Оценка смешанных норм в весовом анизотропном пространстве типа Соболева аналитических в полидиске функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

*УДК 517.55

ОЦЕНКА СМЕШАННЫХ НОРМ В ВЕСОВОМ АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ТИПА СОБОЛЕВА АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ

Е.В. Мишина

Получено обобщение хорошо известной теоремы Харди-Литтлвуда по трем направлениям: во-первых, теорема распространена на многомерный случай, а во-вторых, рассмотрен случай дробной производной любого порядка, и в третьих, устанавливаются соответствующие оценки в случае смешанных норм.

Ключевые слова: весовые пространства, полидиск, смешанные нормы, теорема Харди-Литтлвуда, пространства Соболева.

§1 Обозначения и вспомогательные сведения

Пустьип = {г = (2Х, ..., 2п ) е Сп, |^.| < 1, 1 < . < п } - единичный полидиск «-мерного

Н (ип) -

Cn, Тп 4 = (Zj,..., ) е Сп, \z\ = 1,1 < j < п} -

его остов,

комплексного пространства

ттп

множество всех голоморфных в и функций, 0 < p, ч < . Обозначим через О множество всех

положительных функций ® , суммируемых на интервале (0,1), для которых существуют положительные числа ^, Ma, , причем ma, (° 1), такие, что

0)(Лг )

т„ <

(г )

<Мш, Уг е(о,1), Ае^1]

Свойства функций из ^ хорошо изучены в монографии [1].

Если z = (Г!,..., Zn) е Сп, Zj = г}въ, с = (C„...,Cn) eCn, Cj =p/J, « = (а1,...,ая) е Rn, то ••• z“п, |а| :=а1 + ••• + ап, (l - |z|2 J" -=JJ (l - |z. |2 , (l - <fz)“+2 = f\ (l -j )“j+2 .

j=1

j=1

Обозначим через ч , 0 < p, ч < класс измеримых по Лебегу в и функций , для

f

которых

Lp.„

11 ( п п / \|

j ... j®1(1 - г1) ...ая(1 - гп )l j - Лf (г1е"*, -, rne‘Vni ] Р d^1 ■■■dV,

0 0 -я

л V \/р

г1 ■■■ гп drl ■■■ drn

< +да.

Положим Ap’q = H(Un Lpm q. В пространстве Ap’q вводится соответствующая Lp, q -квазинорма.

Весовым анизотропным классом Соболева аналитических в полидиске функций Ap’q (Un),

0 < p < +<х>, /3 = (ft,..., (Зп) е Rn+, 1 < j < п назовем следующий класс голоморфных функций

Aim(Un) = {f е H(Un), Dmf e A?+mp}

1 1

A'fq Un )=f e H Un): 1} ^}©l(1 - rl)...ra„ (1 - r„ )(1 - Г1) »q ...(1 - г„) e-q x

40 0

I... J|DPf (гlem, ..., гпв1<Рп |pd^l ...

\ V \/p

\ %

г1 ... гп drl ... drn

<

В этой статье мы покажем эквивалентность смешанных норм для аналитических в полидиске функций в весовом анизотропном классе Соболева Ар’ч Цуп) и классе голоморфных в полидиске

функций А^ч, 0 < р, ч < .

тх log тп. п log M,

Для удобства обозначим аш =---------------------------, рт =

log qa

log q.

Определим функцию

ж

Х* )=

п

(1 - |г|)^рр' J=1 (1 - \х. \^/р1

г е

и« Где 0 <ц< рр\ 1 < р <+го, р' =

Р -1

„ Р = (Д, &,..., Д,), р1 > 0 В

Ьсли V'!'2 I п' I } , т0 0Пределим дробную производную порядка и в смысле

Римана-Лиувилля.

+ да

/ е Н(ип), /(г) = Х акгк

Пусть к=0 .

Тогда дробная производная порядка $ определяется следующим образом:

что

О Р/ (г) = £

Г (к + р +1)

Г ((5 +1) Г (к +1)

.. ПГ (к7 + »

= I

к кп - V

^.А=0 ^ +1) г (к} + 1)

7=1

Две следующие леммы установлены в работе [5] (см. так же [3]).

