Оценка точности моделирования электромагнитной совместимости вблизи линии электропередачи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

3.3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

Белицын Игорь Владимирович, канд. пед. наук, доцент, Алтайский Государственный технический университет им. И.И. Ползунова (АлтГТУ), г. Барнаул. E-mail: [email protected]

Аннотация: рассмотрены вопросы математического моделирования электромагнитного поля, создаваемого воздушными линиями электропередачи. Предложена методика определения параметров электрического поля на основе учёта топологических особенностей линии электропередачи. Показан способ замены интегральных уравнений системой алгебраических линейных уравнений. Рассмотрены вопросы, связанные с численным решением интегрального уравнения Фредгольма первого рода, получаемого для определения линейных зарядов на проводящих частях высоковольтной электроустановки, в частности, воздушной линии электропередачи переменного тока. Обоснован выбор квадратурной формулы при замене интегрального уравнения Фредгольма первого рода системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Представлен сравнительный анализ и рекомендации для выбора квадратурной формулы в зависимости от количества расчётных точек и точности решения. Оценена корректность решения интегрального уравнения первого рода. Согласно методу регуляризации Лаврентьева произведена оценка ошибки решения. Получено выражение для определения оптимального параметра регуляризации.

Ключевые слова: линия электропередачи, электромагнитная обстановка, интегральное уравнение, устойчивость, электромагнитное поле.

ESTIMATION OF SIMULATION ACCURACY OF THE ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY NEAR THE POWER LINE

Belitsyn Igor Vladimirovich, PhD in pedagogy, associate Professor of Polzunov Altai State Technical University, Barnaul. Е-mail: [email protected]

Abstract: the questions of mathematical modeling of the electromagnetic field generated by the aerial power lines. The technique of definition of parameters of electric field on the basis of topological features of a transmission line. Shows how to replace the integral equations by a system of algebraic linear equations. The issues associated with numerical solution of integral Fredholm equation of the first kind obtained to determine the line charges in the conductive parts of high voltage electrical installations, in particular overhead transmission lines of alternating current. Justification of the choice of quadrature formulas when replacing the integral Fredholm equation of the first kind system of linear algebraic equations (SLAE). Comparative analysis and recommendations for choice of quadrature formulas depending on the number of calculated points and the accuracy of the solution. Evaluated the correctness of the solution of the integral equation of the first kind. According to the method of Lavrentiev regularization of the estimation error of the decision. Derive an expression to determine the optimal regularization parameter.

Index terms: power transmission line, electromagnetic environment, integral equations, sustainability, electromagnetic field.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время большое значение придаётся вопросам электромагнитной совместимости (ЭМС) в электроэнергетике [1, 2]. Кроме этого, одним из факторов, воздействующих на окружающую среду и человека, является электромагнитное загрязнение [3], создаваемое высоковольтными установками. Поэтому актуальной задачей является моделирование электромагнитной совместимости, совмещённое с мониторингом электромагнитной обстановки вблизи линии электропередачи, для чего необходимы технические средства измерений. В [4] рассмотрены технические средства для измерения показателей качества электрической энергии или параметров электромагнитного поля для одной точки измерения. Отмечено, что большинство из них являются стационарными. Поэтому оценка параметров показателей качества электрической энергии и электромагнитного поля на эксплуатируемых объектах электроэнергетики не может быть рационально реализована с помощью указанных приборов.

Промышленными источниками электрического поля высокой интенсивности, создающими индуктивные помехи, являются объекты энергетики, в частности, воздушные линии

электропередач, электрооборудование станций и подстанций. Если на станциях и подстанциях в зоне влияния электрического поля находится специализированный персонал, то вблизи воздушных линий электропередач в зоне влияния могут находиться, а иногда даже и постоянно проживать, люди, не связанные с эксплуатацией, обслуживанием и ремонтом энергетических объектов.

Для решения проблемы ЭМС необходим всесторонний учёт и анализ всех факторов, действующих на параметры электромагнитного поля. Это не возможно без построения точных математических моделей электромагнитных полей.

