CC BY
28
УДК 622.022 М.В. Секретов
ОЦЕНКА ВЫНОСЛИВОСТИ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ТРАНСМИССИИ ГОРНЫХ МАШИН ВЕРОЯТНОСТНЫМИ МЕТОДАМИ
Семинар № 21
Очень часто происходит так, что рассчитанные значения числа циклов до разрушения N классическим методом не соответствуют действительным. Это происходит из-за значительного отклонения расчётного действующего напряжения ср и допускаемого срр . Наиболее часто отклонения таких случайных величин, как ср и срр подчиняются нормальным законам распределения [2]. Плотность распределения этих величин
С(ср ) = ■
л/2п
(Ср -Щд
С
(срр-Щс,
Я(срр) = '
(1)
(2)
сс л/2п
сFP
Композиция нормальных законов также будет нормальным законом с плотностью вероятности:
(д-Щд^2_
. (3)
#(д) = —^= • в 2с
Поскольку закон распределения действующего изгибного напряжения ср не зависит от закона распределения допускаемого изгибного напря-
(4)
тд = и с2 = сС + сСС ,
д сFP ср сFP ср ’
где тс , тс - математическое ожи-
ср^ ср
дание случайных величин (СВ), соответственно, действующее напряжение
ср и допускаемое напряжение срг ; и - среднее квадратическое
отклонение действующего напряжения Ср и допускаемого напряжения Срр .
Если подставить выражения (4) в выражение (3), то получим
#( д) =
[ д - (- тс)]
+сССР)
(5)
Вероятность безотказной работы элемента при условии с№ > сР будет
Р(срр > ср) =
С +с
[ д-(- тс)]'
+СС)
(6)
д
Графики плотности распределения действующего сР (кривая 1) и допускаемого а№ (кривая 2) изгибных
напряжений на примере круговых зубьев конической зубчатой передачи редуктора горной машины, а также композиции этих распределений представлены, соответственно, на рис. 1, а, б.
Вероятность работы круговых зубьев на изгиб в зоне упругости с неограниченным числом циклов до разрушения N, рассчитанная по формуле (6), P (с >Ср )= 0,0011. То есть из пар-
^с-я.
жения Срр , то
а*»,
“= (Pfp)
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
О
г . і
2 / * 1 f \1
I \
/ і \
1 і \ / \
/ У < V
F 5 °FP ,
МПа
а)
б)
Рис. 1. Графики плотности распределения действительного aF (1) и допускаемо-
го CTF
(2) изгибающих напряжений в круговых зубьях конической зубчатой пе-
редачи редуктора (а) и композиция (б) этих распределений (величина g)
тии 10000 штук зубчатых колёс только 11 будут работать в основном в зоне упругости с неограниченным числом циклов до разрушения N.
Если отметить предельные отклонения действующих напряжений °F min и aF max на кривой усталости (на рис. 2 точки 1 и 3, а также 1' и 3') при фиксированном значении допускаемого напряжения, то легко определить предельные числа циклов до разрушения N. Здесь aF max соответствует Nmin . а °F min - Nmax • Если рассмотреть отклонение значений N min и Nmax от среднего значения Nm , ко-
0да, МПа
торое соответствует среднему напряжению ср , то можно предположить, что они имеют логнормальное распределение. Плотность логнормального распределения случайной величины N выглядит следующим образом
f (N) =
M
(lg N-lg mN)
N • a -yj 2 • п
• e
(7)
\ 1
\|
ч,<
N. 2
s. у
lg JV
где М = 0,4343 - коэффициент перехода от натуральных логарифмов к десятичным; с- среднее квадратическое отклонение логарифма случайной величины; ти - математическое ожидание случайной величины. Так как зависимость <с№ (1д N3^^) не является прямой линией, то надо произвести коррекцию зависимости (7). При этом среднее квадратическое отклонение от минимального значения N, то есть Nmnn будет равно
Рис. 2. Кривая изгнбной усталости зубьев конической зубчатой передачи редуктора (точки 1, 2, 3 - для прямозубой конич. передачи; точки 1', 2', 3' - для конич. передачи с круговыми зубьями)
О 2 105 4 105 б ID5 N 0 2'1[|5 4 1[|5 6 !°5 N
а) 6)
Рис. 3. Графики плотности распределения случайной величины N при логнормальном (а) и скорректированном логнормальном (б) законе с учётом фиксированного допускаемого изгибного напряжения материала зубьев колёс с круговым профилем
= 1S mN g1S Nmin (по правилу За ),
________ _ 1S Nmax - 1S mN
max з
Здесь обязательно должна величина а изменяться плавно. Примем, что а изменяется линейно по закону а(N) = k ■ 1g N + b . (8)
Эта зависимость строится по двум точкам при Nmn и Nmax , исходя из системы уравнений
а . = k ■ 1g N. + b
min min
Omax = k ■ 1S Nmax + Ь
(9)
Отсюда находятся значения к и Ь. При введении вместо значения с в формуле (7) значения с( N) , которое зависит от времени, изменяются следующие параметры распределения: математическое ожидание ти и интеграл в бесконечных пределах плот-
ности
вероятности J f (N)dN , который
должен быть равен 1. Для коррекции математического ожидания вводим величину
korr = J 1s N ■ f (N)dN - 1s mN ,
J 1g N ■ f (N)dN - интеграл,
где
оп-
ределяющий математическое ожидание любого распределения (в нашем случае при введении распределения с с(N) ). Для того чтобы значение
| /(N)dN = 1, необходимо при распределении с введённым значением с(N значение М в формуле (7) разде-
лить на значение
d = J f (N)dN , то
M
есть • Таким образом, получится
