Оценка времени достижения критического состояния в модели олами - Федера - Кристиансена Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 53.072+550.34.013.4

ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ДОСТИЖЕНИЯ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ В МОДЕЛИ ОЛАМИ - ФЕДЕРА - КРИСТИАНСЕНА

© 2008 г. А.С. Черепанцев

Article is devoted to an estimation of time of critical state reaching in Olami-Feder-Christensen model. The values of the main modeling parameters, which determine time of a critical state formation are submitted. On the basis of the obtained dependences the method of calculation of the number of iterations for reaching self-organized criticality in system are suggested.

Существует ряд общих характеристик таких различных систем, как совокупность электронов, рост песчаной насыпи, поток жидкости, блоки с упругими связями, биологические системы популяции микроорганизмов, сообщества дилеров по продажам и рекламе и т.д. Каждая из них, являясь многокомпонентной, осуществляет активное взаимодействие между элементами ее составляющими, обмениваясь силами или информацией. В дополнение к этому она может управляться некоторыми внешними воздействиями: электромагнитным полем в случае системы электронов, силой тяжести в случае роста песчаной кучи и т.д. В этом случае система развивается во времени под действием внешнего воздействия и внутренних сил взаимодействия. Оказалось, что даже при достаточно простых механизмах, типичных для широкого круга явлений, подобные системы могут эволюционировать к некоторому общему состоянию в смысле их статистических характеристик. В соответствие с гипотезой [1], динамическая система, состоящая из большого числа взаимодействующих элементов, при достаточно общих внешних условиях структурно самоорганизуется в некоторое стационарное состояние. Сложность получаемого состояния заключается в том, что в нем отсутствуют выделенные характерные пространственные размеры и временные интервалы, контролирующие поведение системы во времени. И хотя динамическое поведение в этом случае остается сложным, принципиальной характеристикой является то, что статистические свойства поведения подчиняются простым степенным закономерностям. В этом отношении система является статистически самоподобной с универсальным значением показателя степени в широком диапазоне пространственных масштабов. Основная идея авторов [1] заключалась в том, что переход динамической системы в такое стационарное состояние происходит без всякого участия внешних управляющих воздействий. При этом состояние, в которое переходит система, имеет те же свойства, что демонстрируют равновесные системы в критических точках при определенных значениях внешнего управляющего параметра. В связи с этим такое состояние было названо состоянием самоорганизованной критичности (self-organized criticality) .

Термин «самоорганизация» долгое время использовался для описания способности определенных неравновесных систем образовывать структуры при отсутствии управляющих воздействий [2]. Термин «критичность»» достаточно точно определен в равновесной термодинамике. Он используется в связи с фазовыми переходами. Когда температура системы

достигает температуры перехода, происходит качественное изменение системы. Для температур, отличных от температуры перехода, вносимые возмущения носят локальный характер. При температуре перехода такие локальные возмущения распространяются на всю систему. В этом отношении система становится критической в том смысле, что все элементы системы влияют друг на друга. Критическое поведение термодинамических систем математически описывается теорией ренормгрупп [3], в основе которой лежит описание вероятности возможных состояний системы с различными значениями свободной энергии. В настоящее время подобный формализм при описании большинства динамических систем отсутствует, так как не удается определить статистические свойства, например, корреляционную функцию в процессе эволюции системы.

Одной из классических систем со степенным видом статистических характеристик распределения в пространственной, временной и энергетической областях является земная кора. В соответствии с современной концепцией, она представляет собой систему блоков, включенных в общий тектонический процесс и активно взаимодействующих между собой.

В имеющихся моделях, демонстрирующих состояние самоорганизованной критичности, актуальным является соотношение временных масштабов внешних и внутренних процессов. Предполагается, что процесс, связанный с внешним воздействием на систему, был намного медленнее внутренних процессов релаксации. Для блоковой системы земной коры рост напряжений имеет масштаб лет, в то время как релаксация напряжения и связанное с этим сейсмическое событие происходят в течение нескольких секунд или минут. В дальнейшем рассматривается одна из моделей описания системы блоков с упругими связями, призванная дать описание динамических процессов в земной коре.

