CC BY
84
Сандитов Булат Дамбаевич, кандидат технических наук, старший преподаватель, кафедра общей физики, Бурятский государственный университет. 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а
Мункуева Светлана Бадмаевна, аспирант, отдел физических проблем Бурятский научный центр СО РАН. 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 8
Чимитова Оксана Дугарсуруновна, аспирант, кафедра общей физики, Бурятский государственный университет. 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а
Сандитов Дамба Сангадиевич, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общей физики, Бурятский государственный университет. 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а
Sanditov Bulat Dambaevich, candidate of physics and mathematics, senior lecturer, department of general physics, Buryat State University.
Munkueva Svetlana Badmaevna, postgraduate student, department of physical problems, Buryat Scientific Center SB RAS.
Chimitova Oksana Dugarsurunovna, postgraduate student, department of general physics, Buryat State University.
Sanditov Damba Sangadievich, doctor of physics and mathematics, professor, department of general physics, Buryat State University.
УДК 539.213
ПАРАМЕТР ГРЮНАЙЗЕНА И ОТНОШЕНИЕ СКОРОСТЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СТЕКЛАХ
С.Б. Мункуева, Ч.П. Санжиев, Д.С. Сандитов
Для стекол установлена линейная корреляция между параметром Грюнайзена и отношением скоростей распространения продольной и поперечной акустических волн. Рассмотрена интерпретация взаимосвязи между этими величинами в рамках модели Пинеда (Pineda).
Ключевые слова: стекла, скорость звука.
THE GRUNEIZEN PARAMETER AND CORRELATION OF VELOCITIES OF LONGITUDINAL AND TRANSVERSE ACOUSTIC WAVES DISTRIBUTION S.B. Munkueva, Ch.P. Sanzhiev, D.S. Sanditov
The linear correlation is established between the Gruneizen parameter and the ratio of velocities of longitudinal and transverse acoustic waves distribution. The interpretation of these values interconnection is considered within the limits of Pineda model.
Keywords: glasses, sound velocity.
Параметр yD определяется изменением частоты колебаний решетки в зависимости от изменения объема системы и обычно вычисляется по уравнению Грюнайзена из экспериментальных данных о коэффициенте объемного теплового расширения в, изотермическом модуле объемного сжатия B, молярном объеме V и молярной теплоемкости при постоянном объеме CV
Yd -ÇV (1)
C V
Недавно на основе экспериментальных данных [1, 2] для двух групп кристаллов был обнаружен необычный факт - линейная зависимость параметра Грюнайзена yD от отношения скоростей распространения продольной (vL) и поперечной (vS) звуковых волн [3, 4]
Y D - C1
V vs У
- C 2 (2)
где величина уо определена по уравнению Грюнайзена (1), С1 и С2 - эмпирические постоянные.
Необычность этой формулы заключается в том, что она однозначно связывает между собой гармоническую (у/у^) и сугубо ангармоническую (уо) величины. Между тем принято считать, что линейные и нелинейные коэффициенты в разложении потенциальной энергии решетки по деформации являются независимыми параметрами.
Настоящая работа посвящена исследованию зависимости параметра Грюнайзена от отношения скоростей звука уь/у$ для стеклообразных твердых тел, которые можно считать фактически изотропными или по крайней мере квазиизотропными средами. Обсуждается природа взаимосвязи между параметром Грюнайзена и отношением скоростей акустических волн у^/ух, которое у изотропных веществ является однозначной функцией коэффициента Пуассона.
Линейная корреляция между уа и V у„ для стекол
Для некоторых классов твердых тел, особенно для стекол, не всегда удается найти необходимые данные о величинах, входящих в уравнение Грюнайзена (1). Поэтому при расчетах уо иногда привлекается формула Леонтьева [5]
A
pvk
(3)
которая находится в удовлетворительном согласии с уравнением Грюнайзена [1-5]. Здесь ук - среднеквадратичная скорость, не зависящая от направлений распространения акустических волн,
2 + 2 V 2
у; = -1 8
3
р - плотность, ВА - адиабатический модуль объемного сжатия. Соотношение Грюнайзена (1) выводится из уравнения состояния, а формула Леонтьева (3) получена непосредственно из определения параметра Грюнайзена путем усреднения частоты колебаний решетки т.
