 = *2 = М2 sin2 02 < М2. (4а)

Аналогично получим:

1 < лг4 = Mj sin2 04 = х\ = М2 sin2 0j < Mj, (46)

где

М2 (х+ О2 - Ajxj -1 )(#*,• +1)

' [2^1 -Or-0][(i-1)^+2]

1=1,2, [5].

Из (1, 2) и (4а, б) следует, что:

Pi Р\ Р2 Pi_____Pi Р2

9

Рао РаО Рсс Роо Рао Рас

(6)

где г = 3,4.

При вырождении одного из приходящих скачков уплотнения в волну Маха, например *1=1, из (4а, б) и (5) имеем

и исходящий скачок х» тоже вырождается в волну Маха, а перед другим исходящим скачком дгз поле течения не возмущено:

Следовательно, 03 =02, и рассматриваемая система скачков уплотнения вырождается в один косой скачок.

В предельном случае, когда число М = оо и отношение плотностей за и перед скачками не зависит от их интенсивности, а величина чисел Мг (г = 1,2) течения за ними конечная, уравнения (2) и (1) приводятся к виду:

откуда следует, что *3 = *4, 0] = 02, М| = М2, ©з = ©4, и при числе М = оо и регулярном пересечении двух скачков уплотнения только в симметричном случае в поле течения между исходящими скачками отсутствует тангенциальный разрыв.

При рассмотрении уравнения (3) используем известную зависимость между числом М, углом наклона скачка относительно направления скорости перед ним и углом поворота вектора скорости в скачке [5].

Для приходящих скачков (г = 1,2):

х4 = Х] = 1 и Мі = М,

*з = М2 віп2 03 = х2 = М2 біп2 02.

Рз *з[(#’~1)*4+2] '

Р4 Х4ІІЗС~ і)*3 + 2]

р4 віп2 02 [2^Х4 - 1)]

7^ ($+ і)М2 2(лу - і)

Для исходящих скачков, учитывая, что х3 = х2, х4 = х\ (4 а, б):

ш6 2(х2-1) 4м\-х2

3 0е+1)М?-2(^-1)’

(7)

Здесь М,(М,;су), (г = 1,2) — числа Маха за приходящими скачками, определяемые формулой (5).

Параметры однородного поля течения между исходящими скачками уплотнения одинаковые для газа, прошедшего через различные сочетания скачков (1, 3 и 2, 4). Поэтому определяющие их функции должны давать одинаковый результат: F(M,д:],л:2 = х^) = р{М->х2,х\ =*4). Тогда из (7) следует:

1§64с1§6] =/г(М,х1,М2(М,л:2)) =

= /’(М, х2, М, (М, X])) = tg8зctg82.

Из уравнения (3) имеем:

8] -84 =83 -82,

или в функциях углов 8,

1 - 1е84сге81 1§83^82 -1

ctg81+tg84 ctg82+tg8з'

Единственным решением этого уравнения, удовлетворяющим зависимостям (4), (7), является

tg84Ctg8] = tg8зCtg82 = 1

и

84 = 8], 83 = 82, 8 = 8| — 82 . (8)

При симметричном пересечении скачков уплотнения 8 = 0, и векторы скорости течения в пространстве перед приходящими и за исходящими скачками параллельны плоскости тока невозмущенного потока, проходящей через линию пересечения скачков (плоскости симметрии). Когда интенсивность приходящих скачков уплотнения различная, поверхности тока в однородном поле течения за исходящими скачками, параллельные линии пересечения скачков повернуты на угол 8^0 относительно их положения в невозмущенном скачками потоке.

Зависимости (8), (7) определяют связь между параметрами приходящих скачков уплотнения, при пересечении которых не возникает тангенциальный разрыв:

(у+1)М^-2(х,--1) \м)-Х1

(^+1)М2-2(х1-1)~]М2-х{’

где му (м,ху ), г = 1,7 = 2 и наоборот. После некоторых преобразований это равенство приводится к квадратному уравнению относительно х1-:

4^,2 - х, [(*+1)2 (М2 + М2 ) + 4(зг-1)] + (Х+1)2 М2М} -4 = 0. (9)

При числах М и М, больше или равных единице дискриминант уравнения (9) отрицательный, и оно имеет два действительных корня, которые удовлетворяют условиям существования скачков уплотнения (4а, б), если

где

1 < X, = 0,5^ ± л//2-4г| < и),

=0р+ О2 К + м?)+Чх-О > Ш),

4<30г = (х+1)2 М2М2 - 4 > 0 .

