Оценка устойчивости для выпуклых поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

структуры и моделирование 2016. №3(39). С. 40-47

УДК 517.968,514.17

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В.Н. Степанов

доцент, к.ф.-м.н., e-mail: [email protected]

Омский государственный технический университет

Аннотация. В статье даны необходимые и достаточные условия аналитичности решения уравнения первого рода типа свертки на сфере с ядром K(t) £ L2[—1,1]). Доказана аналитичность некоторых функционалов замкнутой выпуклой аналитической поверхности. С помощью леммы Ви-тушкина получена оценка для разности опорных функций двух замкнутых выпуклых аналитических поверхностей, если для них известны отклонения функционалов поверхностей и их производных на конечном множестве точек. Приведены некоторые известные результаты по проблеме устойчивости в определении выпуклой поверхности по томографическим данным.

Ключевые слова: уравнение первого рода, аналитичность, опорная функция, выпуклая поверхность, устойчивость, лемма Витушкина.

В последние годы получены различные результаты по устойчивости в определении выпуклых тел по некоторым функционалам выпуклой поверхности (томографическим данным: меры сечений и проекций, опорная функция, поверхностная функция выпуклой поверхности и т.д.). Эти теоремы утверждают, что при определенных условиях отклонение двух выпуклых тел мало (с точностью до сдвига), если томографические данные близки друг к другу. Подход, используемый для этого, может быть основан на исследовании устойчивости интегральных преобразований, тесно связанных с восстановлением выпуклого тела по томографическим данным [17, 18]. Частными случаями таких преобразований являются: сферическое преобразование Радона, полусферическое преобразование и косинус-преобразование функций, определенных на сфере.

Приведём некоторые известные и важные результаты по этой проблеме. Больший объем информации о проблеме содержится в работах [11-22].

В работах S. Campi [11, 12] даны оценки расстояния в L2 — метрике и в метрике Хаусдорфа между двумя выпуклыми центрально-симметричными телами, телами вращения через L2 — норму разности периметров и L2 — норму разности площадей ортогональных проекций на плоскости всевозможных направлений.

Глубокий результат, обобщающий оценки S. Campi по размерности, был доказан J. Bourgain, J. Lindenstrauss J. [10]. Пусть К — выпуклое тело в Rn, П(К) — проекционное тело (это тело с опорной функцией ИщК)(п)={(и — 1)-мерному объёму ортогональной проекции K на гиперплоскость ортогональную

и}, 8(К,Н) = min{logЛ : Л 1И С К с ЛИ} — метрика. Тогда для любого п ^ 3 и для любого 7 < 2/п(п + 4) существует такая постоянная с(п, 7), что

В случае, когда томографические данные даются формулой (T$,an-i(K))(u) = fS„-i Ф((и, v))an-i(K,dv), где an-i(K, ■) — поверхностная функция [6, с. 18], Ф(Ь) ограниченная измеримая функция на [— 1,1], оценка устойчивости была получена D. Hug и R. Schneider [19]: для некоторого Y е (0,1) существует постоянная с, зависящая только от n,r,j,R, Ф такая, что, если K, L е Kd(r,R), то 8(K,L + x) ^ с |^(on-i(K) - a,n-i(L))(u)\\Y. Здесь 8(K,L) — метрика Хаусдорфа, || ■ || — L2-норма, Kd(r,R) — множество выпуклых тел, содержащихся внутри шара радиуса R и содержащих шар радиуса r.

Оценка в метрике L2 индикатора отклонения опорных функций HK и HL выпуклых тел K и L в Rn в предположении, что мала разность ||M(Ku) — M(Lu)||L2(Sn-i), где M(Ku), M(Lu) — ширины проекций тел K и L на подпространство ортогональное u, получена P. Goodey, H. Groemer в [16].

Алгоритмы реконструкции выпуклого тела по конечному набору значений томографических данных рассматривались в работах [14,15]. Основной идеей этих алгоритмов является построение выпуклого многогранника, чья функция томографических данных наилучшим образом приближается данными измерений.

В случае когда томографическими данными являются значения функции яркости, основанием для построения таких алгоритмов может служить следующее утверждение [13,20]. Пусть K - выпуклое тело в Rn и U = {щ,... ,uk} С Sn-1 — линейная оболочка Rn. Среди всех выпуклых тел с одинаковыми значениями функции яркости, как для тела K в направлениях из U, существует единственный центрально-симметричный выпуклый многогранник P максимального объёма, каждая грань которого ортогональна к одному из векторов

В представленной работе получена оценка для sup — нормы разности опорных функций двух выпуклых тел в R3 с аналитической границей по значениям площадей ортогональных проекций и освещённых частей на конечном множестве направлений.

