Параллельная передача двоичных сообщений линейно независимыми сигналами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.84.6.007

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЕРЕДАЧА ДВОИЧНЫХ СООБЩЕНИЙ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫМИ СИГНАЛАМИ

Научная статья

Вершинин В.А. *

ORCID: 0000-0002-0803-0680, Рыбинский государственный авиационный технический университет, Рыбинск, Россия

* Корреспондирующий автор (vershinin-vladimir[at]yandex.ru)

Аннотация

В статье рассматривается параллельная передача двоичных сообщений. Перед передачей двоичное сообщение делится на блоки. Элементы блоков поступают для передачи одновременно и передаются с использованием элементарных сигналов одинаковой длительности. Таким образом, сигналы, соответствующие элементам каждого блока, полностью перекрываются во времени. Проанализированы удельные затраты полосы частот, пик-фактор и помехоустойчивость передачи. Использование линейно независимых сигналов по сравнению с ортогональными сигналами позволяет получить приемлемые удельные затраты полосы частот при меньшем числе элементарных сигналов и, соответственно, меньшем пик-факторе. Однако при этом ухудшается помехоустойчивость. Применение ортогональных сигналов по сравнению с линейно независимыми сигналами позволяет получить существенно лучшую помехоустойчивость независимо от числа элементарных сигналов. Приведены ортогональные сигналы, которые по сравнению с синусоидальными ортогональными сигналами позволяют получить приемлемые удельные затраты полосы частот при меньшем числе элементарных сигналов.

Ключевые слова: параллельная передача, линейно независимые сигналы, ортогональные сигналы, полоса частот, помехоустойчивость, пик-фактор.

PARALLEL TRANSFER OF BINARY COMMUNICATIONS BY LINEAR INDEPENDENT SIGNALS

Research article

Vershinin V.A. *

ORCID: 0000-0002-0803-0680, Rybinsk State Aviation Technical University, Rybinsk, Russia

* Corresponding author(vershinin-vladimir [at] yandex.ru)

Abstract

The article discusses the parallel transfer of binary messages. Before transmission, the binary message is divided into blocks. Block elements are transmitted simultaneously and transmitted using elementary signals of the same length. Thus, the signals corresponding to the elements of each block completely overlap in time. The specific cost bandwidth, peak factor, and noise immunity of the transmission were analyzed. The use of linearly independent signals in comparison with orthogonal signals allows obtaining acceptable specific costs of the frequency band with a smaller number of elementary signals and, accordingly, a smaller peak factor. However, this deteriorates the noise immunity. The use of orthogonal signals in comparison with linearly independent signals allows obtaining significantly better noise immunity regardless of the number of elementary signals. Orthogonal signals are given which, in comparison with sinusoidal orthogonal signals, make it possible to obtain acceptable unit costs of a frequency band with a smaller number of elementary signals.

Keywords: parallel transmission, linearly independent signals, orthogonal signals, frequency band, noise immunity, peak factor.

Введение

В последнее время уделяется внимание параллельной передаче информации на основе технологии OFDM [1] . Технология используется в зарубежных стандартах DVB-S2, DVB-T2, DVB-C2, IEEE 802.11 и в российском стандарте [2]. Метод параллельной передачи данных с помощью OFDM заключается в использовании большого количества ортогональных синусоидальных сигналов, передача на которых ведется одновременно. Прием ведется на основе ортогонального разделения сигналов. Необходимо отметить, что основы теории линейного (в том числе ортогонального) уплотнения и разделения сигналов разработаны советским ученым Д.В.Агеевым [3], [4], [5].

Рассмотрим параллельную передачу двоичных сообщений с помощью ортогональных синусоидальных сигналов. При этом под двоичным сообщением будем понимать последовательность элементов, предназначенных для передачи. Элемент сообщения может принимать два значения. При параллельной передаче двоичное сообщение делится на блоки. Блок содержит L элементов. Элементы блока поступают для передачи одновременно и передаются с использованием L элементарных сигналов длительностью T. Таким образом, сигналы, соответствующие элементам каждого блока, полностью перекрываются во времени. Прием ведется на основе ортогональности элементарных сигналов. Определим на интервале времени - T/2 < t < Tj2 множество ортогональных синусоидальных сигналов

следующего вида:

vi(t) = V2cos2п(К + i)t/T ; wt (t) = V22sin2n(K + i)t/T; i = 0,1,..., l/2 -1 (1)

Здесь K - целое положительное число, определяющее расположение полосы частот, занимаемой сигналом на выходе модулятора; значение L предполагается четным.

