Оценка связности задач обработки данных в автоматизи-рованном центре управления полетами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№ 98(2)

УДК 629.735.015:681.3

ОЦЕНКА СВЯЗНОСТИ ЗАДАЧ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ В АВТОМАТИЗИРОВАННОМ ЦЕНТРЕ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТАМИ

С.И. БАБАЕВА, Л.Е. РУДЕЛЬСОН

Предложен принцип расчета вероятностных характеристик корреляции по управлению и данным между вычислительными алгоритмами центров управления полетами для оценки показателей пропускной способности, готовности, достоверности и целостности системы. Известные схемы основаны на аппарате теории множеств и графов и требуют значительных ресурсов для реализации. В качестве альтернативы рассматривается представление сложной программы в виде композиции функций алгебры логики, которое позволяет минимизировать вычислительную сложность задачи.

1. Введение

Совершенствование компьютерного обеспечения позволяет поднять на новый качественный уровень решение задач информационной поддержки технологии работы диспетчеров. Становится возможным повысить требования к достоверности и объему данных как о воздушной обстановке, так и о тенденциях ее развития. Можно применять более точные математические схемы прогнозирования погоды и расчета траекторий воздушных судов (ВС), можно использовать всю полноту аэронавигационной информации с учетом ее изменений в реальном масштабе времени. Для реализации новых возможностей необходимо располагать такими формами представления данных в компьютерной памяти, которые обеспечили бы своевременность их обновления по результатам обработки радионавигационных измерений, сообщений по управлению воздушным движением (УВД), метеорологических сообщений, вводов диспетчеров.

Одна из перспективных форм такого представления данных предложена в [1] в виде совокупности частотных моделей, названной информационным образом (ИО) полетной информации. В [2] получены количественные оценки объема г компьютерной памяти, необходимой для устойчивой работы вычислительной системы, использующей ИО:

1п

) г (=■

I а,

к=0

ч к-1 1 а - а 1 ( п |2а п-1

У VI=1 у 1=1 рк • - 1п V 1=1 У

(1 -р+р-р)

ПI а

/=1 1=1

I а

1п р =1

где символ ) (, охватывающий в левой части обозначение объема г необходимой памяти, означает ближайшее большее неотрицательное целое, а все обозначения в правой части соответствуют параметрам системы:

Р - допустимая вероятность переполнения ИО, определяемая замыслом системы; р = 1//1 - загрузка системы, равная отношению интенсивности 1 потока записей (сообщений) о ВС и об изменении состояния элементов структуры воздушного пространства (ВП) к параметру ц их обслуживания;

п - количество компьютеров вычислительной сети центра УВД.

Параметр а^ введен в [2] для учета связей по управлению и данным и назван корреляцией между записями. Понятие определяется как вероятность аг (1 = 1,... ,п) обслуживания очередной записи -м свободным компьютером при условии, что любые ( - 1) других компьютеров системы заняты. Это - интегральная характеристика состояния, указывающая, с какой вероятностью смогут, начиная с текущего момента, быть занятыми компьютеров системы, причем в силу

=1

стационарности входного потока этот момент инвариантен относительно сдвига по оси времени. Для наглядности используем следующую аналогию. Комплекс программ (КП) обработки радиолокационной информации (РЛИ) автоматизированной системы (АС) УВД периодически, с темпом обзора антенны радиолокационной станции (РЛС), решает следующие задачи обработки РЛИ:

• сбор и обработка сообщений первичной и вторичной радиолокации;

• вычислительные процессы обнаружения, захвата, сопровождения ВС;

• организация фазы ассоциации, фильтрации и экстраполяции траекторий;

• первичная, вторичная и третичная обработка РЛИ;

• обработка данных радиопеленгаторов;

• радиолокационное сопровождение в сложной информационной обстановке (пропуски целей, ложные отметки, помехи, маневрирующие объекты);

• анализ качества прокладки траекторий.