Лемма 1. Пусть а е ^. Тогда найдутся измеримые ограниченные функции х) м £(х) такие,

ю(х) = ехр<| ^(х) + — й—|, х е (0,1).

1о8 м а

При этом 1о8 тт — ^

1о8 (V — ” 1о8 (V О ’

< £ (— ) <

(0,1),

(3)

ТЭ “ т (= О а 0 < Вг, < 1

о дальнейшем при ш ^ “ всегда будем предполагать, что ® , и, не ограничивая

общность ч(-) = 0, х г(0Л).

Лемма 2. Пусть ® ^ ^этом 0 ~ ^ < 1 , тогда справедливы оценки:

I

I — |а+2 1

* Сарм (г)

ю(1 - |г|)

, , ^ “ И

11 °а (С, 2 \%1 (С №т2 (С С 2 ХРр (г), 0 <М< —

при всех 1

рр'

а>а„, г е и

С С

причем 15 2 - положительные константы и

О. {С, г) =

а +11 -

(1 -И2)

(4)

(5)

л

(1 -с* У

-, С, г е и

Следующая лемма установлена в работе [4] в случае шара в п -мерном комплексном пространстве. Приведем ее аналог в случае полидиска.

Лемма 3. Пусть

0 < ч < 1 0 < р <+^ / е Ар, ч (ип). Тогда

|.. .^ (1 -г1),..соп(1 -гп)~д(1 -г1 ),-1...('-г1 ),-1 ||...||/(/^,.„,^ ..Луп

0 0 г

< С

\—п -л

Г1 ...гА ...Фп <

I. „(1 - г )..Юп (1 - гп )| |... ||/ (г'eг^',. „, Гпе1СРп |р „ а^п г . „ гndг'... Л-,

0 0

1

1

Следующая лемма установлена в работе [5].

Лемма 4. Пусть у(*) неотрицательная субгармоническая функция в и ,

0 < р < 1, 77 = , ..., 77 п ) 77 . > -1, 1 < 7 < п

4 ,п/ 'з ■' , тогда справедлива следующая оценка

( Лр

| | Л *)(1 - И У йт2п (*) ^ С | (Ч*))р (1 - И УР+2 ^ йт2п (*) .

Чип У ип

Используя результаты и методы, описанные в работах [5, 7] легко доказать следующие два утверждения.

Лемма 5. Пусть / е Арр,ч (ип), (5 = (Д,/32,...,(5п) е Л”, > 0, 1 < . < п, тогда

существует функция щ е Ь°° (ип) такая, что

О

'/(и) = [

(1 -\(\т

\у+2+р

(6)

и» (1 “£0Г

Лемма 6. Пусть / е Н(ип), (5 = (Д,/32,...,(5п) е Л”, > 0, 1 < . < п, тогда для

7 = (Г1,Г2,---,Г„) е

достаточно большого

справедливо представление

/(и) = [

(1 -|с| т

\Г+2-Р

О>/(Оч,(&)йт2п(а ^ е ип

причем

и» (1 -С*)

ре Г° (ип)

§ 2 Формулировка и доказательство основного результата

Теорема. Пусть / е А" <-и">- ^ = ^ ■■■, А) ^ К, 1 * >п 0 < р,ч <+®

справедливы оценки

(7)

, тогда

а

11 ЯП Г

| -|®1 (1 - г1 )-®п (1 - гп )(1 - г1 ^ ^(1 - гп Уп | ■ ■ ■ Ц ОР/{г1еЩ ’■■■’ гпе‘% ) ■ЛЦ’п

г1 ...гпйг1 ...йгп

<

<

I...(1 -г1 )...ф„(1 -гп) |...ЦУ(г'e^', ..., | ^ ...йУп

0 0

<

С7(1-Р; )(1-Р; )

0 0

С7(1-Рз )(1-Рз )

.-(.Г!-Р. +1"/71 71

у(у. -Р. )ч

0 0

{... Л о?/(Ае'\ —, р„е’^Л) }...|| О, / (Де ' «, рп»-)

г1 ... гпйг1 ... йгп

<

(5;

6ВХ ...йвп д ...PnФ' ...йрп =

У

Р1 ^РпйР1 ..фп =

11 ! п п \ р

-С7('-Pj )(1-р/ )'’■« I J|o"/(P'e'Ч’ р,еЯп) 'йв, я ...рМ-йр,-

0 0

* = (^ * 2 , »•, *п ) е ип

где С1, С2 - положительные константы, независящие от /.