В основе расчёта любых электромагнитных полей лежит решение системы уравнений Максвелла в интегральной либо в дифференциальной форме. Их решение может быть произведено либо аналитическими, либо численными методами. Применение аналитических методов расчёта полей, таких как метод зеркальных отображений; метод разделения переменных, метод комплексного потенциала, целесообразно при небольшом количестве проводников простой конфигурации [5, 6] и однородной или кусочно-однородной средой, что нельзя сказать об электро-

установках. Для использования аналитических методов иногда упрощают геометрию электроустановок, идеализируют свойства материалов и окружающей среды.

МЕТОДИКА РАСЧЁТ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Одними из элементов воздушной линии электропередачи являются металлические опоры, состоящие из полос и уголков металла [7]. Эти уголки и полосы заменим цилиндрическими элементами с таким радиусом, при котором ёмкость на единицу длины цилиндрических элементов и полосы (уголка) была одинаковой.

Радиус цилиндрического элемента, при котором это возможно, называется эквивалентным. Его можно определить по выражениям, приведённым в [8]. Для полосы малой ширины (а) и толщины эквивалентный радиус

Г 4'

в случае уголка с равными сторонами (а)

а

r =-

2,5

(1)

(2)

Таким образом, опору линии электропередачи можно заменить совокупностью N цилиндрических элементов длиной 1к с эквивалентным радиусом гэк, где keN. Наведённый электрический заряд на цилиндрическом элементе к-го проводника обозначим тк. Вследствие топологических особенностей этот заряд изменяется по всей длине, а его численное значение определяется координатами конкретной точки. Обозначим общее число находящихся на опоре грозозащитных тросов и проводов Линейный заряд (тпр) фазных проводов с радиусом (г0пр) считаем неизменным по всей длине. Влияние плоской проводящей поверхности земли заменим эквивалентными фиктивными зарядами для проводников (т'к), фазных проводов (т'пр), причём

Т, = —Т, и Т = —Т

к к пр пр

(3)

Система координат хух выбрана так (рис. 1), чтобы г=0 (соответствует поверхности земли). Потенциал произвольной точки М (х, г, у) в этом случае определяется на основе принципа суперпозиции, как алгебраическая сумма потенциалов от всех Nпр фазных проводов и N проводников, а также их зеркальных изображений

т (К Ж , " т (Ь Ж ,

Vm

1

4nss„

IP

k = Ik

-+ZiJ

k = Lt

R'kM

iNnP 1 Nnp 1 ^

+ 2 Т^ТпрУ ln- + Z Т'прУ ln —

v=1 rvM v=1 rvM

(4)

где тк (Iк ) - линейный заряд к-го проводника; Ш. - длина элементарного участка;

R,

Iкм ■ радиус вектор от участка до точки М;

К

до точки М;

Гм - радиус вектор от у-го фазного провода до точки М;

г'м - радиус вектор от зеркального изображения у- го фазного провода до точки М.

Уравнение (4) является интегральным уравнением поскольку имеет интегральное преобразование функции тк (1к ) . Интегральные уравнения такого вида имеют название интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Выражение (4) с учётом (3) запишем в виде

Vm =

1

4пее„

Ru,

+ 2ZV ln-

. (5)

Для определения функции тк(1к) , последовательно расположим точку М на поверхности всех цилиндрических элементов. Поскольку априори известно значение потенциала на всех заземлённых металлических элементах опоры, равное нулю

0 =

0 =

1

4пее„

1

n i *

ш

■т (¡к Ж

4жее„

N I „

Z Ii

тлж

R„

Тк(lk)dh Li1 ri

t.:. rn

iTJlA\ + 2Zjve ln ^

. (6)

к kn к

Для точек на поверхности фазных проводов: 1

4пее0

= 1 4пее„

Z| iTk(lkж — iTk(hж

Lk Rк1пр

Lk Rк1пр

Z| iTk(lk)dlk iTk(lk)dh

Lk RkN.пр Lk RkN .пр

+ 2lv ln^

+ 2£v ln —

v=1 Г

vN.пр

. (7)