Большой корень уравнения (9) не удовлетворяет условию х, < М2, так

какг>2М2.

)

Для меньшего корня, воспользовавшись зависимостями коэффициентов ? и г от параметров М, М;-, после некоторых преобразований получим из правого неравенства:

[(#-1)м2 + 1]2>0,

Л

следовательно, условие хг < для этого корня выполняется при любых

значениях числа Му. Левое неравенство приводится к виду: (-1 < г, откуда следует, что

? ? М2

М2 >м2 .

л М^1

Здесь у = 1 и 2, и так как число Му < М, этот корень удовлетворяет условию существования скачков уплотнения только при М2 >2 (М>1,414) независимо от величины отношения коэффициентов удельных теплоемкостей окружающей среды Когда число М2 = 2, Му = М, и скачки уплотнения вырождаются в волны Маха.

Следовательно, задача о регулярном пересечении двух скачков уплотнения различных семейств и различной интенсивности без образования тангенциального разрыва имеет единственное и непрерывное решение в некоторой области значений параметров приходящих скачков уплотнения, если число М удовлетворяет условию М > 2 (М > 1,414). Это решение определяется зависимостями (4а, б) и меньшим корнем уравнения (9).

При симметричном пересечении скачков уплотнений, когда х( = х2, М2 = МЬ полагая в (9) / = у = 1, хг- = х и воспользовавшись зависимостью (5), получим

1^4%х2-х (зе + 1)2М2 + 4(#-1) -4|х х{^е(зе-1)^2+8^-(зе+1)2 М2 -2(#-1)| = 0.

Только один корень этого уравнения удовлетворяет условию существования скачков уплотнения х > 1:

Для параметров исходящих скачков уплотнения из (4а, б) имеем: *3 = *4 = *1 = х2 = х, 9з = 04.

На рис. 2 показана область значений параметров приходящих скачков уплотнения при симметричном пересечении и#= 1,4. Сплошная линия — ее граница. Верхняя часть этой границы соответствует максимальному углу поворота вектора скорости течения в исходящих скачках уплотнения, нижняя часть — вырождению приходящих скачков в волны Маха. Расположенная внутри этой области штриховая линия определяется зависимостью (10).

При неограниченном увеличении числа М из (10) имеем

х __ Ж+ 1 /0е-1)М2+2__2

(10)

/-IV 2X зе-1

и М>2.

100'-

в

уплотнения

о 0,5 м-1 1,0

Рис. 2. Параметры приходящих скачков уплотнения при их симметричном

^я при их симметричном пересечении и#= 1,4:

решения;

на границе области существования - —-----------определяемые форму-

лой (Ю)

Учитывая также зависимости (4), (5), получим

Іітвіп 03=1іт;сМі = 1 и 83 =04 = я/2.

М-юо М-х»

Следовательно, рассматриваемая система скачков уплотнения в пределе при числе М = оо вырождается в прямой скачок, и при числах М, больших некоторой величины, исходящие скачки сильные.

Для определения областей значений параметров приходящих скачков уплотнения при сильных и слабых исходящих скачках, а также при сверхзвуковой скорости за ними на границах между этими областями воспользуемся для исходящих скачков известными зависимостями угла их наклона от числа М перед ними 0І+2(М,), / = 1 и 2, когда угол поворота вектора скорости течения в скачке максимальный 81+2 =8тах(М(), или скорость за ним звуковая М(+2 = 1 [5].

Используя зависимости (4а, б) между исходящими и приходящими скачками уплотнения, получим условия, которым должны удовлетворять параметры последних на этих границах V

_ , , ч Нм Л

*;=*/+2=Му8Іп 0у+2(Му) = ——, (11)

здесь у = 1,1 = 2 или наоборот

/(м7)=(я+ і)м2 - з +%+ ^+1)м;-з+х]2+1бх>

когда Му+2 = 1,

/(Му)= (*+ 1)М2 - 4 + ^[(зе+ і)М2 - 4]2 + 8*[(*+ і)М2 + 2], когда 5у+2=6тах(му ).

