CC BY
34
УДК 519.6:311
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 2
Г. И. Колесников, Н. В. Корнилова, Ю. В. Федотов, Н. В, Хованов
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ АЛЬТЕРНАТИВ РАЗВИТИЯ ФОНДОВОГО РЫНКА В УСЛОВИЯХ ДЕФИЦИТА ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ*)
Введение. Для успеха оперативного и стратегического менеджмента весьма существенным является учет состояния фондового рынка, на котором менеджмент корпорации размещает корпоративные акции и облигации и/или инвестирует капитал в различные финансовые инструменты. В этой связи возникает трудная задача прогноза будущего состояния фондового рынка при проведении операций с указанными ценными бумагами.
Трудность такой задачи во многом обусловлена тем обстоятельством, что вероятности тех или иных состояний фондового рынка зачастую не могут быть определены обычными статистическими методами по историческим данным (см., например, работы [1-3]). Поэтому менеджеру приходится привлекать к оценке вероятностей состояний рынка ценных бумаг экспертов, которые, в свою очередь, обычно не могут дать точных числовых их оценок и ограничиваются только совокупностью сравнительных суждений типа «вероятность альтернативы А3 развития фондового рынка превосходит вероятность аналогичной альтернативы А*», «вероятности альтернатив Аи и Ау практически равны» и т. п.
Для оценки вероятностей альтернатив в условиях указанного дефицита числовой информации в настоящей статье предлагается следующая стохастическая модель неопределенности задания вероятностей, позволяющая утилизировать все имеющиеся у исследователя нечисловые, неточные и неполные данные как о самих вероятностях исследуемых альтернатив,, так и о сравнительной надежности и значимости используемых источников информации [4, 5].
1. Общая схема оценки вероятностей альтернатив при неопределенности. Пусть некоторая сложная система (в нашем случае - российский фондовый рынок), рассматриваемая в фиксированный момент времени £ = £0, может перейти в одно и только одно из возможных состояний А\9...,Аг к моменту времени £ = ¿о + т. Пусть у исследователя имеется га различных источников экспертной информации о вероятностях щ - Р{А{), г - 1,..., г, р{ ^ 0, рх Н-----Ь рг = 1, альтернатив Аг,..., Аг.
Относительно информации ] = 1 получаемой из ¿-го источника, пред-
полагается, что она может быть двух типов - ординальная (нечисловая) информация 01выражаемая сравнительными суждениями типа «вероятность альтернативы А{ больше, чем вероятность альтернативы Л/» и «вероятности альтернатив Аи, Ау равны», и интервальная (неточная) информация //¿, состоящая в указании диапазонов [а», 6*], 0 ^ а,{ ^ Ь{ ^ 1, г = 1,...,г, возможного варьирования вероятностей рх,... ,рг альтернатив А\,..., АТ.
Иными словами, нечисловая и неточная объединенная информация = 01) и получаемая из ¿-то источника, задается системой
¡з = & > РьР« =Ру\О>з О* ** € {1,...,г}} (1)
•^Работа выполнена нри частичной под держке Российского фонда фундаментальных исследований (проект ДО 02-06-80108).
© Г. И. Колесников, Н. В. Корникова, Ю. Вт Федотов, Н. В. Хованов, 2005
равенств и неравенств для вероятностей рх, • • • ,рг альтернатив Ах,..., Аг. При этом, так как возможно, что не все вероятности рх,... ,рг входят в одно из равенств и/или неравенств системы то можно говорить, что информация неполна.
Таким образом, можно считать, что из го источника поступает нечисловая, неточная и неполная информация (ннн-информация) I$ = 1 ,...,т, о вероятностях рх,... ,рг альтернатив А1?..., Аг. То есть исследователь имеет совокупную ннн-информацию /, представляющую собой кортеж I = (Д,...,/то), состоящий из соответствующих систем равенств и неравенств, получаемых из всех т источников информации, доступных ему.
