Оценка возможности применения сингулярного разложения матриц при определении пространственного положения снимков земной поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.721.122 (202)

Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2012. Вып. 3

А. А. Симинеев, К. С. Манина

ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СНИМКОВ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Материалы аэрокосмической съемки широко используются для мониторинга и оценки состояния окружающей природной среды, составления и обновления различных карт и планов. Для определения планового положения объектов местности по их изображениям необходимо знать элементы внешнего ориентирования (ЭВО) снимков в пространстве. Определение ЭВО снимка по координатам опорных точек или, что то же, решение обратной пространственной фотограмметрической засечки, является одной из основных задач аналитической фотограмметрии.

Для теоретического обоснования определения ЭВО обычно используются известные зависимости между координатами х, у точки снимка и координатами X, Y, Z соответственной точки местности [1]:

х = х Яд( X - X, ) + Ь^) + С1& - ^ ) х Хо- /Яз( X - X,) + Ьг^ -¥,) + - ^ Г

= а2(X-X,) + Ь2^) + с2 (г-^) (1)

У Уо- /Яз( X - Xs) + Ьз(Y -YS) + сг(г - )

где х0, у0 — координаты главной точки снимка; / — фокусное расстояние фотокамеры; Xs, Ys, — координаты точки фотографирования (линейные ЭВО); а-„ Ь,, с, (I = 1, 2, 3) — направляющие косинусы, являющиеся функциями угловых ЭВО снимка а, ш и к.

Пусть т — число опорных точек на снимке, п = 2т — число уравнений поправок, к — количество неизвестных ЭВО (к = 6). Тогда, приведя функции (1) к линейному виду, составим систему уравнений поправок в матричной форме [1]:

BST + L = V, (2)

где B — полноранговая (n х к) матрица частных производных функций (1) по неизвестным ЭВО; ST и V — векторы поправок к начальным (приближенным) значениям неизвестных и измеренным координатам х и y; L — вектор свободных членов.

Система (2) несовместна и состоит из n уравнений с n + к неизвестными поправками V и ST При наличии избыточных измерений, используя условие VTPV = min, от системы (2) переходят к системе нормальных уравнений (СНУ):

BTPB ST + BTPL = 0, (3)

где T — верхний индекс, обозначающий операцию транспонирования матриц; P = diag(p1, p2, ..., pn) — диагональная матрица весов измерений pi (i = 1, 2,..., n).

© А. А. Симинеев, К. С. Манина, 2012

Решение СНУ (3), состоящей из к уравнений с к неизвестными поправками 8Т, выполняется последовательными приближениями методом гауссова исключения [1].

Для оценки точности решения в последнем приближении по формуле (2) вычисляют вектор поправок V, определяют квадратичную форму УТРУ и матрицу весовых коэффициентов р = (ВТРВ)-1. Затем определяют средние квадратические ошибки (СКО) найденных ЭВО [1]:

тЪ =^^,

(4)

где ц =

УТРУ

п - к

— ошибка единицы веса, Р) ( = 1, 2, ..., к) — диагональные элемен-

ты матрицы р.

Устойчивость решения к вычислительным ошибкам округления и ошибкам исходных данных характеризуется числом обусловленности к2 матрицы системы. Числа обусловленности матриц В и ВТВ связаны соотношением к2 (ВТВ) = (к2(В))2 [2]. Матрица В плохо обусловлена, поэтому обусловленность матрицы ВТРВ во много раз хуже. В связи с этим, переход от уравнений поправок (2) к нормальным уравнениям (3) приводит к потере точности, а зачастую и к неустойчивости решения при нестандартной схеме расположения опорных точек.

В настоящее время наиболее надежным и эффективным методом решения систем линейных алгебраических уравнений считается сингулярное разложение матриц (общепринятая аббревиатура — SVD) [2, 3]. Более того, возможно, это самое важное матричное разложение из всех известных [2]. В то же время в отечественной практике математической обработки геодезических измерений SVD-разложение не нашло широкого применения.

Оценим возможность применения указанного метода для решения обратной фотограмметрической засечки. Сингулярное разложение матрицы ВТРВ имеет вид [3]:

ВТРВ = и IVТ,

(5)

где и, V — ортогональные (к х к) матрицы (символ тильда у матрицы V введен для отличия матрицы от вектора поправок V);

1 =

0

}к 7

— диагональная (к х к) — матрица,

а1, о2, ..., ок — сингулярные числа (о) > 0), причем о1 > о2 > ... > ок.

