CC BY
24
Оценки кривизн лсвоинвариантных римановых метрик ...
УДК 514.765
Е.Д. Родионов, В. В. Славский1
Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных компактных простых групп Ли
В работе даются оценки секционной кривизны и кривизны Риччи на компактных трехмерных простых группах Ли. При доказательстве основных теорем существенно используются формула для вычисления секционной кривизны группы Ли с левоинвариантной метрикой, полученная Дж. Милнором [1, с. 293-329], а также формула для нахождения секционной кривизны однородного риманового многообразия Брт(3), полученная Ф.М. Валисвым [2].
Пусть Ст — компактная простая трехмерная группа Ли, д — ее алгебра Ли, со стандартным базисом Е1, Е2, Е3 таким, что
[Е1} Е2] = Е3, [Е2, Ез] = Е1} [Е3, Ег] = Е2. (1)
Обозначим через (•, -)о стандартное скалярное произведение на д, определяемое с помощью формы Киллинга, а через (•, •) — произвольное скалярное произведение на д. Такими же символами обозначим соответствующие лсвоинвари-антные римановы метрики на Ст. Тогда, по спектральной теореме, существует базис 7\, 72, 73
такой, что
(7Н,7^)0 = 6^,(7Н,7Н) = Х{ > 0;
{7Н,7^) = 0 при г ф (2)
[71г72] = 73, [72, 73] = 7и [73, 7г] = 72.
Не ограничивая общности рассуждения, будем считать, что Ах < А 2 < Аз. Таким образом, метрике (•, •) сопоставляется набор ее характеристических чисел (А1, А2, Аз). Рассмотрим грассма-ново многообразие С12 двумерных касательных плоскостей к д в точке е £ Ст. Пусть плоскость ж Е О 2 и {X, У} - ортонормированный базис ж, т.е.
у — V1 ,„ 7„ ■ л — ¿_^-1'к''к; ' — ¿^ Ук "к > ^
=Т,Хку1 = 1, Т,ХкУкХк = 0.
Тогда секционная кривизна риманового многоб-разия (Ст, (•, •)) может быть найдена по формуле [2]:
К(1г) = (^зГ1 (3/. + АМ^Мкак), где (Т1 = А1 + А2 + А3; а2 = Х\Х2 + А2А3 + А3А1; а3 = А1А2А3; I = + 4<7-2; Мк = 2А2 - Хкаг; ак = Хк(х2 + у2к), к = 1,2,3, причем («1, а2, аз) £ Д = {а 6 Я3 : ^ ак = 2, 0 < ак < 1, к = 1, 2, 3} .
Так как функция секционной кривизны гольника А. Пусть /1(1,1,0), Я(0,1,1), С(0,1,1) —>• Я линейна относительно (А1, А2, Аз), — вершины А, тогда из (4) получаем то ее экстремумы достигаются в вершинах треу-
КА(ж) = + 4Мз)
Кв(ж) = — (4£Гз)-1 (£ + АМ\)
Кс(ж) = -(4 а-3у1(1 + 4М2)
1 (А? + А1 -
1(А| + А1
2 3
(4о"з)~ (4о"з)~ (4(т3)^1 (А? + А
ЗА2.
ЗА?
ЗА!
2А1А2 + 2А2Аз + 2АзА1) 2А2А3 + 2А1А2 + 2А3А1) 2А3А! + 2А2А3 + 2А1А2)
Заметим, что так как по предположению характеристические числа упорядочены А; < А 2 < < Аз, то Кв(ж) > 0. Далее, поделим каждое из характеристических чисел А1, А2, Аз метрики (•, •) на характеристическое число А1 и предположим для краткости I = Х2/Х\, я = А3/А1.
Имеем КА(ж) Кв{ж) Ы)
Кс'
I- (1 + 12 - Зя2 - 21 + 2я + 2/я): : I- (I2 + я2 - 3 - 2*я + 2я + 21); I- (1 + я2 - :*,/'•' - 2я + 21 + 2/я)
— формулы (5) после подстановки и преобразований. Где I = (4А^ХА2А3) , 1 < I < я. Рассмот-
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 96-01-
00436, 96-15-96291), грантового центра при Санкт-Петербургском государственном университете (код проекта 97-0-
1.3-63).