км радиус вектор от зеркального изображения участка

Выражения (6) и (7) - система интегральных уравнений. Распространённым методом решения систем интегральных уравнений является метод, использующий квадратурные формулы (конечные суммы), состоящий в замене системы интегральных уравнений аппроксимирующей её системой алгебраических линейных уравнений для дискретных значений неизвестной функции, с последующим её решением [9]. Для этого, каждый проводник возможно разбить на равные участки конечной длины, линейную плотность заряда на каждом участке проводника будем считать, постоянной ( т1). Общий заряд каждого элемента при изменении линейной плотности заряда и при дискретном остаётся одним и тем же. Следовательно, каждый интеграл в (6, 7) представим в виде д интегралов соответствующих числу участков разбиения, поэтому значение т вынесем из знака интеграла. Систему (6) в этом случае представим в виде из 2д линейных уравнений, с общим числом неизвестных 2g+Nпр, Нахождение оставшиеся неизвестных (^,р) связано с линеаризацией системы уравнений (7). Во избежание увеличения числа уравнений в системе линейных алгебраических уравнений учтём выражение (3). В этом случае суммарный потенциал от каждого участка д к-го провода с его зеркальным изображением

a

N .пр

а

где а=|

водника;

з)=тая или а =а1Щ-а1]3. (8)

^ потенциальный коэффициент участка про-

п

Ч^ц.пр

а

ф

= Г Л<-

Л п'

^к у. пр

потенциальный коэффициент зеркального

изображения участка проводника.

Тогда систему интегральных уравнений (6) и (7), учтя (8), заменим системой линейных алгебраических уравнений вида:

а11Т1 + ■■■ + аы,1Ты + aN+1,1ТN+1(nр1) + ••• + аы+ыпр ,\ТЫ+Ыпр (Ипр) 0

а1, NТ1 + ■■■■ + аи ,ЫТЫ + аы+1,ЫТЫ+1( пр1) + ■■■ + аи+Ипр, ЫТЫ+Ипр (Ипр) 0

а

1, N+1Т1 + ■■■ + aN,N+1ТN + а М+1,И+1ТИ+1(пр1) + ■■■ + аи+ипр ,М+1ТК+Ипр (Ипр) фпр1

а

т + + а

1, N+Ипр ' 1 Т • • • Т ^м, N+Ипр

тм + а N+1, N+NпрТ N+1(пр1) + ■■■ + ам+ Мпр ,М+Мп„ТМ+Мпр (М™) Фмщ

(9)

Последнее выражение можно представить в матричной форме

Гк ] [т ] = [о]

1к ЬШ

(10)

где / - номер участка фазного провода или элемента с линейной плотностью заряда т, ]- номер точки расчёта,

ф = фАпЕЕ0 - значение потенциала на поверхности фазного провода.

В качестве координат точек расчёта принимаем координаты середины элементарных участков. Определение потенциальных коэффициентов в (9), производим по координатам начала (хнк, Унк, ^нк) и конца (хКк/ укк, 1Кк) к-го проводника, с помощью

угла его наклона к плоскости х0у:

( \

Р1 = агс(Е

Кк - хнк )2 + (у Кк - Унк)

(11)

и его длины:

1к = V(хКк - ХНк )2 + (Укк - Унк )2 + (2Кк - 2 Нк )2 . (12)

Подробные выражения и алгоритмы дальнейшего расчёта потенциальных коэффициентов можно найти в [10, 11].

Для решения системы линейных алгебраических уравнений используются различные итерационные методы: Гаусса — Зейделя; Якоби, релаксации, многосеточный, Монтанте и др. [12]. Поскольку решаемая система линейных алгебраических уравнений имеет большую размерность, то оптимальным методом её решения следует признать метод Холецкого с фазовой обработкой.