В отличие от матриц и и V, обладающих свойствами лишь частичной однозначности, сингулярные числа о) определяются однозначно [2]. Известно, что количество чисел О)^ 0 соответствует рангу матрицы системы, а ее число обусловленности к2 = отах/отп , где отах, отП — максимальное и минимальное сингулярные числа.

Учитывая, что для ортогональных матриц и 1 = иТ, и введя обозначения:

г = VТ 6Т; D = -и-'вТРЬ = -иТВТР1, преобразуем систему (3) к виду:

I г=D,

где D — вектор, элементы которого обозначим й. Из системы (7) следует [3]:

(7)

г=1^ =

й\ йк ^ , , • • ♦ ,

'к 7

Тогда из первого уравнения выражений (6) получим

8Т=(Т )-1г = уг. (8)

Найдя в первом приближении поправки 8Т, исправим начальные значения неизвестных ЭВО, заново вычислим элементы матрицы В, SVD-разложение (5) и по приведенной схеме определим значения поправок во втором приближении и т. д.

Оценка точности решения задачи выполняется так же, как и в традиционном способе. Однако вместо непосредственного вычисления матрицы (ВТРВ)-1 элементы матрицы весовых коэффициентов р найдем, решив к раз систему (7), подставляя в нее последовательно вместо вектора D соответствующий столбец матрицы иТ.

Экспериментальная проверка возможности применения сингулярного разложения при решении обратной фотограмметрической засечки выполнена на аналитических моделях равнинной местности и снимка масштаба 1:10 000 (/= 75 мм) со стандартной схемой расположения опорных точек [4]. При равноточных измерениях, характеризующих модели, матрица весов Р = Е (где Е — единичная матрица), поэтому система (3) преобразуется к виду:

ВТВ 8Т + ВТЬ = 0. (9)

Для сравнения методов решения задачи элементы ориентирования снимка определялись дважды: в начале из решения СНУ (9) методом гауссова исключения, а затем по тем же самым исходным данным — методом SVD-разложения. Разложение матриц выполнялось с помощью программы $уй [5], в которой в отличие от теории [2, 3], числа О) не упорядочиваются по величине (табл. 1).

Из табл. 1 следует, что независимо от метода решения СНУ соответствующие элементы ориентирования равны между собой. При этом максимальные значения истинных ошибок не превышают 20 мкм для линейных и 0,005" для угловых ЭВО снимка, что согласуется с точностью моделей. Число обусловленности к2(ВТВ) = 1,05 • 107. В ходе эксперимента установлено, что соответствие между числами о. и ЭВО (точнее, поправками к ним 8Т)) сохраняется независимо от порядка записи неизвестных в системе (2).

Таблица 1. Результаты решения обратной засечки

Наименование Элементы внешнего ориентирования снимка

величин Х$, м Ys, м 2$, м а и к

Истинные 1400,0 700,0 750,0 1°15 '00" -3°00 '00" -2°10 '00"

значения

Вычисленные

методом гауссова исключения 1 399,99998 700,00001 750,00002 1°15 '00,005" -3°10 '00,004" -2°10 '00,001"

Вычисленные

методом 5УО-разложения 1 399,99998 700,00001 750,00002 1°15 '00,005" -3°10 '00,004" -2°10 '00,001"

Сингулярные числа 109550,539 103960,642 40322,740 0,071649915 0,010542244 0,010459220

Точность ЭВО оценивалась по формуле (4) отдельно для каждого из рассматриваемых методов. Кроме того, из сравнения вычисленных прямой засечкой [1] и истинных значений координат опорных и контрольных точек местности определялись СКО их планового положения. Результаты оценки точности приведены в табл. 2.

Таблица 2. Оценка точности фотограмметрической обработки модели снимка

Метод решения СНУ Ошибка единицы веса СКО точек, мкм СКО линейных ЭВО, мкм СКО угловых ЭВО, секунды

опорных контрольных та т. тк

Гауссово

исключение 2,4 • 10-6 22 43 23 23 9 0,003 0,003 0,003

SVD-

разложение 2,4 • 10-6 22 43 23 23 9 0,003 0,003 0,003

П р и м е ч а н и е. Количество опорных и контрольных точек на модели составило соответственно 5 и 38 точек.

Анализ данных табл. 2 показывает, что рассматриваемые методы решения СНУ равноточны.