Дополнительно предполагается, что исследователь располагает ннн-информацией относительно сравнительной значимости («весомости», надежности, достоверности и т. д.) информации из различных источников для построения оценок вероятностей альтернатив. Эта ннн-информация 3 описывается системой
3 — > п)1,и)и ~ А/ ^ уц ^ е {1,... ,т}} (2)
равенств и неравенств для весовых коэффициентов (коэффициентов весомости) гУх,... ,гут, гщ ^ 0, гух + • • ■ + шт = 1. Весовой коэффициент г^- может интерпретироваться как мера относительной значимости («весомости») ннн-информации из ¿-го источника для построения оценок вероятностей альтернатив.
Таким образом, всю доступную исследователю ннн-информацию можно записать в виде кортежа (/;</) = ((/х,..., /ш); 3), где I) - информация о вероятностях рх,... ,рг, альтернатив Ах,..., Аг, получаемая из ./'-го источника, а 3- ннн-информация о сравнительной значимости отдельных источников для оценивания вероятностей указанных альтернатив развития сложной системы (фондового рынка).
Множество Р(г) всех возможных векторов р = (рх,.--,рг) вероятностей альтернатив Ах,..., Аг представляет собой (г — 1)-мерный симплекс Р(г), определяемый условиями Р(г) — {р — (рх,... ,рг) : Рг ^ 0,рх +----Ь рг = 1} и расположенный в г-мерном
евклидовом пространстве Рг. Учет ннн-информации вида (1) позволяет сформировать множество Р(г; /¿) всех допустимых (с точки зрения го источника информации) векторов вероятностей, представляющее собой (г - 1)-мерный полиэдр (многогранник) Р(г;/¿) С Р(г), расположенный в г-мерном евклидовом пространстве Рг.
Следовательно, ннн-информация , получаемая из ¿-го источника, определяет вектор вероятностей р = (Ръ---,Рг) с точностью до множества Р(г;Моделируя неопределенность выбора вектора вероятностей р = (рх,... ,рг) из множества Р(г; /¿) при помощи рандомизации этого выбора, получаем случайный вектор
р(/,)-(Р1№),...,Рг№)), о, + = (3)
равномерно распределенный на полиэдре Р(г; 7^).
Компонента Рг(^) случайного вектора р(/7) есть рандомизированная (стохастическая, случайная) оценка вероятности альтернативы А*, соответствующая ннн-информации полученной из ^-го источника. Для случайных величин Рг(^), г = 1,...,г, можно найти математические ожидания РгОО) = Мр^Т^), стандартные отклонения (стандарты) зрг^) = у/Щ^Ц]) и ковариации ср(г,/;= соу(^(/^),р/(7^)), г,/ = 1,...,г.
Задачу нахождения оценки с^- = Сг(/^ ) вероятности р* альтернативы А^ можно сформулировать, например, как задачу выбора оптимальной (с точки зрения определенного критерия) аппроксимации соответствующей случайной вероятности Рг(/^) константой
Сц. Если воспользуемся для построения такой аппроксимации широко применяемым Методом наименьших квадратов, то минимизирующей функцией качества аппроксимации будут служить математическое ожидание М(рг(1— с^)2, достигающее своего минимального значения Е* = ^(с^) при с^ = Мр{(1Таким образом, математическое ожидание рандомизированной вероятности интерпретируемое как усредненная оценка вероятности альтернативы А{, сделанная на основе ннн-информации полученной из .7-го источника, можно считать оптимальной (с точки зрения метода наименьших квадратов) оценкой вероятности р{ альтернативы А{.
Точность полученной оценки Рг(^) естественно (в рамках наименьших квадратов) описывается случайной величиной (рг(^) —р^з))2, оптимальная аппроксимация Сц которой, определяемая тем же методом наименьших квадратов, совпадает с дисперсией Сц — ДрД/^) рандомизированной случайной вероятности Поскольку в качестве меры отклонения случайной величины от своего математического ожидания зачастую удобнее использовать не дисперсию, а стандартное отклонение, постольку мы далее будем применять в качестве оптимальной (с точки зрения метода наименьших квадратов) оценки точности аппроксимации р{(1)) стандартное отклонение рандомизированной вероятности Рг(^)-
Итак, в первом приближении можно считать, что полученные усредненные оценки вероятностей альтернатив и соответствующие стандартные отклонения, которые удобно записывать в виде широко используемых в теоретико-вероятностных приложениях соотношений ± одС^), г = 1,... ,г, 3 = 1,... ,т, решают задачу оценки вероятностей альтернатив по отдельным источникам информации.