Замечание. Отметим, что в классах гармонических в полупространстве функций при Сд({) = 7“ аналог нашей теоремы другим методом установлен в работе [2].

Доказательство теоремы.

Докажем сначала правую оценку в формуле (8). Соответствующее доказательство мы разделим на 4 случая:

Ч

р

0 0

р

р

, 1 < р < 1 < а <

1. когда г и ч ;

п 0 < р < 1 0 < а < 1

2. когда г и ^ ;

0 < р < 1 1 < а <

3. когда г и ч •

л 1 < р < 0 < ч < 1

4. когда г и ч .

Рассмотрим сначала первый случай. Согласно лемме 6 имеем 2

(1 — \с\г —

/(*)=|,. I’I1. о*/аы&ут,ю, ^€ип

переменной

„п (1 -^И)"2-'

Оценим (9) по модулю и возведем в степень 1 < р <

л

проинтегрируем " раз по каждой

и применим неравенство Минковского

-п -п

< с

к тт

І ... I

-я -п

> 1 * I (1 -р?У' ...(1 -р2)Ч^/(ле'\ ..., рпг п)Лвх ...ів„

і -]------;-------.. ...г-д+2 ............,..-«..+2........А -Рп^1 -<*Рп

0 0 -ж -ж 1 - рГтГе

Ки -»1)

1 І ( ••■I1 -РпГпе

dф1 ..іфп

1 1 :с,1 ...1

Я Я Я Я I

І ... 1|... I

(1 -Р;г...(1 -р')'-р’/(р^ Р„еи ...м.

V

її 'Хй-Єі) Г1 +2 І1 '■(«,-еп) 1^+2

- -* 1 - Аг1е (й 11 ••• 1 -Рп^е ^ ")

ёф1 ... ёфп

Рі ■■■РпФі • •• іРп.

р =

Воспользовавшись неравенством Гёльдера с показателем

Р -1

, будем иметь

1 ( \р 1 1

{• • • Ц/(ГіЄіщ, Гпе'%)|рйфі ...йфп

І-1

I I(і-Рі2)" ■■■(1-РІУп\0І>/(ре'\ ..., р„еівп)| іЄх ...івп

її '(«-61) Vі ^1+2 її

-* І1-Рігіе і1 •• Д-рле

„Кчп-вп)

Уп~Рп +2

/■■■ І;

• * її '(т-йН'1 '~Г її '(фп-вп)

ж -ж\ 1~Рігіе ...ІГ-РпГпе № п>

е'(«-^)| ^-А+2 Рассмотрим интеграл:

(1-Рі2Г ...(1-р2„у^в1 ...івп

'Гп~Рп +2

і<^ ...йфп

Рі —РпАРі --Фп.

І ■ І

(1 -Рі2)'1 ^ (1 -рІУ'ііві... сів,

2 \ їп

1 ~РіГ1Є

'(^1 -^і)

/і -0і+2

1 ~РпГпЄ

'(Фп-в„ )

В силу анизотропности пространства

■ ■ (1-а2)"-(1 -р;)'піЄі...іЮп

І -1

-п -п

1 -Рігіе

:(^1-^і)

/і-Ді+2

1 -рптпеК(Рп ~вп)

Уп ~Рп + 2

і (г-р;

=1 -ЖІ1 - р ге

'(V)-в))

-Рі+2 •

л

І!

ів

Оценка интеграла | йв

і

1 -^/іе

<

'(.Рі-в і)

Г)-Рі+2

1 -^г)е

' (V)-в))

Г/+2

(] -г) Рі):

хорошо известна (см., например, [3]).

, Г, ~Р, +1 > 0

Тогда, учитывая оценку (10) будем иметь:

(10)

0 0

0 0

1

\ р 1 1 п

I... Л / (г/*1,..., V»" )| "і*,... і9п < с 21 ... | П

(1 -р) )ь

0 0 )=1 (1 -

(Г -г) р$

У.гР)+1>

л л

/... }| 04(р,е

'& 'в.

