CC BY
44
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, Ns 3 (2), с. 127-133
УДК 541.186
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗВЕРТОК РАСТУЩЕГО УРОВНЯ ДЕТАЛИЗАЦИИ
© 2011 г. С.В. Сидоров, В.В. Рябов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
[email protected], [email protected]
Поступила в редакцию 27.01.2011
Данная работа продолжает развитие информационно-статистического подхода к минимизации многоэкстремальных функций при невыпуклых ограничениях, получившего название индексного метода глобальной оптимизации. При этом решение многомерных задач сводится к решению эквивалентных им одномерных. Редукция основана на использовании кривых Пеано, однозначно отображающих единичный отрезок вещественной оси на гиперкуб. Также используется схема построения множества кривых Пеано («вращаемые развертки»), которую можно эффективно применять при решении задачи на кластере с десятками и сотнями процессоров. Основное внимание уделяется применению разверток разного уровня детализации при выполнении вычислений для ускорения сходимости параллельного алгоритма.
Ключевые слова: глобальная оптимизация, индексный метод, параллельное программирование, развертки типа Пеано.
Введение
Работа продолжает развитие известного подхода к минимизации многоэкстремальных функций при невыпуклых ограничениях, описанного в работах [1-7] и получившего название индексного метода глобальной оптимизации. Подход основан на раздельном учете каждого ограничения задачи и не связан с использованием штрафных функций. При этом решение многомерных задач сводится к решению эквивалентных им одномерных. Соответствующая редукция основана на использовании кривых Пеано (называемых также развертками Пеано), однозначно отображающих единичный отрезок вещественной оси на гиперкуб. Используется схема построения множества кривых Пеано («вращаемые развертки»), которую можно применять при решении задачи на кластерных системах с десятками и сотнями процессоров. Данная схема распараллеливания дополняется применением разверток разного уровня детализации при выполнении вычислений. Приведены результаты экспериментального сравнения нового алгоритма с известным алгоритмом DIRECT [10-12], а также с исходным индексным методом при включении смешанной локально-глобальной стратегии и без нее, подтверждающие эффективность предложенного подхода в обоих случаях. Также в рамках работы
получены экспериментальные оценки эффективности параллельного индексного метода со смешанной локально-глобальной стратегией. Эксперименты выполнены на вычислительном кластере ННГУ им. Н.И. Лобачевского, установленном в ходе выполнения нацпроекта «Образование».
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу глобальной оптимизации вида
Ф* = ф(у*) = шт{ф(у): уеБ, gj(y) < 0, 1 < у< т}, Б = {уеЕм: а<у < Ъг, 1 < г < К}, (1)
где целевая функция ф(у) (в дальнейшем обозначаемая также gm+1 (у)) и левые части ограничений gj(y), 1 < у < т, удовлетворяют условию Липшица с соответствующими константами 1 < у < т + 1, а именно
\ф1) - gj(У2) 1< ¿>1 - у2|,
1 < у < т + 1,71,72 еБ.
Используя кривые типа развертки Пеано у(х), однозначно отображающие отрезок [0,1] на Ж-мерный гиперкуб Р
Р = {уеЕм: -2-1 < у г < 2-1, 1 < г < К} =
= {ух): 0 < х < 1},
исходную задачу можно свести к следующей одномерной задаче:
Ф(у(х*)) =
= шт{ф(Ух)): хе[0,1], ф(х)) < °, 1 <у < т}.
Рассматриваемая схема редукции размерности сопоставляет многомерной задаче с лип-шицевой минимизируемой функцией и липши-цевыми ограничениями одномерную задачу, в которой соответствующие функции удовлетворяют равномерному условию Гельдера (см. [2]), т.е.
- gjCУCx"))| < ■ - х"|1/ж, х’, х’ ’е[0,1], 1 < у < т + 1,
где N есть размерность исходной многомерной задачи, а коэффициенты К связаны с константами Липшица Ь исходной задачи соотношениями К < 4Ь/ у[м.
Различные варианты индексного алгоритма для решения одномерных задач и соответствующая теория сходимости представлены в работах [1, 4, 7].