Пусть Sn-1 — единичная сфера в Rn; u,v е Sn-1; (u,v) — скалярное произведение. Рассмотрим уравнение первого рода типа свёртки на Sn-1

где ¿ш — элемент площади.

Теорема 1. Уравнение (1) с полным ядром К ((и,у)) е Ь2[-1,1] имеет аналитическое на сфере Бп-1 решение г (и) тогда и только тогда, когда функция f (и) является аналитической на Бп-1.

8(K,H) ^ c(n,Y)8(Z(K),Z(H))Y.

из U.

(1)

Доказательство. Для доказательства аналитичности воспользуемся следующим фактом. Пусть на сфере Бп-1 задана суммируемая функция #(и), и пусть #(и) = 1>2^к(и) — ее разложение в ряд по сферическим гармоникам. Тогда для того, чтобы функция $(и) была аналитической, необходимо и достаточно выполнение неравенств:

|Ук(и)| ^еехр(-пк),и е 5и-1, к = 0,1, 2,...

с некоторыми постоянными с > 0, п > 0 [7].

Предположим теперь, что г (и) — аналитическая на 5га-1 функция и

*(«) = £П(и), П(и) = (п + 2к "Л2ПГ("/2 - 1Ч СТ"4««,»))*

к=0

^п-1

- ее разложение по системе сферических гармоник {Ук(и)}. Тогда разложение функции /(и) в ряд имеет вид:

те

/ (и) = £ Ак Ук (и), к=0

где Ак — собственные значения ядра К((и,^)). Ввиду полноты ядра все собственные значения ядра отличны от нуля. По формуле Функа-Гекке [1, с. 240]:

Г(п - 2)Г(к +1) Г х,Г1(и/2-1)п

Ак = Г(к + п - 2) Хп-1 К((и,"))Ск/ )((и,^* =

= 15^Л + 1) / к(¿)ски/2-1)(1 - ¿2)(и-з)/2(^,

где |5и-2| = г2(п("-11))^2) — площадь поверхности сферы 5и-2, Г(£) — гамма-

функция, ски/2-1)(£) — многочлены Гегенбауэра.

В статье [9] показано, что собственные значения уравнения (1) с ядром К((и,^)) класса Ь1[-1,1] при к ^ то убывают быстрее, чем к-и/2+1. Поэтому члены разложения /(и) по сферическим гармоникам убывают по экспоненциальному закону. Следовательно, /(и) — аналитическая на 5и-1 функция. Аналогично доказывается аналитичность г (и), если г(и) - аналитическая функция. ■

Пусть В — замкнутая выпуклая дважды непрерывно дифференцируемая поверхность в К3 с положительной кривизной. Через Р(и) обозначим площадь ортогональной проекции поверхности В на плоскость с нормальным вектором и, 5(и) — площадь освещённой в направлении и части поверхности. Имеют место формулы [2]:

Р(и) = 1 I |(и,г»)|Я1(гОЯ2(гО^^, 5(и) = / х((и,^Я!^)^^^,

2 ./СП-1 .¡ЯП-1

где х — функция Хевисайда и формулы обращения [2,5,8]:

[Ri(u)R2(u)]

+ _ 1 d [ (As + 2)F(u)l(u,v)lduv

4n2 dt J{u,v)2 >t V/{U,V)2 - t

t=0

1 (As + 2)F(u) + ± f [(AS + 2>^u>]'d7

2п 2п j0 cos 7

[ПМПП1- 1 f AS S (v)d^v

[R1(u)R2(u)] =

4n2 J<«,v»0 (u,v)

1 1 rn/2 _

= — S-(u) — —J tan7S?- (Y,u)dY,

где f±(u) — четная и нечетная части функции f(u), AS — поверхностный оператор Лаплпса, /(7, u) — среднее значение функции f(u) на окружности (u, v) = cos 7, 0 < 7 < п.

Из этих формул следуют оценка для разности произведений R(j)(u) = Rlj)(u) ■ r2!\u) главных радиусов кривизны поверхностей B1 и B2 [8]:

||R(2)(u) — R(l)(u)|c(sn-i) ^

^ ci||F2(u) — Fi(u)|C4(S"-i) + С2IIS2(u) — Si(u)|C3(S"-i),

(2)

где с1 > 0 и с2 > 0 — некоторые постоянные.