Уравнение (9) может быть получено непосредственно из уравнения поправок (2), или из уравнения:

В8Г+ Ь = 0, (10)

путем умножения их слева на матрицу Вт. При этом в первом случае, в соответствии с известной леммой Гаусса, правая часть полученного равенства ВТУ = 0.

В [3] доказывается, что система (9) всегда совместна, имеет единственное решение, если столбцы матрицы В линейно независимы, и ее решение является нормальным решением системы (10). Нормальным в том смысле, что квадрат длины остаточного вектора поправок V меньше, чем при любом другом выборе значений неизвестных. Справедливо и обратное утверждение: решение системы (10) и только оно является нормальным решением системы (9).

Решением системы (10) является вектор:

8Г = -В+1,

где В+ — псевдообратная (к х п) матрица.

Матрицу В+ вычислим с помощью 5УД-разложения. Для этого найдем сингулярное разложение:

В = и^У1,

(12)

где и, У — ортогональные матрицы размера соответственно (п х п) и (к х к); Е — (п х к) матрица

Тогда [3]:

где —(к х п) матрица:

1 =

0

Л

в += У ъ+иг,

2+ =

-1

тк 0 ^

(13)

Проверка возможности определения ЭВО снимка без составления нормальных уравнений (9) проведена на моделях равнинной местности и снимка, описанных выше. Результаты решения системы (10), за исключением значений сингулярных чисел, совпадают с данными, приведенными в табл. 1 и 2. При этом число обусловленности к2(В) = 3,24-103, что более чем в 3000 раз меньше к2(ВТВ).

Пусть измерения неравноточны (Р ^ Е). Тогда, умножив г-е уравнение системы (10) на (где р1 — вес г-го измерения), приведем неравноточные измерения к равноточным [6]. Полученная при этом система уравнений в матричной форме имеет вид

РШВ8Г + РШЬ = 0,

(14)

где Р1/2 = dгag (7Р1,7Р2, — , ).

Решение системы (14) осуществляется таким же образом, как и системы (10). С целью приближения исследований к реальным условиям, в истинные координаты опорных точек аналитических моделей введем нормально распределенные случай-

ные ошибки и решим обратную засечку для случая неравноточных измерений. Результаты решений показали, что и в этом случае рассматриваемые методы равноточны. Характеристики устойчивости решений к ошибкам приведены в табл. 3.

Таблица 3. Характеристики устойчивости решения обратной засечки

Метод решения и исходные зависимости Сингулярные числа Число обусловленности Количество приближений

@тах

Гауссово исключение (3) 360963,16 0,026157 1,38107 6

SVD-разложение (14) 600,80 0,161733 3,71-103 4

Из табл. 3 видно, что число обусловленности матрицы системы уравнений (14) к2(Р1йВ) более чем в 3700 раз меньше к2(ВТРВ). Снижение величины числа обусловленности привело к сокращению количества приближений в 1,5 раза.

Таким образом, выполненные исследования показали, что методы гауссова исключения и сингулярного разложения матриц равноточны. Однако к преимуществам последнего можно отнести возможность определения ранга и числа обусловленности матриц в ходе решения задачи, а также устранение необходимости непосредственного вычисления обратных матриц. Важной особенностью сингулярного разложения является возможность решения обратной фотограмметрической засечки без составления нормальных уравнений. При этом за счет лучшей обусловленности матрицы системы сокращается количество приближений, уменьшается объем вычислений и повышается устойчивость решения к ошибкам исходных данных.

Изложенный метод может быть использован при определении элементов взаимного ориентирования снимков, а также для решения других аналитических задач фотограмметрии.

Литература

1. Лобанов А. Н. Фотограмметрия: учебник для вузов. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Недра, 1984. 552 с.

2. Уоткинс Д. С. Основы матричных вычислений / Д. Уоткинс; пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 664 с.

3. Шевцов Г. С. Численные методы линейной алгебры: учеб. пособие / Г. С. Шевцов, О. Г. Крюкова, Б. И. Мызникова. М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2008. 480 с.

4. Аналитические модели местности и снимков (макетные снимки) / А. Н. Лобанов, В. Б. Ду-биновский, А. И. Саранцев и др. 2-е изд. доп. и перераб. М.: Недра, 1989. 140 с.

5. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Мал-кольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980. 280 с.

6. Большаков В. Д., Маркузе Ю. И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений: учеб. пособие для вузов. М.: Недра, 1984. 352 с.

Статья поступила в редакцию 23 марта 2012 г.