2. Использование множественных отображений
Редукция многомерных задач к одномерным с помощью разверток имеет такие важные свойства, как непрерывность и сохранение равномерной ограниченности разностей функций при ограниченности вариации аргумента. Однако при этом происходит потеря части информации
о близости точек в многомерном пространстве, так как точка хе[0,1] имеет лишь левых и правых соседей, а соответствующая ей точка у(х)еЕм имеет соседей по 2 направлениям. А при использовании отображений типа кривой Пеано близким в Ж-мерном пространстве образам у', у'' могут соответствовать достаточно далекие прообразы х, х на отрезке [0,1]. Как результат, единственной точке глобального минимума в многомерной задаче соответствует несколько (не более 2Ж) локальных экстремумов в одномерной задаче, что, естественно, ухудшает свойства одномерной задачи.
Сохранить часть информации о близости точек позволяет использование множества отображений
Ых) = {.y1(x),•••, /(х)} (2)
вместо применения единственной кривой Пеа-но _у(х) (см. [3, 5]). Каждая кривая Пеано У(х) из У£(х) может быть получена в результате некоторого сдвига вдоль главной диагонали гиперинтервала Б. Таким образом сконструированное множество кривых Пеано позволяет получить для любых близких образов у', у'', отличающихся только по одной координате, близкие прообразы х , х для некоторого отображения У(х).
2.1. Вращаемые развертки
К числу недостатков ставшей уже классической схемы построения множественных разверток (далее будем называть их сдвиговыми развертками или С-развертками) можно отнести, во-первых, наличие дополнительного ограничения, порождающего сложную допустимую область на одномерных отрезках. А во-вторых, при построении С-разверток число разверток Ь (а следовательно, и число параллельно решаемых задач) зависело от требуемой точности е поиска решения задачи. С позиции экономии вычислительных ресурсов было невыгодно использовать число разверток большее, чем Г 1о§2(е-1)П. Например, при решении задачи с точностью 10-3 по координате целесообразно было выбирать число разверток не больше 10.
Преодолеть эти недостатки, сохранив информацию о близости точек в Ж-мерном пространстве, позволяет схема построения множественных отображений, предложенная в [8]. Отличительной чертой этой схемы является по-сторенние множества кривых Пеано не с помощью сдвига вдоль главной диагонали гиперкуба, а поворотом развертки вокруг начала координат. При этом найдется отображение У(х), которое точкам многомерного пространства у , у (при исходном отображении им соответствовали достаточно далекие прообразы на отрезке [0,1]) будет сопоставлять более близкие прообразы х , х .
Развертки, порождаемые в соответствии с новой схемой, будем называть вращаемыми развертками или В-развертками.
Максимальное число различных поворотов развертки, отображающей Ж-мерный гиперкуб на одномерный отрезок, равно 2Ж. Использование всех из них является избыточным, требуется выбрать лишь часть из всех возможных вариантов. В предложенной схеме преобразование развертки осуществляется в виде поворота на угол ±п/2 в каждой из координатных плоскостей. Число подобных пар поворотов определяется числом координатных плоскостей пространства, которое равно СN = N(N —1)/2, а общее число преобразований будет равно N(N-1). Учитывая исходное отображение, приходим к заключению, что данный способ позволяет строить до К(К-1)+1 развертки для отображения Ж-мерной области на соответствующие одномерные отрезки. При этом дополнительное ограничение, которое возникало при построении С-разверток [3], отсутствует. В случае необходимости данный способ построения множества отображений может быть легко «от-масштабирован» для получения большего (вплоть до 2Ж) числа разверток.
2.2. Параллельный индексный метод
Использование множества отображений Уь(х) = {у^х),..., У'(х)} приводит к формированию соответствующего множества одномерных многоэкстремальных задач
шт{ф(У(х)):хе[0,1], gj(У(x)) < 0,
1 <у < т}, 1 < I < Ь. (3)
Каждая задача из данного набора может решаться независимо, при этом любое вычисленное значение г = gvCy), У = уг(х ) функции gvCy) в г-й задаче может интерпретироваться как вычисление значения 2 = gvCУ ), У = _У^(х ) для любой другой 5-й задачи без повторных трудоемких вычислений функции gv(y). Подобное информационное единство позволяет решать исходную задачу (1) путем параллельного решения индексным методом Ь задач вида (3) на наборе отрезков [0,1]. Каждая одномерная задача решается на отдельном процессоре. Для организации взаимодействия на каждом процессоре создается Ь очередей, в которые процессоры помещают информацию о выполненных итерациях. Используемая схема не содержит какого-либо единого управляющего процессора, что увеличивает надежность выполняемых вычислений.
