Переходные функции теории ползучести Текст научной статьи по специальности «Математика»

их правильности) решения учебной проблемы, осуществляют самоконтроль действий и всего хода решения учебной задачи, превращая самостоятельную работу студентов в интенсивно-деятельностном обучении в особую форму образования — самообучение студентов под руководством преподавателя [10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. БелоцерковскийС., Беляев С., Карлов Н., Школьников В. История, реальность, будущее // Высшее образование в России. - 1996. - № 4.

2. К у п а в ц е в А. В. Деятельностный аспект обучения физике в техническом вузе. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 128 с.

3. Т а л ы з и н а Н. Ф., Печенюк Н. Г., Х и х л о в с к и й Л. Б. Пути разработки профиля специалиста. - Саратов, 1987. - 176 с.

4. Б а й д е н к о В. И. Компетенции в профессиональном образовании // Высшее образование в России. - 2004. - № 11.

5. Голуб Г. Б., Фишман И. С., Фишман Л. И. Стандарты третьего поколения: чему учить и что проверять на выходе // Вопросы образования. -2010. - № 3.

6. Д о б р я к о в А. А., П е ч н и к о в В. П. Высшие психические функции и функциональная структура гуманизированного образовательного стандарта (модели, методология, промеры): Учеб. пособие. - М.: Логос, 2001. - 248 с.

7. К у п а в ц е в А. В. Деятельностный подход к профессиональной подготовке в системе многоуровневого инженерного образования // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естесственные науки. - 2006. - № 4.

8. Федоров И. Б. Коршунов С. В. О ходе разработки проектов государственных образовательных стандартов бакалавров и магистров по специальности в области инженерного образования. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

9. Ф а б р и к а н т В. А. Новое в инженерном образовании: физика и ее роль // Современная высшая школа. - 1974. -№ 1 (5).

10. К у п а в ц е в А. В. Самостоятельная работа под руководством преподавателя как самообучение физике студентов технического университета // Физическое образование в вузах. - 2010. - T. 16, № 3.

Статья поступила в редакцию 6.06.2011

Анатолий Владимирович Купавцев — канд. педагог. наук, доцент кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

A.V. Kupavtsev — Ph. D. (Pedagog.), assoc. professor of "Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University.

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 539.374

К. И. Романов

ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Показано, что выделенные в работе автора [1] операторы, дающие однородные функции, позволяют разрешить неявные функциональные уравнения. Определены переходные функции с приложениями к механике грунтов.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: ползучесть, функциональные уравнения, механика

грунтов.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение состояния теории ползучести

£ = en, (1)

где г — деформация; а — напряжение; E и n — постоянные; Q(t) — функция времени.

На рис. 1 показаны различные варианты использования уравнения (1). Перевод (рис. 1, а) заданной программы а(t) в e(t) осуществляется самим функциональным уравнением. Второй вариант (рис. 1, б) в реальном масштабе времени затруднен даже с использованием однородных функций, поскольку последние заданы в операторной переменной и = вQ, где в — безразмерная постоянная известной структуры [1]. В частности, в включает в себя начальные условия.

Однако, обращение (рис. 1, в) уравнения (1) возможно в переменной и с помощью интегральных уравнений. Производная уравнения (1) имеет вид

de 1 da dQ n dan

+ — an + Q—, (2)

dt E dt dt

dt

Рис. 1. Варианты использования уравнения (1)

где (П/йЬ = В; П(0) = 0.

Проинтегрируем уравнение (2) с учетом начального условия: при г = 0 е(0) = а(0)/Е. Тогда

е - е(0) = ^ - ^ + [ ап(П + [ Шап.

Е Е .1 о .1 о

Начальное условие приводит к нелинейному интегральному уравнению

а = Ее - Е ! ап(П - Е ^ Шап (3)

и к его частным случаям: в статической теории ползучести

а = Ее - Е У апдП (4)

и в динамической теории ползучести

а = Ее - Е ! Шап (5)

Подставив в уравнения (3)-(5) однородные функции, в результате интегрирования получим в правой части явные функции времени, решающие поставленную задачу (см. рис. 1, б).

Отметим, что формально уравнение (1) можно представить в обращенной форме

а = Ее - ЕПап.

Преимуществом неявных функционалов (3)-(5) является свобода выбора однородных функций. Можно, например, в (3) подставить два разных оператора — один убывающий, другой возрастающий. Относительно параметра в можно сделать вывод, что он является переменным по пространственной координате. Источником такой неоднородности помимо начальных условий оказываются, например, остаточные напряжения [2], в частности вторичные [3]. В механике грунтов [4] постоянная в может быть принята в = П*, определяемой экспериментально для разных элементов конструкций.