На каждом обзоре должен выполняться весь список задач, однако, они связаны отношениями предшествования. Фаза экстраполяции не может начаться раньше фильтрации и ассоциации, которые, в свою очередь, должны дождаться результатов обработки координатных измерений, выполняемых после окончания сбора сообщений. Помимо функциональных связей, данные коррелированны между собой вследствие их общего использования взаимодействующими КП обработки планов полетов, докладов подсистемы автоматического зависимого наблюдения, функций ввода диспетчерского персонала. Другими словами, обязательные для исполнения процессы не могут начаться на свободном (незанятом) компьютере сети до тех пор, пока не создадутся необходимые условия. Количественно такие потери номинальной производительности сети учитываются показателем а .

В данной статье рассматривается простой метод расчета величин корреляции между алгоритмами по данным и отношениям предшествования на компьютерной сети.

2. Постановка задачи

Любое программное изделие еще на этапе проектирования принято представлять графом, вершины которого соответствуют выполняемым функциям, а дуги - допустимым переходам между ними (рис. 1). В целях однозначного понимания замысла разработчика, изобразительные элементы алгоритмических схем стандартизованы, установлены правила начертания блоков операторов, разветвлений, циклов и других элементов. Прослеживается аналогия со структурными схемами технических систем разного уровня сложности и обобщения, наглядно демонстрирующими логику их работы. В данном изложении важно то обстоятельство, что финальные вероятности переходов процесса по разветвляющимся дугам исходного графа могут с достаточной статистической достоверностью определяться априорно, исходя из заданных характеристик проекта. В такой постановке задача расчета последовательности вероятностей а становится методически столь же реальной, как вычисление значений 1 и ¡1- Эти величины характеризуются известным распределением моментов наступления событий, интенсивностью их потоков, подтвержденными опытом эксплуатации. Затруднения вызывает лишь громоздкость вычисления вероятностей прохождения процесса по десяткам тысяч возможных путей на графе сложной программы.

Важная особенность задачи состоит в том, что для каждой отдельной вершины или дуги графа можно легко сформулировать условие их принадлежности искомой ветви программного процесса и указать вероятность выбора дальнейшего пути в узле разветвления. Выполнение такого условия равносильно соблюдению ограничений исходной задачи. В рассматриваемом случае это выбор множества программных функций (вершин графа), связанных между собой отношениями предшествования или общими данными. Сложнее подобрать подходящее

отображение сформированного множества в компьютерной памяти, удобное для дальнейшей обработки. Нужно фиксировать найденные пути, рассчитать их длины, вероятности прохождения по ним, другие статистические характеристики. Традиционные матричные способы представления графов громоздки и неудобны для такого рода вычислительных задач. В [3] исследованы более компактные инструменты работы с графами, основанные на аппарате булевой алгебры. Вместо двумерной матрицы размерности т, где т - число вершин графа, используются

т функций алгебры логики (ФАЛ) вида /(у1,.,ут). Функция принимает единичное значение -отображает возможный путь на графе - если определена на двоичном наборе {у}, г = 1,т, в котором единичные переменные соответствуют вершинам, включенным в этот путь. Тогда все операции по нахождению допустимых путей сводятся к построению и минимизации ФАЛ, дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) которой содержит все возможные решения. В результате выбор оптимального решения упрощается, нужно лишь указать способ перехода от ДНФ к задаче линейного программирования с булевыми переменными и получить оценки ее сложно-сти.Сопоставим вершинам х1, ...,хт графа О (X, Г) двоичные переменныеу1, ...,ут. Пусть хг включается в допустимое множество ЯсХ, если и только если у г = 1 в некотором наборе значений переменныху1,.,ут. Тогда такой набор однозначно определяет искомое подмножество вершин графа. Отметим, что если в нем фиксированы не все т значений переменных, то он определяет целостную совокупность подмножеств вершин с указанными свойствами, т.е. учитываются все разветвления графа, отвечающие условиям корреляции.

