Парные сумматорные ряды в обратной задаче теории локального взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПАРНЫЕ СУММАТОРНЫЕ РЯДЫ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Р. Н. Мирошин

С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Теория локального взаимодействия (ТЛВ) создана в середине прошлого века для аппроксимации сил и моментов, действующих со стороны среды на движущееся в ней тело (летательный аппарат). В этой полуэмпирической теории не требуется решать задачи обтекания тела средой, поэтому расчет с ее помощью быстрый, хотя и не очень точный. Как подтверждено практикой расчетов, ТЛВ дает удовлетворительные для приложений результаты на этапе эскизного проектирования летательного аппарата и особенно востребована при выборе его геометрической формы, когда нужно перебрать большое количество вариантов.

Исторически первой моделью ТЛВ была формула Исаака Ньютона при неупругом отражении атомов газа поверхностью. Эта модель использовалась более двух столетий для определения ветровой нагрузки на здания и сооружения. В середине прошлого века формула Ньютона с эмпирическим коэффициентом оказалась востребована в сверхзвуковой аэродинамике, поскольку удивительно подошла для описания распределения давления газа на выпуклое тело. В дальнейшем, в связи с началом полетов спутников, потребовалось уточнить формулу Ньютона. Для лучшего согласия с экспериментом было увеличено число эмпирических коэффициентов и изменена сама ее форма, что было сделано в работах ленинградских и московских ученых в 1962-1970 гг.; впоследствии ТЛВ развивалась и в Днепропетровске (в основном в прикладном аспекте). Математически ТЛВ оформлена в монографиях [1, 2] и предшествующих им статьях авторов с привлечением прежних результатов о формуле Ньютона. Подробно об истории, идеях и методах ТЛВ см. Приложение в [2] и обзоры [3, 4]. В последнее десятилетие ТЛВ нашла себе применение в задачах о проникании ударника в преграду [5, 6].

Как показано в [2, с. 287], математическое содержание ТЛВ исчерпывается изучением особого поверхностного интеграла первого рода в случае выпуклых тел (я назвал его ориентированным в определенном направлении поверхностным интегралом первого рода)

где п — внутренняя нормаль к поверхности тела, V — орт упомянутого определенного направления, интегрирование производится по поверхности Б тела, ^ — скалярное произведение векторов п и V, а функция ] (р) может быть совершенно произвольной (лишь бы интеграл имел смысл). С помощью замены переменных интеграл (1) можно записать в виде

(1)

© Р. Н. Мирошин, 2011

где а и ф — угловые переменные сферической системы координат, задающие ориентацию тела по отношению к v (в аэродинамике это углы атаки и скольжения). Сам интеграл C(а,ф) —безразмерный коэффициент реакции среды на тело (например, коэффициент сопротивления), f (р) мы назвали функцией реакции, а д(р,а,ф) > 0 — опорной функцией (она зависит только от геометрии тела и от его ориентации относительно v). Специфика введенного нами интеграла (1) проявляется в том, что в (2) опорная функция q удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка смешанного типа в области его гиперболичности, а C(а, ф) — уравнению

J{C} = JJ L{f (p)}dS,

где операторы J{} и С{-} суть

2 д2 д2 д d 2 d

J{-} = cosec а—г + ■—+ctga—, £{•} = — (1 - р ) —,

дф2 да2 да dp dp

т. е. J{■}—угловая часть оператора Лапласа Д, а £{■} —дифференциальная часть уравнения Лежандра.

Когда тело осесимметрично, тогда C(а,ф) = C(а) и член д2С/дф2 в J{C} равен нулю. Этим осесимметричным случаем далее и ограничимся. Опорная функция

раскладывается в билинейный ряд вида (см. [2, с. 94])

Ж

q(p,а) = ^2, SnPn(cos а)Рп (р), (3)

П = 0

где все Pn(x) — полиномы Лежандра, а sn — константы (коэффициенты формы), определяемые по геометрии тела. Подставляя (3) в (2), получаем так называемый естественный ряд для коэффициента реакции,

Ж

C(а) = ^2 PnSnPn(cos а), (4)

n=0

в котором {pn} суть обобщенные моменты функции реакции f (р) по чебышёвской системе {Рп(р)}Ж=0,

,■1

Pn = J f (р)Рп(р^р, n = 0,1,....

именуемые в ТЛВ коэффициентами режима, и характеризующие локальные свойства закона взаимодействия среды с поверхностью тела.