Модель Олами-Федера-Кристиансена

В теории самоорганизованной критичности принято разделять консервативные и неконсервативные модели с диссипацией энергии. Примером консервативной модели является модель динамики осыпания песчаной кучи. Так как песчинки в процессе осыпания сохраняются, то разработанные числовые алгоритмы описания также сохраняют динамические переменные (за исключением поведения на границе системы). Olami, Feder, Christensen (OFC) [4] предложили модель скольжения тектонических блоков, взяв в качестве динамических переменных локальные напряже-

ния или силы. В данной случае нарушается принцип консервативности, и модель является диссипативной.

Рассмотрим кубическую решетку размерности ё. Размер данной решетки Ьё. Поставим в соответствие каждой /-й ячейке некоторый динамический параметр Е. В простейшем случае под Е/ будем понимать внутреннюю энергию, запасенную в /-й ячейке. Будем предполагать, что в единицу времени все ячейки получают одну и ту же добавочную величину приращения энергии:

Е^Е^АЕ, 1=1,. (1)

Такое изменение во времени энергии любой отдельной ячейки, в случае отсутствия влияния соседних ячеек, происходит до тех пор, пока /•.', < ^, где Етах - некоторое пороговое максимальное значение упругой энергии, при превышении которого ячейка сбрасывает накопленную энергию, часть из которой передается соседним ячейкам: Е. О

-> 1 , (2)

Iекк Екк + аЕ1

где индекс кк определяет соседние ячейки. В простейшем случае ё=2:

E > E

— ^max

77 > /7 Ei, j — Emax

E,

i j

0

E

i± 1,j

E

i,jl

' Ei±lJ +aEi,j ' EiJ±l +aEi,j

(3)

После возникновения сброса энергии (2) часть внутренней энергии системы теряется. Если п, - число соседних ячеек, то данная система будет являться диссипативной при выполнении условия

>0- (4)

Для консервативности системы требуется выполнения условия а = \/и, . Дальнейшая эволюция ячейки определяется (1) до тех пор, пока она снова не достигнет критического состояния (2).

В зависимости от состояния системы, достижение одной из ячеек критического значения может слабо отразиться на состоянии системы в целом, а может вызвать лавинный процесс сброса энергии и переход всей системы в новое энергетическое состояние.

Замечательно то, что в случае задания произвольного распределения начальных значений Е/ данная модель демонстрирует сходимость во времени к некоторому устойчивому состоянию, определяемому как состояние самоорганизованной критичности.

Особенности задания модели OFC

Рассмотрим двумерную систему блоков ё = 2. Алгоритм расчета определяется следующим образом. Определяется начальное случайное состояние каждой ячейки сетки. Пусть в качестве условий на границе заданы открытые условия:

E0, j — Emax

-н

Eo,j ->• 0

Е0,у±1 Е0,у±1 4

■ aE,

0 ,j

Ei, j -> Ei, j

-aE,

0 j

EL-1, j ^Emax

EL-1, j"> 0

EL-l,j±l ~~^ EL-l,j±l 4 EL-2,j ~^EL-2,J

-aE

L-l ,j

-aEr

Ei,0 ^ Em

Ei,L-1 ^ Em

■L-lj

Ei,0 0 Ei± 1,0 Ei± 1,0 + aEi, 0; Ei,\ Ei,\ + aEh0

Ei,L-1->0

< Ei±\,L-\ Ei±\,L-\ + aEi,L-\ Ei,L-2 2 +aEi,L-l

На каждом шаге проводится: - приращение значений параметра на постоянную

величину в каждой ячейке /'/'71 = Е1- / + АЕ;

- выделение ячеек, для которых Е^ у > Еп

- их сброс в нулевое значение;

-■к+1

- передача части aEij соседним п (п=2-4) ячей-

кам.

Поскольку при добавлении части соседним

ячейкам они уже могут перейти в критическое состояние, то последняя процедура повторяется до тех

/,у=0,_,Ь. Далее первый

пор,

пока а /-.'/'у' < /'.1гах

шаг - приращение энергии повторяется.

Процесс расчета повторяется до возникновения устойчивой во времени статистики возникновения сбросов различных масштабов - плотности распределения размеров сброса. Под размером сброса, произошедшим на к-м шаге итерационной процедуры, принято понимать число соседних связанных ячеек, достигших критического состояния (3).