При условии (11) на границах рассматриваемых областей число М однозначно и в явном виде определяется из уравнения (9) в зависимости от величины числа Му за одним из приходящих скачков:

М2

4 + хі [(#+ О2 М2 + 4(и-1) - А%х(

(#+1) (м2 - Ху)

При числе Му = 1 в обоих случаях /(Му) = 4#, х,- = М2, и число

М = оо. При неограниченном увеличении числа М,- число М тоже неограниченно возрастает, и зависимости Му(м) при условии (11) двузначные.

Следовательно, это условие выполняется для обоих приходящих скачков уплотнения, и углы поворота векторов скорости течения в обоих исходящих скачках уплотнения максимальные или скорость за ними звуковая соответственно. Достижение звуковой скорости за обоими исходящими скачками следует также из однородности поля течения между ними.

Когда зависимости М(Му) и хДМ) численно определены, характеристики второго приходящего скачка определятся формулой (5), которая преобразуется в квадратное уравнение относительно величины *у(м, мД имеющее только один положительный корень. Характеристики исходящих скачков уплотнения определятся из соотношений (4а, б).

Граница области значений параметров приходящих скачков уплотнения с различной интенсивностью, где существуют невырожденные решения рассматриваемой задачи, определяется из уравнения (9) при вырождении одного из этих скачков в волну Маха, а рассматриваемой системы пересекающихся скачков уплотнения — в один слабый скачок.

Полагая в (9) Xj - 1, Му = М, sin9y = М-1, после некоторых преобразований получим уравнение этой границы

2(#sin20i+ sin20y) = 3e+l. (12)

Здесь i = 1 ,j = 2 или наоборот. Когда 0; = 0у, 0у =45° и М2 = 2, оба приходящих скачка уплотнения вырождаются в волны Маха независимо от величины отношения коэффициентов удельных теплоемкостей Когда 0у = О

и, следовательно, число М = оо, на границе рассматриваемой области скорость за исходящим скачком уплотнения звуковая: sin2 0,- = 0,5(%+1)^-1.

На рис. 3 при^= 1,4 для нескольких значений числа М скоростй течения перед приходящими скачками уплотнения, пересекающимися без образования тангенциального разрыва, приведены углы их наклона относительно направления этой скорости. Соответствующие зависимости 02(0i, М) определяются меньшим корнем квадратного уравнения (9), на биссектрисе координатного угла — формулой (10). Линия I определяется уравнением (12) и ограничивает справа область значений параметров приходящих скачков уплотнения, при которых рассматриваемая задача имеет невырожденные решения (xi > 1, / = 1 и 2). На этой линии один из приходящих скачков уплотнения вырождается в волну Маха, а рассматриваемая система скачков уплотнения — в косой скачок при том же значении числа М. При числе М2 = 2, когда оба приходящих скачка уплотнения вырождаются в волны Маха, зависимость 02(0!,М) вырождается в точку пересечения биссектрисы координатного угла с линией I при 0] = 02 = 45°.

Линия I расположена в области значений параметров косых скачков уплотнения со сверхзвуковой скоростью за ними — вырожденные решения рассматриваемой задачи. Следовательно, справа от нее существуют только

О 25° 50° В,

Рис. 3. Параметры приходящих скачков уплотнения при %= 1,4, пересекающихся без образования тангенциального разрыва:

......... ■■—при постоянном значении числа

М;-----------------при максимальном угле

поворота векторов скорости течения в исходящих скачках;----— — при звуковой скорости

течения за исходящими скачками; I — на границе области существования невырожденных решений

вырожденные решения этой задачи, а слева — как вырожденные, так и невырожденные решения.

Штрихпунктирная линия соответствует параметрам приходящих скачков уплотнения при максимальном угле поворота вектора скорости течения в исходящих скачках. Слева от нее эти скачки сильные, и скорость за ними в расчетной плоскости дозвуковая, справа — исходящие скачки слабые. Штриховая линия соответствует звуковой скорости за исходящими скачками. В области между этой линией и границей I скорость за ними сверхзвуковая. На рис. 4 в тех же обозначениях на этих границах приведены углы наклона приходящих скачков уплотнения 0,, г = 1, 2 в зависимости от числа М перед ними и %= 1, 2 и 3. С ростом числа М границы сближаются, и при числе М > 4 исходящие скачки уплотнения практически всегда сильные. С уменьшением величины % увеличивается область значений параметров приходящих скачков уплотнения, при которых рассматриваемая задача имеет невырожденные решения.