2. Синтез отдельных оценок вероятностей альтернатив. Рассмотрим матрицу г — 1,... ,г, з = 1,... ,га, рандомизированных оценок вероятностей альтернатив:
Рг (/1)...Й(/1)...Рг(Л),
Р1 (/,)...&(/,)... рД/Д (4)
Р1 (^т)...Рг(/т)-..Рг(Лп)-
Строки этой матрицы являются, как уже было сказано выше, случайными векторами компоненты которых суть рандомизированные оценки вероятностей альтернатив, отвечающие ннн-информации, полученной из соответствующего источника.
Транспонированный столбец матрицы (р(/?)) представляет собой случайный вектор (р(г) = (рДД),... ,рг(/т)), компоненты которого различные рандомизированные оценки рД/^), ^ = 1,... ,т, вероятности альтернативы А*. При этом будем так рандомизиро-вать оценки вероятностей, чтобы случайные величины ^¿(Д),... ,рг(/ш) были независимы в совокупности. Впрочем, для излагаемого в настоящей статье варианта метода оценки вероятностей альтернатив вполне достаточно предположить, что соответствующие случайные величины независимы попарно. Не следует путать четко определенную теоретико-вероятностную независимость случайных величин Рг(Д)> • • • с «неза-
висимостью» соответствующих источников информации (с «независимостью» различных систем 1\,..., 1т равенств и неравенств для вероятностей р\,..., рг): два источника информации могут давать всегда полностью совпадающие системы ограничений 18, (т. е. быть абсолютно «зависимыми» друг от друга), но соответствующие случайные вероятности рД/^рД/г) будут тем не менее независимы в силу принятого нами способа рандомизации.
Множество Иг(т) всех возможных векторов весовых коэффициентов ъи = (гих,..., гит) представляет собой (га — 1)-мерный симплекс УУ(т) = {ги = (и>1,..., гит) :
Wj ^ 0, wi 4-----h wm = 1}, расположенный в m-мерном евклидовом пространстве Rm.
Учет ннн-информации J вида (2) позволяет сформировать множество W(m; J) всех допустимых (с точки зрения ннн-информации J) весовых векторов, представляющее собой (га — 1)-мерный полиэдр (многогранник) W(m; J) С W(m) = W(m;0) С i?m, расположенный в ш-мерном евклидовом пространстве Rm.
Таким образом, ннн-информация J о сравнительной значимости используемых источников информации Д,..., 1т определяет вектор весовых коэффициентов w = (iüi, ... , wm) с точностью до множества W(ra;J). Моделируя неопределенность выбора вектора весовых коэффициентов из множества W(ra; J) при помощи рандомизации этого выбора, получаем случайный вектор w = (tDi(J),... ,u)m(J)), Wj{J) ^ 0, wi(J) H-----1- wm(J) = 1, равномерно распределенный на полиэдре W(m; J).
Компонента Wj(J) случайного вектора w(J) есть рандомизированная (стохастическая, случайная) оценка значимости («весомости») ннн-информации /j, полученной из j-го источника, для построения оценок вероятностей р\,..., рг альтернатив Для случайных величин iüj(J), j = 1 ,...,га, можно найти математические ожидания Wj(J), стандартные отклонения (стандарты) swj(J) = cw(j,j]J) и ковариации cw{j,k\J), j,к = 1 ,...,га: w)j(J) = Mwj(J), swj(J) = y/Dü)j(J), cw(j,k;J) = cov(wj(J),wk(J)).
Математическое ожидание Wj(J) рандомизированного весового коэффициента Wj(J) можно интерпретировать как усредненную оценку значимости j-го источника информации. Тогда стандартное отклонение swj(J) может служить мерой точности оценки Wj(J). Полученные усредненные оценки весовых коэффициентов и соответствующие стандартные отклонения удобно записывать в следующем виде: ü)j(J)±swj(J), j = 1,...,га.