Такое стационарное состояние достигается очень медленно. Так, требуется около 108 - 109 сбросов в системе для достижения критического состояния на двумерной сетке размером Ь ~ 102. Причем необходимое число итераций возрастает по мере уменьшения диссипативного параметра а< 1/4 [5]. Данная проблема становится серьезной при рассмотрении моделей с малым значением параметра а. В настоящее время нет общего мнения о поведении системы при значениях а, близких к 0. Критическое минимальное значение ак, при котором исчезает предельный степенной характер распределения, по разным данным варьируется от 0,05 до 0,16 [6, 7]. Большие затраты машинного времени для достижения состояния самоорганизованной критичности на больших сетках приводят также к противоречивым выводам о поведении системы в зависимости от величины Ь.

В связи с этим представляется актуальным оценка времени счета критического состояния модели ОБО на больших сетках.

Оценка числа операций

В случае достижения системой стационарного критического состояния среднее значение энергии в системе является постоянной величиной

E

syst

1, J

I = const.

(5)

т.е. средние значения поступившей в систему за один

шаг итерации энергии (£,„) = Е2 ■ АЕ + 4паЕ1тх и

диссипируемой энергии (ЕоШ) = пЕ1тх должны быть

равны, где п - среднее число сбросов в системе за один шаг итерации.

Тогда справедлива оценка

L2 -АЕ

Е

(~4а

(6)

При расчете временных затрат актуальной является оценка числа итераций второго шага процедуры счета - определения числа сбросов в системе. Будем предполагать, что АЕ « Еишх, и за одну итерацию ячейка может быть сброшена только один раз. Тогда число ячеек в предкритическом состоянии в случае равновероятного распределения энергии по ячейкам:

"1 = >'/',шх "АЕ = Ь2Р<-.|гах - Д/' > /2 • .

Етах

Вероятность сброса в соседних к критической

ячейках:

Р\<к<л = ск -Рк€> Е1тх < а~У х<-^С> Е1ШХ <- а .

Или с учетом того, что Е1тх К. « а ■

р -г4 г,к Л

Среднее число сбросов на втором шаге процедуры проверки критических ячеек:

л

п2 = п1 X" ' ^ка

Ы1

Аналогично для 5-го шага проверки:

4 ->4 Л ж „,-4-А-

n=n

's-1

Ы1

Данная процедура прекращается при условии пт< 1 на т-м шаге проверки.

Заметим, что полученные оценки не нарушают усло-

4 . ,

вий стационарности (5). Так как У А- • С ). а х

к=\

х а ^ к = 4а , то при условии неконсервативности модели а < 1/4:

СО

СО

Т>-1

n1

,=1 ,= 1 1-4«

= I:

2

AE

Е €-4 а

^rnax _

что совпадает с (6).

тг ,2 М Для оценки числа шагов справедливо: /. -х

E„

X 1 = щ < 1 .

ln

Тогда к < 1 + -

E

ln

4а

(7)

Общая оценка среднего времени счета одной итерации, включающая оба шага, может быть оценена

следующим образом. Пусть ^ - среднее время проведения одной арифметической операции, тогда при условии, что время обращения к памяти t1<< О

Тх*\ь2 + кЬ2 +

Здесь первое слагаемое определяет первый шаг, два остальных - второй шаг итерации. Или с учетом (6), (7):

In

1 + L2 + L2

АЕ

Е €- 4а

^rnax ^

(l2 äe"

Е

У ^rnax у

In

4 а

t0. (8)

На рис. 1 представлены зависимости T(L) и Т(а).

T/t

10'

10",

10-

0,01

0.1

T/t

с

10°-ю5-ю4-ю3-ю2

10

100

-т-г-1-1

1000 L

Рис. 1. Связь среднего времени счета критического ния ОЕС модели с основными параметрами модели. а - зависимость числа арифметических операций от параметра диссипации а для различных размеров сетки: 1 - Ь = 100; 2 -Ь = 300; 3 - Ь = 1000; б - зависимость числа арифметических операций от размера сетки Ь для различных значений параметра диссипации а. 1 - а = 0,04; 2 - а = 0,15, 3 - а = 0,22

Как следует из полученных графиков, время счета резко вырастает при приближении параметра диссипации к критическому значению ас = 0,25, а зависимость времени счета от размера сетки Ь при больших

n =

1

а

б

1

значениях носит квадратичный характер, пропорционально росту количества ячеек.