На рис. 5 при %= 1,4 и 3 приведены углы поворота векторов скорости течения в приходящих скачках уплотнения — 8г , (г = 1, 2) на границе области существования невырожденных решений рассматриваемой задачи (сплошные линии) и при максимальном угле поворота векторов скорости в исходящих скачках (штрихпунктирные линии) в зависимости от числа М. Минимальное значение числа М, при котором возможны сильные исходящие скачки, изменяется в пределах М = 2,25 2,55 при изменении величи-

ны# от 1,2 до 3 соответственно (рис. 4, 5).

Рис. 4. Параметры приходящих скачков уплотнения при #=1,2 и 3,: пересекающихся без образования тангенциального разрыва:

--------------:—при максимальном угле поворота векторов скорости течения в исходящих скачках;

---------при звуковой скорости течения за исходящими

скачками; —--------на границе области существования

невырожденных решений

Рис. 5. Углы поворота векторов скорости течения в приходящих скачках уплотнения 8,-,/'= 1 и 2, пересекающихся без образования тангенциального разрыва, в зависимости от числа М скорости течения перед скачками:

-----------на границе области существования невырожденных решений;---------------—— при максимальном

угле поворота векторов скорости течения в исходящих скачках;----------максимальный угол поворота

вектора скорости в косом скачке

С ростом числа М величина угла поворота вектора скорости течения в одном из приходящих скачков уплотнения в обоих случаях приближается к

Рис. 6. Число М3 скорости течения в однородном поле за исходящими скачками уплотнения при %= 1,4 в зависимости от числа М скорости течения перед приходящими скачками и интенсивности одного из них:

-------__--при 0| * 03;-------01 = 02 И сильные

исходящие скачки

максимальному углу поворота этого вектора в косом скачке (штриховые линии). Когда исходящие скачки уплотнения слабые, угол поворота вектора скорости течения в приходящем скачке на границе области существования решения на несколько градусов меньше максимального в косом скачке. С уменьшением числа М разница между ними увеличивается.

На рис. 6 при^= 1,4 сплошными линиями показана зависимость в расчетной плоскости числа М3 однородного течения между исходящими скачками уплотнения от числа М и интенсивности одного из приходящих скачков

Рі 2Рі

Чоэ #ЛоМ2

Здесь і = 1 или 2; — скоростной напор невозмущенного потока в

этой плоскости. Штриховыми линиями показана эта же зависимость при симметричном пересечении скачков и сильных исходящих скачках. Различие между ними весьма существенное.

При одинаковых значениях числа М перед приходящими скачками уплотнения и параметрах одного из них относительная величина статического давления между сильными исходящими скачками Рз/^оо в случае различной интенсивности приходящих скачков и при их симметричном пересечении различаются незначительно. С ростом числа М это различие уменьшается, а относительное давление увеличивается.

1. Е d п е у В. Е. Effects of shock impingement on the heat transfer around blunt bodies//AIAA J.—1968. Vol. 6, N 1.

2. К у p а н т P., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны.— М.: Изд. иностр. лит.—1950.

= Kourant R., Friedrichs К. О. Supersonic flow and shock waves.— Wiley Intersciens.— 1948.

3. Арутюнян Г. М., Карчевский Л. В. Отраженные ударные волны.— М.: Машиностроение.—1973.

4. К е л д ы ш В. В. Исследование течения в окрестности линии пересечения скачков уплотнения//Ученые записки ЦАГИ.— 1984. Т. XV, N 1.

5. Equations, tables and charts for compressible flow//Report 1135 National Advisory Commitee for Aeronautics.— Washington.— 1953.

6. Келдыш В. В. Пересечение в пространстве двух плоских скачков уплотнения//Прикладная математика и механика.— 1966. Т. 30, вып. 1.

7. 3 а й ц е в Ю. И., К е л д ы ш В. В. Особые случаи течения вблизи сверхзвуковой кромки и линии пересечения скачков уплотнения//Ученые записки ЦАГИ,—1970. Т. I, № 1.

Рукопись поступила 20/III2000 г.