Выражение (4) можно применять для определения электрического поля вблизи воздушных линий электропередач переменного тока. В этом случае значения потенциалов и линейные заряды фазных проводов и элементов являются комплексными значениями. В случае воздушной линии с расщеплённой фазой (п) (4) примет вид

Фм =

1

4пее„

у ГТ^Ж+у +

11к

-км

1 1к

К

км

(13)

+ 2

( * * * \

п г п Г п Г

Ут А Ь-^ + УТ в + УТ с

' ' прA. р ' ' прB. р ' ' прС ■ р

р=1 грм р=1 грмм р=1 грм )

Используя аналогичный подход, решаем интегральное уравнение (13). Для этого необходимо решить СЛАУ вида:

[к ] [т ]=[о]

1к\[т]=[ф]

(14)

Сравнение (10) и (14) даёт идентичность матриц потенциальных коэффициентов. Решение (15) возможно тем же методом, что и (10) с учётом комплексного характера линейных зарядов и потенциалов. При этом система (14) представляется в виде двух систем, первая из которых определяет действительную часть зарядов, вторая мнимую:

кНяетНо] ][1т(т)]=[0] . (15)

[а ] [Яе(т)] = [Яе(ф)] Ца ] [1т(т )] = [1т(ф)]

После определения линейных зарядов каждого элементарного элемента проводника напряжённость электрического поля в любой точке рассчитывается по принципу наложения.

z„ —z

Нк

Рисунок 1. Схема замещения элементов конструкции линии электропередачи.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

Как было показано выше, интегральное уравнение (4) является функциональным уравнением, включающим интегральное преобразование над неизвестной функцией. Это однородное линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода, общий вид которого

| К(х, s)т(s)ds = р(х) , (16)

V

где К(х,в) - заданная функция двух переменных, называемая ядром интегрального уравнения;

р(х) - свободный член или правая часть уравнения, заданная функция;

т- искомая функция;

V- область интегрирования, которая может быть постоянной или переменной; х, б - независимые переменные.

Уравнение (16) можно записать в виде операторного уравнения первого рода:

Ат = р, те У, ре ^, (17)

где У и Я - некоторые гильбертовы пространства, А - интегральный оператор, непрерывное отображение У в Я.

Известно [13], что применение интегральных уравнений возможно при решении как одномерных задач, когда данные и искомые характеристики являются функциями одной независимой переменной, так и пространственных задач, в которых независимая переменная представляет собой пространственную координату. Как показано в [14], эффективным приложением интегральных уравнений являются внешние задачи электродинамики, в частности, задачи для идеально проводящих тел.

Самым распространённым способом решения (17) является метод квадратурных формул (конечных сумм). Он состоит в замене интегрального уравнения аппроксимирующей системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно дискретных значений искомой функции и её решении. В основе такой замены лежит приближение интегрального оператора А, входящего в уравнение, квадратурными формулами [15].

В общем виде представление определенного интеграла (16) суммой выполняется по формуле

X АК (х, х, )т( х) = р( х.) + К [т],

1=1

где х,- фиксированные точки разделения отрезка [а, Ь], А, - числовые коэффициенты, К М - остаточный член ошибка.

В таблице 1 приведены соответствующие коэффициенты для некоторых основных квадратурных формул.

Таблица 1

КОРРЕКТНОСТЬ РЕШЕНИЯ ИУ I РОДА И МЕТОДЫ ЕГО РЕШЕНИЯ По Адамару [16] численное решение интегрального уравнения первого рода является некорректным поскольку даже очень малые ошибки правой части, ядра К (х, б) или метода решения могут приводить к настолько большим ошибкам в решении, что оно не будет иметь практически ничего общего с искомой функцией. Причина сильной неустойчивости решения уравнения Фредгольма первого рода методом квадратурных формул заключается в том, что собственные значения / интегрального оператора А (если множество /и бесконечно) «сгущаются» к нулю. При этом если интегральное уравнение аппроксимировать системой алгебраических уравнений конечного порядка п, то, во-первых, число собственных значений получающейся матрицы станет конечным, а во-вторых, произойдёт

«деформация» спектра собственных значений оператора А, вследствие чего при небольшом п наименьшее по модулю собственное значение (а значит, и определитель СЛАУ) может стать заметно отличным от нуля, и решение станет устойчивым (но зато слишком сглаженным из-за малости п).