окончательное скорректированное значение плотности вероятности
[1д N -(1д тN —01 )]2
f (NI
M
Na(N)л/2Л ■ d
e
2o2( N)
(10)
Графики плотности распределения случайной величины N при логнормальном и скорректированном логнормальном законе для круговых
Рис. 4. Зависимость вероятности отказа Р от значения N для круговых зубьев при фиксированном допускаемом напряжении срр
(Ул*. тах<
Он'.ср,
(УгР.т'т,
МПа
1
,1'
2
\ Г
\п >
3
^7
|?Л
Рис. 5. Кривые изгибной усталости зубьев конической передачи редуктора ходового винта штрипсового станка при значительном отклонении значений допускаемого напряжения срр (точки 1, 2, 3 - для прямозубой конич. передачи; точки 1', 2', 3' - для конич. передачи с круговыми зубьями)
зубьев конической зубчатой передачи представлены соответственно на рис 3 а и б. Видно, что зависимости f(N)
зубьями Р(105 < N Р(4 • 106 <
и f( ^корр незначительно
отличаются друг от друга. Зная зависимость f(N)корр
можно определить вероятность отказа зубчатой передачи Р от значения N [2] по формуле
N
Р (^ = | f(N)о0ppdN, (11)
и вероятность нахождения случайной величины N в любом интервале по формуле
в
Р (а < N <р) = \ f (N)^ ,
а
(12)
где а и в - границы интервала. Г рафик Р( N
представлен на рис. 4. Например, можно определить вероятность нахождения случайной величины N в зоне повторных нагружений и малоцикловой усталости
Р (0 < N < 105) . В нашем
случае эта величина для прямозубой передачи
Р(0 < N < 105) = 0,702. Вероятность нахождения случайной величины N в зоне усталости с ограниченным числом циклов нагружений Р(105 < N < 4 • 106) = 0,298. Вероятность нахождения случайной величины N в зоне усталости с неограниченным числом нагружений Р(4 • 106 < N <да) = 0. Для передачи с круговыми Р(0 < N < 105) = =0,290,
< 4 • 106) = 0,708,
N <*) = 0,002.
Рис. 6. График плотности распределения случайной величины N при скорректированном логнормальном законе с учётом значительного отклонения допускаемого изгибного напряжения срр материала зубьев колёс с круговым профилем
мого напряжения имеют большой разброс, то есть зубчатые колёса поставляются из различных производств, либо свойства материала и конструкция зубчатой передачи имеют значительные отклонения. При этом рассчитываются максимальное и минимальное отклонение допускаемых напряжений. Их обозначения, соответственно,
срР шах и срР ш1п • Среднее
значение этих напряжений будет вычисляться по формуле ср
^рр.ср 2 '
Графики допускаемых из-гибных напряжений в зубь-
ях
с
срр шах( N) (кривая I), п( N) (кривая III) и (N) (кривая II) пред-
рр.ср
ставлены на рис. 5. На кривой срршах( N) отметим значение ср ш!п (точка 3 и 3') - ему будет соответствовать значение Nшax ; на кривой срр ш!п( N) отметим значение ср шах (точка 1 и 1') - ему будет соответствовать значение Nшin , на
Рис. 7. Зависимость вероятности отказа Р от значения N для круговых зубьев при значительном отклонении допускаемого напряжения срр
Здесь велись расчёты при фиксированном допускаемом напряжении материала зубьев колёс, то есть когда все свойства этого материала хорошо известны и имеют незначительные отклонения. Часто значения допускае-
кривой сррср (N отметим
значение тс^ (точка 2 и
2') (математическое ожидание) - ему будет соответствовать значение Nm . Раз-
бр°с величин NшaX и Nш¡n от Nm
подчиняется логнормальному закону распределения с учётом коррекции, которая описана в формулах (8) -(10). Зная зависимость f(N) (рис.
а
6) можно определить вероятность отказа Р(N по формуле (11) (рис. 7) и вероятность нахождения случайной величины N в любом интервале по формуле (12). Вероятность нахождения случайной величины N в зоне повторных нагружений и малоцикловой усталости для прямозубой передачи Р(0 < N < 105) = 0,821. Вероятность нахождения случайной величины N в зоне усталости с ограниченным числом циклов нагружений
1. Зубчатые передачи: Справочник/ Под ред. Е.Г. Гинзбурга. - Л.: Машиностроение, 1980, 416 с.
Р(105 < N < 4 • 106) = 0,176. Вероятность нахождения случайной величины N в зоне усталости с неограниченным числом нагружений Р(4 • 106 < N <*) = 0,003.
Для передач с круговыми зубьями вероятность нахождения случайной величины N Р(0 < N < 105) = 0,678, Р(105 < N < 4 • 106) = 0,303,
Р(4 • 106 < N <*) = 0,019.
------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2. Солод В. И., Гето панов В.Н., Шпильберг И.Л. Надёжность горных машин и комплексов. - М.: МГИ, 1972, 198 с. ШИЗ
— Коротко об авторах
Секретов Михаил Валентинович - кандидат технических наук, ст. преподаватель кафедры «Г орные машины и оборудование», Московский государственный горный университет.
---------------------------------------------- РУКОПИСИ,
ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА
1. Стадник Д.А. Повышение результативности технологического картографирования отработки запасов выемочных участков в условиях неопределенности информации (591/08-07 — 24.05.07) 15 с.
2. Фашиленко В.Н., Пейль Н.Г. Результаты испытаний электоропривода вращателя бурового станка в энергосберегающих режимах (592/08-07 — 05.06.07) 9 с.