Оценки кривизн лсвоинвариантных римановых метрик
рим два случая:
(a) 1 < г < в < г + 1;
(b) \<г <г + \ <8.
Каждый случай разберем по отдельности. Случаю (а) сопоставим лемму 1. Лемма 1. Справедливы неравенства
КА(ж) < Кс(ж) < Кв(ж).
Доказательство. Действительно, имеем
Кв(ж) - Кс(ж) = = I • (I2 + в2 - 3 - 218 + 2в + 21 --1 - в2 + З*2 + 28 - 21 - 218) = = 41 (¿2 - 1 - 18 + в) = - !)(* + 1 - в) > 0.
А налогично имеем
Кс(ж) -КА(ж) = = 1 ■{! +82 -Ш2 -28 + 21 + 218 --1 - г2 + Зв2 + 21-28- 218) = = Щв2 - г2 + г - в) = 4Цв -Щг + 8 + 1) > о.
В случае (Ь), как и в случае (а), имеет место Лемма 2. Справедливы неравенства
КА(ж) < Кв(ж) < Кс(ж).
Доказательство. В самом деле,
Кс(ж) - Кв(ж) = 4Щ - 1 )(8 - г - 1) > 0; Кв(ж) - КА(ж) = 41(8 - 1 )(8 + 1 - 1) > 0.
Из лемм 1, 2 вытекает основное утверждение работы, оценка на секционные кривизны левоинва-риантной метрики.
Теорема 1. Пусть К^ ^(ж) : О2 —> Я - секционная кривизна риманового многообразия (О, Тогда имеют место следующие оценки:
a) (4СТз)-] (А| + А! - ЗА! - 2А, А2 + 2А2А3 + 2А3А1) < #(.,.)(я-) <
< (X2 + А.! - ЗА2 - 2А2А3 + 2А] Аз + 2А, А2) , где 0 < А] < А2 < А3 < А] + А2
b) (4СТз)-] (А| + А1 - ЗА1 - 2А] А2 + 2А2А3 + 2А3А1) < К{.г)(ж) <
< (4^з)-1 (А2 + А2 - ЗА2 - 2А] Аз + 2А, А2 + 2А2А3) , где 0 < А] < А2 < А] + А2 < А3.
Доказательство состоит в подстановке вместо t и 8 их выражений через А], А2, Аз в соответст-вуютцие формулы.
Используя обозначения [ 11, можно выписать главные значения квадратичной формы Риччи, соответствующие направлениям г = 1,2,3 в
виде Г] = 2/и2/из, г2 = 2/из/и], г3 = 2¡11/12 ■ Соответственно скалярная кривизна будет равна р = 2(/12/1з + ц-лщ + щщ). Здесь
IM =
(Т\ — 2А i
г = 1,2,3.
Теорема 2. Пусть г^ ^(ж) : —> Я Тогда имеют место следующие оценки:
'
кривизна Риччи риманового многообразия (G,
a) Г] < Г(.Г)(тг) < гз,
b) г2 < Г(..)(тг) < гз,
где 0 < Ai < А2 < А3 < (Aj + А2); где 0 < А] < А2 < Aj + А2 < А3.
Доказательство состоит в подстановке вмес- чаем, что КА(ж) —> —оо. Таким образом, мы вито ¡ii, ¡12, ¡1-л их выражений через А] , А2, A3 в дим, что существуют целые классы левоинвари-соотвотствующио формулы. антных римановых метрик на трехмерных ком-Замечание. Остановимся более подробно на пактных простых группах Ли, секционная кри-случае, когда (А], А2, A3) = (l,i, s). Тогда в слу- визна которых осциллирует, т. е. принимает зна-чае (а) полагая s = t + 1, мы видим, что КА(ж) < чения разных знаков. 0. В случае (Ь) полагая t = const, s —> со, полуЛитература
1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Adv.in math. 21. 1976.
2. Валиев Ф.М. Формула секционной кривиз-
ны левоинвариантнои римановои метрики на Spin(S): Препринт ИМ СО РАН. Новосибирск, 1977.