С увеличением же п (т. е. с уменьшением шага Ь, когда, казалось бы, точность решения должна повышаться) спектр матрицы будет приближаться к спектру интегрального оператора, минимальное по модулю собственное значение матрицы (и величина определителя СЛАУ) будет стремиться к нулю и неустойчивость решения будет повышаться. А в пределе, когда Ь — 0, решение вообще не существует, так как обратный оператор А-1 (при абсолютно точной аппроксимации его) будет неограничен.

Применительно к интегральным уравнениям I рода задач электростатики единственность решения была показана в [17]. Существование решения вытекает из физичности постановки задачи.

Устойчивое решение интегрального уравнения I рода может быть получено методом подбора или с помощью методов регуляризации [18]. Метод подбора нельзя считать универсальным, поскольку выбор аппроксимирующих функций по всему контуру проводника не является формальным.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИУ I РОДА И ОЦЕНКИ ОШИБКИ РЕШЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В рассматриваемом нами случае переменные х, б уравнения (16) имеют одинаковый физический смысл, кроме этого хе[о, Ь]. В этом случае согласно методу регуляризации Лаврентьева [19] вместо уравнения (17) нужно решать уравнение

ат + Лт = у (18)

т.е.

т = (аЕ + Л'А)-1 Л'ф, (19)

где а- параметр регуляризации.

Поскольку неустойчивость решения (17) обусловлена тем, что обратный оператор А-1 или неограничен, или не существует, то слагаемое ау сдвигает спектр собственных значений интегрального оператора А в целом на величину а, «улучшая» А-1 и повышая устойчивость решения. Необходимо, чтобы величина а была умеренной.

Таким образом, применительно к ИУ Фредгольма первого рода (16) метод регуляризации Лаврентьева имеет следующую форму ь

ат(х) + |К(х, s)т(s)ds = ф(х), а < х < Ь . (20)

а

Наиболее сложным моментом в процессе метода регуляризации является определение параметра регуляризации а. С одной стороны, параметр регуляризации должен быть не малым для обеспечения устойчивости решения, а с другой не большим для избегания сильного искажения первоначального уравнения (16) за счёт слагаемого ат(х) .

Интеграл (20) заменим конечной суммой, а затем решим полученную СЛАУ относительно значений Уj в узлах квадратурной формулы. При этом параметр регуляризации а определён способом, описанным ниже. Пусть абсолютная ошибка правой части

. (21)

Коэффициенты для основных квадратурных формул

Название формулы Коэффициенты и узлы

Формула прямоугольников Ь - а . Л = 1 . п -1 х1 = а + (/ - 1)П; / = 1, 2, ..., п; Ь - а п =- п -1

Общая формула трапеций п. Л = Л =-. 1 п 2 Л1 = Л3 = ••• = Ли-1 = П; х1 = а + (/ - 1)П; / = 1, 2, ..., п; Ь - а п =- п -1

Л = л = п. Л1 - Л2т+1 3 .

Общая формула Симпсона при п = 2т+1, т=1, 2, 3,... 4П. Л2 = Л4 = Л2т = "у ; Л = Л = Л = 2П; Л3 - Л5 Л2т+1 з х1 = а + (г - \)И; / = 1, 2, ..., п; Ь - а п =- п -1

Формула Гаусса при п=7, а=-1, Ь=1 Л1 = Л7 = 0,129485; Л2 = Л6 = 0,279705; Л3 = Л5 = 0,381830; Л4 = 0,417959; - х = х7 = 0,949108; - х2 = х6 = 0,741531; - х3 = х5 = 0,405845; х4 = 0;

Формула Чебышева при п=6, а=-1, Ь=1 Л1 = Л2 = ... = 2 = 1; п 3 - х1 = х6 = 0,866247; - х2 = х5 = 0,422519; - х3 = х4 = 0,266635;

где (р^ - точная правая часть; (р - её практическое задание.