Формула Леонтьева привлекательна тем, что в отличие от уравнения Грюнайзена она дает возможность рассчитывать уо по доступным экспериментальным данным. При ее выводе использована теория упругости, которая справедлива для идеальной изотропной сплошной среды. Поэтому эта формула применима прежде всего к квазиизотропным телам типа стекол.
С помощью формулы Леонтьева (3) мы рассчитали параметр Грюнайзена для кварцевого стекла 8Ю2 и для пяти групп двух- и трехкомпонентых стекол: Ы20-8Ю2, Ка20-8Ю2, Ы20-Ка20-8Ю2, Ы20-Л1203-8Ю2 и Ка20-Л1203-8Ю2 с разным содержанием окислов (табл. и рис. 1). Были использованы данные из работ [6-8]. На рис. 1 приводится зависимость параметра Грюнайзена уо от отношения скоростей акустических волн уь/у8 для этих стекол. Как и следовало ожидать, указанная зависимость оказывается линейной и описывается эмпирическим соотношением (2).
Ранее было показано [4], что у кристаллических твердых тел одного класса постоянные С и С2 в соотношении (2) практически совпадают, так что выражение (2) принимает вид
Y d = С
L__
v
S
где С ~ const Ci~ C2. В частности, у щелочногалоидных кристаллов C2 ~ 2.
Следовательно, для них параметр Грюнайзена определяется относительной разностью скоростей распространения продольной и поперечной акустических волн. Легко убедиться, что исследованные нами стекла также подчиняются данной закономерности (4): зависимость yD от (ц - vs)/vs выражается прямой, проходящей через начало координат.
Интересно отметить, что в отличие от кристаллов [3, 4] экспериментальные точки для всех исследованных стекол ложатся на одну прямую (рис. 1). Известно, что ионы щелочных металлов (лития и натрия) в щелочносиликатных стеклах располагаются в пустотах кремнекислородной сетки (- Si - O
- Si -), а ионы алюминия в алюмосиликатных стеклах, например, типа Na2O - Al2O3 - SiO2, встраиваются в саму кремнекислородную сетку. Следовательно, эти стекла, вообще говоря, отличаются по структурам.
Тем не менее данные ложатся на одну прямую (рис. 1). Можно предположить, что зависимость (2) носит универсальный характер для изотропных стеклообразных твердых тел. Представляет интерес выяснение природы взаимосвязи между величинами vL/ vS и yD, хотя бы на качественном уровне.
Обсуждение результатов
Из теории упругости известно, что у изотропных тел отношение скоростей звука vL/vS является однозначной функцией коэффициента Пуассона р [9]
= /2 (1 — М) (5)
v S V (l — 2 м )
Следовательно, вместо изучения связи между отношением скоростей распространения акустических волн vL/vS и параметром Грюнайзена yD можно рассматривать взаимосвязь между коэффициентом Пуассона ц и величиной yD.
Таблица
Плотность р, скорость распространения продольных (vL) и поперечных (vS) акустических волн, модуль объемного сжатия ВА и параметр Грюнайзена yD для стекол Na2O - Al2O3 - SiO2 (использованы данные [6]).