Удобство такого подхода состоит в том, что становится возможным вместо связей между вершинами графа - программными функциями - налагающих ограничения на искомые множества связанных вершин или дуг, рассматривать более простые зависимости между значениями двоичных переменных уг. Следовательно, упомянутое неформальное условие принадлежности вершины определенному пути, сформулированное в терминах теории графов, можно записать строго в виде логической функции двоичных переменных: /(у1,.,ут) = 1 в том и только в том случае, когда для каждой вершины хг выполнено заданное условие ее принадлежности искомому пути на графе программы.

Переход от многозначности графовых моделей к двоичным функциям сводит задачу расчета параметра к отысканию всех наборов значений двоичных переменныху1, ...,ут, на которых /(у1,.,ут) принимает единичное значение. Описанием условий исходной задачи (нахождения вершин, обладающих свойством принадлежности искомой ветви программы) становится конъюнкция функцийпо всем вершинам графа программы:

т

Р (У1 ,.. .У т ) = А (У1,.. .У т ) ,

г =1

если и только если для множества {хг / уг ° = 1} выполнено условие ¥(у1°,.,ут°) = 1. Таким образом, задача размерности т поиска связанных частей сложного программного комплекса сводится к простому (линейному) перечислению всех наборов значений двоичных переменных у1°.,ут °, на которых конъюнкция Р(у1, ...,ут) обращается в единицу.

Для наглядности представим себе произвольный граф программы, все ребра которого взвешены вероятностями переходов по ним от вершины к вершине. На данном шаге анализа мы пытаемся выделить существующие пути, не учитывая вероятностей их прохождения, и заменяем все ненулевые значения единицами. Как только искомые пути найдены, значения вероятностей восстанавливаются, и вычисляется значение корреляции для каждой задачи, входящей в граф полной программы.

Пусть Р представлена в минимальной ДНФ. Тогда каждая ее импликанта / описывает семейство множеств (решений), и вся совокупность искомых решений оказывается объединением таких семейств. Каждое множество семейства наглядно прослеживается на графе последовательностью вершин, соединенных ненулевыми ребрами, составляющих возможный путь исполнения программы. В семейство множеств-решений, описываемое импликантой К(у1,.,ут) =

А у°, входит всякое множество ДсХ, определяемое таким наборому1 °...,ут° что К(у1 °...,ута)

ге1К

= 1, т.е. А (у° V уг) = 1. Иначе говоря, каждое множество таких решений обладает двумя

ге1К

свойствами:

• если импликанта содержит уг, то вершина хг входит в Я;

• если импликанта содержит уг, то вершина хг не входит в Я.

Отметим, что по условиям задачи достаточно рассматривать только одно множество из каждого семейства, а именно - предельное множество, содержащее максимум элементов по каждому допустимому пути на графе сложной программы.

3. Анализ достижимости вершин графа сложной программы

Для образования последовательности значений {0г} достаточно определить множество вершин графа, достижимых из любой заданной вершины, либо решить обратную задачу: найти множество вершин, из которых данная вершина достижима. Схожие операции связаны в теории множеств с ее основным топологическим понятием - замыканием, методы отыскания которого требуют большого объема вычислений. Частным случаем является проверка наличия контура, проходящего через две данные вершины. Известно [3], что решение состоит в построении для графа О (X, Г) соответствующего транзитивного замыкания О (X, Г). Обычно для этого используют матрицу смежности графа О (X, Г), формируемую с помощью громоздкой процедуры возведения в (т - 1)-ю степень матрицы смежности исходного графа. Применение ФАЛ существенно упрощает анализ достижимости.

Сопоставим каждой вершине графа О (X, Г) двоичную переменную и определим логическую функцию РГ следующим образом:

Fг(Уl,...,Ут) = А А (Уг VУ' ) = А Уг V А у

г=1

(1)

Назовем Уг индексом вершины хг. Пусть индекс вершины к есть единица, Ук = 1. Рассмотрим условия, при которых Рг (У1,...,Ук_1,1,Ук+1,...Ут) = 1. Согласно (1), индексы всех вершин из подмножества Х1 = {хг/хг е г хк} должны быть равны 1. При этом, в свою очередь, индексы всех вершин из подмножества Х2 = {хг/хг е ГХ1} также должны быть равны 1. Проведем эти рассуждения для последующих подмножеств, порождаемых таким же образом, пока не окажется Хг з Хг+1. В результате получим, что индексы всех вершин, достижимых из хк, и только они, должны обязательно иметь значение 1, чтобы функция Рг обращалась в единицу при Ук = 1.

