Парадигма макс-фактора и конечномерные представления алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.55.342+512.55.35

ПАРАДИГМА МАКС-ФАКТОРА И КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР ЛИ

Ю. П. Размыслов1, Г. А. Погудин

2

В работе строится изоморфизм модуля обобщенных функций над универсальной обертывающей алгебры Ли в алгебру формальных степенных рядов, переводящий наибольший локально-конечномерный подмодуль в прообраз алгебры рациональных функций при преобразовании Бореля.

Ключевые слова: дифференцирование, алгебра разделенных степеней, универсальная обертывающая алгебра, наибольший локально-конечномерный подмодуль, алгебра Ли, преобразование Бореля.

An isomorphism between formal power series algebra and dual space to universal enveloping algebra is presented. The image of maximal locally finite dimensional submodule under it lies in preimage of rational functions algebra under Borel transform.

Key words: derivation, divided power series algebra, universal enveloping algebra, maximal locally finite dimensional submodule, Lie algebra, Borel transform.

Теорема, доказанная в статье, была сформулирована в докладе [1].

Для любой ассоциативной алгебры A с единицей на полем K модулем обобщенных функций называется A-модуль A* (здесь A* — сопряженное пространство к A) относительно модульной операции х : A® A* — A*, определенной соотношением (a х f,b) = (f, ba). Здесь через (,): A* ® A — K обозначается естественное спаривание сопряженных пространств. Важность этого модуля для теории представлений обусловлена, в частности, леммой об аппроксимации (см. [2]), согласно которой любой неприводимый A-модуль вкладывается в A*. Кроме того, особый интерес представляет сумма всех конечномерных над K A-подмодулей, обозначаемая через W(A*).

Известно [1, 3, 4], что по любому гомоморфизму A: A — A ® A, превращающему A в биалгебру, можно построить билинейную операцию *д: A* ® A* — A*, относительно которой A* превратится в K-алгебру. Она задается формулой (f *дg, a) = ^(f, bi) ■ (g, Ci), где Aa = ^ bi®Ci. Несложно заметить, что

в этом случае подмодуль W(A*) оказывается подалгеброй, и эту подалгебру обозначим через WHW(A).

Рассмотрим теперь случай, когда A = Uid (G) — универсальная обертывающая с единицей конечномерной алгебры Ли G и A: Uid ® Uid — Uid — диагональный гомоморфизм, определенный на элементах алгебры Ли G формулой A(g) = g ® 1 + 1® g. Тогда несложно заметить, что элементы алгебры Ли G действуют на U^ дифференцированиями, G вкладывается в Der кUi*d. Также известно, что при charK = 0 алгебра U¡d изоморфна алгебре формальных степенных рядов K[[ж1,...,жп|], где n = dim кG. Варьируя этот изоморфизм, можно получать разные наглядные реализации G-модуля Ui*d и его наибольшего локально-конечномерного подмодуля WHW(©). Некоторые другие результаты, касающиеся этого подмодуля, можно найти в [5].

Приведем, на наш взгляд, важный пример такого изоморфизма. Итак, пусть G — конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и е\,..., еп — некоторый ее базис. Тогда обозначим через Е симметрический базис в [/¡а (©), состоящий из элементов

Здесь т = т1 + ... + тп и Бушт(у\,..., ут) = ^ Уа(1) ' ■■■ ' Уа(т) — симметрический полилинейный полином от некоммутирующих переменных у1,..., ут. Введем еще несколько важных обозначений. Пусть

1 Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2Погудин Глеб Александрович — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ad : Uid (G) — End кG — присоединенное представление универсальной обертывающей алгебры в G. Кро-

2

ме того, рассмотрим функцию M(z) = = 1 + | + ^ + • • • и обозначим через /л(к) коэффициент при

zk в ее разложении в ряд Тейлора в точке z = 0. Также введем в рассмотрение преобразование Боре-

1 г оо def

ml •

ля В: K[[xi,.. .,хп}} K[[xi,... ,ж„]], определяемое формулой B{f) = ¿ ш!т, где fm — однородная

m=0

компонента / степени т. Функция Miz) в явном виде встречается в формуле Планка и(и, Т) = -Ц-^—fizf—•

71 с еТГ-1

Теорема. Пусть G* — сопряженное пространство к алгебре Ли G, char K = 0 и ef, ...,en — базис,

йственный к базису K[[xf,... ,жга]], полагая

_ _

двойственный к базису е\,... ,еп € ©. Для любого д £ © определим п степенных рядов д\,..., дп £ £га =

оо

mi

Шхи...,хп)^ £ ... (1)

г, п m f • mn •

mi =0 mn =0

где m = mf + ... + mn. Тогда

1) отображение p: © —Der£ra, при, котором p(g) ^ + ... + g^dXn, является точным представлением алгебры Uid (G). Кроме того, G-модуль, определяемый этим представлением, инъективен и изоморфен модулю обобщенных функций Uj*d ;

2) отображение ф: U¡d — En, для которого при f G Ujd

(X ж mi m

, f ______грИЬп

mf mn

mi =0 mn=0

задает изоморфизм ассоциативной алгебры *д: Ujd ® Ujd — Ujd с En и G-модуля En с Uj*d;

3) суперпозиция отображений B-f о ф: Ujd En — En переводит наибольший локально-конечномерный G-модуль WHW(G) в алгебру 'рациональных функций. Более того, для любого конечномерного G-модуля M С WHW(G) знаменатель можно выбрать общим для всех элементов образа и степени, не превосходящей dim M.