Сигнал на выходе модулятора на интервале от — Т/ 2 до Г/ 2 передачи блока

Ь/2—1 1/2—1

у(0 = Е (0+ Е (0

г = 0 г=о

(2)

Здесь предполагается, что блок передаваемых элементов делится пополам. При этом а^ принимает значение А или -А в зависимости от значения г-го элемента первой половины блока, а Ьг принимает значение А или -А в зависимости

от значения г-го элемента второй половины блока. Энергия сигнала ($) или Ь^М>1 ($) определяется как

Т/2 Г/ 2

Wэ = ¡[ам (/)]2Сг = \[Ьм (г)]2Ж = А2Т, энергия сигнала (2) равна

—Т/2 —Т/2

W = ЬМГЭ = ЬА2Г.

Определим полосу частот, занимаемую сигналом (2). Этот сигнал в общем случае является случайным сигналом. Будем считать элементы двоичного сообщения независимыми случайными величинами, принимающими два значения с равной вероятностью. Полосу частот Р, занимаемую сигналом определим, исходя из спектральной плотности мощности этого сигнала У (/), где / - частота. При этом будем считать [6], что в полосе частот Р должно быть

сосредоточено 99% средней мощности сигнала Р. Тогда

Р = /2 — /1

(3)

где /1 и /2 - нижняя и верхняя граничные частоты определяются из выражений: ¡у(/= о 005Р;

|У(/)С/ = 0.005Р; Р = |У(/)С/.

/ 0

Спектральная плотность мощности сигнала (2)

Ь/2—1 1/2—1

У (/)= Е Уь (/) + ЕУ2г (/)

1=0 г=0

(4)

где [7] Уи (/)=V (/)12; Уъ (/ )=Wi (/)

2 •

V (/ ) =

Т/ 2

| (гУ 21ф сН

— Г/ 2

У2/Т 2 а\п{ж(Т) ; ^ (/) =

(/Т )2 —(г — К )2 ]

Г/ 2

} ^ (г )е-2^ Лг

—Г/ 2

_ 42Т(г + К^т(п/Т

п

(/Г )2 —(г + К )2

С использованием (4) получена зависимость У(/) при К = 30 для Ь = 64 , приведенная на рис. 1 в нормированном виде.

со

а.04[-г

П-1-Г

Т-1-Г

0.03 -

Г/Ж

0.02-

оо:

11 ^ Ц ■. ч V' МЛЫ г1.- ИЛ Л1Л*, I, I

\_I_I_I.

-1_1_

0 10 20 30 40 50 <50 70 30 90 100

/Г

35

Рис. 1 - Нормированная зависимость Y (/) для L = 64

Полосу частот F, занимаемую сигналом (2), вычислим при K = 30 для значений Ь = 64 и L = 128, эта полоса равна соответственно 34.78/Т и 64.67/Т. Удельные затраты полосы, определяемые как , где Я = Ь/Т - скорость передачи информации (бит/с), равны соответственно 0.543 и 0.505. Определим пик-фактор сигнала (2) как отношение максимального значения сигнала к VР. Тогда значениям Ь = 64 и Ь = 128 соответствует пик-фактор 7.9 и 11.

Оценим помехоустойчивость параллельной передачи при использовании ортогональных сигналов. Будем полагать, что на сигнал (2), в линии связи воздействует аддитивная помеха п() в виде белого шума с односторонней спектральной плотностью мощности N. Тогда на входе демодулятора на интервале — Т/2 < t < Т/2 имеет место сигнал

г ( ) = у({)+ п( ) (5)

Демодулятор принимает решение о переданных значениях üj и по следующему алгоритму, реализующему правило максимального правдоподобия [8]:

' 1 T/2

= A при— J z(t )vi (t )dt > 0,

T -Т/ 2

1 t 12

ai = - A при— J z (t )vi (t )dt < 0,

T -Tj 2 1 T/2

bi = A при— J z(t W (t )dt > 0,

T -Tj 2 1 T/2

bt = - A при— J z(t )wl (t )dt < 0.

T -Tj 2

С учетом (5) и ортогональности сигналов (1)

1 T/2 i T/2 1 Tj2 1 T/2

T J z(t)Vj (t)dt = - Jy(t)Vj (t)dt + T Jn{t)vi (t)dt = at + - Jn{t)vi (t)dt,

T -T/2 T -T/2 T -T/2 T -T/2

1 T/2 1 T/2 1 T/2 1 T/2

T Jz(t)Wj (t)dt = T Jy(t)w (t)dt + T Jn(t)wj (t)dt = b + T Jn(t)wi (t)dt.