Как правило, в экспериментах измерить интегральную характеристику, например, тот же коэффициент реакции С (а), значительно проще, чем локальную ] (р). Поэтому возникает надобность в решениии обратной задачи: определить f (р) при известном С (а) для заданного тела, чтобы использовать результат для других тел в соответствии с идеологией ТЛВ (по терминологии [1, 2] это первая обратная задача). Обычно так называемые линейные модели функции реакции ] (р) имеют вид полинома небольшой степени, поэтому вариантом первой обратной задачи является задача определения моментов рк по С (а) при нескольких значениях к. Затем по теореме А. А. Маркова (ее простое доказательство недавно дано в [7]) мы можем найти верхнюю и нижнюю границы для любого интеграла, включающего функцию ] (р). При увеличении числа моментов эти границы сужаются.

Указанный вариант реализован И. А. Халидовым [2] в случае, когда коэффициент С (а) известен при всех а для одного тела. Однако летательный аппарат часто состоит из сегментов нескольких тел, для каждого из которых известен С (а) только в ограниченном диапазоне углов атаки а. Так как ТЛВ — теория приближенная (аппроксимируется именно ](р)), решать обратную задачу нужно одновременно для всех сегментов, образующих тело, чтобы ](р) была одной и той же для всех сегментов.

Рассмотрим последнюю ситуацию на примере, когда выпуклое тело состоит из двух сегментов с набором коэффициентов формы и в^, к = 0,1, 2,... Предположим, для первого сегмента мы знаем коэффициент реакции С1(а) в диапазоне а € [0, ао], а для второго знаем С2(а) в диапазоне а € (ао,п]. Согласно (4) для определения не зависящих от формы тела моментов мы имеем парное сумматорное уравнение

С1(а) = ^п=0 Рпй(к)Ри(со5 а), 0 < а < ао, ^

С2(а) = ^2п=0 Ипвп'1 Рп(сов а), ао < а < п.

Суммы в (5) могут быть конечными или сходящимися рядами.

Парное сумматорное уравнение (5) — частный случай нередко встречающегося уравнения в краевых задачах теплопроводности с разнородными граничными условиями [8]. Именно,

| Еп=0 апспип(х) = ](x), х € А (6)

\Еп=0 ЬпСпип(х) = д(х), х € О — А,

где сп —неизвестные константы, А и О — интервалы вещественной оси, А С О, ип(х) и уп(х) —ортогональные функции в интервале О (он может быть и бесконечным), т. е.

/ ит(х)Уп(х)йх = Нт5тп, (7)

■)п

5тп — символ Кронекера (5 пп = 1 , 5тп = 0 при т = п), кт — нормировочная константа. Такими функциями ип(х) и уп(х) могут быть, например, ортогональные на интервале П полиномы, умноженные на у/ъи(х), где ги(х) —вес.

Парное уравнение (6) сводится к системе линейных алгебраических уравнений следующим приемом: умножим первое из уравнений (6) на г/(х € А), второе — на ц(х € О—А) = п(х € О)-п(х € А), сложим, умножим сумму на ут(х) и проинтегрируем по х в интервале О. Мы использовали здесь функцию ц(х € А), определяемую равенством

П(х € А)={1, х € А |^0, х € А.

Получаем в силу (7) систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными

ст:

СтЪтНт + ^2 Сп (ап — Ьп )Кл(т,п) = Ял(т), т = 0,1,..., (8)

п=0

где

Кл(т,п)= ип (х)ьт(х^х,

л

Ял(т)= / (х)Ут (х)йх + д(хУит(х)г!х.

■) л ■]&-л

Полиномы Лежандра Рт(х) ортогональны в О = [—1,1], так что ит(х) = ут(х) = Рт(х), и при стандартизации Рт(1) = 1 в (7) имеем кт = 2/(2т + 1), т.е. уравнение (5) совпадает с (6) при ап = 5^^, Ъп = вп'1 и неизвестных константах /лп = сп. Объединим (5) в одно уравнение, пользуясь ортогональностью Рт(х):

г1 2

І Рщ{,х)Рп (x^dx = — | —Smn. (9)

J-1 2m + 1

С этой целью, следуя вышеизложенной процедуре, умножим первое уравнение в (5) на Є [0, «о]), второе — на г/(х Є [«о, ^]) = 1-п(х Є [0, «о]), сложим, умножим сумму на -Pm(cos «)sin « и проинтегрируем ее по « в пределах [0,^]. В результате, сделав

замену переменной в интеграле cos« = t и обозначив cos «о = г, после несложных

выкладок с использованием соотношения ортогональности (9) полиномов Лежандра получим систему линейных алгебраических уравнений типа (8),

2 Í1

Qm(r) = ------—+ 53'“fc(Sfc1) - Sfc(2)) / Pk(t)Pm(t)dt, 771 = 0,1,2,..., (10)

2m + 1 k=0 Jr

в которой

Qm(r) = J CÎ(arccost)Pm(t)dt + J C2(arccost)Pm(t)dt.

