Оценка времени горения легкового автомобиля с помощью конечных цепей Маркова Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЖАРОВ

Доцент кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ

Ю. Д. Моторыгин

Профессор кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ

В. А. Ловчиков

Начальник кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ

С. В. Шарапов

Адъюнкт кафедры "Исследование и экспертиза пожаров" Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ

А. И. Иванов

УДК 614.841

ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ГОРЕНИЯ ЛЕГКОВОГО АВТОМОБИЛЯ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

Рассмотрены особенности классических математических моделей для расчета развития пожара в легковых автомобилях, отмечены их достоинства и недостатки. Кроме исследования классических математических моделей, показано, что существует альтернативный подход — стохастические или вероятностные методы описания развития пожаров автомобилей. Приведен пример, иллюстрирующий возможности оценки времени горения легкового автомобиля с помощью конечных цепей Маркова.

При проведении пожарно-технической экспертизы основной задачей эксперта является определение очага пожара и источника зажигания. Как правило, эксперту приходится работать с остатками автомобиля, кино-, фото- материалами и показаниями свидетелей и очевидцев. Возникновение и развитие пожаров на автотранспорте имеют ряд особенностей, определяющих специфику их по-жарно-технических исследований. Это проявляется при доказательстве поджогов, так как высокая пожарная нагрузка автомобиля, включающая большое количество горючих и легковоспламеняющихся жидкостей, затрудняет установление причины возгорания. Практика показывает, что время горения легкового автомобиля среднего класса очень мало и не превышает 30 мин [1]. Поэтому время развития пожара связано с показателями пожарной опасности веществ и материалов, составляющих пожарную нагрузку автомобиля.

Для оценки времени горения легкового автомобиля можно использовать математическое моделирование. В настоящее время применяются различные методы модельных описаний [2].

Традиционно используются математические модели, описывающие в самом общем виде изменение характеристик среды объекта в течение определенного времени [3, 4]. В них, как правило, рас-

сматриваются изменения параметров состояния кузова автомобиля и пожарной нагрузки. Такой подход не всегда корректен, а в ряде случаев, в частности при значительной неоднородности газовой среды, может давать большие погрешности. Физический смысл протекающих процессов, описываемых упомянутыми моделями, не всегда может быть однозначно проанализирован в силу большого количества учитываемых параметров. Кроме того, невозможно предусмотреть множество случайных событий, происходящих до и после начала горения.

Помимо традиционных методов расчета опасных факторов пожара, существует альтернативный подход—стохастические или вероятностные модели описания процессов. Они успешно применяются в самых разнообразных областях науки и технической деятельности. Причем, чем больше случайных явлений мы наблюдаем, тем более взаимно уравновешивается влияние второстепенных причин и более отчетливо проявляется действие главных, постоянных закономерностей. Закономерности такого ряда могут быть выявлены с помощью вероятностных или стохастических моделей. Среди них простотой и ясностью физического смысла выделяются модели, основанные на теории конечных цепей Маркова.

Цепь Маркова — последовательность случайных событий с конечным или бесконечным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого, которое сформировало данное настоящее.

Конечной цепью Маркова [5] называется процесс, который переходит из состояния в состояние с определенной вероятностью, так называемой вероятностью перехода. Число этих состояний конечно, а значение вероятности перехода полностью определено состоянием, в котором процесс находится в данный момент времени.

Для примера рассмотрим вариант поджога легкового автомобиля через разбитое стекло салона. Развитие пожара в салоне современного автомобиля связано с наличием большого количества полимерных материалов, используемых в его отделке. При термическом воздействии в условиях ограниченного количества окислителя (салон автомобиля представляет собой достаточно герметичное пространство) полимерные материалы образуют большое количество продуктов неполного окисления. Механизм распространения пожара в салоне автомобиля может определяться многими факторами. Наиболее важными среди них являются величина пожарной нагрузки и горючесть продуктов термического разложения. Скорость выгорания материалов и условия газообмена определяются конкретной маркой автомобиля. Общую зависимость можно выявить следующим образом: чем более представительный автомобиль и чем более высока степень насыщенности его опциями, определяющими комфортабельность данной марки, тем более интенсивное горение происходит в салоне данного автомобиля.