T -T/2 T -T/2 T -T/2 T -T/2

i T/2 1 T/2

Здесь_ Jn(t)v (t)dt и_ Jn(t)w■ (t)dt являются случайными величинами, распределенными по нормальному

T -т/ 2 T -T/2

N

закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 5 = —— E, где

2T

1 T/2 1 T/2

E = _ J [v (t)]2 dt = — J [w (t)]2 dt = 1 • Тогда вероятность ошибки при приеме элемента сообщения

T -T¡2 T -Т/2

^ =1 - F I:75 J=1 - F

2 A2T

N

= 1 - F

N

= 1 - F

(4Ü2)

(6)

где р(х)=(^2Л)|ехр(— у2/2)су; Ь2 = Wэ/N.

Определим теперь на интервале времени — Г/2 < г < Г/2 множество линейно независимых сигналов следующего вида:

с1 (г) = сов2п(К + г )г/Т + сов2п(К + г + 1)г/Т;

(г)=8т 2п(к + г )г/т + вш 2п(к + г + 1)г/т; г = 0,1,2.., ь/ 2—1

(7)

Различные сигналы с, (?) множества линейно независимы, различные сигналы (г) тоже линейно независимы, а любые пары сигналов Сг- (?) и (г) ортогональны. На рис. 2 и рис. 3 в нормированном виде показан сигналы С0 (г) и ^0 (г) соответственно при К = 5.

Са 0

Рис. 2 - Нормированный сигнал С0 (г)

Рис. 3 - Нормированный сигнал 80 (г)

В [9] рассматривалось использование для параллельной передачи множества ортогональных сигналов, полученных из сигналов (7) с помощью процедуры Грамма - Шмидта:

V, (г ) = -

(г + 1)сов[2п(К + г + 1>/Г ] + Е {(— 1)1 сов[2п(К + г — 1 >/Г ]}

1=0

4(1 +1)(/ + 2)/ 2 37

—<х>

8

w

(. + 1)яп[2п(К +1 + 1>/Т] + £ {-1)7 81Й[2П(К +1 - 7>/Т]}

7=0 .

+1)('' + 2)/ 2

/ = 0,1,2 ..., ь/2 -1. (8)

При К = 10 для значений Ь = 32 и Ь = 64 удельные затраты полосы равны соответственно 0.539 и 0.516, пик-фактор 5.7 и 7.8. Оценка помехоустойчивости - по формуле (6)

Целью данной работы является исследование эффективности непосредственного использования для параллельной передачи линейно независимых сигналов (7).

Использование линейно независимых сигналов

Сигнал на выходе модулятора на интервале передачи блока от - Т/ 2 до т/ 2

Ь/ 2-1 Ь/2-1

Я0= £ (0+ £(0 (9)

.=0 г=0

Коэффициенты к. (. = 0,1, 2 ..., Ь/2 -1) вводятся для получения одинаковой вероятности ошибки при приеме элементов блока, эти коэффициенты зависят от значения Ь. При Ь = 8 выбирается ^ = 0.894, к = 1.095, к2 = 1.095, к3 = 0.894. При Ь = 16 выбирается к0 = 0.730, к1 = 0.966, к2 = 1.095, к3 = 1.155,к4 = 1.155, к5 = 1.095, к6 = 0.966, к7 = 0.730. О выборе коэффициентов будет сказано ниже.

Определим полосу частот, занимаемую сигналом (9), используя (3). Спектральная плотность мощности сигнала

Ь/2-1 Ь/2-1

г(/)= £Уц (/)+ £ ^ (/) (10)

г=0 г=0

2к2 Л2

2к2 Л2

Т/ 2

где 4 (/) = -^|Сг (/)| ; Г» = (/)|с (/ )= | с (г У2**

Т

спектральная

-Т/2

Т/ 2

плотность сигнала с^ (^) ; £г- (/) = | (^)е-7 С - спектральная плотность сигнала Д. (?). С учетом (7)

-Т/2

Ги (/ )=

Л2 к }Т

2

б1П п(/Т - К -.) Б1П П(Т + К + .)

+

п (/Т - К-.) п(/Т + К + .)