Если В — замкнутая выпуклая аналитическая поверхность с положительной гауссовой кривизной, то ее опорная функция Н(и) аналитична на Бп-1. Для произведения главных радиусов кривизны известна формула

R1(U)R2(U)

Hii(u) H12 (u) H12 (u) H22 (u)

+

H22 (u) H23 (u) H32 (u) H33 (u)

+

Hii(u) Hi3(u)

H3i(u) H33(u)

где Н^(и) = |ХдХг , из которой следует аналитичность R1(u)R2(u). Теперь

г ] х=и

из теоремы 1 получаем:

Следствие 1. Если В - аналитическая поверхность, то функции Е(и) и Б (и) — аналитические.

Пусть и0 — фиксированная точка на сфере Б2; (60,<р0) - сферические координаты точки и0 относительно некоторого полюса. Обозначим через множество всех тех точек и е Б2, для которых |0 — #0| ^ 8, |< — <0| ^ 8, где — сферические координаты точки и относительно того же полюса и 8 > 0 — фиксированное число.

Теорема 2. Пусть B и B2 — замкнутые выпуклые аналитические поверхности в R3, гауссовы кривизны которых положительны. Тогда для всякого положительного e ^ 1/2 в J^ можно фиксировать v ^ Ai (ln 1) точек ubu2,..., uv таких, что если в этих точках функции f (u) = F2(u) — Fi(u), s(u) = S2(u) — Si(u) и их производные Daf(u), |a| ^ 4, s(u), |в| ^ 4, принимают значения по модулю не превосходящие е, то при некотором расположении поверхностей Bi и B2 разность их опорных функций H2(u) — Hi(u) удовлетворяет неравенству

4

|H2(u) — Hi(u)| ^ A2eV ^ln^ 5 , u e S2,

. . . . 2 ln r

где p, r (p > r > 1), Ai > 0, A2 > 0, y = -----некоторые постоянные

ln p — ln r

Доказательство. По следствию функции Fj(u), Sj(u),j = 1,2 — аналитические на S2, следовательно, и функции f«b«2(u) = Daf(u), |a| = ai + + a2 ^ 4, seb/g2(u) = s(u), |в| = в + в2 ^ 3 также аналитические на S2. Пусть fai,a2(z,?) и S^i,e2 (z,?) — аналитические продолжения функций f«i,«2 (u), sei,e2 (u) в замкнутую область

Ep,u0 = Ep,00 x Ep^0,

ограниченные в этой области некоторой константой c > 0. Здесь Ep,6>0 — эллипс в комплексной плоскости z = 9 + in с фокусами в точках (90 Т 5, 0), и Ep^0 — эллипс в комплексной плоскости Z = + ir с фокусами в точках (<^0 т 5, 0) (n = const и т = const), причем отношение полусуммы длин осей этих эллипсов к числу 5 > 0 равно p > 1. Возьмем такое достаточно большое p (5 > 0 — фиксировано) и r, 1 < r < ^p, чтобы замкнутая область Ep,u0 содержала внутри

себя прямоугольник {0 ^ 9 ^ п, 0 ^ ^ ^ 2п}. Применяя к функциям fQ,i,«2 (z,?) и Ssi,e2(z, ?) лемму А.Г. Витушкина [3, с. 197], заключаем, что всюду в Ep,u0 функции fQ,i,«2 (z, ?), Ssi,e2(z,?) будут ограничены по модулю величинами

M«i,«2ei-Y(ln , Nsi,e2ei-Y ^ln! 2 ln r

где y = ---—, а Mai a2 > 0, Ne e2 > 0 — некоторые постоянные, не зави-

ln p — ln r

сящие от e и r, причём в силу выбора r < ^p величина ei-Y (ln i) ^ 0 при

e ^ 0. £

Так как f«b«2 (z,?), sei,e2 (z,?) — аналитические продолжения функций f«i,«2 (u) , Sei,^2 (u), то тем более для всеХ u e S2

|Daf (u)| ^ M«i,«2ei-^lni) , 0 ^ |a| ^ 4, u e S2,

s(u)\ ^ Щър2е1-^ , 0 ^ |в| ^ 3, и е Б2.

