CC BY
35
УДК 517.9
ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДРОБНОЙ
ПРОИЗВОДНОЙ В МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ
EVALUATION OF THE EIGENVALUES OF THE STURM-LIOUVILLE PROBLEM FOR A DIFFERENTIAL OPERATOR OF SECOND ORDER WITH FRACTIONAL DERIVATIVE IN THE JUNIOR MEMBERS
М.В. Кукушкин M.V. Kukushkin
Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а Institute of Applied Mathematics and Automation, 89a ShortanovaSt, Nalchik, 360000, Russia
E-mail:[email protected];
Аннотация. В данной работе получен результат являющийся следствием вполне непрерывного вложения энергетического пространства порожденного дифференциальным оператором второго порядка с дробными производными в младших членах. Доказана теорема, позволяющая охарактеризовать рост собственных значений задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах.
Resume. In this paper we investigate the result which is a consequence of a completely continuous embedding energy space generated by a differential operator of second order with fractional derivatives in junior members. A theorem that allows to describe the growth of the eigenvalues of the Sturm-Liouville problem for a differential operator of second order with fractional derivatives in junior members is proved.
Ключевые слова: энергетическое пространство, оператор дробного дифференцирования, оператор Штурма-Лиувилля.
Key words: energetic space, operator of fractional differentiation, operator of Sturm-Liouville.
Введение
Считается известным (например см.[1]), что вполне непрерывное вложение энергетического пространства порожденного положительно определенным оператором в исходное пространство, дает возможность с помощью задания отношения частичного порядка на множестве положительно определенных операторов, оценить собственные значения оператора собственными значениями оператора более простого типа. В работе [2] 1977 г. рассмотрена задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с непрерывными коэффициентами при дробных производных в младших членах. Доказанная в работе [3] 2015 г. полуограниченность снизу оператора дробного дифференцирования, действующего в весовом пространстве Лебега суммируемых с квадратом функций, дает возможность перенести некоторые классические результаты теории положительно определенных операторов, для оператора дробного дифференцирования полуограниченного снизу. В частности как было сказано ранее важное значение имеет вопрос о вполне непрерывном вложении энергетического пространства порожденного оператором дробного дифференцирования в исходное пространство. Если не оговорено иное, будем полагать: а е (0,1), х е (а, Ь) = О. Интегрирование понимается в смысле Лебега. Следуя [4] для дробного интеграла и дробной производной, соответственно будем использовать обозначения
(/у)(Х) =Г п() 1(/>)(х) = — [ и() 1 ж, (>>)(х) = —П, (Б^п)(х) = -—11*11.
У а+ >К ' Г(а) {(х-г)а+1 У ' Г(а) {(-х)а+1 У ' —х а+ У Ь- ' —х Ь
В терминах обозначений [5] будем рассматривать гильбертово пространство
^,1({и,^ : и,V е С(Ь2), (и,^^д( м = о:+ и,^^ + !(Б+ V,и^}.
Также будем рассматривать оператор типа потенциала, и сумму операторов дробного дифферен-цирования
/> = с и+1-;_и, Б;ьи = Б;+и + о;_и.
Обозначим через 'кп собственные значения оператора задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах
ё ( ёи Л :
Аи = ~~Г\ р(х)~Т 1 + ЧоБаъи, ах V ах )
и(х)е С2 (о), и(сП) = 0,
с следующими предположениями относительно коэффициентов
р(х)е С1 ро < р(х) < ри Ро,Чо = сотг, Ро,Чо > 0.
(1) (2)
(3)
Будем также рассматривать вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля в обозначениях (3) для коэффициентов, и с краевыми условиями (2); собственные значения оператора которой обозначим как: ¡лп. Оператор вспомогательной задачи
Ви=--|ро ^Мь-аУ: ёх V ёх ) Г(1 - : )
(4)
Вспомогательные утверждения
Лемма 1. Оператор А положительно определенный. Доказательство. Область определения оператора А множеством вЬ2. Это следует из включения: С™ е Б(А). Покажем, что оператор А симметричный.