4 , -, Рпе '

л л )|р І -1

-я -я|1 — р^/е

'(% -61) Г1 ^+2

••I1 -р«г«е

Рі ...рпйрі ...йрп =

1 1 п (1 _ Г)2)^

^ЯЪ (1 Рі)

0 0 1=\ (і _ гЛь М р,

Л Л п Л

{...\\ЕР/(Ае'\ ..., р/вп)| р П1

1=1 -*І1 - р.-ге'

'(^ -0,)

Г,-0,+2 1

• • ів„

Рі ...рпйрі ..Лрп <

2 \ У/

- С3 / - {П /, (1 Р\у -^+1)[ I - ЛО P/(Pleгв', "■, Рпе'вп ^ Р йв1 йвп Р\ ■■■РпйР1 йРп .

0 0 У=1 (1 - г, Р. У1 Ъ 1 Л' 1 )

Теперь возведем последнее неравентство в степень 1 < ч < , умножим на

«1(1 - г1) ...Шп (1 - гп) п дп =[0,1]п

, проинтегрируем п раз по ^п 1 -1 , получим

11 { я я \ р 11

{•••Ьа-г1) -®п (1 - гп )| | • • • Ц/(г1е"Р1, -, гпе‘% ^ Р^1 ■■Лфп г1 ■■■гпйг1 --йгп ^ С4 {• • • | ®1 (1 - г1) • ”®п (1 - гп ) *

Ж Ж

0 0 (

X

0 0

Xа

1 1 п (1 _ п2Л^ (71 п

1 -1 П(1 (г р%4 !- №Р/(Ріе^, -, ^)|рІ01 -ідп

0 0 )=1 Vі _ Г)Р)! \-п -я

Рі ■■■РпФі ■■■ІРп

а

Гі ...Гп&1 ...Фп.

а =

Снова воспользовавшись неравенством Гёльдера с показателем

а -1

{•••^а-г^-ча-о

0 0

1 1

|... |юі(1 - гі)...Юп (1 - гп )

(1-р2/3 '* *

\р

приходим к оценкам

у

і\і~Г)Р) }Г)

її}-)

0 0 і'-1 \А 33 \~л -я

/-Л 03З’^, , Рпе‘в" )| р^51 п П—рМ Фп

І-Ш(Г _°г-Г)) і, I/-11Е '/ ^ Л )| >... М,

0 0 І-'1 \ )' ) / -к

л~’ 11 п

г1 . „ гпігі . „ ігп < С5 |„ Щ ф). (1 - г) )((1 - г) )-Ьі-ь+їі¥ї ).

ГГ Г р > ір >

] (і - г Р у -

Рі ■■■РпІРі ■■■ІРп

3^3/ у

^ У} а (

0 0 3=1

.. (1 - р2)Г)4 ( Я я \ р

1 ^1ПтЛ-----------к-М 1 1 - И °Р/(Pleгвl, -, Рпе'в" ^ Р ів1 -івп Рі ■■■РпІРі -ІРп

0 0 )=1 V г)Рі) 3 3 V-® -л )

д_

а х

г1 _гпігі ...ігп =

=С

-^'^1 ^3^ '3^ ■3'

0 0 3-і

-г )((1-Г) )33)К

,івАр

Рі--РпФі--Фп

Г--ГпФ--А.

Изменяя порядок интегрирования, получим

1 1

І... ]©1(1 - /і)...®,, (і - г„ )| І... Цу (г1е1<р\ г„е<Рп ^ Гйуі

0 0

г1 гпігі ігп <

11 п -Іг -е Iа 11 п (1 - п2 V3’ М я

іС„^^^П^)(Г-г)(Г-3 • "'7П(Г;( 11-’-]\Ее/(ре'\р.е'-)р^»1

0 0 3 1 0 0 )-1 у1 ^3 Р3} ~я

(і -р2 )г

1 1

11

а

0 0

а

і і

а

а

Pi ...p.dpi ...dpnri ...rndri ...dr" =

f фі (1 - ri)(1 - ri )

-ІЛ-Pj.

