CC BY
9ISSN 0136-4545
^Курнал теоретической и прикладной механики.
№1(58) / 2017.
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.3:534.1
©2017. С.Б. Номбре, С.А. Прийменко, С.В. Сторожев
ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ НЕЧЕТКОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭКЗОГЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛИ РАСТЯЖЕНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
На базе концепции применения модифицированного эвристического принципа обобщения теории нечетких множеств к моделям физико-механических процессов с неопределенными экзогенными параметрами предложен вариант методики получения нечетких оценок для показателей концентрации механических напряжений у контура эллиптических отверстий неконтрастного очертания в растягиваемых тонких ортотропных пластинах и описан ряд результатов ее реализации. Ключевые слова: модели упругого деформирования, учет неопределенности в задании экзогенных параметров, нечеткие оценки концентрации механических напряжений у эллиптических отверстий неконтрастного очертания в тонких пластинах, использование модифицированного эвристического принципа обобщения, численные оценки показателей неопределенности.
1. Введение и формулировка целей исследования. Оценивание эффектов прогнозируемого разброса в количественных результатах исследования моделей механики деформируемого твердого тела с нечеткими экзогенными параметрами геометрической и физической природы, несмотря на разработку целого ряда приемов и методик [1 - 4], продолжает оставаться актуальной открытой по весьма широкому кругу аспектов многоплановой фундаментальной и прикладной научной проблемой. Доминирующим подходом к ее решению до последнего времени оставалось применение аппарата стохастического анализа, методов теории вероятностей и математической статистики, концентрированно описываемое и характеризуемое в публикациях [5 - 18]. Вместе с тем, развитие методов теории нечетких множеств и аппарата нечеткой математики дает возможности развития альтернативного подхода к учету факторов неопределенности в моделях механики деформируемых сред, в рамках которого в определенном смысле смягчаются требования к природе и характеру неконтрастной исходной информации. В частности, это касается возможностей использования нечеткой информации, не имеющей строгого вероятностного типа, учета количественных оценок экспертной природы, а также параметров с качественными лингвистическими значениями [19 - 21].
Можно выделить несколько вариантов постановки проблемы учета факторов неопределенности в моделях механики деформируемого твердого тела с соответствующими методиками ее исследования на базе применения аппарата нечеткой
математики. В частности, специальный класс составляют модели, в которых экзогенные параметры геометрической и физико-механической природы входят в классические четкие аналитические расчетные соотношения для эндогенных характеристик. В этих случаях учет неопределенности может основываться на нечетко-множественной интерпретации экзогенных параметров моделей, не имеющих контрастного описания, и применении эвристического принципа обобщения (принципа расширения) в рамках приема замены части переменных в функциональных описаниях эндогенных характеристик аргументами нечетко-множественного типа [19 -21].
В контексте приведенных соображений, целью настоящей работы является описание применения методов нечеткой математики для учета неопределенности экзогенных параметров геометрической природы при исследовании представляющей интерес для прочностных расчетов модели нечеткого оценивания показателя концентрации напряжений у контура эллиптического отверстия в растягиваемой анизотропной пластине с учетом факторов разброса эксцентриситета его контура.
2. Постановка задачи и аналитическое решение ее четкого классического варианта. Рассматривается задача определения характеристик локализованного поля механических напряжений в прямолинейно-ортотропной тонкой пластине с модулями жесткости {sn, s22, Si2, sgg} в окрестности находящегося в равномерном поле растягивающих напряжений эллиптического отверстия со свободным контуром. Полагается, что деформирование пластины описывается моделью обобщенного плоского напряженного состояния; в срединной плоскости пластины введена система прямоугольных координат Ox 1X2, а контур Г эллиптического отверстия с полуосями a и b имеет параметрическое описание (x1 )г = a ■ cos 9, (x2)r = b ■ sin 9, 9 е [0, 2п]. Согласно [22 - 23], в случае равномерного растяжения пластины вдоль оси Oxi усилиями интенсивности p на основе применения методов теории функций обобщенных комплексных переменных для показателя концентрации механических напряжений a^s = (as/p)r в точках контура отверстия может быть получено аналитическое представление вида