В случае задач, связанных с фундаментами зданий, уравнения (3)-(5) переносятся на свойства основания с помощью алгоритмов теории управления [5] путем замены а на реакцию основания, е — на прогиб, а Е — на коэффициент пропорциональности с [6].

В полученных интегральных уравнениях выделим два функционала

У = ! апдП

и

Ф = [ Шап.

Определим их как передаточные функции теории ползучести. Для решения уравнений (3)-(5) существует ряд методов [7, 8]. В настоящей работе предлагается приближенный способ решения нелинейных интегральных уравнений, связанный с нахождением передаточных функций в классе однородных операторов.

Релаксационный оператор. Полагаем (п > 1)

Рис. 2. Функции операторной переменной

а = а(0)Д, А = (1 + и) "-1 .

Тогда У и Ф оказываются явными функциями операторной переменной:

Ф =

Y =

na (0)

в

(n - 1) a (0)

в

(1 + ш)

1 - (1 + ш) n-1

i

n-1

1

n

(1 + ш)

n n-1

n1

n

На рис. 2 изображен примерный вид этих функций с учетом соот-

ношения

(n - 1) a (0)

в

С релаксационным оператором уравнения (3)

е =

a + ^a(0)n [1 - (1 + ш)-^

+

+

na (0)'

(1 + ш) n^1 - - (1 + ш) n

n — 1

n-1__

n

решают поставленную задачу в операторной переменной

Еа (0)п Дп

а = Ее--^-и = Ее - Еа(0)пО (1 + и)-п-1 .

Балка на реономном основании. Рассмотрим изгиб балки (рис. 3) равномерно распределенной по длине I нагрузкой q. Реакцию основания примем в виде

qG = су - с [су(0)]п О (1 + и)-^ ,

где у — прогиб.

С использованием решения [9] для материала балки имеем

д2у д2у(0) - Мт — ОI

dz2 dz2

J m

u mx

/ ■л

1

ж зн (И щ

т И- Т

Рис. 3. Схема изгиба балки

Рис.4. Силовые факторы в точке колло-кации

где д2у/дг2 = х — кривизна изогнутой оси в деформированном состоянии; д2у(0)/дг2 = х(0); г — координата; П,т — параметры материала; Зтх — обобщенный момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси х. Нагрузка, действующая на балку,

Р = 9 - = 9 - су + с [су(0)]п П (1 + ш)-

определяет реакции в опорах:

2Я = [ р(г = д/ - + сп+1 П^п*(0), ио

I I

Р* = 1 у(г, ^(0) = 1 (1 + ш)-^ [у(0)]п (г, оо

где ^* — ометаемая площадь в деформированном состоянии; (0) — обобщенная ометаемая площадь в начальном состоянии, соответствующем упругому нагружению. Следовательно,

я = | - ^ + 1 сп+1 пк (0)

и (рис. 4) в точке коллокации

1/2

1/2

Поэтому

M* = R— — — J pdz + J pz dz. 0 0

ql2 czc F* + 12 сП+1(0)

M = V -

и

x* = X* (°) -

8 Ö

2 8

J m

° mx

q1 Czc F* + l2 +1 ÖF* (°)

8

28

m

Явно входящее время соответствует хронотопии. Отметим, что П может быть постоянной или, вообще, П = 0 в случае упругого основания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Романов К. И. Однородные функции операторной переменной // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. - 2010. - № 1. - С. 37-44.

2. Остаточные напряжения в металлах и металлических конструкциях / Сб. статей под ред. В. Осгуда. - М.: Изд-во иностр.лит-ры, 1957. - 395 с.

3. Р о м а н о в К. И. Вторичные пластические деформации в стержневых системах: Методические указания. - M.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1995. -30 с.

4. Шукле Л. Реологические проблемы механики грунтов. - М.: Стройиздат. -1976.-485 с.

5. Расчеты и испытания на прочность. Расчетные методы определения несущей способности и долговечности элементов машин и конструкций. Расчетно-экспериментальный метод прогнозирования индивидуальных деформационных свойств элементов конструкций в условиях ползучести при нестационарном нагружении. Методические рекомендации. - Куйбышев: КПТИ. - 1984. - 22 с.

6. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1985. - 512 с.

7. ЗабрейкоП. П., К о ш е л е в А. И., Красносельский М. А. и др. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 448 с.

8. Б а д а л о в Ф. Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости. - Ташкент: ФАН, 1980. - 224 с.

9. М а л и н и н Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1975. - 399 с.

Статья поступила в редакцию 30.03.2010

Константин Игоревич Романов — д-р техн. наук, профессор кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

K.I. Romanov — D. Sc. (Eng.), professor of "Applied Mechanics" department of the Bauman Moscow State Technical University.