Если Рг приведена к ДНФ, то весьма удобно отыскивать такие переменные, тем самым находя достижимые вершины. Преобразуем ДНФ Рг к виду П0 V У1Е1. Поскольку при Уг = 1

У1В1 = 0, то для Рг (у1, ...,Уг -1,1,Уг +1,...Ут) = 1 необходимо Бо = 1. Если во всех импликантах Бо

какая-то переменная У' содержится без отрицания, то Б0 = 1 только при У' = 1. Нетрудно видеть, что любая другая переменная может быть равна нулю при Б0 = 1. Таким образом, поиск сводится к выделению переменных, входящих без отрицания во все импликанты, не содержащие Уг

(но содержащие, быть может, У1).

По аналогии можно показать, что при уу- = 0 функция Рг (У1,.,Уг -1,0,Уг +1,...Ут) = 1 только в том случае, когда придано нулевое значение всем таким переменным У1, что из вершины х1 достижима вершина хг. В этом случае поиск состоит в нахождении по ДНФ Рг таких переменных, которые входят с отрицанием во все импликанты, не содержащие У1 (без отрицания), но содержащие, быть может, Уг . Наличие контура, проходящего через хг и х1, однозначно определяется взаимной достижимостью этих вершин.

Для наглядности рассмотрим частичный граф КП обработки плановой информации в АС УВД (рис. 2). Вершинам и дугам соответствуют основные программные функции и связи между ними. Дуги взвешены вероятностями условных переходов между функциями при различных сочетаниях исходных данных и стадиях прохождения задачи.

/=1 х'е1 V

Рис. 2. Граф связей основных функций КП планирования полетов

На упрощенной схеме рис. 2 достижимость каждой вершины легко проследить визуально. Однако при детализации каждая вершина отображается разветвленным графом высокой размерности с циклами, и возможности анализа общей картины человеком исчерпываются взвешиванием дуг вероятностями условных переходов. Значения вероятностей получены методом экспертных оценок. В табл. 1 представлен фрагмент результатов анкетирования группы квалифицированных специалистов, в различные годы принимавших участие в разработке программных комплексов АС УВД. Бросается в глаза малый разброс указанных ими величин вероятностей условных переходов между ветвями КП. Аналогичная ситуация отмечена и автором [3], использовавшим аппарат булевой алгебры для оценки полноты и качества отладки программного обеспечения управляющих систем реального времени. Уверенность разработчиков и сходство предложенных ими количественных мер частотных характеристик подтверждаются результатами расчетов значений ^ с использованием данных, полученных в процессе обработки экспертных оценок.

Таблица 1

Эксперты Программные комплексы по схеме рис. 2 и оценки вероятностей переходов

План ИВП Этап ОВД Взаимодействие Целостность

1. Бубнов Г.П. 0,75 0,7 0,1 0,9

2. Володин С.В. 0,8 0,6 0,1 0,85

3. Жуков В.М. 0,8 0,8 0,2 0,8

4. Каширская Н. А. 0,85 0,8 0,15 0,8

24. Чикунов Н.В. 0,7 0,7 0,2 0,75

25. Шульгин В. А. 0,85 0,75 0,1 0,9

Вычисление условных вероятностей перехода от исходной вершины очередного допустимого пути к его конечной вершине, которые интерпретируются как последовательности искомых значений ^1}, выполняется программно. Терминология и расчетные процедуры общеизвестны. Для приведенного на рис. 2 примера с учетом мнений двадцати пяти экспертов, частично представленных в табл. 1, результаты сведены в табл. 2. В предположении нормального распределения ошибок экспертов (согласно, например, [4]) в качестве оценки тх математического