Номера стекол Состав по синтезу, мол. % р-10'3, кг/м3 с м/с с м/с со Д4-10-8, Па И Ув
Ка20 А1203 8і02
1 15 0 85 2339 5430 3340 342 0.196 1.28
2 15 5 80 2358 5570 3390 370 0.206 1.31
3 15 10 75 2410 5697 3510 386 0.194 1.26
4 15 15 70 2465 5737 3469 416 0.212 1.34
5 15 20 65 2428 5850 3540 425 0.211 1.34
6 15 25 60 2472 6000 3568 470 0.226 1.40
7 25 0 75 2439 5280 3140 359 0.226 1.40
8 25 5 70 2455 5480 3240 394 0.231 1.41
9 25 10 65 2461 5610 3330 411 0.228 1.40
10 25 20 55 2470 5680 3450 405 0.208 1.32
11 25 25 50 2499 5790 3490 432 0.215 1.35
12 25 30 45 2519 6026 3556 490 0.233 1.43
13 35 0 65 2497 5340 3070 398 0.253 1.52
14 30 5 65 2486 5500 3200 413 0.244 1.47
15 20 15 65 2450 5670 3490 390 0.195 1.28
16 17.5 17.5 65 2447 5746 3458 418 0.216 1.35
5
Рис. 1. Корреляция между ув и (уь/у5) для ряда стеклообразных систем. а - стекла Ьі20 -Ыа20- 8і02, содержание 8і02, №20 и Ьі20, мол.%: 1 - 85/15/0, 2 - 80/20/0, 3 - 75/25/0, 4 - 70/30/0, 5 - 67/33/0, 6- 65/35/0, 7 - 67/0/33, 8 -75/5/20, 9 - 75/10/15, 10 - 75/15/10, 11 - 75/20/5; 12 - 8і02; Ьі20-8і02, содержание Ьі20, мол.%: 13 - 16, 14 - 26, 15 - 32, 16 - 40 [8]. Ь - натриевоалюмосиликатные стекла №20-А1203-8і02, номера точек соответствуют номерам стекол в табл. [6]. с - стекла Ьі20-А1203-8і02, содержание Ьі20, А1203 и 8і02, мол.%: 34 - 15/4/81, 35 -15/6/79, 36 - 15/8/77, 37 - 15/10/75, 38 - 15/12/73, 39 - 15/15/70, 40 - 15/16/69, 41 - 15/18/67, 42 - 15/22/63, 43 -33/2/65, 44 - 31/4/65, 45 - 29/6/65, 46 - 27/8/65, 47 - 25/10/65, 48 - 23/12/65, 49 - 21/14/65, 50 - 19/16/65, 51 -17,5/17,5/65, 52 - 17/18/65, 53 - 15/20/65, 54 - 13/22/65, 55 - 20/20/60, 56 - 19/20/61, 57 - 17/20/63, 58 - 13/20/67, 59 - 11/20/69 [7]. Точки 41-59 ложатся на прямую, они не нанесены на график вследствие загромождения точек Коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) определяется отношением поперечной деформации тела єг = ДаУа?0 к его продольному удлинению єх = Д///0 при одноосном растяжении:
М = - —
£х
и прежде всего характеризует приращение объема тела ДУ/У при одноосной деформации
АУ1У = е2(1 -2ц) (6)
Коэффициент поперечной деформации л оказывается связанным с пластической деформацией стекол [10], а также с температурой их размягчения [11]. Поскольку коэффициент Пуассона определяется деформациями, происходящими во взаимно перпендикулярных направлениях, по-видимому, он выражает своеобразную зависимость л (следовательно, и отношения уь/у5) от интенсивности развития процессов неупругости в реальном деформируемом теле [12].
Для реальных твердых тел с неоднородными структурами могут наблюдаться случаи отклонения от выводов теории упругости. В этом отношении интересен подход Кузьменко [12, 13], согласно которому коэффициент Пуассона реальных твердых тел отражает способность вещества противодействовать изменению объема. Высокое значение л указывает на то, что материал может эффективно компенсировать изменение объема, возникающее на первом этапе деформирования. Чем больше л, тем меньшей оказывается итоговая величина изменения объема твердого тела. Верхний предел л = 0.5 следует из условия, когда изменение объема при деформировании компенсируется полностью противодействием вещества (при л = 0.5, ДУ = 0 (6)). Это условие выполняется для жидкостей, а для твердых тел полной компенсации изменения объема не бывает, поэтому для них л < 0.5.
