Параллелльная стохастическая оптимизация Текст научной статьи по специальности «Математика»

посильна существованию в точке 2 = 1 радиальных производных любого порядка у соответствующего степенного ряда.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кузнецов В.И. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Теория функций и приближений: Гр. 3-й Capar, зимней шк. Саратов: Изд-во Capar. ун-та, 1988.4. 2. С. 113 115.

2. Кузнецов ВН. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостное™ композита рядов Дирихле // Теория функций и приближений: Тр. 4-й Сарат. зимней шк. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 1989. Ч. 1. С. 147- 149.

3. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции //Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та. 1991. Вып. 9. С. 23 - 29.

4. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К вопросу о целостности композита 1. -функций числовых нолей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межиуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 31- 43.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В статье рассматривается задача максимизации функционала

при ограничениях u¡(£)¡)+v¡(£l¡)<h¡(^¡\ ¿=1,2, где ~ независимые

случайные величины, £,, имеет плотность />,(•), сосредоточенную на отрезке функции /,(■), £,■(■), /!;(•) положительны и непрерывны, £ =1,2. Функционал такого типа можно интерпретировать как общее количество продукции двух типов (при соблюдении комплектности), выпускаемой двумя производителями, каждый из которых имеет свою информацию о случайных факторах, характеризующих условия производства. Задачи такого типа относятся к задачам параллельной стохастической оптимизации [1].

Данная вариационная задача сводится к экстремальной задаче максимизации дифференцируемой функции одной переменной на отрезке. Кроме того, указан явный вид оптимальных управлений.

Очевидно, оптимальные управления должны удовлетворять условиям 1>/(£,/)= ¿=1,2. Учитывая это и сделав замену переменных, можно преобразовать исходную задачу к задаче максимизации функционала

//[сх1(-),<х2()] = 50

при ограничениях

-ífOWOstfQ '"=1.2, (2)

где все функции положительны и непрерывны, F¡(•) + G¿ (•) = 1, / = 1,2.

В дальнейшем везде, где встречаются индек-сы /, j предполагается, что i=l,2, j = 1,2, i * j.

I'liOPEMA 1. Управления а,(), доставляющие максимум функционалу (1) при ограничениях (2), обладают следующими свойствами:

V*y e[ay>by](p{a,fe)> ау(*у> > G^.jv ау(*у)= (3)

V-t, 6[a j,bj](/>{а,fe)< а,(х-)} > F,(x¡)v ау(жу)= t)(Xj)). (4)

С использованием данных условий оптимальности можно получить следующие результаты.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции F,(), t¡ (•) являются возрастающими, функции í¿~() - неубывающими, причём при всех х, е[а;,Ь,] F¡(x¡)>j.

Тогда среди управлений, доставляющих максимум функционалу (1) при ограничениях (2), есть неотрицательные неубывающие.

Замечание. В дальнейшем условия теоремы 2 считаются выполненными, и в качестве а,( ) рассматриваются только неотрицательные неубывающие функции.

Обозначим функцию распределения случайной величины через Я, (), / = 1,2.

ТЕОРЕМА 3. Пусть система уравнений //,(*,)= F2(x2) F\(x,)=H2{X2)

имеет не более чем конечное число решений. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если от уровня сь до уровня с2 оптимальные управления aj(-) и

а2() непрерывно возрастают, то при всех се[с,,с2) или af'(c)= г,(с), или а21(с)= г2(с), где г,() - функция, обратная t¡(•).

2. У оптимальных управлений аД ) и а2( ) может быть не более чем конечное число точек разрыва. Возможные пары точек разрыва функций аД-) и а2() удовлетворяют системе (5).

В дальнейшем условия теоремы 3 считаются выполненными. Пусть с0 =inf|c://1(^(c))>Fy(rJ(c))}. Определим для t¡{ai)<c<c0 функцию у ¡(с) равенством

h(c), если Нi(гу(с))<F¡(r¡(с)),

если Нj(гу(с))>F¡(r¡(с)).

При с < Г,+ (а,) положим у,-(с) = а,-.

ТЕОРЕМА 4. Пусть max f (а,-) < с, <с2 <с0, а,() и а2() - riapa оп-

l<i<2

тимальных управлений. Тогда если при всех се[с!,с2] ау1(с) = гДс), то при всех се[с),с2] а,~1(с) = у,(с).

Пусть (*U2)... (л",х") - корни системы (5). Построим точки (if,х2 ) следующим образом:

где Qlxl^.x^x^H^x^ ¡(x'j)-j[x])+ ¡Jpfafa +

xi

*i

+ toMwK-

*)

Положим ck = min // (xf) и определим функции равенствами

h{xi)=ck ПРИ <xi<xj'-1.

ТЕОРЕМА 5. Предположим, что система уравнений

■ FI(xi) = H2(X2) (6)

У\\х\)=Чг{*г)

не имеет решений при a, <xt iiy^co). Определим семейства управлений fcOLsc следующим образом:

ac(x.)={min(C'Y,rl^'^a' <Xi

W*iKi(e)<*/ <bh

где C,(c) = min {if : je* >y¡(c),x* >y;(c)j. Тогда оптимальная пара управлений (ki(-)> аг(')) принадлежит семейству нар управлений

ko.«2(-)Lsco-

Замечание 1. Задача максимизации функционала (1) при ограничени-ях (2) свелась к задаче максимизации функции одной переменной

Н(с) = М min[F,&)аf fc)■- G2)а\ F2&)а)-С,foКfei)J на отрезке [0, с0 ].

Замечание 2. Если функции у,"'(•) дифференцируемы, то функция Н(с) дифференцируема, и для её производной справедливо равенство

2 CfW 2

" П J \с;,(х,)р,{хЖ +

-ЧгЧс) i=br'(c)

2 С, (с) bJ

+ £ I Fi{*i)Pi{xi)foi \Р,\Х,РХГ

U=U*jYi-l(c) ?,(c)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Radner R. Teams // Decision and Organisation. C.B. McGure and R. Radner Eds. Amsterdam, 1971.

УДК 517.5

В. П. Курдюмов

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУБИЛЛЯ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ'

Рассматривается задача нахождения асимптотических формул для собственных функций (с.ф.) и собственных значений (с.зн.) оператора Штурма-Лиувилля

Ь:у"+д(х)у, у(0) = у(1) = 0, хе[ОД],

где ч(х) б ¿[0,1].

В литературе [1, 2] известны асимптотические формулы для с.зн. оператора £ с тем большей степенью точности, чем больше предполагаемая гладкость функции е/(х).

В настоящей статье использованием классических методов спектральной теории выводятся явные асимптотические формулы для нормированных с.ф. и с.зн. оператора без дополнительных предположений о гладкости <7(х)-

Результат, аналогичный полученному в настоящей статье, использованием явного представления решения системы однородных дифференциальных уравнений и операторного подхода В.А. Садовничего получен В.А. Винокуровым и В.А. Садовничим в [3].

Отметим, что метод настоящей статьи может быть применен для нахождения асимптотических формул для с.ф. и с.зн. и для интегро-дифференциальных операторов, например, вида

У+ф^р^у'т, >>(0) = у(1) = 0, х е [0,1], где Ч(х), р(х) е Ь2[0,Ц. о

' Рибота выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

53