Решение СЛАУ,

Т. =Т . + Дт .,

aj j aj '

(22)

где т - истинное решение; Атф. - ошибка решения.

Тогда уравнение (21) можно записать в форме СЛАУ:

[аЕг] + А1 та=Р+АРабс], где Е, А - матрицы;

Ta, т , АTa, р, АРабс - вектоPы,

(23)

Поскольку 4т. = V ■,

получим

(aE + A. )Дт = Дф л — aE. т ,

\ jj jj / a " abcj jj j '

(24)

На практике истинное решение т является неизвестным, поэтому его можно заменить на близкое решение та, перейдя после этого к нормам получим

||Ата||<||(аЕ + А)-11| -(¡АрЛ + а|-||та||) . (25)

В оценке точности решения (25) не была учтена ошибка аппроксимации интеграла (20) СЛАУ, т.е. ошибка аппроксимации оператора. Её учёт возможен, как показано в [20].

Кроме относительной ошибки правой части

■_« _ Ар

5 = 1

(26)

Необходимо учитывать ошибку, возникающую при аппроксимации интегрального оператора А. Эта ошибка определяется неравенством

К - A\\ <3 (27)

где Ah - приближение к интегральному оператору на шаге h.

Введём понятие нормального решения Т f взамен истинного решения Т , удовлетворяющего условиям ||Ат-( ^ min

(28)

тт J = min IT

Тогда решение, определяемое регуляризацией Лаврентьева, имеет вид

Т„ =

a + Ak А j-1 A*~,

(29)

h h ' h

и имеет отклонение от искомого нормального решения, норма которого

+

{.-ф^о:+A- Af'IJ .4^1 ■ ||Д V

W + a\TvV+ (30)

+ .\Т

f\\

Определим минимум выражения (30), и выразим оптимальный параметр регуляризации

2

I-4 Ы1

5

a опт ||Vo|| 4

V

(31)

где - нормальное решения уравнения A*Аv _ тр.

В таблице 2 и 3 приведены результаты оценки численного расчёта уравнения (4) для различных значений числа расчётных точек N и ошибки аппроксимации интегрального оператора & при различных значениях относительной ошибки правой части 8 .

Таблица 2

Оценки численного расчёта интегрального уравнения

Число расчётных точек N Норма матрицы потенциальных коэффициентов IAII Норма обратной матрицы потенциальных коэффициентов Число обуслов слов-ленно-сти м Ошибка аппроксимации 3 Параметр регуляризации а Норма IT" - т\ 10 -8

5 =0,05

100 0,8566 1500 1285 0,012 0,052 45,4

300 0,8525 5420 4621 0,0062 0,012 24,4

500 0,8494 8630 7330 0,0045 0,0074 15,8

1000 0,8456 17800 15052 0,0024 0,0025 7,5

2000 0,8361 36800 30768 0,00138 0,00071 4,8

5000 0,8365 115600 96699 0,00056 0,00012 1,5

5 =0,01

100 0,8566 1500 1285 0,012 0,061 44,7

300 0,8525 5420 4621 0,0062 0,014 23,9

500 0,8494 8630 7330 0,0045 0,0085 15,1

1000 0,8456 17800 15052 0,0024 0,0035 7,0

2000 0,8361 36800 30768 0,00138 0,00085 3,2

5000 0,8365 115600 96699 0,00056 0,00014 1,5

5 =0,005

100 0,8566 1500 1285 0,012 0,068 43,2

300 0,8525 5420 4621 0,0062 0,015 23,5

500 0,8494 8630 7330 0,0045 0,0091 14,5

1000 0,8456 17800 15052 0,0024 0,0039 6,6

2000 0,8361 36800 30768 0,00138 0,00089 3,1

5000 0,8365 115600 96699 0,00056 0,00015 1,5

5 =0,0001

100 0,8566 1500 1285 0,012 0,071 45,4

300 0,8525 5420 4621 0,0062 0,016 24,4

500 0,8494 8630 7330 0,0045 0,001 15,8

1000 0,8456 17800 15052 0,0024 0,0056 7,5

2000 0,8361 36800 30768 0,00138 0,00092 4,8

5000 0,8365 115600 96699 0,00056 0,000155 1,5

Таблица 3

Оценки численного расчёта интегрального уравнения для различны« квадратурных формул

