CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м II 197 1
№5
УДК 629.76.015:531.56
ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА
Исследуются свойства неуправляемого возмущенного движения около центра масс тела вращения или тела с плоскостью симметрии при наличии продольной угловой скорости. Для ряда частных случаев анализируются условия устойчивости движения.
В работах [1] — [4] анализируются „квазистатические“ решения для углов атаки и скольжения и для продольной угловой скорости. Рассмотрим малые отклонения (вариации) указанных параметров от этого решения, тогда исследование устойчивости квазистатиче-ских режимов сводится к анализу системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, записанных относительно вариаций. Применим к этой системе линейных уравнений метод ВКБ [5]. Обозначим параметр малости через е. Поскольку квазистатические решения медленно изменяются, то считаем, что они зависят от „медленного“ времени т = е£ [5]. В результате -система уравнений в вариациях является линейной системой с медленно изменяющимися коэффициентами.
1. Рассмотрим случай тела вращения с малой весовой асимметрией при малых углах атаки и скольжения [3], [4]. Тогда квазистатические значения углов атаки и скольжения, а также экваториальных угловых скоростей малы:
а продольная угловая скорость имеет порядок единицы ^х=шх(в1) или шх = шх (г2 £) в зависимости от порядка величины тх0. Уравнения движения имеют вид
В. А. Ярошевский
а = еос (е£), р = ер (е£),
шу = ®“у №)> = ешг (е0>
(1)
(2)
кх =1хых — 1ху <»у — /,г «>г;
К у — IХу шх ¡у шу ^уг “г"»
К = — I о) — / о) 4- / ш лхг^х луг у * лг ™г'
а кинематические соотношения записываются в следующей форме:
йа. а
лг — г*л — Щ,
сИ
(И
°>у + «"л: —
(4)
Здесь а и р — углы атаки и скольжения; и 11к — моменты инерции; (о, —угловые скорости; М1 — аэродинамические моменты,
Мг = (Дус, + т<■ а) + тш ^
(О..
Му^т^^31-\-----^ ^
дБ?
мх = 0й* о — АУСп Р) дБ1 + (т.+ /я> о)у) '»1 =
у' I/ (4 — ст)
рУ2
т V
5, I, т — характерные площадь, длина и масса аппарата; д = ^
скоростной напор; Ду =.у// — безразмерное смещение центра масс с геометрической оси; т* и — производные коэффициентов продольного момента и нормальной силы по углу атаки для тела вращения; сх — коэффициент тангенциальной силы; щ! — производные демпфирования.
2 уц
Если считать параметр ц=-^- [1] большим, то коэффициентам демпфирования щ] —^— и параметру т] можно приписать
параметр малости е. Кроме того, параметр е следует приписать центробежным моментам, смещению центра масс Ду, коэффициентам т^у и тту*, а коэффициенту т“хх — параметр е2; коэффициенту тх о следует приписать параметр г или е2. Припишем порядок е2 разности 1у — /г, т. е. будем считать, что /у = /г = /.
Проварьируем уравнение (1):
+ КуЪыг + юг8/С^-|-^8р-|-(Ал.у8а)у. (5)
Члены в правой части (5) имеют порядок г и выше. Аналогично, если проварьировать уравнения (2) и (3) и соотношения (4), то окажется, что коэффициенты при вариации 8шЛ имеют порядок е и выше. Отсюда следует, что уравнение (1) и систему (2), (3), (4) можно рассматривать по отдельности, т. е. уравнения (2) и (3)
и соотношения (4) можно рассматривать просто как систему с переменными медленно изменяющимися коэффициентами.
Проварьируем указанную систему и отбросим члены порядка є2 по сравнению с членами порядка е° и е1:
/ч — Lz 8®, + h 0)х 8и)г + А
уZ ™х
1и>х 8сог=/И'р 8(3 + Л1" 8шу; (6)
/ 8сог — / 8<о -f- 8со — / о)^ 8ш2 — 1Х 8ю = М* 8а -f 8ш2
(7)
(В)
луг^у I л у *уг~х .г
8а = 8шг — и>х 8£5 — т)8а;
8 р = 8(оу шх 8* — т)8р.