Подробное описание решающих правил параллельного индексного алгоритма глобальной оптимизации приведено в работе [9].
2.3. Развертки растущего уровня детализации
Изложенные ранее подходы, сохраняющие часть информации о близости точек в многомерном гиперкубе при отображении на отрезок, используют множественные отображения, основанные на аффинных преобразованиях (смещениях, поворотах) исходного отображения. Однако следует отметить, что потеря информации о близости точек усугубляется и вместе с ростом детализации развёртки.
Поэтому в рамках данной работы предлагается подход, основанный на построении отображений различной степени детализации. Причём предлагаемая модификация способна дополнять подходы на основе поворотов и вращений.
Модификация состоит в том, чтобы выполнять поиск сначала на «грубой» сетке и постепенно увеличивать детализацию развертки, тем самым усложняя получаемую одномерную целевую функцию ф(ут(х)) —> ф(ут+1(х)) и увеличивая предельную точность поиска. При этом необходимо определить правило перехода на следующий уровень детализации. Если рассматривать данный подход как решение последовательности задач с различным т, то очевидными условиями перехода служат:
1) достижение такой точности поиска, что при текущем т две различные точки гиперкуба сливаются в одну на отрезке;
2) остановка по общей заданной точности е для всех подзадач;
3) остановка по максимальному числу испытаний для каждой подзадачи.
Процедура перехода от задачи с порядком развёртки т к задаче с порядком развёртки т + 1 требует также пересчёта координат каждой точки испытания на отрезке и вычисления оценки константы Гёльдера для новой целевой функции ф(ут+1(х)). Из способа построения фрактального преобразования на основе кривой Пеано вытекает такое его свойство, что порядок точек испытаний на отрезке не меняется, поэтому переупорядочивание их в памяти не требуется, что существенно упрощает процедуру перехода на новый уровень детализации.
В рамках исследования данного подхода реализована версия алгоритма, которая одновременно учитывает первые два условия перехода.
Также следует заметить, что для предложенного подхода оптимальным является использование неинъективной развёртки [1]. Однако в данной работе реализован прототип, работающий на классической схеме построения отображения.
3. Реализация в программной системе Global Expert
На кафедре математического обеспечения ЭВМ ННГУ им. Лобачевского разрабатывается программный комплекс параллельной глобальной оптимизации Global Expert, одной из особенностей которого является быстрая работа с большими объёмами поисковой информации (т.е. совокупностью всех точек, в которых вычислялись функции задачи), включая собственную подсистему подкачки, учитывающую особенности алгоритмов глобального поиска.
В рамках данной работы в комплексе Global Expert реализован прототип предложенной модификации последовательного индексного метода с вращаемыми развёртками с растущим уровнем детализации. Предложенный подход дополняет не только глобальный алгоритм с вращаемыми развёртками, но и смешанный локально-глобальный метод.
4. Результаты экспериментов
При сравнении методов глобальной оптимизации, ориентированных на определённые классы задач, является актуальным вопрос выбора тестовых задач для сравнения. В литературе встречается немало различных классов липши-цевых многоэкстремальных функций для минимизации, многие из которых генерируются автоматически. Среди подобных генераторов одним из наиболее востребованных является GKLS, описанный, например, в [14] и доступный для свободного скачивания. Отличительной особенностью GKLS является прозрачный способ задания сложности генерируемых задач: количество локальных минимумов, размеры областей притяжения и многое другое. Всё это во многом определило использование GKLS в данной работе.
Для сравнения также использовался набор из 100 многоэкстремальных функций Гриша-гина [1].
4.1. Классы тестовых функций
В работе [15] для сравнения методов глобальной оптимизации описывается 6 классов
тестовых задач по 100 функций каждый. В табл. 1 приведены параметры GKLS-генератора для каждого класса. Здесь N - размерность, М -количество локальных минимумов, / - значение функции в точке глобального оптимума, ё -расстояние точки глобального оптимума от вершины базового параболоида, тг - радиус области притяжения глобального оптимума.
