Параметрический синтез отображения осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.373.12

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОТОБРАЖЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ВАН ДЕР ПОЛЯ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ

© 2013 В. В. Зайцев, Д. Б. Нураев, А. Н. Юдин Самарский государственный университет

Предложено новое дискретное отображение классической автоколебательной системы - осциллятора Ван дер Поля. Отображение получено на основе сочетания методов параметрического синтеза и инвариантности импульсных характеристик динамических систем. Приведены примеры генерации регулярных и хаотических автоколебаний.

Нелинейная динамика, дискретное время, автоколебательная система, динамический хаос.

1. Современная нелинейная динамика [1] рассматривает эволюцию динамических систем как в непрерывном (НВ), так и в дискретном времени (ДВ). Модели и методы нелинейной НВ-динамики широко и успешно применяются в радиофизике, биофизике, экологии, химических технологиях и многих других отраслях науки и техники. В области дискретного времени нелинейная динамика смыкается с цифровой обработкой сигналов [2], и объекты ДВ-динамики могут служить основой алгоритмов обработки. Для выполнения этих функций необходим широкий круг ДВ-систем, обеспечивающий возможность выбора заданной характеристики преобразования сигналов. Поиск таких систем следует рассматривать в качестве одной из задач нелинейной динамики дискретного времени.

Как правило, объекты НВ-динамики являются результатом формализации физических (химических, биологических и т.д.) моделей реально существующих систем, в то время как ДВ-системы в большинстве случаев возникают в результате дискретизации времени в НВ-системах. При этом конкретная форма процесса дискретизации существенным образом влияет на характеристики полученной (синтезированной) ДВ-системы. Заметим, что для обозначения ДВ-систем часто используется также термин «дискретные отображения».

Широко известен ряд способов построения дискретных отображений. В качественной теории динамических систем это сечения Пуанкаре [1]. Для гамильто-новых систем с помощью введения в гамильтониан нелинейных дельта-воздействий строятся универсальное и стандартное отображения [3]. Рассматривается также и самый прямой способ дискретизации времени - конечно-разностная аппроксимация производных в дифференциальном уравнении движения системы. Но он не даёт эффективных алгоритмов преобразований сигналов ДВ-системами [2].

В теории и практике синтеза линейных дискретных фильтров находит применение метод инвариантности импульсных характеристик (МИИХ) относительно дискретизации времени. Он привлекателен с физической точки зрения, т.к. сохраняет временные характеристики отклика линейной системы на внешнее воздействие. В работах [4, 5] метод распространён на автоколебательные системы томсоновского типа. В настоящей работе МИИХ дополнен элементами параметрического синтеза и получен новый вариант дискретного отображения осциллятора Ван дер Поля - базовой модели теории нелинейных колебаний.

2. В рамках МИИХ линейному дис-сипативному НВ-осциллятору с собственной частотой (О0 и добротностью Q

С2 х ю0 Сх 2

—^ + —— + ю02 х = 0 &2 0 сИ

(1)

ставится в соответствие ДВ-осциллятор

х[п] - 2 ооз(2к О0 )а0х[п -1] + а02х[п - 2] = 0,

(2)

где О 0 - собственная частота ю0, измеряемая в единицах частоты дискретизации, а 0 - параметр линейной диссипации:

а 0 = ехр

С О ^

- к

0 0

(3)

Опираясь на физическую модель системы, уравнение движения осциллятора Ван дер Поля запишем в виде

С2 х ю.

+ Ю- (1 - Р(1 - х2))СХ + ю2 х = 0. (4)

ёх2 0

СХ

Здесь р - коэффициент превышения (р > 1) порога генерации (р = 1).

Коэффициент при первой производной в уравнении (4) рассматриваем как нелинейный параметр диссипации. Тогда при дискретизации времени в нелинейной системе, по аналогии с переходом (1) ® (2), предлагается совершить переход от дифференциального уравнения (4) к разностному уравнению

х[п] - 2 еов(2к О 0 )а (х[п - 1])х[п -1] + + а2 (х[п - 2])х[п - 2] = 0,

(5)

где диссипативная функция с учётом (3) принимает вид

(

а(х) = ехр - к — (1 - р(1 - х2))

V 0

Л

Разностное уравнение движения (5) с учётом (6) даёт итерируемое дискретное отображение - алгоритм генерации ДВ-автоколебаний. Конечно, этот образ осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени лишь один из множества возможных (см., в частности, [4, 5]).

Нетрудно показать, что при высоких частотах дискретизации (О0 ® 0) разностное уравнение (5) переходит в дифференциальное уравнение (4), и тем самым ДВ-осциллятор сохраняет «верность» НВ-прототипу.

