CC BY
42
Математическое моделирование
УДК 530.145; 539.17
Переходные вероятности в квантовой механике
Курышкина
А. В. Зорин
Лаборатория вычислительной физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198
В работе предложен метод вычисления вероятностей радиационных переходов водо-родоподобного атома в квантовой механике с неотрицательной квантовой функцией распределения. Метод Галёркина со штурмовскими функциями атома водорода в качестве координатных функций позволяет свести вычисления к алгебраическим операциям с матричными элементами, которые вычисляются аналитически.
Ключевые слова: квантовая механика, вероятности радиационных переходов, силы осцилляторов.
1. Средние значения наблюдаемых и вычисление вероятностей результатов измерения
В квантовой механике с неотрицательной КФР, так же как в общепринятой квантовой механике, среднее значение {Ь)ф величины Ь, изображаемой оператором О(Ь) в чистом состоянии, описываемом волновой функцией ф, определяется формулой
{Ь)ф = У ф(х)0(Ь)ф(х)&х. (1)
Среднеквадратичное отклонение (дисперсия) (АЬ)ф величины Ь в состоянии ф, определяется формулой
(АЩ = ! ф(х) {О (((£) - )2)} ф(х)Ах > 0. (2)
Если имеется линейный (замкнутый) самосопряжённый в существенном оператор О(Ь) в гильбертовом (оснащённом) пространстве Н = Ь2(0) с полным набором собственных векторов (классических и обобщённых) фа, удовлетворяющих уравнению
0(Ь)фа = Ьафа, (3)
то любое состояние квантовой системы ф может быть приближённо представлено
п
конечной линейной комбинацией фп = ^ Скфк, где
к=о
Ск = {фк,ф) = ! фк(х)ф(х)йх, (4)
сходящейся (в среднем или в среднем по счётной системе полунорм в оснащённом счётно-гильбертовом пространстве) к исходному вектору
Статья поступила в редакцию 25 июля 2008 г.
п ж ~
^2 °п'фк Ск + = ф, (5)
к=1 к=1
где
са = J фа(х)ф(х)йх. (6)
С учётом соотношений (4), (5), и (6) выражение (1) для среднего значения величины Ь можно переписать через собственные значения Ьп, Ьа
{Ь)ф = Сп°т фп(х)0(Ь)фт(х)Лх.
п т
В силу (3) интегралы принимают значения
/ фпО(Ь)фт(х)<1х = Ь
так что
--П | ^п
{Ь)ф = £ 1сп12Ьп. (7)
С другой стороны, если через ю(Ьп) обозначить вероятность того, что случайная величина Ь имеет одно из возможных значений Ьп, то по определению среднего значения
{Ь)ф = ^2 ы(Ьп)Ьп. (8)
В силу тождественного совпадения выражений (7) и (8) получаем
ю(Ьп) = |Сп| =
2
2 ' ' '
фп(х)ф(х)<!х
(9)
2. Вычисление вероятности перехода системы из одного собственного состояния в другое
Рассмотрим ситуацию, когда система, описываемая наблюдаемой величиной Ь в момент времени £ = 0, находится в чистом собственном состоянии фп = фп(х, 0) оператора О(Ь). Далее под действием внешних полей состояние системы изменяется до такого фп(х,Ь), в котором среднее значение Ь не совпадает априори с каким-либо Ьп, т.е. не определено. Если теперь выполнить разложение (5), т.е. осуществить измерение величины Ь, то получим в итоге
фп(х,г) = £ стп(1)фт(х), (10)
где
Стп(^) = ! фт(х)фп(х,Ь)йх. (11)
Согласно соотношению (9) вероятность перехода из состояния фп в состояние фт
2
2 ' '
фт(х)%^п(х,1)<1х
(12)
есть вероятность найти значение Ьт в состоянии фп(х,Ь).
Если переход вызывается слабым воздействием т(х^), то решение уравнения Шрёдингера
гП ^ = 0(Н)(р + 0(ю(х,Ь))ф (13)
т
(описывающее конечное состояние фп(х,Ь) при Ь>Т) может быть получено методом теории возмущений. А именно, разложим искомый вектор фт(х^) по собственным векторам фт оператора (невозмущённого) О (Но)
Фг,
(х, t) = ^ стп(г)фт(х) exp j -г —^t j . (14)
Подставляем (14) в (13), после чего умножаем на фк(х) ехр |+г| и интегрируем по конфигурационному пространству. В результате получаем (бесконечную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ihd= ^ cmn(t)wkm(t) exp ji—k 11 , (15)
m 4 J
где
•Шкт(£) = ! фк(х)0(ы(х, Ь))фт(х)Лх, (16)
а Шкт = Ек —Ет — боровская частота перехода Ет ^ Е&. Начальные условия имеют вид
Стп(0) &тп. (17)
Вероятность перехода задаётся соотношением (12).