+

8Ш п (/Т - К -/-1) 8Ш ж (/Т + К +/ + 1)' ж (/Т - К-/-1) ж (/Т + К + / +1)

^ (/ ) =

Л2к2Т ГБ1Пж(/Т - К -.) Б1Пж(/Т + К + .)

2

_ ж(/Т - К-.) ж(/Т + К + .)

+

+

8Шж(/Т - К -.-1) - 8ШЖ(/Т + К +/ + 1)" ж (/Т - К -1 -1) п (/Т + К + / +1)

2

х ¿/2-1 ? _ .

Средняя мощность р = |у= 2Л2 У к2 • Выбор коэффициентов К(I = 0,1, 2 ..., Ь/2 — 1), в частности,

0 1=0 Ь/ 2—1 Т 2 2

осуществляется так, что у к2 = — • Тогда Р = ЛЬ, средняя энергия сигнала (9) Ж = Л ТЬ . Средняя энергия

¿-г 1 2

1=0 2

сигнала (9), приходящаяся на элемент передаваемого сообщения ^ = ^ = Л2Т • Полностью выбор коэффициентов

3 Ь

будет пояснен ниже.

С использованием (10) получена зависимость у (/) при К = 5 для Ь = 8, приведенная на рис. 4 в нормированном виде.

2.5|-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

и

ТЯГ

0.5-

J_I_I___I

]___I_I_I_I_|_

0 1 2 5 4 5 6 7 3 9 10 11 12 14 15 16

/Т

Рис. 4 - Нормированная зависимость у (/) для Ь = 8

При К = 5 для значений Ь = 8 и Ь = 16 полоса частот, занимаемая сигналом (7) равна соответственно 4.86/ Т, 8.41 Т; удельные затраты полосы 0.607 и 0.526; пик-фактор 4.1 и 5.5.

Перейдем к организации приема сигнала (9). Используя методику, приведенную в [10], определим взаимный базис

1 Ь1*—1„,\ . . 1 Ь 2—1

для сигналов (7) в виде: у^ (1) = — у ХуС ■ (/) и (1) = — У ХуЯ ■ (/) соответственно. Здесь Xу - элементы

1 к ■=0 у ■ 1 4 ' "

к1 у=0

1 Т/2 1 Т/2

матрицы X обратной по отношению к матрице К с элементами Яу = — | с^ (/)с^ (= — | Я (/)яу (/.

—Т/ 2

Т

—Т 2

При Ь = 8:

у0 (1) = [Х 00 с0 () + Х 01С1() + Х 02 с2 () + Х 03 с3 ()У к0

V 0) = [Х10С0 () + Х11С1 ^) + Х12С2 ^) + Х13С3 ()Ук1 ^2 (') = [Х20с0 (1) + Х21 с1) + Х22с2 () + Х2зсз (Г)]/к2

^3<

V, ( 0 = [Х20с0 (0 + Х21^ й + Х22с2 ^ + Х2зсз (г)]/к2 Уз ( 0 = [Х30с0 (1) + Х31 с1 (1) + Х32с2 (1) + Х33сз (г)Ук

3

^0 ( 0 = [Х00 Я0 (0 + Х01Я(0 + Х02 Я2 (0 + Х03 к

0

w w w

1( О = [Х 10Я0 (0 + Х11Я1 (0 + Х12Я2 (0 + Х13Я3 к1

( 0 = [Х20 Я0 (1) + Х 21Я (1) + Х22 Я2 (1) + Х 23^3 (^ к2

3'

(0 - [Х30Я0 И + Х31Яй + Х32Я2 й + Х33Я3 ЙУк

где независимо от К

X =

1.6 -1.2 0.8 - 0.4

-1.2 2.4 -1.6 0.8

0.8 -1.6 2.4 -1.6

-0.4 0.8 -1.6 1.6

Сигналы Vj (t) и Wj (t) обладают следующими свойствами:

1 T/2 1 Г/2

- j y(t)vi (t)dt = , - j y(t)Wj (t)dt = b (11)

1 -T/2 1 -T/2

На основании этих свойств осуществляется прием блока элементов двоичного сообщения. На рис. 5 показан в нормированном виде сигнал Vo (t) , а на рис. 6 - сигнал Wo (t) при K = 5 и L = 8.