Пусть Q — любое множество ненулевой меры на сфере Б2. Так как поверхности В1 и В2 — аналитические, то их поверхностные функции ц] = 1, 2, можно записать в виде [6, с. 18]:

ц^)= / Rl■j)(u)duv, ^(и) = R(1j)(u)R2j)(u). ¿я

Поэтому

Ь^) — = / [R(2)(u) — R(1)(u)]dwг 3 я

^ 4п||^2)(и) — ^(и)^И.

^ mesQ тах ^(2)(и) — R(1)(u)| ^

Следовательно, ввиду неравенства (2) и условий

||Ег(и) — Е1(и)|С4(^п-1) ^ е, ||Б2(и) — Б^и) Нс-з^-^ ^ е,

получаем

Ь^) — ^ се,

где с > 0 — некоторая постоянная. Применяя теперь теорему Ю.А. Волкова [4] об устойчивости решения проблемы Минковского, получаем, что при некотором расположении поверхностей В1 и В2 разность их опорных функций удовлетворяет неравенству

4

|Н2(и) — Н (и) | ^ Ле(1п^ 5 , и е Б

Литература

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 2. М. : Наука, 1974. 296 с.

2. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Москва, Ленинград : ОНТИ, 1935. 302 с.

3. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М. : Физматгиз, 1959. 215 с.

4. Волков Ю.А. Устойчивость проблемы Минковского // Вестн. ЛГУ. 1963. № 1. С. 33-43.

5. Погорелов А.В. Четвёртая проблема Гильберта. М. : Наука, 1974. 78 с.

6. Погорелов А.В. Многомерная проблема Минковского. М. : Наука, 1975. 96 с.

7. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М. : Наука, 1974. 808 с.

8. Степанов В.Н. Некоторые вопросы геометрии выпуклых поверхностей. Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений // Сб. научн. тр. Новосибирск : ВЦ СО РАН СССР. 1981. С.65-75.

9. Степанов В.Н. Асимптотика собственных значений уравнения первого рода // Омский научный вестник. 2011. № 3(103). С. 41-44.

10. Bourgain J., Lindenstrauss J. Projection bodies // Geometric Aspects of functional analysis (J. Lindenstrauss and V.D. Milman, eds) Lecture Notes in Math., vol. 1317. Springer-Verlag. New York: 1988. P. 250-270.

11. Campi S. Reconstructing a convex surface from certain Measurements of its projections // Bull. Un. Math. Ital. 1986. No. 5B, 6. P. 945-959.

12. Campi S. Recovering a centred convex body from the areas of its shadows: a stability estimate // Ann. Mat. Pura ed appl. 1988. No. 151. P. 289-302.

13. Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Convex bodies with extremal volumes having prescribed brightness in fnitely many directions // Geom. Dedicata. 1995. No. 57. P. 121-133.

14. Gardner R., Milanfar P. Reconstruction of convex bodies from brightness functions // Discrete and Computational Geometry. January 2003. Vol. 29, Issue 2. P. 279-303.

15. Gardner R., Kiderlen M., Milanfar P. Convergence of algorithms for reconstructing convex bodies and directional measures // The Annals of Statistics. 2006. Vol. 34, No. 3. P. 1331-1374.

16. Goodey P., Groemer H. Stability results for first order projection bodies // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. 109, No. 4. P. 1103-1114.

17. Groemer H., Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 61. Cambridge University Press: Cambridge 1996. 329 с.

18. Groemer H. Stability results for convex bodies and related spherical integral transforms // Adv. Math. 1994. No. 109. C. 45-74.

19. Hug D., Schneider R. Stability results involving surface area measures of convex bodies, part II // Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. 2002. No. 70. P. 21-51.

20. Schneider R., Weil W. Uber die Bestimmung eines Konvexen Korpers durch die Inhalte seiner Projektiones // Math. Z. 1970. 116, No. 4. P.338-348.

21. Schneider R. Stability in Aleksandrov-Fenchel-Jenssen theorem // Mathematika. 1989. No. 36. P. 50-59.

22. Schneider R. Stable Determination of Convex Bodies From Projections // Monatsh. Math. 2007. No. 150. P. 241-247.

THE EVALUATION OF STABILITY FOR CONVEX SURFACES

V.N. Stepanov

Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: [email protected] Omsk State Technical University

Abstract. Necessary and sufficient conditions for the analytic solution of the first kind equation of convolution type on the sphere with the core K((u,v)) g L2[-1,1] are given in the article. Also, some functional analyticity of closed convex surface is