Метод теории возмущений позволяет в нулевом приближении (когда гштп = 0) получить из (17)
= Ьтп. (18)
Само уравнение (15) в первом приближении обретает вид
ёс(1)
г= ^2 ехр [г-ШктЪ} (!) = юкп^) ехр[г}. (19)
ш
Отсюда получаем
t
in (t) = Jhl Wkn(r) eXP^WknT+ Ökn (= СЬп) . (20)
Ограничимся рассмотрением первого приближения в силу предполагаемой малости возмущения 0(w(x, t)). Будем считать, что и для t > Т справедливо первое
приближение c^(t). Тогда интегральное воздействие возмущения w(x, t) за всё
время его действия приводит к окончательному значению первого приближения
амплитуды вклада фк(х) в конечное состояние lim фп(х, t)
t —
Т +<х
41 = ~hf Wkn(r)e™^ = ±J wkn(r)eiWknTdr. (21)
о
Вероятность перехода в первом приближении имеет вид
р (1) кп
r(i)2
(22)
Изложение первых двух пунктов данной работы следует рассуждениям работы [1].
3. Вероятности радиационных переходов в атомах щелочных металлов
В общепринятой квантовой механике вероятность того, что атом испытывает переход из состояния (п1т) в состояние (п'1'т') и испустит в телесный угол ёП квант с направлением поляризации е) задаётся выражением [2]
е2ы3аа' ^ , и л,2
ёП = ^Пх ^{«|^1«')|2 ёП.
Эта формула вытекает из вероятности перехода в единицу времени из состояния а в состояние о! в случае, если вектор поляризации фотона е), а вылетает он в
направлении к внутри ёП, которая в таком случае задаётся выражением [2]
а (к,ёу )ёП =
где
С ПЮаа' '
^а а'
ёП, (23)
сЧ = Пйг = (24)
В дипольном приближении егкг = 1, так что
^ = = У Фа' (е3 , Фа^Т. (25) Выражение (25) можно переписать в виде
= — Юаа' I фа' (г,^)фа&Т, (26)
из которого вытекает соотношение (23). Случай 1) ш! = т, тогда
-дп' ( I+1)т + Вп'I+1 (27)
(6г Г)п 1 т = У(21 + 3)(21 + 1)Кп 1 , (27)
(о г\п'( 1 -1)т = ^2 т2 пп' 1-1 (28)
(е*Г)пт =У(21 + 1)(21 - 1)Кп1 , (28)
где
ЯЦ' = 1 Яш '(г)Кп I (г)гМг. (29)
Остальные поляризации для I' = I +1 дают нулевой вклад, нулевые вклады получаются при I' = I ± 1 для всех поляризаций. Случай 2) т' = т + 1, тогда
/
( ^ -¿.п'I+1,т+1 = \(1 + т + 2)(1 + т + ^ „пI+1 (30)
(ех+г уг)п1т =\1 (21 + 3)(21 + 1) ны , (30)
(р г)п ь-1,т+1 = _ ( .,„ дп I-1 (31)
\^х+гу! )п1т — V Л)7_1_1ио 1 Лп1 .
хп'/—1,т+1_ \(1 - т)(1 - т - 1) 1-1
(21 + 1)(21 - 1)
Остальные поляризации для I' = I ± 1 дают нулевые вклады, для I' = I ± 1 все поляризации дают нулевые вклады.
Случай 3) т' = т — 1, тогда
(е п'I + 1,т-1 = [(I — т + Щ — т + 1) рп'1 + 1 (32)
Уг)и1 ш = у (2 1 + з)(21 + 1) Пи1 , (32)
-ьи'1 -1,ш-1 = К 1 + т)(1 + т — 1) „и-1 ( )
уг)иш (21 +1)(21 — 1) Пи1 • (33)
Остальные поляризации для I' = I ± 1 дают нулевые вклады, для I' = I ± 1 все поляризации дают нулевые вклады.
Случай 4) т' = т + 0, ±1, тогда для всех I' все поляризации дают нулевые вклады.
Это следствие свойств сферических функций.
Воспользуемся формулой (23) для вероятности перехода а ^ а' с испусканием кванта (к, е^) в общепринятой квантовой механике, чтобы получить аналогичную вероятность в квантовой механике Курышкина.
Формула (23) и предшествующая ей формула (26) были получены в предположении малости взаимодействия Ш(г, 1) оптического электрона с фотоном и применимости метода теории возмущения к возмущению °(т(г, 1))
I)) = о (—т~/А) = 0 (—т/^ +-г к1) • (34)
Здесь выражение V в °(У) зависит от элементов электрона и от параметров фотонов. КМК осуществляет свёртку в О(V) по фазовому пространству электрона, поэтому
°(ШЪ *)) = — ^0№ркк {арке-гкГ } =
= {Т,ак°к(р)} ерк (—^) {арке} =
Т,ак(р)^ ерк (—т£) {арке-кГ} • (35)
Вычисления (р)к с помощью пяти вспомогательных функций Штурма дали результат (р)1 = (р)2 = (р)к = (р)4 = (р)5 = 0. Следовательно,
°(т(г, г)) = т(г, г) (36)
и переходные вероятности в КМК (в данном приближении) совпадают с переходными вероятностями в ОКМ.