Рис. 5 - Нормированный сигнал Vo (t)

Рис. 6 - Нормированный сигнал Wo (^)

Оценим помехоустойчивость передачи при использовании линейно независимых сигналов. Будем полагать, что на сигнал (9), в линии связи воздействует аддитивная помеха п() в виде белого шума с односторонней спектральной плотностью мощности N. Тогда на входе демодулятора на интервале - Т/2 < t < Т/2 имеет место сигнал

Ж )= у( )+ П^) (12)

Демодулятор принимает решение о переданных значениях а. и Ь. по следующему алгоритму:

Т/ 2

ai = Л при— |z(tУ(/^ >0,

Т —Т/ 2 1 Т/2

ai =— Л при - | z(tУ (^ < 0,

1 —Т/ 2

1 Т/ 2

Ь = Л при - | z(t К (1 > 0,

Т —Т/ 2 ! Т/ 2

ь =— Л при - |z(1 К- (1 < 0.

. Т —Т/ 2

С учетом (11) и (12)

1 Т/2 1 Т/2 1 Т/2 1 Т/2

- | z(t)у (1)^ = - | у(0у (1)^ + - | п(0у (1)Ж = «1 + - | п(1)у (1)^,

Т —Т/2 Т —Т/2 Т —Т/2 Т —Т/2

1 Т/2 1 Т/2 1 Т/2 1 Т/2

1 I z^ (0^ = Т | (1 +1 | п(1 К (1 = Ь + - | п(1 К (№.

Т

—Т 2

■Т/2

Т

—Т/2

Т

■Т/2

1 Т12 1 Т/2 Здесь— | п(1 У (1 )& и_ | п(1 К (1 являются случайными величинами, распределенными по

Т

■Т/2

~Т/2

N

нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией б = Е , где

1 2Т 1

1 Т/2 1 Т/2

Е1 = — | [у, (1 )]2 & = — | [к, (1 )]2 &. Выбор К1, прежде всего, осуществляется так, что

Т —Т/2 Т —Т/2

Е0 = Е1 = Е2 = ... = Ец2 —1 = Е . Кроме того, для удобства изложения на выбор накладывается

Ь/2—1 Т N

: - . 2 Ь . При этом = Б = Б =... = Бт!, , = Б =-

2Т

непринципиальное условие: у к2 = Ь. При этом Б0 = Б = = ... = Бц/2—1 = Б = Е.

1=0

2

Тогда вероятность ошибки при приеме элемента сообщения

(13)

где Л2 = N - отношение энергии сигнала у(), приходящейся на элемент передаваемого сообщения, к спектральной плотности мощности помехи.

При Ь = 8 и Ь = 16 значение Е = 2 и Е = 3.333 соответственно. Тогда (13) запишется в виде: рэ = 1 — ^ (л/Л2)

для Ь = 8 и рэ = 1 — ^(д/0.6Л2 ) для Ь = 16. На рис. 6 показана зависимость рэ от Л2 при Ь = 8 (красная линия) и

Ь = 16 (синяя линия); черной линией показана зависимость рэ от Л согласно (6) при использовании ортогональных сигналов вида (1) или (8).

0.1 0.01 1x10" 3 1*1(Г4 1*10"5 1*10"6 1*10" 7 i*io_8

1x10" 5

\

х:

Рис. 6 - Зависимости вероятности ошибки от h2

Заключение

Использование линейно независимых сигналов по сравнению с ортогональными сигналами позволяет получить приемлемые удельные затраты полосы частот при меньшем числе элементарных сигналов и, соответственно, меньшем пик-факторе. Однако при этом ухудшается помехоустойчивость.

Применение ортогональных сигналов по сравнению с линейно независимыми сигналами позволяет получить существенно лучшую помехоустойчивость независимо от числа элементарных сигналов.

Использование ортогональных сигналов (8) по сравнению с ортогональными сигналами (1) позволяет получить приемлемые удельные затраты полосы частот при меньшем числе элементарных сигналов и, соответственно, меньшем пик-факторе.

Не указан.

Конфликт интересов

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

1. Технология OFDM : учебное пособие для вузов / М.Г. Бакулин, В.Б. Крейнделин, А.М. Шлома, А.П. Шумов.-М.: Горячая линия - Телеком, 2017.- 352 с.

2. ГОСТ Р 54309-2011. Аудиовизуальная информационная система реального времени (РАВИС). Процессы формирования кадровой структуры, канального кодирования и модуляции для системы цифрового наземного узкополосного радиовещания в ОВЧ диапазоне. Технические условия.- Введ. 2012-09-01.- М.: Стандартинформ, 2012.- 43 с.

3. Агеев. Д.В. Основы теории линейной селекции / Агеев. Д.В. // Научно-техн. сб. Ленингр. электротехн. ин-та связи.- 1935.- N 10.