Имеем для и, V е Б( А):
является всюду плотным
(Аи,^о = V—| р(х)1ёх + чо|vD;+ иёх + до|vDab_udx.
ёх
ёи Л
ёх )
Применяя для первого слагаемого правой части последнего равенства формулу Грина, а также используя следствие 2 теоремы 2.4 [4,с.51] для третьего слагаемого (законность применения следствия 2 докажем ниже), имеем симметричное выражение для и, V е Б(А):
ъ , , ъ ъ
(Аи,V)о = [р(х)——Udx + чо [vD;+ иёх + чо [иБ;+ vdx.
ёх ёх
(5)
Докажем законность применения следствия 2 теоремы 2.4 [4,с.51]. Для этого покажем, что при условиях (2) имеет место: и е Гъ_ (Ьр), V е /;+ (Ьд), 1/ р +1/ ч < 1 + ;. Это будет следовать из
фундаментальности последовательности: уе (х) (см. формулу (13.7) [ 4,с. 181]) в Ьр,1 < р <™,
Положим: и (х) е С2 (о) . Использовав обобщенное неравенство Минковского, имеем для
е1 >в2> о:
Л 1 ъ
Уе2( х) рёх V I
1а
; и(х) - и(х) ; и(х) - и(х)
-г~ё х — -Т— х
•> (х- х) ^ л
(х- х);
ёх
и (х) - и (х) (х- х);
ё х
р Л р ъ
ёх = I
а V
• и(х) - и(х +1)
л
ёх
<
и ч
и (х) - и (х + t)
У V
dt
ёх
<
i
<| Га-11|\ы(х)-п(х + —х " Ж <Щ||С1 (щ](-аЖ < -М-(в^а-в2-а). (6)
е2 Vа ) е2 а
Фундаментальность {уе(х)}, е^0 доказана. В силу полноты 1р (О): Зу0(х) е 1р (О) так,
что имеет место сходимость: уе (х) ———>у0(х), из чего в силу теоремы 13.2 [4^.183] следует: п(х) е /ь- (Ьр), 1 < р < да. Доказательство принадлежности: у е /а+ (), 1 < q < да полностью аналогично. Доказательство возможности применения следствия 2 теоремы 2.4 [4А51] завершено. Из (5) получим представление для нормы в НА:
b / du Л2 b
{Ли,u)l = jp(x)I — 1 dx + 2q0 juD^+udx, и e D(A). (7)
a V ^^ J а
Оценим снизу первое и второе слагаемые правой части последнего равенства. Для этого используем, для первого и второго слагаемого соответственно: неравенство Фридрихса
(см. теорема 30.2 [6, c.344]), и полуограниченность снизу оператора дробного дифференцирования (лемма 1.1 [3]). Имеем неравенство положительной определенности
/ \ 1/2 I „ „ ÍU ~\-а \
(Au,u) >Я2|\u\\2, х =
Ро , qo(b - аУ
(b - а )2 Г(1 -а)
/¿2 II 110
Таким образом мы показали, что: 1) для оператора А имеет место неравенство положительной определенности, 2) Ц(А) = Ь2, 3) оператор А симметричный. Следовательно оператор А положи-тельно определенный. Лемма доказана.
Определение 1. Под обозначением Н А будем подразумевать энергетическое пространство порожденное положительно определенным оператором А.
Лемма 2. НА как множество элементов совпадает с пространством Ж> (О).