Итак, для каждой альтернативы А{ исследователь имеет рандомизированную многокритериальную оценку, представляющую собой случайный вектор (столбец матрицы (4)) р(г) с попарно независимыми компонентами. Кроме того, исследователю известен рандомизированный вектор весовых коэффициентов w( J), компоненты которого суть рандомизированные оценки относительной значимости отдельных источников информации. Теперь можно создать дважды рандомизированную сводную оценку
т
Ä(J;J) = 5>№)tfi(J) (5)
j=i
вероятности альтернативы А{ путем аддитивного взвешенного рандомизированного агрегирования рандомизированных оценок pi(Ij) со случайными весовыми коэффициентами Wj(J), j = 1,..., га. Отметим, что дважды рандомизированная оценка pi(I; J) вероятности pi альтернативы А{ учитывает всю ннн-информацию (/; J) = (Д,..., Im\ J), доступную исследователю.
Так как случайные величины pi(Ij), Wj{J) естественно считать независимыми, то легко сосчитать математическое ожидание
т
ft(7; J) = Mßi(I; J) = ^ftftJtiyiJ) (6)
i
дважды рандомизированной оценки J). Здесь pi{Ij) - усредненная оценка вероятности г-й альтернативы, построенная с учетом ннн-информации, полученной от j-го источника, а Wj(J) - усредненная оценка «весомости» j-го источника, построенная с учетом ннн-информации о сравнительной значимости различных источников.
wj ^ 0, iüi -I-----b wm = 1}, расположенный в га-мерном евклидовом пространстве Rm.
Учет ннн-информации J вида (2) позволяет сформировать множество W(m; J) всех допустимых (с точки зрения ннн-информации J) весовых векторов, представляющее собой (га - 1)-мерный полиэдр (многогранник) W(m\J) С W(m) = W(m;0) С расположенный в га-мерном евклидовом пространстве Rm.
Таким образом, ннн-информация J о сравнительной значимости используемых источников информации Д,..., 1т определяет вектор весовых коэффициентов w = (iüi, ... ,wm) с точностью до множества W(m;J). Моделируя неопределенность выбора вектора весовых коэффициентов из множества W(ra; J) при помощи рандомизации этого выбора, получаем случайный вектор w = (u)i(J),... ,tt)m(J)), Wj(J) ^ 0, wi(J) H-----h Wm(J) = равномерно распределенный на полиэдре W(m\ J).
Компонента vjj(J) случайного вектора w(J) есть рандомизированная (стохастическая, случайная) оценка значимости («весомости») ннн-информации Jj, полученной из j-ro источника, для построения оценок вероятностей р\,..., рг альтернатив Ai,...,Ar. Для случайных величин Wj(J), j = 1 ,...,m, можно найти математические ожидания %(«/), стандартные отклонения (стандарты) swj(J) = cw(j,j;J) и ковариации cw{j,k\J), j, fc = l,...,m: wj(J) = Mvjj(J), swj(J) = y/Dwj(J), cw(j,k\J) =co v(wj(J),wk(J)).
Математическое ожидание töj(J) рандомизированного весового коэффициента Wj(J) можно интерпретировать как усредненную оценку значимости j-ro источника информации. Тогда стандартное отклонение swj(J) может служить мерой точности оценки Wj(J). Полученные усредненные оценки весовых коэффициентов и соответствующие стандартные отклонения удобно записывать в следующем виде: iDj(J)±swj(J),
j = 1, ... ,771.
Итак, для каждой альтернативы Ai исследователь имеет рандомизированную многокритериальную оценку, представляющую собой случайный вектор (столбец матрицы^)) рс попарно независимыми компонентами. Кроме того, исследователю известен рандомизированный вектор весовых коэффициентов w( J), компоненты которого суть рандомизированные оценки относительной значимости отдельных источников информации. Теперь можно создать дважды рандомизированную сводную оценку
771
Ä№J) = 5>tt)t»i(.0 (5)
3=1
вероятности альтернативы А{ путем аддитивного взвешенного рандомизированного агрегирования рандомизированных оценок pi(Ij) со случайными весовыми коэффициентами Wj(J), j = 1,..., га. Отметим, что дважды рандомизированная оценка pi(I; J) вероятности pi альтернативы А{ учитывает всю ннн-информацию (/; J) = (Д,...,/т; J), доступную исследователю.