По теории Кузьменко [13] коэффициент Пуассона наряду со сказанным выше характеризует долю энергии сдвига Ш в общей энергии деформирования Ш:
Ш я = 1 - 3 М 2 - 3 М 3 (7)
Ш 1 + м
Чем больше л, тем меньше энергия сдвиговых деформаций, тем меньше сопротивление материала сдвигу, тем ближе он в этом отношении к жидкости. Отсюда следует, что коэффициент Пуассона должен быть связан, например, с такой характеристикой неупругости твердого тела, как предел текучести - напряжение оу, выше которого наблюдается пластическая деформация.
Материалы с небольшими пределами текучести, т.е. с повышенной мягкостью и пластичностью (золото, серебро, медь), имеют высокие значения л, приближающиеся к 0.5, а хрупкие твердые тела (бериллий, стекла) характеризуются низкими коэффициентами Пуассона л. В частности, кварцевое стекло с высоким пределом текучести имеет л = 0.17 [10].
Таким образом, в рамках теории Кузьменко можно, по крайней мере, качественно объяснить наличие определенной связи между коэффициентом Пуассона (отношением у^/у5) и пластичностью твердых тел.
Недавно Пинеда [14] в рамках простейшей модели исследовал влияние структурных изменений на коэффициент Пуассона металлических стекол. С помощью этой модели, на наш взгляд, можно попытаться обосновать взаимосвязь между коэффициентом Пуассона и параметром Грюнайзена. Пинеда принимает, что потенциал межатомного взаимодействия состоит из гармонической и ангармонической частей
и(г) = а(г - Г0)2 -Ь(г - Г0)3 (8)
где а - гармонический, а Ь - ангармонический коэффициенты, г0 - межатомное расстояние, соответствующее минимуму потенциала.
Модель основана на предположении о Гауссовом распределении расстояний между ближайшими атомами в идеальном однокомпонентном металлическом стекле. Предполагается, что упругие свойства определяются непосредственным окружением атомов - первой координационной сферой. В окончательные формулы мгновенных модулей объемного сжатия В и сдвига О входят безразмерные параметры
8 с, ьг
s = —, с = Р _ Ьг±_, (9)
г0 г0 а
где д = (г1 - г0), г1 и 01 - средний радиус и ширина первой координационной сферы. Величины 5 и а характеризуют отклонения межатомного расстояния от его равновесного значения г0 и среднюю дисперсию вблизи г0 соответственно. Параметр р характеризует степень ангармоничности потенциала. Он пропорционален параметру Грюнайзена уа = Ьг0/6а [15].
Модель Пинеды была использована для объяснения экспериментов по структурной релаксации и по всестороннему сжатию металлических стекол. В обоих процессах плотность стекла увеличивается, что приводит к возрастанию упругих модулей. Однако коэффициент Пуассона в результате струк-
турной релаксации уменьшается (снижение параметра а оказывается сильнее), но увеличивается при сжатии под давлением (здесь эффект уменьшения s является доминирующим). В целом модель качественно правильно описывает изменения упругих характеристик в этих опытах.
Мы привлекли модель Пинеды для проверки зависимости отношения упругих модулей (B/G) и, следовательно, коэффициента Пуассона и, от параметра ангармоничности p. Из модели следует, что такая зависимость существует. В самом деле в соответствии с формулами упругие модули B и G пропорциональны гармоническому коэффициенту а - параметру межатомного потенциала, а их отношение B/G (следовательно, и коэффициент Пуассона j) практически не зависит от а и определяется главным образом параметром ангармоничности р. Отсюда следует зависимость коэффициента Пуассона j и, следовательно, отношения vL/vS от параметра Грюнайзена yD - меры ангармонизма колебаний решетки.