aks = F(a,b,sii,s22,si2,s66,9) = 1 + E2=1[b(1 - e|)(cos29 - mj)■ ■(Rj(-1)j(в2 - ei)(1 - 2mj cos 29 + m2)_i],
(1)
где
m = [(1 - в • (b/a))/(1 + в • (b/a))], Rj = [a(1 + j • (b/a))/2], j = [((2S12 + See) + (-1)j+1((2S12 + See)2 - 4sns22)1/2)/(2sn)]1/2, (2)
Описанная модель анализа показателя концентрации напряжений у контура отверстия подлежит исследованию в рамках предположений о нечеткости задания ее геометрических параметров, которая обусловлена технологическими факторами, разбросами данных экспериментальных замеров и т.д. При этом разрабатываемый вариант методики получения искомых оценок разброса в значениях показателя концентрации напряжений для различных точек контура отверстия базируется
на предположениях о нечеткости величин полуосей эллиптического отверстия a, b при точных значениях модулей жесткости материала пластины, а также о задании соответствующих неконтрастных значений геометрических параметров a и b в рассматриваемой модели нечеткими трапецеидальными интервалами a, b с кортежами реперных точек (ai,a2,a3,a4), (bi,b2,b3,b4) и с функциями принадлежности ¡J.a(a),
3. Методика и результаты исследования модели. Развиваемый подход к исследованию модели основан на применении эвристического принципа обобщения (принципа расширения) к представлению (1), в котором по соответствующим подмножествам аргументов реализуется переход к их нечетко-интервальным значени-
При рассмотрении варианта задачи, в котором подлежат учету нечеткости величин полуосей эллиптического отверстия a и b, а значения модулей жесткости материала пластины полагаются точными четко заданными величинами, для нечетко-интервальных характеристик a и b вводятся представления в виде разложений по множествам а-срезов
о = U«e[o,i][ilao a«], b = U«e[o,i] [£«, ba];
= (1 — a)mi + am2, aa = amз + (1 — a)ni4; (3)
^ = (1 — a)mi + am2, ba = am-s + (1 — a)m4. Соотношения (1), (2) преобразуются с ведением характеристики n = b/a
(°в/р)г = F (n,sii,s22,si2,s66,0) = 1 + E2=l^! - в2) (cos 29 - mj) •
• ((-1)j (P2 - Pi) (1 + Pjn) (l - 2mj cos 29 + / (2n)) (4)
mj = [(1 - Pjn)/(1+ Pjn)],
которая далее рассматривается в модели как нечетко-интервальная величина щ с кортежем реперных точек (щ1Щ3, щ), щ1 = b1/a4, щ2 = b2/a3, щ3 = b3/a2, щ = b4/a1 и представляется в виде разложения по множествам а-срезов
% = (1 - a)r] 1 + arj2, fja = ащ + (1 - а)щ.
Соответственно, при применении эвристического принципа расширения для получения нечеткой оценки показателя концентрации контурных напряжений àks в данном случае может быть записано представление
àks= и«е[од][£а>^«]>
Èa = г Ч inf F{r]a,sii,s22,si2,s66,9), f6)
Па&{(1-а)п1+ап2 ,(1-а)щ+ащ] v '
Èa= sup F(r]a,sn,s22,s12,s66,d).
г/а£[(1-а)ц1+ац2 ,(1-а)щ+ац3]
В качестве примера реализации данного варианта методики получения нечетких оценок для показателя концентрации контурных напряжений a^s рассмотрен случай растяжения ортотропной пластины из волокнистого стеклопластика со значениями модулей жесткости sn = 0.0412 • s*, s22 = 0.1001 • s*, s12 = —0.0170 • s*, s66 = 0.3393 • s*, s* = 10_9Па. Приведенной совокупности sj соответствуют определяемые по формуле (2) значения = 2.6575, в2 = 0.5864.
В рассматриваемой пластине имеется эллиптическое отверстие с неконтрастными пропорциями полуосей, описываемых нечетко-интервальными экзогенными параметрами модели
а = (1.85, 1.95, 2.1, 2.2), b = (0.85, 1.0, 1.1, 1.15).
Соответствующие профили функций принадлежности для нечетких характеристик a,b, а представлены на рис. 1-3.
Определяемые соотношениями (6) нечеткие оценки для показателя концентрации напряжений в случае aks p = s^1 при нескольких значениях углового параметра в [в = 5°, 30°, 60°, 90°} представлены на рис. 4-7.
1.0 -
0.8 -
0.6 -0.4
0.2 -
1.0
Рис. 1. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики а.
Полученные оценки, в частности, позволяют сделать вывод об увеличении степени разброса показателя концентрации в зоне действия растягивающих контурных напряжений для точек участка границы отверстия, лежащих на ортогональной направлению растяжения координатной оси Ох2, в случае, когда эллиптический контур вытянут вдоль направления растяжения. Напротив, степень нечеткости показателя концентрации в контурных точках отверстия при их приближении к точке пресечения контура с осью Ох1 снижается и разброс его значений полностью отсутствует для положения в = 0°.
Выводы. В работе представлены результаты исследований по проблеме учета нечеткости геометрических экзогенных характеристик модели получения оценок для показателей концентрации механических напряжений у эллиптических отвер-
Рис. 2. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики Ь.
Рис. 3. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики }.