Доказательство. Начнем с того, что проверим изоморфизм ассоциативных алгебр. Для этого пере-

def

пишем (2) в несколько иной форме. Рассмотрим алгебру Ли L = G ®кEn степенных рядов от x\,...,xn с

def

коэффициентами в G, причем Xi коммутируют c элементами G. Аналогично обозначим U(L) = U¡d ®K&n.

Тогда f: U¡d — K поднимается до f: U (L) — £„ по формуле f ■ ■■

def

umi,..,mn ■ ■ ■ xn I

mi=0 mn=0

^ ■■■ ^ / (ит1,..,т„ )%Г11 •••••%тп • Правую часть (2) можно переписать в виде (/,ехр(х1в1 + ...+хп еп)).

т-1 =0 тп=0

Заметим также, что оператор А поднимается с © на £ и с Ц^ на и(£) как коумножение. Обозначим Н Х1в1 + ... + хпвп € £. Теперь проверим, что (2) действительно задает изоморфизм ассоциативных

алгебр: ^(/1/2) = (/1/2, в7*) = (/1 ® /2, е1^®1) = (/1 ® /2, в71 ® ен) = (/1, в71 ен) = ^(/1)/). Сюръ-ективность и инъективность этого отображения очевидны.

Теперь благодаря отображению ф на Еп появилась структура ©-модуля. Необходимо проверить, что она задается формулой для р. Для этого достаточно убедиться в справедливости равенства

Действительно, в ключе новых обозначений (L, U(£)) правая часть формулы (1) переписывается в виде ) i_ed ad hff)- Введем в рассмотрение еще одну формальную переменную t, которая коммутирует со всеми

элементами алгебры и относительно умножения на которую f линейно. Тогда нас интересует коэффициент при t в (e*,ehe9t). Он равен ^;(ehe9t)\t=o- По теореме 3 [6, с. 120] эта производная как раз равна M(&dh)g, что и требовалось установить.

Для доказательства третьего пункта теоремы рассмотрим конечномерный G-подмодуль M (dim M = m) в U;d с базисом fi,..., fm над K. На ф(fl),..., ) в En натянем £п-модуль M. Очевидно, rank EnMM ^

т и Н * М С М. Тогда по теореме Гамильтона-Кэли существуют такие многочлены Р1,... ,рт € £п, что (Нт + рфт-1 + ... + рт) * М = 0. Заметим, что здесь можно считать многочлен рг однородным степени г в силу наличия градуировки на и\& <3 Еп. В частности, имеем (/, (Нт + р1Нт-1 + ... + рт)Нк) = 0 для любого к € и / € М. Теперь рассмотрим (полагая, что ро = 1)

(1+pi +...+pm)(B-1 ◦ Mf ) = (f, hs-k )•

s=0 k=0

Все слагаемые с в ^ т дадут нуль, а остальных конечное число. Значит, для любого / € М имеем ((1 + р1 + ... + рт)(В-1 о ф)/) € £п, причем легко видеть (из однородности рг), что deg (1 + ... + рт) ^ т и этот многочлен не равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Отображение В-1 о будучи инъективным, отнюдь не обязательно сюръективно. Приведем соответствующий пример. Рассмотрим трехмерную нильпотентную алгебру Ли с образующими X, У, ¿7, где 2 принадлежит центру, и соотношением [X, У] = 2. Тогда р(^) = = Щ = Ш ~ 2 "Ш.' Легко понять, что модуль, порожденный бесконечномерен над К, хотя

В-\е*) = ¿гг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уоттон Г.О., Размыслов Ю.П. Парадигма макс-фактора // Тез. докл. Междунар. алгебр. конф., посвященной 250-летию Московского ун-та. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004. 131-134.

2. Размыслов Ю.П. Введение в теорию алгебр и их представлений. М.: Изд-во МГУ, 1991.

3. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.

4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли 1. М.: Мир, 1976.

5. Диксимье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.

6. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972.

Поступила в редакцию 01.12.2010

УДК 517.521.75

ТАУБЕРОВЫ УСЛОВИЯ ВЗАИМОСВЯЗИ МЕТОДОВ ЧЕЗАРО И МЕТОДОВ ДИСКРЕТНЫХ СРЕДНИХ РИССА

И. В. Хахинов1

В статье рассматриваются методы суммирования дискретными средними Рисса и методы суммирования Чезаро, изучаются тауберовы условия.

Ключевые слова: методы Чезаро, дискретные средние Рисса, тауберовы теоремы.

Tauberian conditions for Cesaro methods and discrete Riesz means are discussed.

Key words: Cesaro methods, discrete Riesz means, Tauberian theorems.

1. Введение. Везде далее, если не оговорено противное, {an}+=0 — последовательность действительных чисел; ^ an — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до Пусть Q и Л — методы суммирования числовых рядов. Суммируемость

ряда £ an к числу S методом Q обозначается кратко: ^ an = S(Q).

Будем говорить, что метод Л включается методом Q (Л С Q), если из того, что ^ an = S (Л), следует, что £ an = S(Q). Будем говорить, что методы Q и Л эквивалентны (Q ~ Л), если имеют место оба включения Л С Q и Q С Л. Будем говорить, что метод Q сильнее метода Л, если Л С Q, но методы Q и Л не эквивалентны.

1 Хахинов Илья Вячеславович — гл. эксперт ОАО "АльфаСтрахование", e-mail: [email protected].