В пожарную нагрузку в основном входят конструктивные горючие и трудногорючие элементы салона автомобиля. Скорость выгорания жидких и твердых веществ и материалов характеризуется потерей массы в единицу времени с единицы площади горения. Условия газообмена определяются степенью раскрытия и взаимным расположением проемов и вентиляционных люков, а также объемом салона.

Для формулировки конкретной марковской модели горения условно разделим салон легкового автомобиля на четыре зоны:

• пол под передними сидениями (1-я зона);

• передние сидения (2-я зона);

• пол под сидениями пассажиров (3-я зона);

• пассажирские сидения (4-я зона).

Предположим, что в одной из зон начинается пожар. Тогда возможны следующие ситуации или исходы процесса:

1) пожар в одной из зон прекратится из-за выгорания пожарной нагрузки или отсутствия окислителя (воздуха);

2) горение будет продолжаться в данной зоне;

3) пожар перейдет в следующую зону.

Вероятность первого события обозначим р, вероятность того, что пожар будет продолжаться в г-й зоне, — д и вероятность третьей ситуации — г. Поскольку других исходов процесса нет, то р + д + + г = 1. Такая конечная цепь Маркова имеет следующие состояния:

5 — пожар прекратился в одной из зон;

52 — выгорел весь объект;

53 — горит 4-я зона;

54 — горит 3-я зона;

55 — горит 2-я зона;

56 — горит 1-я зона.

Соответствующая матрица переходных вероятностей процесса имеет вид:

Р =

Г1 0 0 0 0 о 1

0 1 0 0 0 0

р г д 0 0 0

р 0 г д 0 0

р 0 0 г д 0

1 р 0 0 0 г д)

где номер строки обозначает состояние, из которого происходит переход, номер столбца — состояние, в которое процесс переходит.

Будем считать, что пожар, перейдя из г-й в у'-ю зону, назад не возвращается, т.е. состояния 51 - 56 принадлежат эргодическому множеству, в котором из любого состояния можно попасть в любое и из которого, попав в него, нельзя уйти [5]. Рассмотрим поглощающие цепи Маркова — цепи, все эргодиче-ские состояния которых являются поглощающими, т.е. такими, попав в которые, нельзя из них выйти.

В любой поглощающей конечной цепи Маркова, независимо от того, где начался процесс, вероятность после п шагов оказаться в невозвратном эрго-дическом состоянии стремится к 1 при п ^ да. Под невозвратными состояниями в теории цепей Маркова следует понимать такое множество состояний, в котором можно из любого состояния попасть в любое и из которого можно выйти.

Удобно придать матрице Р несколько иной — канонический — вид объединив все эргодические

состояния в одну группу, все невозвратные — в другую. Тогда каноническая форма будет иметь вид:

Г \

5 : 0

Р = .........

л : я

V у

Подматрица 5 размерности 2 х 2

Л 0^

Тогда

5 =

0 1

относится к процессу после достижения пожаром поглощающего состояния, подматрица 0 размерностью 4 х 2 составлена целиком из нулей, подматрица Я размерности 2 х 4

(р г\

Я =

р0 р0 р0

Я= (I — Я)—1 =

Г 1

р + г г

(р + г )2 р + г

2

(р + г )3 (р + г )2 р + г

( р + г )4 ( р + г )3 (р + г )2 р + г

когда вероятность того, что пожар в одной из зон прекратится, р = 0,2, вероятность продолжения пожара в данной зоне д = 0,1 и вероятность перехода горения в следующую зону г = 0,7.

Тогда

N =

Г 1,11 0 0 0 ^

0,86 1,11 0 0

0,67 0,86 1,11 0

0,52 0,67 0,86 1,11

отвечает переходам из невозвратных в эргодиче-ские состояния, подматрица < размерности 4 х 4

Г д 0 0 0 ^

г д 0 0 0 г д 0 ч 0 0 г д у

<=

описывает поведение процесса до выхода из множества невозвратных состояний.

Поведение процесса описывается возведением переходной матрицы в следующую степень. При возведении матрицы Р во все более высокие степени все элементы подматриц < стремятся к 0. Подматрица 5 = I, т.е. представляет собой единичную матрицу. Из определения произведения матриц следует, что при возведении матрицы Р в степень, подматрица I не меняется.