ожидания для вероятности исполнения задач программного комплекса, имеем: тх =

где

п

х1, х2, ... хп, - указанные экспертами значения вероятностей условных переходов, / = 1,п - индекс суммирования, п - количество экспертов, участвующих в опросе. Истинное значение математического ожидания заключено в пределах доверительного интервала, определяемого по формуле Р (т - г ¡О т < т < т + г ¡О т ) = ¡, где в - доверительная вероятность попадания в

оценок, ох =

■°= - среднеквадратическое отклонение результатов обработки экспертных

4п

(

п

п -1

Л

х,

■т.

п

среднеквадратическое отклонение величин, указанных экс-

V

пертами. Табличное значение гр = 1,643 соответствует доверительной вероятности ¡= 0,9. Остальные обозначения приведены выше.

Таблица 2

г=1

2

2

г=1

Характеристика ( т х ,о~, 1р ) План ИВП Этап ОВД Взаимодействие Целостность

Вероятность исполнения 0,8 0,75 0,2 0,8

Среднеквадратическое отклонение 0,03 0,05 0,04 0,033

Доверительный интервал оценок 0,751-0,849 0,668-0,832 0,134 - 0,266 0,757 - 0,854

4. Заключение

Организация совместной работы компьютеров приводит к потерям производительности на взаимодействие, которые можно оценить статистически, используя последовательности значений {0;} корреляции выполняемых программных функций по общим данным и отношениям предшествования. Расчет соответствующих величин не связан с трудностями концептуального характера, однако требует использования громоздких в вычислительном отношении процедур преобразования матриц большой размерности. Для упрощения процедуры в статье предлагаются правила перехода от представления сложной программы как графа к ее отображению в виде функций алгебры логики. В результате - громоздкие операции над матрицами замещаются линейно зависящими от количества п вершин графа обращениями к значащим (ненулевым) двоичным функциям, определенным на множестве функциональных компонент программного комплекса. Эффективность излагаемого подхода проверена на задачах оценки полноты и качества отладки программного обеспечения управляющих систем, работающих в реальном масштабе времени, а также на рассматриваемом в данной статье принципе расчета коэффициентов связности алгоритмов по управлению и данным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гальков М.А., Рудельсон Л.Е., Тверитнев М.М. Имитационная модель использования воздушного пространства. - Известия Академии Наук, Теория и системы управления, № 4, 2003.

2. Бабаева С.И. Оценка объема памяти, необходимого для информационного образа полетной информации. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Информатика. Прикладная математика, № 92, 2004.

3. Шнейдер Б.Н. Применение алгебры логики для решения задач теории графов. - Известия АН СССР, Техническая кибернетика, № 3, 1970,.

4. Молоканов Г.Ф. Точность и надежность навигации летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1967.

THE EVALUATION OF CORRELATION AMONG COMPUTATIONAL TASKS OF AUTOMATED

TRAFFIC CONTROL CENTERS

Babaeva S.I., Rudel’son L.Ye.

The article puts forward a principle to calculate data and management correlation probabilities among computational algorithms of various traffic control centers, to evaluate the indicators of capacity, readiness, reliability and systemic integrity. Commonly used schemes are based on the toolkit of the set and graph theories, and require significant implementation resources. Hereby the authors propose an alternative description of the complex program as a composition of Boolean functions, which allows minimizing the computational complexity of the task at hand.

Сведения об авторах

Бабаева Светлана Игоревна, окончила МГТУ ГА (2003), аспирант МГТУ ГА, автор 12 научных работ, область научных интересов - программное обеспечение планирования полетов воздушных судов.

Рудельсон Лев Ефимович, 1944 г. рождения, окончил МЭИ (1968), доктор технических наук, профессор МГТУ ГА, автор более ста научных работ, область научных интересов - программное обеспечение автоматизированных систем организации воздушного движения.