(arccost

1-і

Решение этой системы при отличных от нуля нескольких моментах записывается по правилу Крамера (см. [2], гл. 4, параграф 7, написанный И. А. Халидовым). Все интегралы в правых частях (10), как легко видеть, вычисляются аналитически. Разумеется, нужно проверять, чтобы знаменатели в формулах Крамера не обращались в нуль.

Точно таким же способом сводится к системе алгебраических уравнений и сумматорное уравнение, когда обтекаемое тело состоит из n сегментов, для каждого из которых известна Ci (a), i = 1, 2,...,n, в интервалах [ai-i,ai], где ао = 0, ап = п. Буде возникнет в этом надобность, читатель без особого труда, пользуясь представленным для случая двух сегментов алгоритмом, такую систему получит.

Так как используемые в аэродинамике разреженных газов ТЛВ-модели функции реакции имеют вид полинома не выше второй степени, т. е. все ¿k =0 при к > 2, ряды в (5) и (10) —конечные суммы, так что система (10) сводится к системе из трех линейных алгебраических уравнений с неизвестными ¡¿о, Ці и ц2:

Qo(r) = Мо[42)(1 + г) + 41}(! - r)] + у (4^ - S12))(! - г2) + у(41} - 42)М1 - г2),

Qi(r) = Мо(41)-42))^7!1 + ^[42)(1+^3) + «(11)(1-^3)] + ^(41)-42))(1-^2)(1+Зг2),

<52(г) = у(41)-42))г(1-г2)+у(511)-512))(1-г2)(1+3г2)+у[42)(4г5-2г3+4Г+1Ь

-41,(у-5-|-3 + у--1)]

Замечание. Недавно автор [9], обобщая результаты О. В. Сарымсакова (1962), показал, что решение уравнения Колмогорова—Чепмена для вероятности перехода

некоторого марковского процесса иногда можно представить в виде билинейного ряда. Возникает вопрос, а есть ли классы осесимметричных тел, для которых билинейный ряд (3) удовлетворяет уравнению типа уравнения Колмогорова—Чепмена. Поищем ответ.

Введем обозначения cos а = t, 0 < а < п, q(p, а) = п(р, t), так что ряд (3) примет

вид

n(p,t) = j2 skpk (p)Pk (t). (ii)

k=0

Найдем значения коэффициентов Sk в билинейном ряде (10), для которых выполняется уравнение

n(p,tS) = J п(р,т )n(T,t)dT. (12)

Подставив (11) в (12), поменяв суммирование и интегрирование местами и воспользовавшись ортогональностью (9) полиномов Лежандра, получаем, что Sk =

2sk/(2k + 1), т. е. или Sk = 0, или Sk = к + 1/2. Приведем два примера таких опорных функций.

Пример 1. Пусть so = 1/2, Sk =0 при к > 0. Согласно таблице 2 (см. [2, с. 97]) это тело — полусфера.

Пример 2. Пусть все Sk = к+1/2, к = 0,1, 2,... Согласно таблице 2 (см. [2, с. 97]) в этом случае q(p, а) — опорная функция одной стороны круглой пластины.

Литература

1. Мирошин Р.Н., Халидов И. А. Теория локального взаимодействия. Л., 1991. 276 с.

2. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. СПб., 2002. 304 с.

3. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Развитие, современное состояние и приложения теории локального взаимодействия (обзор) // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. №3. С. 3-18.

4. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Развитие теории локального взаимодействия // Исследования по истории физики и механики, 1991-1992. М., 1997. С. 198-219.

5. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Ballistic impact: recent advances in analytical modeling of plate penetration dynamics — a review // Appl. Mech. Reviews. 2005. Vol. 58. P. 355-371.

6. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Applied high-speed plate penetration dynamics. Springer Verlag, 2006. 357 p.

7. Мирошин Р. Н. Простое доказательство теоремы Маркова в обобщенной проблеме моментов теории локального взаимодействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 1. С. 91-99.

8. Кудинов В. А., Калашников В. В., Карташов Э. М., Лаптев Н. И., Сергеев С. К. Тер-момассоперенос и термоупругость в многослойных конструкциях. М., 1997. 426 с.

9. Мирошин Р. Н. О решении интегрального уравнения Колмогорова—Чепмена в виде ряда // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 2. С. 74-78.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.