ВЫВОДЫ

Как и следовало ожидать, наименьшее значение нормы разности - т дают формулы Чебышева. При этом время

а ^

для расчёта по более точным формулам потенциальных коэффициентов сопоставимо со временем нахождения решения СЛАУ, только при небольших N<10. С увеличением расчётных точек хотя бы до 100 время для расчёта любым из квадратурных формул не превышает двух процентов от общего времени решения. Наконец при числе расчётных точек более 1000 время для расчёта любым из квадратурных формул становится пренебрежимо мало по сравнению с общим временем решения, и не превышает сотых долей процента.

Анализ применения различных квадратурных формул для решения интегрального уравнения аппроксимирующей СЛАУ относительно дискретных значений искомой функции и её решения показал, что при числе расчётных точек менее пятисот целесообразно использовать формулы Чебышева, поскольку они обеспечивают наибольшую точность при незначительном увеличении времени расчёта. При большем количестве расчётных точек, определение потенциальных коэффициентов по точным выражениям не сказывается на общем времени решения, однако даёт наименьшее значение нормы

разности ~ - т^ не превышающее 1,5 при числе расчётных

точек более пяти тысяч.

Полученное выражение для определения оптимального параметра регуляризации может быть использовано для некорректных задач электростатики не только при расчёте электромагнитных влияний линии электропередачи, но и других электроустановок высокого напряжения - источников электромагнитного поля.

Статья проверена программой «Антиплагиат». Оригинальность 85,38%.

Список литературы:

1. Дубицкий, М.А. Качество электрической энергии / М.А. Дубицкий, Е.А. Сухарева// Вестник ИрГТУ . - 2015. - №4 (99). - С. 152-157.

2. Dubitsky M.A. RELIABILITY OF ENERGY SYSTEMS. Reliability: Theory & Applications. Elektronic journal of international group on reliability. ISSN 1932-2321. Vol. 8. № 3, issue of September' 2013.

3. Белицын И.В., Котырло Т.В., Макаров А.В. Электрическое поле высоковольтных электрических установок, проблемы нормирования, расчета и моделирования // Ползуновский вестник 2006- № 4-2. С. 387-393.

4. Белицын И.В. Получение и анализ Экспериментальных данных электрического поля воздушной линии электропередачи // Ползуновский вестник 2010- № 4-2. С. 150-15.

5. Белицын, И. В. Перспективные методы расчета и моделирования, электромагнитных полей установок высокого напряжения / И. В. Белицын, Р. С. Старухин, С. А. Урвачев // Проблемы энергосбережения и экологии в промышленном и жилищно-коммунальном комплексах: сборник статей VII Международной научно-практической конференции. - Пенза, 2006. - с. 221-223.

6. Миролюбов, Н.Н. Методы расчета электростатических полей / Н.Н. Ми-ролюбов, Н.В. Костенко, М.Л. Левинштейн, Н.Н. Тиходеев.. - М.: Высш. шк., 1963 г. - 416 с.

7. Александров, Г. Н. Установки сверхвысокого напряжения и охрана окружающей среды / Г. Н. Александров. - Ленинград : Энергоатомиздат, 1989 - 360 с.

8. Кужеков, С. Л. Электромагнитная совместимость в электроэнергетике / С. Л. Кужеков. - Новочеркасск : Южно-Российский государственный технический университет, 2011. - 134 с.

9. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. -СПб. : Лань, 2009. - 608 с.

10. Белицын, И. В. Эллиптическое электрическое и магнитное поля электроустановок. Метод их расчета и нормирования / И. В. Белицын, Т. В. Котырло, А. В. Макаров // Известия Томского политехнического университета. -2008. - Т. 312. - № 4. Энергетика. С. 61-65.