3. Приведём некоторые результаты, иллюстрирующие режимы генерации ДВ-осциллятора Ван дер Поля (5). Значение добротности в дальнейшем остаётся постоянной величиной 0 = 20, а собственная частота резонатора О0 и уровень возбуждения р варьируются.

На рис. 1 а показаны амплитудный спектр А(О) и предельный цикл автоколебаний ДВ-осциллятора с параметрами О 0 = 0,21, р = 3,8. Этот режим генерации

качественно полностью соответствует свободным автоколебаниям в НВ-системе. Специфика ДВ-системы проявляется лишь в том, что вследствие эффекта подмены частот [2] гармоники автоколебаний наблюдаются на частотах, не кратных основной частоте (на рис. 1 прослеживаются третья и пятая гармоники). Взаимодействие подменённых гармонических составляющих приводит, в конечном счёте, к хаотизации автоколебаний при значительных уровнях возбуждения. Рис. 1 б, на котором представлены усреднённый амплитудный спектр А (О) и хаотический аттрактор автоколебаний, иллюстрирует режим генерации динамического хаоса в осцилляторе с параметрами О0 = 0,31 и р = 12 . Дальнейший рост уровня возбуждения до значения р = 38 переводит ДВ-осциллятор (5) в режим генерации хаотических импульсов, показанных в правой части рис. 1 в.

100

10

0.1

0.01

А(3)

1.5 1

0.5 0

0 0.1 0.2 0.3

0.4

а

-0.5

а

1 1.5

А(3)

3.5

2.5

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4

а

А(3)

1

/ }

У" У VI \

г

-2

1 Ф/ 1 1

—

— -

| | х/п-1/

б

-2

-1

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 ¡3

-10

0 50 100 150 200 250 300

1

5

2

4

1

3

0

2

1

1

0

0

1

2

4

5

3

0

5

2

в

Рис. 1. Амплитудные спектры и фазовые портреты автоколебаний ДВ-осциллятора Ван дер Поля

4. Таким образом, представленный дискретный осциллятор Ван дер Поля демонстрирует набор разнообразных режимов автоколебаний: как регулярных, так и хаотических. Одно из возможных применений ДВ-осциллятора в режиме регулярных автоколебаний - синхронное и частотное детектирование [6]. Широкий спектр хаотических автоколебаний позволяет использовать их для маскировки информационных сигналов, например, так, как это предложено в статье [7].

Библиографический список

1. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики [Текст] / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

2. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Оппенгейм, Р. Шафер - М.: Техносфера, 2006.- 858 с.

3. Заславский, Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика [Текст] / Г.М. Завславский - М. - Ижевск: НИЦ РХД,

Ижевский институт компьютерных исследований, 2010. - 472 с.

4. Зайцев, В. В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля [Текст] / В.В. Зайцев, С.В. Давыден-ко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2000. - Т.3. - №2. - С. 64-67.

5. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами [Текст] / В.В. Зайцев [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. - Т. 11. - №4. -С. 98-103.

6. Зайцев, В. В. Метод усреднения и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний [Текст] / В.В. Зайцев, А.В. Карлов (мл.), Ар. В. Карлов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2011. - Т. 14. - №4. - С. 77-80.

7. Зайцев, В. В. Способ защиты информации с использованием алгоритма генерации хаотических автоколебаний [Текст] / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев // Вестник СамГУ. - 2006. - № 9(49). - С. 66-71.

PARAMETRICAL DESIGN OF DISCRETE MAPPING OF VAN DER POL OSCILLATOR

© 2013 V. V. Zaitsev, D. B. Nuraev, A. N. Yudin

Samara State University

New discrete mapping of a classical self-oscillating system - van der Pol oscillator- is proposed. Mapping is obtained on the basis of combining the methods of parametric synthesis and the invariance of pulse characteristics of dynamical systems. Examples of generating regular and chaotic self-oscillations are given.

Nonlinear dynamics, discrete time, self-oscillation system, dynamic chaos.

Информация об авторах

Зайцев Валерий Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор, профессор кафедры радиофизики, Самарский государственный университет. E-mail: zaitsev@samsu.ru. Область научных интересов: нелинейная динамика, статистическая радиофизика, численное моделирование.

Нураев Дмитрий Борисович, аспирант, Самарский государственный университет. Область научных интересов: нелинейная динамика.

Юдин Александр Николаевич, аспирант, Самарский государственный университет. Область научных интересов: нелинейная динамика.

Zaitsev Valery Vasilyevch, candidate of physics and mathematics, professor, professor of the department of radiophysics, Samara State University. E-mail: zaitsev@samsu.ru. Area of research: nonlinear dynamics, statistical radiophysics, numerical modeling.

Nuraev Dmitriy Borisovich, postgraduate student, Samara State University. Area of research: nonlinear dynamics.

Yudin Alexander Nicolaevich, postgraduate student, Samara State University. Area of research: nonlinear dynamics.