Таблица 1
Параметры СКЬ8-генератора для классов тестовых функций
Класс N M d rg
1-simple 2 10 -1.0 0.66 0.33
2-hard 2 10 -1.0 0.90 0.20
3-simple 3 10 -1.0 0.66 0.33
4-hard 3 10 -1.0 0.90 0.20
5-simple 4 10 -1.0 0.66 0.33
6-hard 4 10 -1.0 0.90 0.20
Область поиска [-1.0, 1.0] .
4.2. Сравнение с алгоритмами DIRECT и LBDIRECT
Известный алгоритм глобальной оптимизации DIRECT и его модификация LBDIRECT (locally-biased DIRECT) подробно описаны в [11-13], а из работы [15] использованы результаты экспериментов для приведённых классов тестовых функций для двух указанных алгоритмов, а также для исходного индексного метода глобального поиска, который также известен как алгоритм Стронгина с индексной схемой учёта ограничений (обозначим его AG, как в [13]). Введём также следующие сокращения: индексный метод с вращаемыми развёртками -AG-R, индексный метод с вращаемыми развёртками и смешанной стратегией - AG-R-mixed, индексный метод с одной развёрткой и смешанной стратегией - AG-mixed.
Как и в работе [15], здесь для каждой задачи
<р,
использовалось правило остановки
У - У
т.е. достижение известного глобального оптимума с заданной точностью. Для задач размерности N = 2, 3 использовалось р = 0.0 lVN, а
для N = 4 - р = 0.02VN
Параметры индексного метода и его модификаций: фиксированная плотность развёртки m = 10, параметр надёжности для AG-mixed равен r = 4.3, для AG-R-mixed - r = 3.2, 3.8 (в зависимости от числа развёрток). В AG-R-mixed каждая четвёртая итерация - локально-адаптивная с параметром а = 15.
В табл. 2 и 3 приведены максимальные и средние количества испытаний, затраченные методами для достижения глобального оптимума с заданной точностью. В случае, если не все 100 задач были решены, в скобках указано количество нерешённых задач. Прочерк означает неприменимость метода с указанным количе-
ством развёрток для задач слишком маленькой размерности, поскольку максимальное число развёрток в текущей реализации Ь = — 1).
Строки, выделенные жирным курсивом, содержат аналогичные данные для модификации с растущим уровнем детализации развёрток от ш = 6 до ш = 12.
Таблица 2
Сравнение AG-R-mixed и других алгоритмов в худшем случае
Класс задач N Максимальное число испытаний
Direct LB Direct AG AG-mixed r = 4.3 AG-R L = 2 r = 3.8 AG-R L = 4 r = 3.8 AG-R L = 6 r = 3.2 AG-R-mixed L = 2 r = 3.8 AG-R-mixed L = 4 r = 3.8 AG-R-mixed L = 6 r = 3.2
1-simple 2 127 165 239 207 587 - - 221 - -
461 - - 209 - -
2-hard 2 1159 2665 938 90000 (2) 90000 (2) - - 90000 (1) - -
1396 - - 677 - -
3-simple 3 1179 1717 3945 1287 3505 5330 4276 1301 961 1013
3846 1029
4-hard 3 77951 85931 26964 90000 (2) 11672 15057 18535 7513 9025 90000 (1)
12370 11181
5-simple 4 90000 (1) 90000 (15) 27682 9684 31611 36551 17399 7057 5221 9697
23753 5016
6-hard 4 90000 (43) 90000 (65) 90000 (1) 82923 90000 (2) 90000 (2) 90000 (3) 90000 (2) 61613 81081
71519 90000 (1)
Таблица 3
Сравнение AG-R-mixed и других алгоритмов в среднем
Класс задач N Максимальное число испытаний
Direct LB Direct AG AG-mixed r = 4.3 AG-R L = 2 r = 3.8 AG-R L = 4 r = 3.8 AG-R L = 6 r = 3.2 AG-R-mixed L = 2 r = 3.8 AG-R-mixed L = 4 r = 3.8 AG-R-mixed L = 6 r = 3.2
1-simple 2 68.1 70.7 90.1 82.3 198.1 - - 94.4 - -
170.0 - - 93.7 - -
2-hard 2 208.6 304.3 333.1 1968.1 2168.7 - - 1080.0 - -
388.5 - - 186.4 - -
3-simple 3 238.1 355.3 817.7 380.2 1359.1 1963.9 1239.7 346.7 370.5 336.8
1150.1 328.9
4-hard 3 5857.2 9990.6 3541.8 3809.6 4483.3 5652.7 4125.5 1798.9 1689.8 2543.1
3758.9 2012.4
5-simple 4 >12206 >23452 3950.4 1644.1 4179.2 5752.7 3470.0 1387.5 1536.1 1315.6
3463.8 1531.1