Из теории марковских цепей следует, что среднее время, которое проводит процесс в данном невозвратном состоянии, всегда конечно и что эти средние времена определяются матрицей N N =(1 - Я )-1).

Учитывая, что р + д + г = 1, получаем

I - Я = Р =

Г р + г 0 0 0 ^

-г р + г 0 0

0 —г р + г 0

0 0 —г р + г у

Вероятность того, что объект выгорит полностью, т.е. выгорят все четыре зоны, зависит только от отношения г/(р + г). Это выражение представляет собой вероятность того, что пожар перейдет в следующую зону (а не прекратит горение в данной зоне) при условии, что пожарная нагрузка в этой зоне выгорит полностью (горение в данной зоне не возобновится). При этом не накладывается никаких ограничений на время горения в каждой зоне. Нули матрицы N показывают, что в выгоревших зонах пожар не возобновится. В соответствии с нижней строкой фундаментальной матрицы N следует, что если пожар начался в 1-й зоне и в этой же зоне прекратился, то среднее время пожара будет составлять 1,11 единиц времени. Если пожар перешел во 2-ю зону и в этой зоне прекратился, то получаем среднее время пожара во 1-й зоне, равное 1,11 единиц времени (вторая строка снизу матрицы N). При переходе горения в 3-ю зону (нижняя строка матрицы N) среднее время горения во 2-й зоне будет 0,86 единиц времени. Таким образом, при полном выгорании объекта, начавшего гореть из 1-й зоны, 1-я зона будет гореть 1,11, 2-я — 0,86, 3-я — 0,67 и 4-я — 0,52 единиц времени.

Выводы

Стохастическое моделирование процессов горения позволяет получить следующие важные результаты:

1. Определить относительное время достижения полного выгорания объекта или его зон в зави-

3

2

г

г

г

симости от пожарной нагрузки и условия воздухообмена.

2. Рассчитать вероятность прекращения горения на определенных стадиях в каждой зоне горения.

3. Оценить относительную вероятность повреждения или утраты материальных ценностей в рассматриваемых зонах в случае возникновения пожара.

Интерактивное учебное пособие "ПОЖАРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ОБЪЕКТОВ"

Представляет курс, построенный на основе методических материалов, разработанных ведущими специалистами кафедры пожарной безопасности Московского государственного строительного университета, и включает 16 уроков (лекции и тестовые вопросы), объединенные в электронный учебник.

Учебно-методическое пособие содержит сборник нормативных актов по организации и обеспечению пожарной безопасности объектов.

Поурочная структура курса позволяет изучать материал в удобное время ивудобном темпе.

Данное интерактивное учебное пособие рекомендуется для проведения дистанционного обучения.

Курс рассчитан на самостоятельное изучение и консультационной помощью не поддерживается.

Освоив предлагаемый материал, вы можете сдать квалификационный экзамен в виде контрольного тестирования по всем пройденным темам.

Успешно сдавшим квалификационный экзамен предоставляется скидка 30% от базовой стоимости курса и выдается удостоверение государственного образца, подтверждающее прохождение слушателем курса повышения квалификации руководителей и специалистов в объеме 72-часовой программы.

Удостоверение высылается на почтовый адрес слушателя или вручается лично в УВЦ ИИБС Московского государственного строительного университета.

Заявку на приобретение компакт-диска присылать по e-mail: [email protected]

ЛИТЕРАТУРА

1. Расследование пожаров: Учебник/ Под ред. Г. Н. Кирилова, М. А. Галишева, С. А. Кондратьева. — СПб.: Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы МЧС России, 2007.

2. Драйздейл, Д. Введение в динамику пожаров / Д. Драйздейл. — М.: Стройиздат, 1990. — 424 с.

3. Применение полевого метода математического моделирования пожаров в помещениях: Методические рекомендации. — М.: ВНИИПО, 2003. — 35 с.

4. Welch, S. SOFIA. Simulations of Fires in Enclosures: User Guide / S. Welch, P. Rubini. — UK, Cran-field University, 1996.

5. Кемени, Д. Конечные цепи Маркова /Д. Кемени, Д. Снелл. — М.: Наука, 1970. — 271 с.

Поступила в редакцию 26.03.08.