Применение метода ВКБ включает в качество первого этапа определение корней „замороженного“ характеристического уравнения. В „нулевом“ приближении (при е —0) характеристическое уравнение имеет вид
/>4 - [2 (Д/ш2 + М9) - «о2 (1 + Д/)2]р2 + (Д/ш2 + ЛГ)2 = 0.
Здесь « = о>„ Д/= 1-4/7, W=Atf/i.
Это уравнение имеет корни
(1+Д/)оі
+
(1-Д/)2ш2
}.
(9)
(10)
Отметим, что в резонансном случае один из корней 2 близок нулю. Условие устойчивости в „нулевом“ приближении сводится к требованию о том, чтобы корни были чисто мнимыми [1]:
(1 — Д/)2 <
-ЛГ> 0.
(И)
Будем считать это условие выполненным (оно всегда выполняется для статически устойчивых тел, у которых ./№<0).
Ищем ВКБ-решение в виде
t
8а = ехр | i J 2dt ) [с„ (т) + eCi«(т) + 0 (е2)];
8р = exp (і j Qdt} \с$ (?) -f- sci p (x) + 0 (є2)].
(12)
Пользуясь соотношениями (6) — (8), можно получить выражения для вариаций угловых скоростей и их производных: t
8шг = exp ^ i | Qdt j [ iQca + ШСр -f- SCa -|- eiQCi a + SWCi p 4" Zffa + О (s2)j (13)
to
И Т. Д.
Подставляя полученные выражения в уравнение (6) или (7) и удерживая члены нулевого порядка малости, получим соотношение, связывающее величины с* и cf
с? (— Й2 — Д/о>2 —Щ = ica( 1 + Л/)2ш, (14)
или, учитывая (10), c^ = + ica.
Подставим выписанные выражения для вариаций и уравнения (6) и (7). Учитывая, что члены нулевого порядка малости со-
кращаются, и удерживая члены первого порядка малости, получим систему уравнений
- ¿g» (1 + Д7) ci « - (9* + о»2 Д/ + ЛР) с, р =fu
(Q» -f (О2 Д/ + М9) Сг. + Юш (1 + Д/) d р = /2,
(15)
где /] и /2 — линейные комбинации величин са; са\ ср и ср. Поскольку определитель системы (15) равен нулю, условием существования решения является равенство
или
/9ш( 1 + д7)/1 + (аа + в>*Д/+Л1*)/, = 0 (16)
где /i = 2 /9<Гр 4- ¿QrjCp + l'ÜCp — (i)Ca — “c'a + 7уг(93 — I»2) Са — Д7а>Са —
— Д/ш-^Са — ¿2 /Йш cp — УИШ шс0 ;
_/г== 2 /9са ~f- iQ'/jCu -j- ¿2c« ~f~ œCp -f- шср /ji2 (22 — <u^) cp -|- Д/шср -f-
+ Д/шСрТ) — ШУИ” са — Л1Ш шср.
После несложных выкладок получим, что при
(1 + д7) О)
9 = 4-
+ V*
(„быстрая“ прецессия, [1])
1 - Д/
®-СVx) + M‘
Ср сл
1—д/
~\~Ух
—Г1
1—Д/
i + у\х
2 j/x
(1— Д/)*а>* 0 .
где л: = ----------^----------Лг, а при 9=+
ленная“ прецессия)
Cfi __ Са ____
£*р Са
1 - Д/
(17)
(1+Д7)<
(„мед-
1-Д/
«i - (1/х) + ЛГ
+1/” л:
1 — А/
»+V-*
2 У*
(18)
Условиями устойчивости (затухания колебаний) являются неравенства са1са^0. Проанализируем вкратце эти условия.