6-hard 4 >57333 >65326 >22315 19788 >24038 >27548 >28791 >18642 16416.1 16934.9
21311 >18082
Полученные данные показывают в целом превосходство методов с растущим уровнем детализации против фиксированного уровня. Заметим, однако, что подбор одинакового для всех классов задач параметра надёжности г затруднён: 2-й, 4-й и 6-й классы задач порой ре-
шаются на 98-99%, а для одной-двух оставшихся задач небольшое варьирование г приводит к их решению. Здесь намеренно не приводятся результаты такого варьирования, хотя в результатах, взятых из [15], такое варьирование присутствует.
4.3. Операционные характеристики
Для более полного сравнения методов может быть использован аппарат операционных характеристик, предложенный В.А. Гришагиным [1]. Операционная характеристика метода - это кривая, показывающая зависимость числа решённых задач из определённого класса от числа испытаний.
Рисунок 1 показывает операционные характеристики, построенные на функциях Гришаги-на (размерность которых N = 2), для последовательного глобального метода с фиксированным и растущим уровнями детализации, изображённые пунктирной и сплошной линиями соответственно.
Рис. 1. Операционные характеристики на функциях Гришагина
З-simple
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
А / г .—
f
1
1 /
У
/ ,/
/
( f /
_/ —*
----р=6 (max 166)----------р=2 (max 604).........p=1 (max 1145)
4-hard
100
90
80
70
60
50
40
ЗО
20
10
0
Л г" /-—■
( ' —- 1
Ґ
J
I J / 1
/ /
/ /
f і
( / >
---р=6 (max 1489)---р=2 (max 3084)---p=1 (max 5853)
Рис. 2. Операционные характеристики на задачах, порождённых GKLS-генератором (N = 3)
Значительная часть операционной характеристики для метода с растущим уровнем детализации лежит выше и левее, что убедительно доказывает эффективность предложенного подхода: при решении 100% задач (верхние точки операционных характеристик) выигрыш по числу испытаний составляет 604/335 = 1.8 раза.
Для оценки эффективности параллельного индексного метода используются задачи большей размерности, чтобы использовать больше вычислительных ядер (М(Ж - 1)): это классы задач, порождённые GKLS-генератором и описанные выше, размерности N = 3 и N = 4.
На рис. 2 приведены операционные характеристики последовательного и параллельного индексного метода со смешанной локальноглобальной стратегией.
Указанное расположение кривых показывает, что параллельный индексный метод обеспечивает в среднем значительно более быстрое получение оценок, лежащих в заданной окрестности решения, чем его последовательный прототип.
Для последовательного метода число итераций к совпадает с количеством испытаний К, а при применении параллельной версии К &к-Ь.
Отметим, что оценка по итерациям косвенно характеризует выигрыш по времени от применения параллельных реализаций. Таким образом, для 6 процессов выигрыш по времени на классе функций 3-Б1шр1е (при условии правильного решения всех задач) примерно равен 6.9 раза, а на классе 4-Ьагё - 3.9 раза.
Дадим оценки избыточности. Анализируя результаты для класса 3-Б1шр1е, можно оценить общее количество вычислений функций, выполненных параллельной версией, исходя из общего числа итераций (оно составило 166), необходимого для решения 100% задач. Общее число измерений функции (в худшем случае) при этом оценивается как 166Ь = 996 на задачу. При этом для полного решения всех задач в худшем случае последовательной версии потребовалось 1145 итераций. Таким образом, коэффициент избыточности по количеству испытаний при Ь = 6 за счет параллелизма может быть оценен как 996/1145 = 0.87. Аналогичный способ оценивания для второго эксперимента (4-Иагё) дает оценку избыточности равную 1489Ь/5853 = 1.53.