11. Белицын, И. В. Алгоритм расчета электрического поля ВЛЭП на основе метода эквивалентных зарядов / И. В. Белицын, А. В. Макаров // Ползуновский вестник. - 2007. - № 4. -С. 134-141.

12. Шевцов, Г.С. Численные методы линейной алгебры : учеб. пособие / Г.С. Шевцов, О.Г. Крюкова, Б.И. Мызникова. - СПб. : Лань, 2011. - 496 с.

13. Васильева, А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. - Санкт-Петербург : Лань, 2009. - 160 с.

14. Григорьев, А. Д. Методы вычислительной электродинамики / А. Д. Григорьев. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 432 с.

15. Тухлиев, К. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых / К. Тухлиев // Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. - Вып. 2. Ч.1. - С. 50-57.

16. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1979. - 288 с.

17. Колечицкий, Е. С. Расчёт электрического поля устройств высокого напряжения / Е. С. Колечицкий, И. П. Белоедова, Ю. В. Елисеев. - М. : Издательский дом МЭИ, 2008.

18. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems / A. N. Tikhonov, A. V. Goncharsky, V. V. Stepanov, A. G. Yagola. - Springer Science+Business Media Dordrecht, 2013. - P. 253.

19. Тихонов, А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов , А. Г. Ягола - М. : КУРС, 2017. - 400 с.

20. Morozov, V. A. Methods for solution of ill-posed problems / V. A. Morozov, A. I. Grebennikov. - 2-е изд., доп.- М. : Изд-во Моск. ун-та, 2011. - 310 с.

Число расчётных точек N Норма матрицы потенциальных коэффициентов A Норма обратной матрицы потенциальных коэффициентов м Число обуслов слов-ленно-сти Ц Ошибка аппроксимации 3 Параметр регуляризации а Норма IQ-8

Формула прямоугольников

100 0,896 1700 1523 0,15 0,082 165,5

300 0,8652 5650 4888 0,085 0,019 80,,4

500 0,8562 8950 7663 0,052 0,012 54,4

1000 0,8321 18500 15394 0,035 0,0056 29,7

2000 0,8285 38100 31566 0,0284 0,0095 19,1

5000 0,8253 116200 95900 0,0071 0,00062 10,5

Общая формула трапеций

100 0,885 1700 1505 0,012 0,083 145,8

300 0,8604 5900 5076 0,0062 0,017 78,1

500 0,8465 9100 7703 0,0045 0,010 53,4

1000 0,8298 18800 15600 0,0024 0,0034 27,9

2000 0,8254 39100 32273 0,00138 0,0075 18,4

5000 0,8245 182500 150471 0,00056 0,00054 9,4

Общая формула Симпсона при n = 2m+1, m=1, 2, 3,...

100 0,8580 1680 1441 0,012 0,068 150,2

300 0,8584 5280 4532 0,0062 0,015 79,4

500 0,8506 9010 7664 0,0045 0,0091 62,5

1000 0,8480 18600 15773 0,0024 0,0039 29,6

2000 0,8399 34600 29061 0,00138 0,00089 15,9

5000 0,8378 121700 101960 0,00056 0,00015 7,1

Общая формула Симпсона при n = 2m+1, m=1, 2, 3,...

100 0,8582 1610 1382 0,012 0,071 98,6

300 0,8565 5840 5002 0,0062 0,016 83,6

500 0,8508 8650 7359 0,0045 0,001 59,1

1000 0,8464 17100 14473 0,0024 0,0056 26,3

2000 0,8366 37500 31373 0,00138 0,00092 14,4

5000 0,8361 113600 94981 0,00056 0,000155 6,3

Формула Чебышева при n=6, a=-1, b=1

100 0,8562 1550 1327 0,012 0,071 92,3

300 0,8521 5550 4729 0,0062 0,016 70,4

500 0,8494 9010 7653 0,0045 0,001 53,1

1000 0,8455 16200 13697 0,0024 0,0056 24,1

2000 0,8360 35600 29762 0,00138 0,00092 10,2

5000 0,8364 121600 101706 0,00056 0,000155 5,1