Заключение
У стекол существует определенная взаимосвязь между отношением скоростей распространения продольной и поперечной акустических волн и такой нелинейной величиной как параметр Грюнайзе-на, что может быть качественно обосновано в рамках модели Пинеды [14]. Наличие у стекол корреляции между коэффициентом Пуассона, являющимся однозначной функцией отношения скоростей звука vL/vS, и нелинейной неупругой величиной - пластической деформацией, можно качественно объяснить с помощью теории Кузьменко [12, 13].
Литература
1. Беломестных В.Н. Акустический параметр Грюнайзена твердых тел // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т.30, Вып.3. - С. 1419.
2. Беломестных В.Н., Теслева Е.П. Взаимосвязь ангармонизма и поперечной деформации квазиизотропных поликри-сталлических тел // ЖТФ. - 2004. - Т.74, Вып.8. - С. 140-142.
3. Сандитов Д.С., Мантатов В.В., Сандитов Б.Д. Ангармонизм колебаний решетки и поперечная деформация кристаллических и стеклообразных твердых тел // ФТТ. - 2009. - Т.51, Вып.5. - С. 947-951.
4. Сандитов Д.С., Машанов А.А., Дармаев М.В. Скорости распространения продольной и поперечной акустических волн и ангармонизм колебаний решетки // ЖТФ. - 2009. - Т.79, Вып.9. - С. 155-158.
5. Леонтьев К. Л. О связи упругих и тепловых свойств веществ // Акуст. журнал. - 1981. - Т.27, Вып.4. - С. 554-561.
6. Лившиц В.Я., Теннисон Д.Г., Гукасян С.Б., Костанян А.К. Акустические и упругие свойства стекол системы Na2O-Al2O3-SiO2 // ФХС. - 1982. - T.8, №6. - С. 688-692.
7. Карапетян Г.О., Лившиц В.Я., Теннисон Д.Г. Исследование упругих свойств литиевоалюмосиликатных стекол // ФХС. - 1979. - Т.5, №3. - С. 314-319.
8. Карапетян Г.О., Лившиц В.Я., Теннисон Д.Г. Энергетика щелочносиликатных стекол по данным акустических измерений // ФХС. - 1981. - Т.7, №2. - С. 188-194.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1965. - 204 с.
10. Сандитов Д.С., Мантатов В.В., Сандитов Б. Д. Коэффициент Пуассона и пластичность стекол // ЖТФ. - 2009. - Т.79, Вып.4. - С. 150-152.
11. Сандитов Д.С., Дармаев М.В., Сандитов Б. Д., Мантатов В.В. Поперечная деформация и температура размягчения стеклообразных материалов // Деформация и разрушение материалов. - 2008. - №4. - С. 18-23.
12. Кузьменко В.А. Новые схемы деформирования твердых тел. - Киев: Наукова думка, 1973. - 200 с.
13. Кузьменко В.А.. Развитие представлений о процессе деформирования материалов. - Киев: Укр. НИИТИ, 1968. -
50 с.
14. Pineda E. Theoretical approach to Poisson ratio behavior during structural changes in metallic glasses // Phys. Rev. - 2006. -B73, №8. - Р. 104109-1-104109-6.
15. Сандитов Д.С., Козлов Г.В. Ангармонизм межатомных и межмолекулярных связей и физико-механические свойства стекол // ФХС. - 1995. - Т.21, №6. - С.547-576.
Мункуева Светлана Бадмаевна, аспирант, отдел физических проблем Бурятский научный центр СО РАН. 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 8
Санжиев Чингис Петрович, аспирант, кафедра общей физики, Бурятский государственный университет. 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а
Сандитов Дамба Сангадиевич, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общей физики, Бурятский государственный университет. 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, [email protected]
Munkueva Svetlana Badmaevna, postgraduate student, department of physical problems, Buryat Scientific Center SB RAS.
Sanzhiev Chingis Petrovich, postgraduate student, department of general physics, Buryat State University.
Sanditov Damba Sangadievich, doctor of physics and mathematics, professor, department of general physics, Buryat State University.