Доказательство. Предположим, что п е НА. По теореме 4.3.2 [1,а68] существует последовательность: {«п }с Ц(А) такая, что:
1К+» - иЛнЛ ^ 0 11пп - «11, ^ 0. (8)
Используя представление (7) для нормы в НА, имеем
Ь Ь
\«п +т - «п| |НА =!(«п + т - «П )2 Р (х)—х + 2q0\(«п+т - «п ))+ («п +т - «п )^ {« п } ^ Ц( А). (9)
а а
Поскольку в силу леммы 1.1 [3] второе слагаемое правой части последнего равенства неотрицательно, то
b
\\и' + - и'II
II n+ m n I L
2 Ро а
^ -Р- j«+m - U )2Р(x)dx ^ 0. (10)
Следовательно в силу полноты пространства Ь2 существует «' е Ь2 ,такая, что: ы'п ———>«'. Несложно показать (например см. [1^.82] ), что «п равномерно сходится к « , где « имеет представление
и(x) = jи (t)dt = -jи'(t)dt. (11)
Из чего следует, что: «(х) е ^(О), «(а) = «(Ь) = 0, а значит: «(х) еЖ,1(О). Пусть теперь:
« е ^2, покажем, что: « е НА. Согласно теореме 4.3.2 [1,а68] достаточно показать, что существует последовательность: {«п }с Ц(А) обладающая свойствами (8). Применим метод доказательства использованный в [1^.83] и разложим производную «' в ряд Фурье по косинусам (это возможно поскольку «' элемент пространства Ь2):
u'(x) = Vak cosкл ———, (12)
k=i b - a
a0 = 0, поскольку u (5Q) = 0. Почленно интегрируя ряд Фурье (12), получим
/ Ч TTu ■ 1 — - a ak (b - a)
u(—) = Vbk sin кл--, bk =-. (13)
k=1 b - a к л
Как известно из теории рядов Фурье ряд (13) сходится равномерно (см. теорема 44 [7,c.55]).
Обозначив частичные суммы рядов (12) и (13) как: u'n и un соответственно, имеем
\un+m - UntnA =1 |(Un+m - un )1É2 +1 \un+m - , К }C D(A).
Первое слагаемое правой части последнего равенства стремится к нулю, в силу сходимости ряда (12) по норме L2. Оценим второе слагаемое. Используя неравенство Коши-Гельдера, с учетом: леммы 2.2 [4,c.43] , теоремы 3.5 [4,c.64]. Имеем
||un+ m - un|j(Li ) = (un+ m - un , D"+ (Un+m - Un ))^ = (Un+m - Un , ^L" (Un+ m - Un )')^ -
<||u , -u II J1-"(u , -u )' -C||u , -u I ||(u , -u )'|| , C = const. (14)
II n +m nll^ II a+ \ n +m n/ || n+m Щ\Ьг n+m n / ||l2 ' V-^tv
Заметим, что поскольку ряд (13) сходится равномерно, то и подавно сходится по норме простран-ства L2. Следовательно в силу сходимости в L2 рядов (12) и (13) второе слагаемое также
стремится к нулю. Мы показали, что существует последовательность: |un }с D(A) со свойствами (8); значит: u е HA. Лемма доказана.
Лемма 3. Для функции u е HA имеет место представление для нормы (7).
Доказательство. Докажем, что (7) верно для любой функции: u е HA. Обозначим идеальный элемент (см.[8, c.25]) полученный в результате пополнения унитарного пространства образованного парой: ((• ||H ,D(A)) , через: u*. Заметим, что (7) можно переписать в терминах норм
пространств
hit, =llu Хм + ^o||un|t,i(L2). (15)
Поскольку u* - идеальный элемент, то существует последовательность: |un }с D(A) сходящаяся к u* в смысле нормы HA. Фундаментальность \un }в пространстве HA влечет, как следует
из хода доказательства леммы 2, существование функции: и е W21 такой, что
и' — > и', и — >и.
п ' п
Из условия (3) на коэффициент р(х), следует эквивалентность норм: Ь2(0) и Ь2(0,р).
Значит
и' —о,р) >и',
п '
из чего в свою очередь, с учетом свойства нормы имеем
||и' II ^ ||и 1 . (16)
II п||^2(П, р) 'II 11ь2(0, р) 4 }
Покажем, что: ||ип|| ,Т л ^||и|| „ ,т . Оценивая полностью аналогично (14), имеем
II "^а ,1(^2/ 11 1(Ь1>
1К - ={ип - u, Б;+ (ип - и ^ = {ип - и, (ип - и У)^ <
<1 |ип - ИГ (ип - и)1ц < С||ип - 4ц 11(ип - и)14 , С = (17)
Поскольку в силу предыдущих рассуждений правая часть последнего неравенства стремится к нулю, то: ип ——(—) > и. Используя общие свойства нормы имеем
и ^ и . (18)
Осуществляя предельный переход в левой и правой части (15) с учетом (16) и (18), имеем пректавление для нормы в HA:
Iuil = llu '||2 , + 2q0 U2 , s. (19)
\\иА II 11^2 (П.p) IWaiCL2) V ^
Лемма доказана. Лемма 4. u > u .
II \\Ha И "HB
Доказательство. Сразу заметим, что согласно [1,c.81]: B - положительно определенный
оператор, следовательно обозначение HB корректно, HB как множество элементов совпадает W. В силу: условия (3), леммы 3, леммы 1.1 [3] имеем
b
ИНЛ = Iu t(Q. p)+2q01 NIN^ > p01u 1IL + Jlu(t )|2 (b -t Г dt >
> p0\u 112 + q^^iut =ин •
П llL2 Г(1 -ЯГ L2 B
Лемма доказана.
Теорема 1. Пространство Na1(L2) вполне непрерывно вложено в L2.
Доказательство. Покажем, что множество ограниченное по норме пространства Na 1 (L2)
является компактным в L2. Используя свойство квадрата суммы получим
b b b 2 b
J|/aab'V|2dx = Г-2(a / 2)J Jy(t) | x -1 |-1+a/2 dt dx = JZfy + Iba/2y|2 dx =
a
b
:J|/a+/2v| dx + 2JCWVx +J|/;-/2v| dx.
Из формулы (2.20) [4, c.42], с учетом положительности оператора дробного интегрирования (см.[9]) следует
{/а+чс'ч—х =} у/-+у—х > 0,
а а
Используя разложение в ряд Фурье (см. рассуждения в ходе доказательства теоремы 1 [5]),
имеем
(/ааь/2у)(х) = Г-1(а/2)у(х)*ха/2-1 □ Г-1(а/2)цХа^о^, у(х) □ Сп, ха/2-1 □ 4-/2), ц = ^.
-да ^
Следовательно
Ь Ь Ь да
ЦС/2у|2 —х + 21С/2уС/2у—х +Ц/;-/2у|2 —х = Г-2 (а / 2)ц2£ ^п--/2)о„
а а а -да
Г а(-/2)2
= v"< —-a,2
+1a(a/2)2(a„2 + b2) L, v = (b -а)Г-1 (a ) / 2V2 .
0
n=1
а-1
Так как в силу теоремы 2.22 [10, ^305], для коэффициентов Фурье ядра: х имеет место асимпто-тическое равенство
а[-) □ п--Г(а)8т я(1 - а ) / 2, п ^ да,
то существует константы: Ci > 0, (i = 1,2,3) такие, что
b Г (a/2)2 м ] Г (a) м ]
J|/aa+/2y|2 dx < Ci a02 +X a(a/2)2(a2 + b2) j< C2 a02 + £ a^(a„2 + b2) j = C3( y, ,
или
||le°fj < c||laa+j , C = const. II a+ T IIL2 II a+4Nд(L1)'
a
Следовательно из ограниченности множества: /;+(хР), Ь2 в пространстве 1(Ь2)
следует ограниченность множества: /;+2 в пространстве Ь2. Поскольку оператор дробного
интегри-рования можно определить следующим образом
Ъ +\;/2-1 А ^ + ^ „
/;/2и = Г-1 (;)|К(х,0и(0ё^ К(х,t) е Ь2(О х О), К(х,t) = \
0, х < t < b.
то он вполне непрерывно действует вL2, (доказательство этого факта можно найти к примеру в [11, c.262] ), а значит переводит всякое ограниченное множество в пространствеL2, в компактное множество пространства L2. В силу закона композиции оператора Римана-Лиувилля с одинаковы-ми началами, имеем
сН с ° с , v^.
Из чего следует компактность множества/™+ (Р) в пространстве L2. Таким образом мы показали, что всякое ограниченное множество в пространстве Na1(L2), является компактным в пространстве L2 . Теорема доказана.
Основная теорема
Теорема 2. Для собственных значений оператора задачи (1) имеет место оценка
А, «2 + qttzaTL,n = 1,2,.... (20)
n (b - о)2 Г(1 - a)
Доказательство. В силу лемм: 1,2,4 для операторов A и B выполнены условия 1,2 в определе-нии отношения частичного порядка на множестве положительно определенных операторов [1,с. 111]. В силу теоремы 1 ограниченное множество в пространстве Na1(L2), является компактным в пространстве L2. Доказательство полной непрерывности вложения пространства HB в L2 можно найти в [1,c.102]. Таким образом операторы A и B переводят ограниченное множество энергети-ческого пространства в компактное множество исходного пространства. Следовательно выполнены условия теоремы 5.10.1 [1,c.111], значит
An ^n, n = 1,2,... .
Согласно [1, c.113], имеем
„ = Ро к2 n2 + 4o(b - o)-a (b - о)2 Г(1 - a) ,
из чего и следует оценка (20).
Теорема доказана.
Автор выражает благодарность за ряд ценных замечаний и предложений академику Шкаликову Андрею Андреевичу и профессору Ляхову Льву Николаевичу.
Список литературы References
1. Михлин С.Г. 1977. Линейные уравнения в частных производных. М., "Высшая школа" :431 .
Mikhlin S.G. Linear partial differential equations // M .: Higher School, 1977. -431 pp.
2. Нахушев А. М. 1977. Задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. Доклады Академии наук СССР. №2, Т. 234: 308-311.
Nahushev A.M. Task of Sturm - Liouville for an ordinary differential equation of the second order with fractional fractional derivatives in junior members// Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1977. №2, Volume 234: 308-311 pp.
3. Кукушкин М.В. 2016. О весовых пространствах дробно дифференцируемых функций. Научные ведомости БелГУ, Математика. Физика. № 6 (227), выпуск 42: 60-70.
Kukushkin M.V. About the weighted spaces of fractionally differentiable functions.// Belgorod state university scientific bulletin. Mathematics & Physics. 2016. №6(227X42. 60-70 pp.
4. Самко С.Г. Килбас А.А. Маричев О.И. 1987. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения . Минск "Наука и техника" : 688.
Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integrals and derivatives of fractional order, and some applications. Minsk "Science and Technology" 1987. -688 pp.
5. Кукушкин М.В. 2016. Теорема о полноте пространства дробно-дифференцируемых функций. Научные ведомости БелГУ, Математика. Физика. №13, выпуск 43: 53-59.
Kukushkin M.V. Theorem on the completeness of the space of fractionally differentiable functions.// Belgorod state university scientific bulletin. Mathematics & Physics. 2016. № 13, (43). 53-59 pp.
6. Ректорнс К. 1985. Вариационные методы в математической физике и технике. Москва «Мир»: 589 . Rektorns K. Variational methods in mathematical physics and engineering. M .: Mir, 1985.-589 pp.
7. Харди Г.Х. Рогозинский В.В. 1962.Ряды Фурье.М. :Физматгиз :156.
Hardy G.H., Rogosinski W.W. Fourier Series. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. No.38, 1956.-156 pp.
8. Морен К.1965. Методы гильбертова пространства. М.: Мир: 570. Moren K. Hilbert space methods. M .: Mir, 1965.-570 pp.
9. Нахушев А.М. 1998. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа. Дифференциальные уравнения . Т. 34, № 1: 101-109.
Nahushev A.M. About positive of operators of continuous and discrete differentiation and integration, are very important in fractional calculus and theory of equations of mixed type.// Differential equations. 1998. №1, Volume 34: 101-109 pp.
10. Зигмунд А. 1965.Тригонометрические ряды. Том 1. М. : Мир: 616 .
Zygmund A. Trigonometric Series volume I. Cambridge at the university press, 1959.-616 pp.
11. Соболев В.И. 1968. Лекции по дополнительным главам математического анализа. Наука. «Физматлит»:288 .
Sobolev V.I. Lectures on the additional chapters of mathematical analysis. The science: " Fizmatlit ", 1968.-288 pp.
12. Смирнов В.И.1974.Курс высшей математики. Т. 4, ч.1.Москва: «Физматлит» :336. Smirnov V.I. Course of higher mathematics. Volume 4, part 1. M.: "Fizmatlit",1974.-336 pp.