4. Агеев Д.В. Линейные методы селекции и проблема пропускной способности эфира: дис. ... канд. техн. наук/ Агеев Дмитрий Васильевич.- Ленинград, 1937.

5. Агеев Д.В. Новый метод многоканального телеграфирования: дис. ... доктора техн. наук/ Агеев Дмитрий Васильевич.- Ленинград, 1940.

6. Скляр Бернард. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. 2-е изд.: Пер. с англ.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.- 1104 с.

7. Сергиенко А.Б. Цифровая связь: Учеб. пособие / Сергиенко А.Б.. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012.- 164 с.

8. Теория электрической связи: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; под ред. Д.Д. Кловского. - М. : Радио и связь, 1998.- 432 с.

9. Vershinin V.A. The transmission of binary messages special special biorthogonal signals / Vershinin V.A. // Eastern European Scientific Journal.- 2015.- N4.- URL: http:// www.auris-archiv.de/mediapool/99/990918/data/D0I_10.12851_EESJ201508.pdf

10. Дядюнов Н.Г. Ортогональные и квазиортогональные сигналы / Дядюнов Н.Г., Сенин А.И. А.М. Тарасенко.-М.: Связь, 1977.- 224 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Tekhnologiya OFDM: uchebnoye posobiye dlya vuzov [OFDM technology: textbook for universities]/ M.G. Bakulin. V.B. Kreyndelin. A.M. Shloma. A.P. Shumov.- M.: Goryachaya liniya - Telekom. 2017.- 352 p. [in Russian]

2. GOST R 54309-2011. Audiovizualnaya informatsionnaya sistema realnogo vremeni (RAVIS). Protsessy formirovaniya kadrovoy struktury. kanalnogo kodirovaniya i modulyatsii dlya sistemy tsifrovogo nazemnogo uzkopolosnogo radioveshchaniya v OVCh diapazone. Tekhnicheskiye usloviya [Realtime audiovisual information system (RAVIS). Framing structure, channel coding and modulation for digital terrestrial narrowband broadcasting system for VHF band. Technical specification].- Vved. 2012-09-01.- M.: Standartinform. 2012.- 43 p. [in Russian]

3. Ageyev. D.V. Osnovy teorii lineynoy selektsii [Fundamentals of the theory of linear selection] / Ageyev. D.V. // Nauchno-tekhn. sb. Leningr. elektrotekhn. in-ta svyazi [Scientific and technical collection of Leningrad electrotechnical Institute of communications].- 1935.- N 10. [in Russian]

4. Ageyev D.V. Lineynyye metody selektsii i problema propusknoy sposobnosti efira [Linear selection methods and the problem of ether throughput]: dis. ... of PhD in Engineering / Ageyev Dmitriy Vasilyevich.- Leningrad, 1937.

5. Ageyev D.V. Novyy metod mnogokanalnogo telegrafirovaniya [New method of multichannel telegraphy]: dis. ... of PhD in Engineering / Ageyev Dmitriy Vasilyevich.- Leningrad, 1940. [in Russian]

6. Sklyar Bernard. Tsifrovaya svyaz. Teoreticheskiye osnovy i prakticheskoye primeneniye. 2nd edition: Per. s angl.- M.: Publishing house «Viliams». 2003.- 1104 p. [in Russian]

7. Sergiyenko A.B. Tsifrovaya svyaz: Ucheb. Posobiye [Digital communication: a tutorial]. SPb.: Publishing house SPbGETU «LETI». 2012.- 164 p. [in Russian]

8. Teoriya elektricheskoy svyazi: Uchebnik dlya vuzov [Theory of telecommunications: the Textbook for high schools] / A.G. Zyuko, D.D. Klovskiy, V.I. Korzhik, M.V. Nazarov; edited by D.D. Klovskogo. - M. : Radio i svyaz. 1998.- 432 p. [in Russian]

9. Vershinin V.A. The transmission of binary messages special special biorthogonal signals / Vershinin V.A. // Eastern European Scientific Journal.- 2015.- N4.- URL: http:// www.auris-archiv.de/mediapool/99/990918/data/DOI_10.12851_EESJ201508.pdf

10. Dyadyunov N.G. Ortogonalnyye i kvaziortogonalnyye signaly [Orthogonal and quasi-orthogonal signals] / Dyadyunov N.G.. Senin A.I., A.M. Tarasenko.- M.: Svyaz, 1977.- 224 p. [in Russian]