Так как случайные величины pi(Ij), Wj{J) естественно считать независимыми, то легко сосчитать математическое ожидание
т
ft(7; J) = Mßi(I; J) = (6)
j=i
дважды рандомизированной оценки J). Здесь pi{Ij) - усредненная оценка вероятности г-й альтернативы, построенная с учетом ннн-информации, полученной от j-ro источника, а Wj(J) - усредненная оценка «весомости» j-ro источника, построенная с учетом ннн-информации о сравнительной значимости различных источников.
Дисперсия в2рг(/; 3) дважды рандомизированной оценки ¿>¿(1; 3) вероятности р* альтернативы А{ определяется формулой
т т
з2М1; 3) = ОД(/; 7) = £ МШШсшЦ, к; I) + 7) + (7)
j,k=l ¿=1
из которой видно, что дисперсия (/; 7) дважды рандомизированной оценки рД/; 7) может быть разбита на два слагаемых, первое из которых не зависит от стандартных отклонений и может быть вычислено при помощи стандартной процедуры однократной рандомизированной свертки детерминированных оценок р^Д),... ,Рг(Лп) вероятностей альтернативы А^ г = 1,... ,г.
3. Алгоритм оценки вероятностей альтернатив по ннн-информации из источников различной достоверности. Формулы (6), (7) позволяют решить задачу получения искомых оценок р\(1; «/),... ,рг(1; «/) вероятностей рь ... ,рг альтернатив А\,...,АГ в два этапа. На первом учитывается ннн-информация Д,..., /т, поступающая из га различных источников и позволяющая построить матрицу г = 1,...,г, <7 = 1,...,га, усредненных оценок вероятностей альтернатив
р! (/,)...рД/,)...рг(/,), (8)
РгЦтп) - - -Рг(1т) - - -Рг(1т)'
Строки этой матрицы являются векторами рг(^), компоненты которых суть усредненные оценки вероятностей альтернатив, отвечающие ннн-информации из соответствующего источника.
Транспонированный столбец матрицы (р(/^)) представляет собой вектор = (Рг(Л)5 • • • >Рг(Лп))? компоненты которого - различные усредненные оценки Рг(/^), з = 1,... ,га, вероятности рг альтернативы А{. Иными словами, вектор рМ есть многокритериальная оценка вероятности р* альтернативы А{.
На втором этапе полученные оценки Рг(А)>... ,р»(/т) вероятности р* альтернативы А{ синтезируются в сводную оценку ^¿(/,7), мерой точности которой служит стандартное отклонение зрг (/;«/) = ^yDpi(I~J), вычисляемое с использованием формулы (7). Окончательные результаты оценивания вероятностей альтернатив развития конфликта удобно представлять в виде рДг, 7) ± ярг(/; </), г = 1,..., г.
Рассмотрим теперь порядок реализации на ЭВМ описанного метода оценки вероятностей р1,..., рг альтернатив А\,..., АТ по ннн-информации из источников различной надежности и достоверности.
1. Зафиксируем шаг /г = 1/п отсчета вероятностей рх,... ,рг:
1 2 1 П-2Я-Г] \ я п п п п )
Тогда множество Р(т\п) всех возможных векторов вероятностей р = (р^... ,рг) конечно:
Р(г,п) = {р^=<р[в),...,№),в = 1г..,М(г,п)}. (10)
Число ЛГ(г, п) элементов множества Р(г, п) определяется формулой Множество
Р{г,щ1}) = {р^ = (12)
всех допустимых (с точки зрения ннн-информации векторов вероятностей тоже, естественно, конечно и содержит ]У(г, ^ ТУ (г, п) элементов.
Количество (в битах) информации о вероятностях альтернатив, получаемой из ^'-го источника, может быть определено по формуле
N(r, п) N{r,n\ Ij)'
inf (ы = i0g2 аз)
2. По построенным с помощью известных комбинаторных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ [6], множествам Р(г,п;/^), $ — 1,...,ш, вычисляются усредненные оценки стандартные отклонения зрг(-О) и ковариации ср(г,г,/ = 1,...,г,
$ = 1,..., ш, по формулам
spi(Ji) =
~ £ IP^-ftft)]2. (15)
0=1
N(r,n\ Ij)
N(r,n;Ij)
(16)
3. Для каждого источника ннн-информации , $ = 1,... ,т, выдаются результаты оценивания вероятностей рх,... ,рг альтернатив Ах,..., Аг в виде
Pi(Ij) ± m(Ij), ■ ■ ■ ,Pi(Ij) ± spi(Ij), ■ ■ ■ ,Pr{Ij) ± sp< (/,•). (17)
4. Зафиксируем шаг d = 1/1 отсчета весовых коэффициентов:
L12 s 1-21-11
.....7.....—-Г'1}- {18)
Тогда множество 1У(га,/) всех возможных векторов весовых коэффициентов конечно: W(m,l) = {w= (w[e\...,w$),0 = l,...,iV(ra,/)}. Число N(m,l) элементов множества W(m,l) вычисляется по формуле (11). Множество
W(m, I) = {у,™ = (<>,..., «#>), в = 1,..., N(m, /; J)} • ■ (19)
всех допустимых (с точки зрения ннн-информации J) векторов весовых коэффициентов тоже естественно, конечно и содержит 7V(ra,Z; J) ^ N(m,l) элементов. Количество (в
битах) информации о сравнительной значимости отдельных источников данных может быть определено по формуле
'»«'<>таг <*»
5. По построенному на ЭВМ (с помощью известных комбинаторных алгоритмов) множеству вычисляются усредненные оценки Wj(J)1 стандартные отклоне-
ния 5^(7) и ковариации к\ </), у, к = 1,... ,т, по формулам (см. [6])
Щт,1;7) §
= „Л п Е (21)
=
2 (22)
ЛГ(т,/; 7)
=1 ЛГ(т,г;7)
си>0-,М) = Е (23)
6. Выводятся результаты оценки значимости отдельных источников информации в виде
±8^1(7),...,^(7) («/),...,рт(7) ±8рт№). (24)
7. Подставляя в формулу (6) вычисленные ранее усредненные оценки ^(<7), = 1 получаем искомые сводные оценки «/), г = 1,...,г, вероятностей
альтернатив.
8. Подставляя в формулу (7) вычисленные ранее величины сии^, &;</), к = 1,..., га, получаем стандартные отклонения 5р*(/; 7), г = 1,..., г, определяющие
точность оценок £¿(1; 7).
9. Окончательный результат построения по всей доступной исследователю ннн-информации (/, 7) = (Д,...,/т; 7) сводных оценок вероятностей рх,. • • ,Рг альтернатив Ах,..., Аг удобно представить следующим образом:
РЛЬ) ± А • • • >Рг№) ± 7), ...,Рг(/; 7) ± 5рг(/; 7). (25)
4. Пример оценивания вероятностей альтернатив динамики фондового рынка. Рассмотрим следующий условный пример оценивания вероятностей альтернатив динамики российского фондового рынка.
Зафиксируем для значения индекса ДТ5 Российской торговой системы (РТС) пять (г = 5 ) возможных альтернатив А\,..., А5 состояния на некоторый будущий момент времени £ (например, через месяц после данного момента времени): А\ - индекс существенно (более чем на 10%) понизится;
Аъ - индекс заметно (не менее чем на 5%, но не более чем на 10%) понизится; Аз - индекс изменится несущественно (не более чем на 5%); А4 - индекс заметно (не менее чем на 5%, но не более чем на 10%) повысится; А5 - индекс существенно (более чем на 10%) повысится.
Пусть исследователь имеет следующие источники ннн-информации о вероятностях Рх,... ,Рб альтернатив Ах,..., А5:
1. «Эксперт» - мнение известного независимого аналитика, проводящего оценку вероятностей альтернатив развития фондового рынка в рамках РТС;
2. «MASS-MEDIA» - результат обработки и агрегации мнений ведущих аналитиков наиболее авторитетных электронных и печатных средств массовой информации;
3. «Аналитики-консультанты» - мнение аналитиков некоторой российской консалтинговой фирмы, торгующей прогнозами движения индекса РТС;
4. «Аналитики ФКЦБ» - мнение ведущих аналитиков Федеральной комиссии по ценным бумагам (ФКЦБ России).
Предположим, что из указанных источников поступает следующая ннн-информация I — (Д,..., J4):
h = {pi >Р2= Рз}, h = {pi =Р2>Рг= PA}, h = {Pi <P2=P4= Ps}, h = {Pi > P2 > Рз > P45 Pi > 0,8; p5 < 0,1}.
Сам же исследователь (супер-эксперт) при определении сравнительной значимости указанных источников опирается на имеющуюся у него ннн-информацию, описываемую системой J — {W4 > w\ = w-2 > W3} равенств и неравенств для весовых коэффициентов гУ1,...,гУ4, задающих относительную «весомость» используемых источников информации о вероятностях pi,... ,р5 альтернатив А\,...,
Для дальнейших расчетов воспользуемся программой СОВА (Система Оценивания Вероятностей Альтернатив), разработанной в Санкт-Петербургском государственном университете на основе так называемой «АСПИД-методологии» (АСПИД - аббревиатура «Анализ и Синтез Показателей при Информационном Дефиците»). Введя в программу СОВА ннн-информацию (/;</) = (/1,..., /5; J) и выбрав шаг отсчета h = d = 1/20 = 0,5 вероятностей pi,...,ps и весовых коэффициентов ... ,11*4, получаем следующие искомые оценки pi{I\J), i = 1,...,5, вероятностей pi,...,ps альтернативА\,...,
т J)±sPl(I; J) = 0,58 ±0,09,
ш J)±sp2{I; J) = 0,15 ±0,01,
со "О, J)±sp3(I; J) = 0,07 ±0,02,
№ J)±sp4(I; J) = 0,08 ±0,03,
Mi J)±sp5(I;J) = 0,12 ±0,04.
Рассмотренный конкретный пример применения разработанного метода оценивания вероятностей альтернатив иллюстрирует большую гибкость и хорошую интерпретируемость предлагаемого подхода к использованию нечисловой, неточной и неполной информации, имеющейся у исследователя фондового рынка.
Заметим, что равномерное распределение наконечном множестве Р (г, п;/^) всех допустимых векторов вероятностей, задающее случайные вероятности * =
1,, ~, г, можно рассматривать как априорное распределение в байесовской схеме оценки параметров полиномиального распределения. Тогда появляется возможность учета эмпирически наблюдаемых частот реализации альтернатив А\ Л5, что позволяет перейти к апостериорным оценкам вероятностей этих альтернатив [4,7]. Априорные и
апостериорные оценки вероятностей альтернатив, полученные разработанным методом, могут быть использованы и как оценки вероятностей вариантов действий участников фондового рынка, и как оценки вероятностей различных сценариев и исходов взаимодействия этих участников.
Заключение. Кратко обсудим методологический статус предлагаемого подхода к оценке вероятностей альтернатив по нечисловой, неточной и неполной информации, получаемой из источников различной значимости. Обоснованием любого метода обработки той или иной эмпирической информации служит математическая (в нашем случае - теоретико-вероятностная) модель, описывающая наблюдаемые эмпирические явления как проявления формализованных законов. Так, например, многие методы обработки временных рядов показателей рынка ценных бумаг основаны на представлении, что наблюдаемые временные ряды суть реализации некоторого ненаблюдаемого стохастического процесса, обладающего определенными математическими свойствами и определяющего закон распределения вероятностей появления своих реализаций.
В основе же изложенного выше метода оценки вероятностей лежит модель, предполагающая, что отдельный источник информации о вероятностях рх,... ,рг появления альтернатив А\,..., Аг задает систему равенств и неравенств для этих вероятностей, которая, вообще говоря, неоднозначно определяет числовые их значения. Далее, в рамках излагаемого метода предполагается, что, в соответствии с общим байесовским подходом, выявленная неопределенность числовых значений вероятностей р\,... ,рг моделируется при помощи рандомизированных вероятностей Рг(^),... ,рг(/^).
Получающиеся в результате применения предложенного метода оценки рг(^), ..., Рг(1з) вероятностей Рь ... ,рг представляют собой так сказать «числовой образ нечисловой информации который заведомо соответствует эмпирически наблюдаемой информации получаемой из 7-го источника. Другое дело, если сама информация может быть «ложной» (искажать «истинные» равенства и неравенства, имеющие место между вероятностями рь... ,рг). Но это не есть какой-то специфический недостаток рассматриваемого метода - любой математический метод обработки эмпирических данных зависит от качества обрабатываемой исходной информации.
На втором шаге метода оценки вероятностей альтернатив происходит синтез отдельных оценок Рг(Л), • ■ • >Рг(Лп) вероятности р1 альтернативы А{ в сводную оценку Рг (/;«/) этой вероятности с использованием изложенных выше математических моделей и методов. Окончательным результатом применения предлагаемого метода является числовой образ р\(1\ </),... ,рг(/; 3) нечисловой информации I = (Д,...,/т), 3 о вероятностях р\,..., рТ альтернатив А\,..., Аг.
Таким образом, каждый шаг разработанного метода оценки вероятностей альтернатив по нечисловой, неточной и неполной информации, получаемой из источников различной значимости, основан на соответствующих строго определенных математических моделях, что и является теоретическим обоснованием самого метода. Что же касается верификации результатов применения метода, то, как уже было сказано выше, все оценки г = 1,... ,ш, р\(1] 7),... ,рг(/; «/) удовлетворяют эмпирическим дан-
ным, состоящим в указании систем I = (1\,..., /т), / равенств и неравенств для вероятностей рь... ,рг альтернатив и для коэффициентов и)\,... ,гут значимости отдельных источников информации соответственно. Дополнительное удобство этого метода состоит в возможности обнаружения противоречий в наблюдаемых системах равенств и неравенств I = (Д,...,/ш), «7, т.е. в эмпирической информации, получаемой из различных источников.
Summary
Kolesnikov G. I., Kornikova N. V., Fedotov Yu. V., Hovanov N. V. Stock-market dynamics alternatives' probabilities estimation under deficiency of numerical information.
A new method of stock-market dynamics alternatives' probabilities estimation is proposed, the method using non-numeric, non-exact, and non-complete information, which is obtained from sources of different reliability. An illustrative example of RTS-index (RTS - stock-market «Russian Trading System») dynamics alternatives' probabilities expert estimation is given.
Литература
1. Развитие рынка ценных бумаг в Российской Федерации. Материалы к дискуссии. М., 2002. 312 с.
2. Колесников Г. И., Корникова Н. В., Хованов Н. В. Об одном подходе к оценке стабильности российского рынка ценных бумаг / / Материалы Между нар. науч. конференции «Экономическая наука: проблемы теории и методологии». Санкт-Петербург, 16-18 мая 2002 г. Секции 5-10. СПб., 2002. С. 129-131.
3. Селезнева Т. В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 210-238.
4. Макаров А. В., Федотов Ю. В., Хованов Н. В. Байесовская модель оценки вероятностей альтернативных состояний финансово-экономической среды реализации инвестиционных проектов // Материалы Междунар. науч. конференции «Экономическая наука: проблемы теории и методологии». Санкт-Петербург, 16-18 мая 2002 г. Секции 5-10. СПб., 2002. С. 141-142.
5. Хованов Н. В. Математические модели риска и неопределенности. СПб., 1998. 204 с.
6. Хованов Н. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб., 1996. 196 с.
7. Ларичев О. ИМошкович Е. М. Качественные методы принятия решений: Вербальный анализ решений. М., 1996. 208 с.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.