Заключение
В рамках работы реализован прототип модификации последовательного индексного метода с вращаемыми развёртками, смешанной
локально-глобальной схемой и растущим уровнем детализации развёрток. Проведено исследование эффективности предложенной модификации по сравнению с фиксированным уровнем детализации как для глобального, так и для смешанного локально-глобального методов. Результаты наглядно подтверждают ускорение сходимости в обоих случаях.
Построены экспериментальные оценки эффективности параллельного индексного метода со смешанной локально-глобальной стратегией.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-07-97017-р_поволжье_а).
Список литературы
1. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. (Информационно-статистические алгоритмы). М.: Наука, 1978.
2. Стронгин Р.Г. Поиск глобального оптимума. М.: Знание, 1990.
3. Стронгин Р.Г. Параллельная многоэкстремальная оптимизация с использованием множества разверток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 8. С. 1173 -1185.
4. Стронгин Р.Г., Баркалов К.А. О сходимости индексного алгоритма в задачах условной оптимизации с s-резервированными решениями // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1999. С. 273-288.
5. Strongin R.G., Sergeyev Ya.D. Global optimization with non-convex constraints. Sequential and parallel algorithms. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.
6. Баркалов К.А., Стронгин Р.Г. Метод глобальной оптимизации с адаптивным порядком проверки
ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 9. C. 1338-1350.
7. Баркалов К.А. Ускорение сходимости в задачах условной глобальной оптимизации. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2005.
8. Баркалов К.А., Рябов В.В., Сидоров С.В. Использование кривых Пеано в параллельной глобальной оптимизации // Материалы Девятой Международной конференции-семинара «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах». Владимир, 2009. С. 44-47.
9. Стронгин Р.Г., Гергель В.П., Баркалов К.А. Параллельные методы решения задач глобальной оптимизации // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 10. С. 25-32.
10. Баркалов К.А., Рябов В.В., Сидоров С.В. Масштабируемые параллельные алгоритмы глобальной оптимизации со смешанной локально-глобальной стратегией // Материалы Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии 2010». Уфа, 2010. С. 402-409.
11. Jones D.R., Perttunen C.D., Stuckman B.E. Lip-schitzian optimization without the Lipschitz constant // J. Optimization Theory and Applications. 1993. N. 79. P. 157-181.
12. Gablonsky M.J. Modifications of the DIRECT Algorithm // Ph. D. Thesis. North Carolina State University, Raleigh, 2001.
13. Gablonsky M.J., Kelley C.T. A locally-biased form of the DIRECT Algorithm // J. Global Optimization. 2001. V. 21. P. 27-37.
14. Gaviano M., Kvasov D.E., Lera D., Sergeyev Ya.D. Software for generation of classes of test functions with known local and global minima for global optimization // ACM TOMS. 2003. V. 29, N. 4. P. 469480. [http://si.deis.unical.it/~yaro/GKLS.html]
15. Lera D., Sergeyev Ya.D. Lipschitz and Holder global optimization using space-filling curves // Applied Numerical Mathematics. January 2010. V. 60. N. 1-2. P. 115-129.
PARALLEL GLOBAL OPTIMIZATION ALGORITHMS AND THE USE OF EVOLVENTS WITH
GROWING LEVEL OF DETAILS
S.V. Sidorov, V.V. Ryabov
This paper continues the development of information-statistical approach to minimization of multi-extremal functions with nonconvex constraints called the global optimization index method. The method reduces the solution of multi-dimensional problems to that of equivalent one-dimensional ones. The reduction is based on single-valued Peano curves mapping a unit interval on the real axis onto a hypercube. The scheme of building a set of Peano curves («rotated evolvents») is also used which can be effectively applied to the problem solution on a cluster with tens and hundreds of processors. The main attention is paid to the application of evolvents with different levels of details to accelerate the convergence rate of the parallel algorithm.
Keywords: global optimization, index method, parallel programming, Peano curves.