Теперь обратим внимание на тот факт, что спектральные волновые функции оптического электрона в атоме щелочного металла являются линейными комбинациями базисных штурмовских функций [3]
\ " и г /
(37)
\ и п г /
и г
и т.д.
Из этого представления следует общее выражение для вероятности перехода из состояния а в состояние ¡3 с испусканием кванта с поляризацией ер в направлении к
Ш^^Р) = |е>(^|гШ|2 . (38)
Разложим выражение под знаком модуля в (38) по штурмовским функциям
ерк <53 С^Е ^Ря* {п1т\г\щз) = Е С^Е С^пЫ^ц г\рдв). (39)
п1т РЯв
Формулы (27)-(33) для ненулевых матричных элементов {п1т\ё)г\рдв) позволяют в явном виде выразить элемент (39) для вычисления переходной вероятности (38) с последующим суммированием по поляризациям. Распишем сумму (39) по вкладам разных поляризаций
Е^НФ^ = ^ Сп1т Е СрЧз{п1т^1рд8) + + Е С^Е СрЯз {п1т\х + гу\рдв) + Е СЩш^ СРяв{п1т\х - гу\рдв) (40)
и отметим, что для любых двух фиксированных троек (п1т) и (рдз), согласно (27)-(33), только одна поляризация даёт импульсный вклад.
Если ни одно из направлений в пространстве не выделено каким-либо внешним возмущением (в силу анизотропии некоторая изолированность поля остова щелочного металла, действующего на оптический электрон, присутствует), то атом может с равной вероятностью находиться в любом из а = (ага$а^)-состояний. Поэтому вероятность перехода с уровня (ага$) на уровень ((Зг(3$) можно получить, просуммировав (38) по (3^ и усреднив по а^ (т.е. просуммировав по а^ и разделив на 2а$ + 1)
и;3 е2 1 I 2
трк(агмрг= Е Ккнф)| . (41)
а®
Подставив (40) в (41), получаем очень сложное выражение для вероятности (41). Из указанной вероятности вычисляется безразмерная величина: сила осциллятора / (аг/Зг,(3$) перехода (ага&) ^ ((Зг,(3$)
-/(Ог Рг ,М = 2-^Т Е тгШ2- (42)
Можно также вычислить силу линий перехода
,М= Е МФ)12е2. (43)
Здесь учтено, что
1
Е м*т2 = Е \Ш0)\2 = Е мш2 = \{<*т\2.
а ф а ф а ^ а ^
4. Заключение
Приведённые в разделе 3 формулы разложения по штурмовским функциям позволяют вычислять вероятности радиационных переходов и связанных с ними
сил осцилляторов и сил линий перехода простыми алгебраическими операциями с матричными элементами {nlmlzlpqs), {пImlx + iylpqs) и { nImlx — iylpqs). Последние могут быть вычислены аналитически с помощью программного комплекса QDF, разработанного на базе Maple в соавторстве с Севастьяновым Л.А. и Третьяковым Н.П. [4]. Первые численные эксперименты продемонстрировали вычислительную эффективность предлагаемого метода вычисления вероятностей радиационных переходов в модели квантовой механики с неотрицательной квантовой функцией распределения. Подробный анализ результатов численных экспериментов и их сравнение с экспериментальными данными составит отдельную публикацию, которая в настоящий момент готовится к печати.
Литература
1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
2. Бете Г., Солпитер Е. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: Физматгиз, 1960.
3. Zorin A. V., Sevastianov L. A. Hydrogen-Like Atom with Nonnegative Quantum Distribution Function // Phys. Atom. Nucl. — Vol. 70, No 4. — 2007. — Pp. 792799.
4. Zorin A. V., Sevastianov L. A, Tretyakov N. P. Computer Modelling of HydrogenLike Atoms in Quantum Mechanics with Nonnegative Distribution Function // Progr. and Comp. Software. — Vol. 33, No 2. — 2007. — Pp. 94-104.
UDC 530.145; 539.17
Transition Probabilities in Quantum Mechanics of Kuryshkin
A.V. Zorin
Computational Physics Research Laboratory Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198
The method of calculating probabilities of radiation transitions in hydrogen-like atoms in quantum mechanics with nonnegative distribution function is proposed. Galerkin method using Sturmian functions of the hydrogen atom as basis functions allows to reduce the computations to algebraic operations with matrix elements calculated analitically.