Степенные закономерности эволюции системы к критическому состоянию

В соответствии с концепцией СОК, за конечное время т система достигает стационарного критического состояния, для которого характерен степенной характер функции плотности распределения масштабов сбросов 5 . Система находится в критическом состоянии, если для вероятности сброса справедливо:

где Е(х) - масштабная функция, являющаяся константой до некоторого значения размера пространственного масштаба Ьтах, определяемого размером сетки Ь\ Д у - критические показатели распределения. Данное соотношение определяет степенной характер и зависимости Р(5):

PS, L> L-ßd-^\ = L-ß\±-

s

L

fm)=

(9)

дов - это температура ¿; — T-Tt

критического состояния полагается с х и м>4.

Особенностью эволюции модели ОБО в критическое состояние являются неоднородный характер развития пространственных структурных закономерно-

стей, проявляющийся в эволюции их от границ модели, и существование областей с различным характером поведения ^(г,п). В этом случае в качестве параметра масштаба синхронизации процесса, связанного с изменением корреляционной функции, имеет смысл выбрать число итераций, необходимых для появления сброса масштаба 5.

На рис. 2 представлены зависимости числа итераций п, необходимых для образования первого сброса размером 5 для различных значений параметра а при 1=64.

s

M) иг

где F д"^' ^ - новая масштабная функция.

Таким образом, критический показатель распределения г], определяющий P(s), можно представить как V = Р1У-

Проведенное большое количество модельных опытов [8, 9] показывает, что в двумерной OFC модели во всем диапазоне возможных значений а величина 77 » 1,8, а величина ^подчиняется условию у < 2. оставаясь близкой к данному значению и характеризуя фрактальную размерность распределения сбросов на сетке.

Расчет параметров модели OFC

Для оценки сверху величины у « 2 определим время достижения состояния СОК в модели OFC. Рассмотрим основные параметры модели, определяющие скорость достижения критического состояния. В качестве характеристики критического состояния принято рассматривать изменение функции пространственной корреляции w(r,n) от числа итераций расчетной модели:

• (10)

При отсутствии критического состояния корреляция уменьшается экспоненциально с расстоянием w^Jr exp(r/^ j с- корреляционная длина, которая в теории критических явлений определяется управляющим параметром. Так, в теории фазовых перехо-

¿м , при достижении

Рис. 2. Зависимость среднего времени образования сброса от его размера при фиксированном размере сетки Ь = 64: 1 -при а=0,06; 2 - при а=0Д; 3 - при а=0Д5; 4 - при а=0,2; 5 -при а=0,23; 6 - прямая с наклоном х=1,8

Полученные графики указывают на степенной характер зависимости при л>10:

iS,a, L , L

(11)

В соответствии с масштабным соотношением [10]: (

По аналогии с (9) его можно представить в виде

w

(12)

t

= ta!zf

L

\ = tvf

t

aj 2

t

—cc/z

f

t

L

С учетом того, что t~n, \i ~.s и соотношения (11):

Показатель % является постоянной величиной, и оценка его значения по результатам модельных расчетов представляется в виде

Х = 1,8 ±0,1. (13)

Скорость сходимости к критическому состоянию определяется также значениями параметров а, L. Рассматриваемый процесс неустановившегося критического состояния, как указывалось выше, определяет экспоненциальный характер зависимости от управляющего параметра коэффициента диссипации w(l^ta). В соответствии с рис. 3, оценка зависимости представляется как

w

z

L

L

L

t

t

где // = 11 + 1.

(14)

Рис. 3. Величина показателя - ц =

^- при

V >

различных значениях а и Ь = 64: 1 - щ = 0,1, <х; = 0,15; 2 -а7= 0,15, а, = 0,2; 3 - а7= 0,1, а, = 0,2; 4 - а 7 = 0,2, а, = 0,23

На рис. 4а представлены зависимости п(Ь), определяющие скорость сходимости к критическому состоянию для различных величин сеток рассматриваемой модели.