Сб\..] (1 -p2; )J I J... \\DPf(P|eвl, P.e6" )| ^ ..^0. I Пі J L1 Xjj) ridrjPl -PndPl dPn -

0 0 у-я -ж J J=1 0 rjPjJ

< Сб{...{(1 -P;)1|j... j|Dpf (Aelfl1, ..., p.eів" )|rdBx .. ,d0.

®j(1-^-)(1 -P.)

Pi ■■■PndPl --dPn ^

11 f Я Я N p

<C7 j... j\.(1 -Pj)(1 -Pj)jI J... ЦD*f(р^1, ..., PneWn )|pddl ...d0n Pl ...PndPl ...dPn.

0 0 У

Итак, правая оценка в формуле (8) установлена при p, q е (-1, + .

Перейдем к случаю (2), т. е. , когда

О < p < 1 и 0 < q < 1

Опять воспользуемся равенством (9), оценим модуль функции $ и возведем его в степень 0 < р < 1

f (z) p < С;

г (1 -\С\ У I I

Г ЛІ2-, \d f (0|dm;.(?)

u„ 1 - Qz\

(1 _ 1^ j2)jp+2 p - 2 U" 1 -Qz\

S C J (I 't' j;,.№ |d7(f)|"dm,.(C).

В последнем неравенстве мы воспользовались леммой 4.

Последнюю оценку проинтегрируем по каждой переменной ^, "", ^п

интегр ирования

п п 1 1

С J JJ JJ J ^1^°і2)Гіp+2p’2 ^(1 ~p2;)r"p+^'IDPf (peei, - P»e*" І‘’d6^-dd„

-n -n 0 0 -n -n

V

і і (<Pi -df )

1 -pre

(r,-ft+;)p I i(<f _e )|(r.-Pn +;)p

1 ~Pnrne " 1

и поменяем порядок

Pi ■■■P.dPi ■■■dpJVi ..Лфп =

I I

=СзJ.. J(I-A2)'1 p*;p-2 ...(І-РІУ'2p-2 j...J|Dff(Pie"1,..p,e'"■)

0 0

Jl /I

і ■ і

dyx ... dyn

-n -n

1 ~Pi rie

Kn-^i)

(h-Pi+2) p

1 ~Р„г„є

i(Vn-в.)

(r.-Pn + 2 ) p

ddf ... dd.Pf ... p.dpi ...dp. <

J

1 1 (1 _ ^2)71 р+ 2р-2 (1 _ ^2)7пр+ 2р-2 л ?т

^ С41| (1 _ г" ^ 2, р-1 ^ ))(,п-Рп , 2) р-1 1|О^./ (Р^ '“Ч Р.?' ’■ )| рй01^ йв„Р,...РМ... йРп

Далее возведем полученную оценку в степень —. Доказательство этого случая мы разбили на

р

два пункта: первый из них, когда — < 1, второй пункт, когда — > 1.

q

1) Пусть сначала — < 1, тогда, применяя лемму 3, получим Р

j• • • !|f (rieт, • -, r„eІіР„ ^"dVi ■■■dV,

<

I 1

q

О О

ч

= с,

■] ...1-

Г1'+2'-'-Г Гп'+2'-'-1 _ _

,2Л р П — п2Л р /ЯП

(і-Рі2) р ... (1 ~Р))

(Г1-А+2 )а~

п п '-г ^+2)а \ - -

0 0(1 -ГіРі) р ...(1 -гпРп) р ^ -*

I... 11Бр/(р/*1, ..., Рпе'вп )|ріві ... івп Рі -РпіРі - ір

Умножаем полученное на й)1 (1 — г1)...юп(1 — гп), интегрируя п раз, будем иметь

11 /і /і

|...|©і(1 -гі)...а„(1 -гп)І {... Ц/(гіеЩ, ..гпе^п^^ .. .ф,

0 0

гі ...^ ...ігп <С6 X

1 1

|^.|йГ(1-Г)^ГЭп(1-Гп)|^.|

, , . ?М+2'-'-1 . Ы+’а—

1 1 (1-я2) р ..(1-А?) р ^ *

(?'і-^1+2)'— (їп-А +2)а— І

(1-ГіРі) р ..(і-гл,) р

И1 ВР/(Регві, • • , Рпёвп \ "Іві --івп Рі-- рпіру • •ІРп Х

, , . М+2'—1 . И+’а—1

1 1 (і-я2) р ..(і-я2) р

(п-Д+2)'-' -1 (Гп-Рп+2)'-'-1

щ^-рУ-^-Рп)х

(і-Яі) р --(і-Рп)