Если |ш|<СЛМ‘р], то
Если | да | | М9 |, то условие затухания „быстрой“ прецессии
сводится к неравенству
~ —т1>0» (20)
t'a
а условие затухания „медленной“ прецессии — к неравенству
А==_^_7йш<0. (21)
Са (В v
Если угловая скорость невелика, но не пренебрежимо мала ^например, ^ ш=— 0,1 Aftj , то можно считать, что х^ — М9
и затухание колебаний всегда оказывается худшим, чем в случае плоского движения, независимо от знака Л4Ш, >] и ш. Действительно, в этом случае
Cft
Со.
(/— М9) м
2Ÿ -М9
(знак „+“ соответствует „быстрой“ прецессии; член в квадратной скобке равен декременту затухания для плоского движения).
Отметим, что метод ВКБ в обычной форме применим, если все корни характеристического уравнения различны. В данном случае это условие нарушается при а>.,.-»0, поэтому, строго говоря, эта область требует особого рассмотрения: например, при ®х-»0 не справедлив вывод о незначительном влиянии члена 1уг.
2. Оценим устойчивость квазистатического режима движения тела, обладающего плоскостью симметрии, с немалым углом атаки [3] в „нулевом“ приближении. Для этого проанализируем характеристическое уравнение, соответствующее возмущенному движению тела, удерживая лишь члены нулевого порядка малости.
Исследования этого уравнения недостаточно для полной оценки устойчивости. Например, при чисто мнимых или нулевых корнях pi0 устойчивость определяется членами более высокого порядка малости. Все же такое рассмотрение имеет смысл: во-первых, неположительность действительных частей корней является необходимым условием устойчивости и, во-вторых, определение корней p¡o является первым шагом в построении ВКБ-решений.
Как показано в работе [3], в квазистатическом режиме движения
0(a) = 0K) = 0(<oy)= 1,
0(p) = 0(¿)=0K) = e;
здесь
(0^ = 2 cosa; <оу = — 2 sin а;
/і-(а)2*+тІ(«)^»0; I (23>
2 — угловая скорость вращения относительно вектора скорости, х и у— полусвязанные координаты.
Будем считать демпфирующие члены малыми, порядка є, что
справедливо при больших р- = ■. Кроме того, приписываем па-
раметр малости г величинам 1хг, /уг (величина 1ху имеет нулевой порядок малости).
Возьмем за основу уравнения движения в форме (1) — (3) и про-варьируем их, удерживая только члены нулевого порядка малости:
1х 8шдг — !ху 8<ву + 4 “у 8шг + 1ху шх ~ 1у 8(вг = М9Х 8£; (24)
¡у 8о>у — 1Ху 8(в* + 1х тх 8шг — !л у ту 8с0г — 4 шх 8<вг = ^ 8Р5 (25)
4 8о)г + (— 21ху их + 1уи>у— 1Х ®у) йшх + (21ху шу + /у 0)^ —
— “л) 8юу = 8<х. (26)
Кинематические соотношения имеют следующий вид:
су( а) ^5
а _ о)г _|_ о)л р cos а — u>y р sin а -j-" =
¿ „ , И(а) + ^(а)]Л л
р — <» cos а — <и, sin а-----------------гт-------= 0.
у х т V
(27)
Соответствующие уравнения в вариациях с точностью до главных членов записываются в форме
8а — 8ю -4- (а> cos а — <о sin а) 88 = 0: 1
У (28)
B¡3— 8о)ж sin а — 8«>у cos а -(- (юу Sin а — а> ^ cos а) 8а = 0. J
Используя полученные уравнения, получим нулевое приближение для характеристического уравнения:
D(p) = 0. (29)
Можно заметить, что при вычислении определителя удобнее использовать полусвязанную систему координат х, у, z [3] и вместо значений Ьтя и 8«)у использовать 8ю^ cos а — 8«^ sin а, 8шу cos а -J- 8<B* sin аг a также величину Q.
В полусвязанной системе координат определитель записывается следующим образом:
X Ш- У ш_ Z о Р
О)— X р1~ X ?ху I--Q ху 0
Ш- У -pi- xy pl- У (/--/,) о 0 — М У
Ш- Z — 21- - Q •* У (/_ — /_) Q У X Ph -М\ 0
а 0 0 —1 р Q
р 0 —1 0 -Q Р
Здесь
М- = Мх cos а — Му sin а;
I- = Ix cos2 а + Ixy sin 2 а + /у sin2 а;
4- = /,усоз2а + (/,-/,)-®^1-
И т. д. [3].
При вычислении определителя получим уравнение
D{p)~p (Ар4 + Вр2 + С) = 0, (30)
где
¿-щ'—4у)=ш/у-0>0-
Для того чтобы система уравнений не была неустойчивой в нулевом приближении, необходимо, чтобы выполнялись неравенства
С> 0; (31)
В>2/ЛС. (32)
В этом случае уравнение (30) имеет один нулевой корень и две пары чисто мнимых:
Лли.„±1/1Ш=Ж. (33)
Проделывая необходимые выкладки, получим следующие выражения:
[/; (/,-/;)(/;- 1Х) + %(3/; + 4 - 21 г)]+Щ-М? I;- (2/, + /j-/;) +
+ (/г V—Ч - + ЛГ (4 h - /| - 4)] + ^ 1% Л« + h M¡\> (34)
B — Q,2 [Iz (/- /- - /?-) +1- (/, - /-) (/- - /-) -}- % (3/- + /- - 2/г)] _
- И % 4 + 4 h Iг + Ml (I- /- - 4-)]. (35)
Условие С>0 аналогично „условию статической устойчивости“, подробно проанализированному в работе [1] для случая малых углов атаки. В квазистатическом режиме выполняются соотношения (23.)
Рассмотрим вкратце предельные случаи.
IQ2
Если -| m¡f ^ 1, то /-- = 0, и условия устойчивости (31) и
(32) сводятся к неравенству
(iz-hWy-h)> 0, (36)
отражающему хорошо известное правило: свободное вращение относительно главной оси устойчиво, если соответствующий момент инерции максимален или минимален.
/22
Если т9q'si ^ 1, то тг(a) pü 0, a условиями устойчивости являются
«;(«)< о, (37)
/-- т\ + 1~т^ = (Iy sin а -f- Ixy cos а) ml -{- (Ix cos а + Ixy sin а) /Яу < 0. (38) 62
В общем случае условия устойчивости можно свести к неравенствам, наложенным только на значения угла атаки, не зависящим
от q и Q, если в выражениях (34) и (35) заменить 2s на — ^г_ ^ .
ху Vх/
Рассмотрим для примера случай тела вращения с смещением центра масс под немалым углом атаки [2], [3].
Тогда тгг= тг (у =0) + Дycz\
0)' ’ т1^тг(У = °)^а-ЬУСп,
т? ^ = — Ьус«(у~ 0) ctg а — (3/ = 0).
Считая, что 1у — 1г = 1, 1ху = 0, получим:
С = АshK°2 {т*te-c"tga (2cos2 d “ 2c0s2 al* + y)l -
— m*sin a (cT4 cos a 4- c„/sin a)}, (39)
В = -77-- **--------{— //, (/ — /„) Sin a cos a rrVt — Ix [I2 4 cos2 a X
(/—sin a cos a 1 *' z
X(2/—Ix) (I — Ix)] /иг 4 /(/ — Ix) eos aДу [ct lx eos a + / sin a]}. (40)
По-видимому, из условий (31), (32) более важным является условие С>0, которое может нарушаться в большем числе случаев.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б юш ген с Г. С., С т у д н е в Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., „Машиностроение“, 1967.
2. Шилов А. А. Влияние массовой и аэродинамической несим-метрии тела на характер его пространственного движения. ДАН, т. 183, № 5, 1968.
3. Ярошевский В. А. Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 5, 1970.
4. Migotsky Е. Оп а criterion for persistent re-entry vehicle roll resonance. AIAA Paper, № 67—137.
5. M о и с e e в H. H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1969.
6. Воейков В. В., Ярошевский В. А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 3, 1970.
7. К у з м а к Г. Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М., .Наука“, 1970.
Рукопись поступила 2¡X 1970 г.