С учетом (12) получаем

Исходя из расчетных данных, представленных на рис. 46, оценка степенного показателя равна

а

(15)

Еще одним параметром модели, определяющим скорость сходимости системы к критическому состоянию, является значение поступающей энергии АЕ за один шаг итерации, точнее значение АЕ/Етах.

Как следует из (6), среднее число сбросов за один шаг итерации линейно зависит от приращения энергии АЕ. С учетом того, что данный параметр определяет скорость развития взаимодействия между соседними ячейками, при значениях АЕ/Етах«\, справедлива зависимость:

п ^lAE = const. (16)

На рис. 5 представлены зависимости n(s) при различных значениях АЕ и оценки показателя степени р

зависимости n ~ АЕр .

1000 lS'

1000 v

о -1

-2 --3 -

50

100

б

150

200 V

Рис. 4. Зависимость скорости сходимости к критическому состоянию от величины сетки Ь. а - среднее время образования сброса величины 5: 1- при ь = 16; 2 - при ь = 32, 3 -при Ь = 64; 4 - при Ь = 128; б - оценка показателя степени

1ё С с ^ С ^ / ^

(р =-;—^—--- при различных значениях /,,, /,,.: 1 -

lg Li II

j >

l = 32, l = 16; 2 - l = 64, l , = 32; 3 -- l = 128, l = 64; 4 - l =

p -0,5

128, l ,= 32

Рис. 5. Зависимость скорости сходимости к критическому состоянию от величины приращения энергии АЕ. а - среднее время образования сброса величины s при Emax=30: 1 -АЕ = 0,001; 2 - АЕ = 0,.01; 3 - АЕ = 0,1; 4 - АЕ = 1; б - оценка по-

IgitAE^iAE^

казателя степени р =--g——--^— при различ-

lg /AEj ^

ных значениях АЕ„ Щ- : 1 - АЕ7 = 1; Щ- = 0,1; 2 - АЕ, = 0,1; Щ= 0,01; 3 - АЕ,= 0,01; Щ= 0,001; 4 - АЕ,= 0,1; Щ= 0,001

а

б

При значениях ЛЕ«\ и л>10 справедлива оценка: р = -1,0 ±0,1.

Полученные соотношения (13) - (16) позволяют определить время достижения критического состояния в модели OFC.

Оценка времени, необходимого для прямого расчета критического состояния в модели ОБС с заданными значениями параметров а, Ь, с учетом (8), (11):

' dir '

AE

In

f ? ISAE

1+ L + L

2

АЕ

E

(-4 а

Е„

In

J_ 4 а

(17)

Характеристики анализируемых временных рядов и параметры оценок их спектральных плотностей

A Р <Р ¡л

0,05+0,02 -1,0+0,1 1,8+0,1 -1,5+0,2 1,1+1

при значениях параметров, представленных в таблице.

Заметим, что полученная оценка является верхней оценкой, так как выбранное значение 5тах=Ь2 означает переход системы в периодический режим. Реально в критическом состоянии ,5тах~ Ьё, где ё близок к 2, оставаясь строго меньше.

Литература

1. Bak P., Tang C, Wiesenfeld K. // Phys. Rev. Lett. 1987.

Vol. 59. Р. 381-384.

2. Nicolis G. The New Physics. Cambridge, 1989.

3. Binney J.J., Dowrick N.J., Fisher A.J., Newman M.E. The

Theory of Critical Phenomena. Oxford, 1992.

4. Olami Z., Feder H.J.S., Christensen K. // Phys. Rev. Lett.

1992. Vol. 68. P. 1244-1247.

5. GrassbergerP. // Phys. Rev. 1994. E 49. Р. 2436.

6. Christensen K., Olami Z. // Phys. Rev. 1992. A 46. Р. 1829.

7. Corral A., Perez C.J., Diaz-Guilera A., Arenas A. // Phys.

Rev. Lett. 1995. Vol. 74. P. 118.

8. Lise S., PaczuskiM. // Phys. Rev. 2001. E 63. P. 36111.

9. Pepke S.L., Carlson J.M. // Phys. Rev. 1994. E 50. P. 236.

10. Family F., Vicsek T. // J. Phys. 1985. A 18. L75-L81.

Таганрогский технологический институт Южного федерального университета

27 июня 2007 г

t

0