Рис. 4. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики Ока для значения
параметра в = 5°
Рис. 5. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики о^а для значения
параметра в = 30°
Рис. 6. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики оьа для значения
параметра в = 60°
Рис. 7. Функция принадлежности для нечетко-множественной характеристики оьа для значения
параметра в = 90°
стий нечеткого очертания в растягиваемых тонких ортотропных пластинах. Получены аналитические представления для расчета функции принадлежности нечеткого множества, описывающего характер и величину разброса показателя концентрации для различных характеризуемых угловым параметром точек контура отверстия. Получены и проиллюстрированы результаты численной реализации разработанной методики для частного варианта задания нечетких геометрических параметров рассматриваемой задачи. Результаты работы могут быть использованы при определении запасов прочности обладающих конструкционной анизотропией орторомбиче-ской системы тонкостенных многосвязных плоских элементов с отверстиями.
1. Прохоров С.А. Mатематическое описание и моделирование случайных процессов. У СА. Прохоров. - Самара: CTAy, 2001. - 329 с.
2. Пугачев B.C. Теория вероятности и математическая статистика. У В.С. Пугачев. - M.: Физ-матлит, 2002. - 496 с.
3. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. У A.A. Свешников. - M.: Наука, 1968. - 464 с.
4. Schneller G.I. Computational stochastic mechanics recent advances У G.I. Schueller. УУ Comput. and Struct. - 2001. - Vol. 79, no. 22-25. - P. 2225-2234.
5. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. У В.В. Болотин. - M.: Изд-во лит-ры по строительству, 1965. - 208 с.
6. Болотин В.В. Mетоды теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. У В.В. Болотин. - M.: Стройиздат, 1982. - 352 с.
7. Болотин В.В. Применение метода статистического моделирования для оценки сейсмического риска конструкций У В.В. Болотин, В.П. Радин, В.П. Чирков. ^ Известия PA^ Mеханика твёрдого тела. - 1997. - № 6. - С. 168-175.
8. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. У С.Д. Волков. - M.: Mашгиз, 1960. - 173 с.
9. Волков С.Д. Статистическая механика композитных материалов. У С.Д. Волков, В.П. Ставров.
- Mинск: Изд-во БГУ, 1978. - 208 с.
10. Гончаренко В.Н. Вариационная формулировка линейных стохастических краевых задач теории упругости У В.Н. Гончаренко. ^ Прикладная механика. - 1982. - Т. 18, № 6. - С. 10-14.
11. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. У И^. Кунин. - M.: Наука, 1975. - 415 с.
12. Лавренюк В.И. Распределение напряжений около кругового отверстия в плоскости из стохастически неоднородного материала У В.И. Лавренюк. ^ Прикладная механика. - 1973. - Т. IX, Вып. 4. - С. 128-132.
13. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. У В^. Ломакин.
- M.: ЛЕНAНД, 2014. - 144 с.
14. Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. У Р.Р. Mав-лютов. - M.: Наука, 1981. - 142 с.
15. Марасанов А.И. К вопросу о стохастическом анализе упругих систем У A^. Mарасанов. ^ Вестник MИИТ. - 2003. - № 9. - С. 121--125.
16. Попов H.H. Ползучесть стохастически неоднородной пластины с круговым отверстием У Н.Н. Попов. УУ Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ. мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С. 126-132.
17. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. У Т.Д. Шермергор. - M.: Наука, 1977. - 400 с.
18. Radn V. Stochastic Modeling of Thermal Fatigue Crack Growth - Springer: Cham Heidelberg New York Dordrecht London, 2015. - XIV, ISBN 978-3-319-12876-4, ISBN 978-3-319-12877-1 (eBook) -(Applied Condition Monitoring, Vol. 1). - 90 p.
19. Алтунин А.Е. Mодели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. У A.E. Aлтунин, M3. Семухин. - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. -352 с.
20. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология. / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: «Издательство Машиностроение - 1», 2004. - 397 с.
21. Ротштейн А.П. Нечеткая надежность алгоритмических процессов. / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба. - Винница: Континент-ПРИМ, 1997. - 142 с.
22. Космодамианский А. С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. / А.С. Космодамианский. - К.: Вища школа, 1976. - 200 с.
23. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. / Г.Н. Савин. - К.: Наукова думка, 1968. - 887 с.
S.B. Nombre, S.A. Priymenko, S.V. Storozhev
Estimations of influence of uncertainty of geometric exogenous parameters in model of stretching of orthotropic plate with elliptic hole.
On the basis of the concept of application of the modified heuristic principle of generalization of the theory of fuzzy sets to models of physicomechanical processes with uncertainness exogenous parameters, a variant of the method for obtaining fuzzy estimates for the stress concentration indices for the contour of elliptical holes in a non-contrasting outline in stretch thin orthotropic plates is proposed and a number of results of its realization are described.
Keywords: models of elastic deformation, uncertainty of exogenous parameters, fuzzy estimates of the concentration of mechanical stresses in elliptical openings with non-contrasting outline in thin plates, use of the modified heuristic generalization principle, numerical estimates of uncertainty indicators..
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 19.03.17
и архитектуры", Макеевка
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк [email protected]