х| /...\\р"/(рЄ'....рУп)

і#!... івп

Рі ••• рАРі •••ІРп ^

<С8{...{(і-а)«' „.(і-Рп)й-'^(1 -А)^®п(і-Рп)| І|Ер/(рхеіві, ...,рпе'вп)|"ів, ...івп р А -РпіРі "ІРп

0 0 У

Правая оценка неравенств (8) доказана.

а > і

2) Перейдем ко второму пункту, т.е. когда р

Воспользуемся неравенством Гельдера с показателем

а

а - р

х,

]• • •1|У(г1ег^1, • гпе 1<Рп ^РіРі —4ф,

-п -л

Г' ' , ?ч (г1р+2р-2)р

1 1 п/1 у~%2\ р (я Я

<

< С

I - ,1П Л(1~Р-' \(,-„3,2)р-і I I - ЛЕ"/(Рі‘-, ^М- )|

0 0 3 =

1 (і - г3 р3 )

Рі ■■■РпіРі ••• іРп

P"dP"

( п 1

Ш 7Г )

3-1 0 С - г,р3)

(

\у,-р, +21 р-1

/а- р

= С,

1 1 п (1 — р2) р (л ж

Рі "■ РпіРі іРп

Р^Р3

з-

1 0(1 - г3 Рі )

7.3-^3+2 і р-1

<

С6 П (1 - г,)

-(Ъ-^ )р-’-

і' - р

3=1

а

а

р

а

а

р

а

а

а

/-Ш /(1~Р-'* (,,,2)р-11 \••• ЛО"/(Ре*1' Р.е)>1-йв„

(у,р+ 2 р-2 )р

2 \ р (Ж Ж

=1 (1 - г, Р,)

Р1 ••• рпйр1 ... йРп

<-ж -ж

«1(1 - г1) ...Ю„ (1 - гп )

Умножим полученное неравенство на 14 17 „ 4 „ 7 , проинтегрируем п раз и

придем к оценке

1 1

|_|©1(1 - г). . .®п (1 - гп )1 |. . . Ц/ (г1? % , ^, гп? % )| ^ ..фп

0 0

11

< с6 {...{ П®, (1~г, )(1~г,)

<(г,-Р, +2)р-2)‘

0 0 1=1

(у ,р+2 р-2У 1 1 п (1_п2У ^ я

I-/Пл Л 1л|И1^<«е'\ ,Р„?"")

0 0 ,=1

<

1(1-г,р])

1 1 п

с 61... | п (1 -р;)

А ...Рпф1...фп

г1 ••■Гпйг1 •••йгп.

0 0 ]=1

|... ЦО« /(^1 е'^1, ..., р„е'“")| ,йе1...<16п

-ж -ж

А ••• РпйА ••• йРп ^

[г,-Р, + 2 )р - 2 )

(,,-^,2 )р -------Л'" гп1г1^ ^п

... Юп

А ■■■Рп1А йР„.

1 1 п ( л л

С7 } •••/П®, (1 )(1 -Р, УЛ I / - Л О е/(Р1е'в1, Р,еШ" |

0 0 1 =1 -л

Итак, в случае 2 правая оценка неравенств (8) доказана.

Поскольку доказательство третьего случая близко к доказательству второго пункта случая два, мы его не приводим.

Перейдем к случаю 4. Оценим (9) по модулю и возведем в степень 1 < р < .

