Перенос упорядочения критериев на множество альтернатив в задачах многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

В. В. Розен

ПЕРЕНОС УПОРЯДОЧЕНИЯ КРИТЕРИЕВ НА МНОЖЕСТВО АЛЬТЕРНАТИВ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

1. В работе рассматриваются задачи многокритериальной оптимизации с качественными критериями в форме

С = (А, (д-), (1)

где А есть произвольное непустое конечное множество, называемое множеством допустимых альтернативу а д- - отображение множества А в некоторое линейно упорядоченное множество (С-, а-7') (] € J). Мы пред-

ое

шкалах. Преобразование линейно упорядоченного множества (С-, а-) в балльную шкалу для измерения признака д- в модели (1) производится путем «сохранения» только тех меток, которые являются значениями признака д- для некоторых альтернатив множества А, т. е. заменой множества С- на CJ0 = род. При этом для а € А полагаем Н-(а) - высота элемента д-(а) в балльной шкале (С-0, а-). Натуральное чпело Н-(а)

ое

(С-0, <-), отделяющих альтернатпву а от наихудшей по этому критерию альтернативы множества А. Далее, обозначая J = {1,...,ш}, полагаем Н(а) = (Н\(а),..., Нт(а)). Указанный вектор можно рассматривать как

а

сти критериев.

2. Мы предлагаем здесь следующий метод учета относительной важности критериев. Относительная важность критериев (д-)-^ задается отношением (частичного) порядка ш па множестве номеров критериев 3\ при этом условие < ]2 означает, что критерий д-2 имеет большую относительную важность, чем критерий д-1. Задача состоит в переносе упорядочения ш па множество альтернатив. Эта задача решается следующим образом. Всякий набор неотрицательных чисел ^(1),..., ^(ш), удовлетворяющий условию: <ш ]2 ^ ф(]\) < ф(]2), будем называть допустимым весовым вектором (условие допустимости состоит в том, что более важный критерий имеет больший вес). При фиксированном допустимом весовом векторе (^(1),..., ^(ш)) сравнение двух векторных оценок

Н(а) = (Н\(а),..., Нт(а)),

Н(а') = (Н1(а'),...,Нт(а'))

(а значит, и соответствующих альтернатив а и а') сводится к сравнению величин взвешенных оценок

V (а) = р(1)^(а) + ... + (р(ш)Нт(а),

V (а') = р(1)^(а') + ... + (р(ш)кт (а').

3. Заметим теперь, что допустимый весовой вектор (р(1),..., р(ш)) можно рассматривать как строго изотопное отображение р из упорядоченного множества (J, ш) в а совокупность всех допустимых весовых векторов можно отождествить с множеством С+0(ш) строго изотонных отображений (3, ш) в Я+. При этом взвешенные оценки выражаются в

виде скалярных произведений: V(а) = (р,^(а))^(а') = (р,Н(а')). По-

а а'

(

(р, Н(а)) < (р, Н(а')). Остается сделать предпочтение между альтернативами независимым от выбора конкретного допустимого весового вектора. Это достигается переходом от некоторого фиксированного допустимого весового вектора ко всему классу допустимых весовых векторов, т. е. к множеству С+0(ш).

В результате приходим к следующему определению.

а'

а

мом весовом векторе р € С+0(ш) выполнено неравенство (р,^(а)) < < ((,%')).

Заметим теперь, что последнее условие равносильно тому, что для векторных оценок ^(а) и ^(а') выполнено соотношение ^(а) ^(а'), где Ш + - позитивное каноническое продолжение ш на ассоциированное векторное пространство Я"7 [1]. Таким образом, введенное здесь отношение предпочтения альтернатив фактически получатся переносом с помощью отображения порядка Ш Для упрощения обозначений будем использовать для введенного отношения предпочтения альтернатив то же самое обозначение. Тогда имеет место следующая двойная равносильность:

а а' ^ %) %') ^ (р, ^(а)) < (р, %')). (2)

4. Чтобы завершить решение поставленной задачи, осталось перейти к конструктивному выражению отношения предпочтения Ш Пусть

M(w) - семейство мажорантно стабильных в J подмножеств относительно порядка w. Для любого подмножества S G M (w) и a G A полагаем Hs(a) = (xs,h(a)) где xs - характеристическая функция подмножества S С J. Ясно, что

He(a) = £ hj(a). (3)

j GS

Согласно (3) имеем следующее эффективное выражение отношения предпочтения w+ альтернатив модели G в виде равносильности:

a a' ^ (VS G M(w))Hs(a) < Hs(a'). (4)

Формуле (4) можно придать несколько иной вид. Пусть M(w) = = {Si, .Sr} - перечень всех мажорантно стабильных в J подмножеств

w

дующим образом:

a a' ^ (Vk = 1, ...,r)HSfc(a) < HSk(a'). (5)

Последняя формула показывает, что введенное предпочтение w+ фактически есть предпочтение по Парето, но с другим множеством критериев. Этот окончательный результат сформулируем в виде теоремы.

G

информация об относительной важности критериев в форме отношения порядка w на множестве J. Тогда отношение предпочтения w + на

G

сти (5). Таким образом,, предпочтение w+ совпадает с предпочтением по Парето с множеством критериев (Hsk)k=1,..,r> где r - число мажо-

J

w

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розен В. В. Принятие решений по качественным критериям. Математические модели. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 с.