по каждой переменной и воспользуемся неравенством Гельдера

проинтегрируем

-ж -ж

с

* С2 I ... |

-ж -ж

1 1 ж ж

ММП

I -ж -ж 1=1 1 — р,г,е

' (<Р,~в,)

Г, -Р, +2

\ОР/(Р1е'в1 , -, Рп?9' ^ Р‘1в1 -Мп Л -■Рп1Р1 ■■■1Рп

1 1 Ж Ж „

I -1 ЫПг

0 0 -л -л ,=1 1 — р г е

101 ...10"

'(ф,-в,)

У,-Р,+2

■Р1 РпйР1 Ф

йщ ... ф„ <

71 л

* С 21 ^ 1

1 1 Ж ж

иг-т (1"р,2)'"р

0 0 -ж -ж,-1

(.9, ~в,)

,=1 1 - р,г,е

П(1-г,)РгЬ йф1 ■■■!фп ^С31ГГ(1-Р,^):

У,-Р,+2

\oP/(Ple'вl, —, Рпе'вп^?йв1 -йепР1 ■■■р„йр1 ...йрп

0 0 J=1

(1- г, р.)

г,-Р]+1

I ^ Л ор / (Р1?в', _, рпе,вп )|р!01 ...авиР, ...р„1Р1 ...1р„.

-ж

1 1

р

0 0 ,

р

р

р

Далее возведем полученное в степень — . Так как 1 < р < и 0 < ч <1, то — < 1, поэтому,

р р

применяя лемму 3, получим

71 71

J- Лf (rle

y]pfq-+q-1 (Pj-Yj )-

(1-р,) p p (1 -r}) РГ| |

j-1)! IH

\d". f (Ae'\ ... a/»-)!’de^.de,,

J

1 1 n Q j ...J n

0 0 ]J (1- Г] P] )' '

Умножим полученное на ю1(1 — г1)...фп (1 — rn) и, проинтегрировав по кубу Qn = [0,l]n ,получим

11 f * * \ Р 11

{•••{®1(1 - rl)...ffl„ (1 - rn )| J ... J| f(rleІ^Pl, ..., r„e‘Vn )| "d^l ...dPn rl ...r„drl ...drn < Сб j-j®1(1 - rl)-®„ (1 - rn ) *

n -n j 0 0

yjq+^-l , „ q

(1 -p,) p

x (1 - r, )

J -Г])

q l l

1 -rn-

0 0 j=! Vi-P]

(1 -rJ p,) p

J... j| Df (Ple'\ ..., p,e-)| ”del...de.

1 1 n

X Pl ...PndPl ... dPnrl ... rndrl ... ^ < С 6 J ... Щ(1 -Pj )

x|{...{|Dpf (Ae'\ ..., Pneien)|pd0l ...d0,

0 0 j=1

j-j Г1^](1]т7]г_^,1

0 0 ]=l л

(1- Г] P]) p

■A ■■■PndPl ■■■Фп ^

n n

X.

Pl ■■■PndPl ••• dPn .

< Сб j ... Щ®,- (1 “Р,- )(1 “Р,- )] I j - f|D V(Ae‘\•••, Pne'0'')| pd0l ...<

0 0 J=1 \-^ -я

Из последней оценки следует, что правая часть неравенства (8) установлена полностью.

Левая часть в теореме доказывается аналогичными рассуждениями, с использованием леммы 5. Теорема доказана.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ф.А. Шамояна.

The paper presents a generalization of the well-known Hardi-Littlewood theorem in three directions: first, the theorem is extended to a multidimensional case, and secondly, the theorem is proved for a fractional derivative of any order, and in the third the proof is constructed with the mixed norm.

The key words: weighted spaces, polidisk, mixed norm, Hardi-Littlewood theorem, Sobolev spaces.

Список литературы

1. Сенета E. Правильно изменяющиеся функции. М.: Наука, 1985.

2. K. Avetisyan Fractional integro-differentiation in harmonic mixed norm spaces on a half-space // Comment. Math. Univ. Carolinae 2001, Vol. 42, № 4. Pp. 691-709.

3. Шамоян Ф.А., Шубабко E.H. Введение в теорию весовых LP -классов мероморфных функций. Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009.

4. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций // Сиб. мат. журн. 2005, Т. 46, № 6. С. 1208-1234.

5. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн. 1990, Т. 31, № 2. С. 197-215.

6. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardi-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry 2009, Vol. 5, № 2. Pp. 192-210.

q

q

11

Об авторе

Мишина Е.В. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected]